大和玄学公式丹德林双球模型截面下椭圆的离心率-最新资料

2020年10月18日发(作者：管子怀)
丹德林双球模型截面下椭圆的离心率

1.一道习题
教学期间， 遇到这样一道选择题：一个半径为2的球放在桌
面上，桌面上的一点A的正上方有一个点光源A′，AA ′与球相
切，AA′=6，球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心
率等于（ ）
A B C D
2.习题的题源
这道习题背景来自于人教社A版 教材选修2-1的探究与发
现，教材中利用过球外一点做球的切线，则切线长都相等这
一结论， 证明了用一个平面去截圆锥，得到的截口是椭圆，从证
明过程中可以得到以下结论：
（ 1）两个球的球心都在圆锥的轴上；（2）两个球与椭圆面
的切点是椭圆的两个焦点，（3）过椭圆的长 轴和圆锥的轴的截
面中，两个球的截面大圆分别与三角形和四边形内切（如图1）
同样 情况，用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱，得到的
截口曲线也是椭圆。下面给予证明：如图2，用两 个半径相等的
球内切与圆柱，并且都与截面相切，记切点为E、F，在截口曲
线上任取一点A， 过A做圆柱的母线，分别与两个球相切于点B、
C，则AE=AC，AF=AB，于是可得AE+AF= AB+AC=BC，BC恰好等于
两球的球心距，是定值，由椭圆的定义可知，截口是椭圆。同样
可以得到以下结论：（1）两个球的球心和截面中心都在圆柱的
轴上；（2）两个球与截面的切点是椭 圆的焦点；（3）椭圆的短
轴长等于圆柱底面直径；（4）过椭圆长轴和圆柱的轴的截面中，
两 个等圆内切于直角梯形。
3.截面椭圆的离心率
在圆锥截面椭圆中，过圆锥的 轴和椭圆的长轴的截面如图3，
在中，设，球的截面是球的大圆圆O1，与A1A2切与F2点，该点是椭圆的一个焦点，由正弦定理可以得到：，其中，
那么
，从而得到椭圆离心率。
在圆柱斜截面椭圆中，过圆柱的轴与椭圆长轴的截面如图4，
设与矩形一边所成锐角为θ，过作平行于矩形的另一边，则等
于圆柱的底面直径，也等于椭圆的短轴长。
中，，
从逻辑关系看，圆柱截面图形可以看着圆锥截面中P点在无
穷远处 ，此时中心投影可以近似地看着平行投影，，利用洛比塔
法则可以证明：
利用三角变换 也可以得到同样的结论。从推理过程看，两种
截面中的椭圆离心率的大小，前者当圆锥轴截面顶角一定时 ，可
由圆锥过点的母线与截面所成角来确定，后者椭圆离心率可由圆
柱母线与截面所成角的余弦 值确定。
4.结论的应用举例
例1：（文首例题）如图5，由条件可得 ， 又有AF=AC=2，
则，
设BD=BF=x，由勾股定理得 ，x=6，
在中，，，， 从而
例2：球在平面上的斜射影为椭圆，已知一巨型广告气球直< br>径6米，太阳光线与地面所成角为60°，求此广告气球在地面
上投影椭圆的离心率。
解：太阳光线与地面所成角即为圆柱母线与截面所成角，
因此 ，则椭圆离心率
例3：平面与平面相交成锐角，平面内的一个圆在平面上的
射影是离心率为的椭圆，求角的大小。
解析：本题的背景是：一个圆面在与平面垂直的平行光线下，
绕一条直径转动圆面，在平面 上的投影是一个椭圆，和第二种截
面椭圆推理方法相同，当圆面与投影面所成二面角为时，，因此
本题中.
从上面结论的研究过程可以看出，教材编写者在设计探究
与发现，信息技术 与应用，阅读与思考等栏目时是独具匠
心，不仅希望拓展学生的知识视野，让学生知道数学在生活中的< br>应用，还让师生回归生活本源和知识本源，探究最本质的知识与
方法，发现数学中一些问题的真谛 和美。