议论文公式关注圆锥曲线的通径

2020年10月9日发(作者：王筝)

关注圆锥曲线的“通径”
《解析几何》（必修）第101页介绍了抛物线的通径： 经过抛物线
作一条直线垂直于它的对称轴，和抛物线相交于两点，线段
的焦点F，
叫做 抛物线的
通径。类似的，我们也可以定义椭圆和双曲线的“通径”：过椭圆（双曲线）的焦点，
作垂直于长轴（或实轴）的直线，则直线被椭圆（双曲线）截得的线段叫做椭圆（双曲
线）的“通径”。 不难求出抛物线的通径长为2p，椭圆和双曲线的“通径”长都是
圆锥曲线的“通径”是一条重要的线段 ，值得我们重视，现举例说明如下：
。
一、“通径”在高考中的体现
[例1] （ 1995年全国高考）直线L过抛物线
若L被抛物线截得的线段长为4，则a=__________。
的焦点，并且与x轴垂直。
分析与略解：所截得的线段就是抛物线的“通径”，所以线段的长为
。
[例2] （1999年全国高考）设椭圆
若过且垂直于x轴的弦长等于到
的右焦点为，右准线为
的距离，则椭圆的离心率是_________。
，
分析与略解：过且垂直于X轴的弦长就是椭圆的“通径”长，

，又到以上两题都直接与“通径”有关，利用“通径”的长可以很快算出，如果对“通径”不
熟悉，运算量 将有所增加。
[例3] （1998年全国高考）椭圆
段的中点在y轴上，那么是的（ ）
。点P在椭圆上，如果线

A. 7倍 B. 5倍 C. 4倍 D. 3倍
分析与略解：设点P的坐标为（）
的中点在y轴上


[例4] （2000年高考题）过抛物线
点，若PF与QF的长分别是p、q，则
的焦点F作一直线交抛 物线于P、Q两
等于（ ）
A. 2a B. C. 4a D.
分析与略解： 本题可以用特殊位置法来解，因为直线PQ是任意的，所以，可以取最特
殊的情况：直线PQ垂直x轴时 （也就是“通径”）。此时。

这两题虽然没有直接以“通径”的形式给出，但通过对条件的 分析，可以转化为“通径”，
因此，可以利用“通径”来解。
这就是“通径”在高考中的体现和启示。
二、“通径”的性质
如果我们对过圆锥曲线的焦点弦进行研究，将发现“通径”具有如下性质：

过圆锥 曲线C的焦点F，作直线L交曲线C于P、Q两点，则半“通径”长的倒数是|PF|
的倒数与|QF| 的倒数的等差中项。
证明：如图所示，设焦点到相应准线的距离是p，直线L的倾斜角为，P、Q到准 线的
距离分别是，则


因为，根据圆锥曲线的定义知：半“通径”的长P =e，所以半“通径”的长=ep，故半
“通径”长的倒数是|PF|的倒数与|QF|的倒数的等差中 项。
具体来说，在抛物线中

例4就是这个性质的具体表现，所以利用这个性质可以立即得出答案。
综上所述，圆锥曲线的 “通径”是圆锥曲线中最基本的线段，它是过焦点的直线中最特
殊的一条，和过焦点的弦有密切关系。如 果解题时注意应用“通径”的这些特点，将减
少运算量，提高解题的速度。