标幺值计算公式第二章年金计算题1

2020年10月9日发(作者：金立强)
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（一）有关年金的相关概念
1.年金的含义
年金，是指一定时期内每次等额收付的系列款项。具有两个特点：一是金额相等；二是时间间隔相等。

2.年金的种类
年金包括：普通年金（后付年金）、即付年金（先付年金）、递延年金、永续年金等形式。
在年金 中，系列等额收付的间隔期间只需要满足“相等”的条件即可，间隔期间可以不是一年，例如每季末等
额 支付的债券利息也是年金。
【例题·判断题】年金是指每隔一年，金额相等的一系列现金流入或流出量。（ ）


『正确答案』×
『答案解析』在年金中，系列收付款项的时间间隔只要满足“相等” 的条件即可。注意如果本题改为“每隔一
年，金额相等的一系列现金流入或流出量，是年金”则是正确的 。即间隔期为一年，只是年金的一种情况。


【总结】
（1）这里的年金收付间隔的时间不一定是1年，可以是半年、一个季度或者一个月等。
（2）这 里年金收付的起止时间可以是从任何时点开始，如一年的间隔期，不一定是从1月1日至12月31日，
可以是从当年7月1日至次年6月30日。

【总结】
在年金的四种 类型中，最基本的是普通年金，其他类型的年金都可以看成是普通年金的转化形式。普通年金和
即付年金 是年金的基本形式，都是从第一期开始发生等额收付，两者的区别是普通年金发生在期末，而即付年金发
生在期初。递延年金和永续年金是派生出来的年金。递延年金是从第二期或第二期以后才发生，而永续年金的收付
期趋向于无穷大。
【小常识】诺贝尔奖是以瑞典著名化学家、硝化甘油炸药发明人阿尔弗 雷德·贝恩哈德·诺贝尔的部分遗产作
为基金创立的。诺贝尔奖包括金质奖章、证书和奖金支票。在遗嘱 中他提出，将部分遗产（920万美元）作为基金，
以其利息分设物理、化学、生理或医学、文学及和平 （后添加了经济奖）5个奖项，授予世界各国在这些领域对人类
作出重大贡献的学者。
【 例题·单选题】（2010年考题）2007年1月1日，甲公司租用一层写字楼作为办公场所，租赁期限为3年 ，
每年12月31日支付租金10万元，共支付3年。该租金有年金的特点，属于（ ）。











A.普通年金 B.即付年金 C.递延年金 D.永续年金


『正确答案』A
『答案解析』本题考核普通年金的特点。年末等额支付，属于普通年金。
（2）即付年金现值的计算
【定义方法】即付年金现值，就是各期的年金分别求现值，然后累加起来。
方法一：
从上图可以看出，n期即付（先付）年金与n期普通（后付）年金的付款次数相同，但是由于付款时间的不同，< br>在计算现值时，n期即付（先付）年金比n期普通（后付）年金少贴现一期。所以，可先求出n期普通（后 付）年金
的现值，然后再乘以（1＋i）便可以求出n期即付（先付）年金现值。
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方 法二：可根据n期即付（先付）年金现值与n－1期普通（后付）年金现值的关系推导出另外一个公式。n期即付（先付）年金现值与n－1期普通（后付）年金现值贴现期数相同，但比n－1期普通（后付）年金多一 期不用
贴现的付款A，因此，只要将n－1期普通（后付）年金的现值加上一期不用贴现的付款A，经过 整理便可以求出n
期即付年金现值。即付年金现值系数与普通年金现值系数相比，期数减1，系数加1。

【例题·计算题】A公司租赁一设备，在10年中每年年初支付租金5 000元，年利率为8%，求这些租金的现值？


『正确答案』
【方法一】
P（现值）＝A×年金现值系数×（1＋i）
P＝A×（PA，i，n）×（1＋i）
P＝5 000×（PA，8%，10）×（1＋8%）＝36 234（元）
【方法二】
P（现值）＝A×年金现值系数，期数减1，系数加1
P＝A[（PA，i，n－1）＋1]
＝5 000×[（PA，6%，9）＋1]
＝5 000×（6.247＋1）＝36 234（元）


【例题·计算题】张先生采用分期付款方式购入商品房一套，每年年初付款15 000元，分10年付清。若银 行
利率为6%，该项分期付款相当于一次现金支付的购买价是多少?


『正确答案』
【方法一】
P（现值）＝A×年金现值系数×（1＋i）
P＝A×（PA，i，n）×（1＋i）
P＝15 000×（PA，6%，10）×（1＋6%）＝117 025.5（元）
【方法二】
P（现值）＝A×年金现值系数，期数减1，系数加1
P＝A[（PA，i，n－1）＋1]
P＝A·[（PA，i，n－1）＋1]
＝15 000×[（PA，6%，9）＋1]
＝15 000×（6.8017＋1）＝117 025.5（元）


【例题·计算题 】李博士是国内某领域的知名专家，某日接到一家上市公司的邀请函，邀请他作为公司的技术
顾问，指导 开发新产品。邀请函的具体条件如下：
（1）每个月来公司指导工作一天；
（2）每年聘金10万元；
（3）提供公司所在地A市住房一套，价值80万元；
（4）在公司至少工作5年。
李博士对以上工作待遇很感兴趣，对公司开发的新产品也很有研究， 决定应聘。但他不想接受住房，因为每月
工作一天，只需要住公司招待所就可以了，这样住房没有专人照 顾，因此他向公司提出，能否将住房改为住房补贴。
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公司研究了李博士的请求，决定可以在今后5年里每年年初给李博士支付20万元房贴。
收到公司的通知后，李博士又犹豫起来，因为如果向公司要住房，可以将其出售，扣除售价5%的契税和手续费，
他可以获得76万元，而若接受房贴，则每年年初可获得20万元。假设每年存款利率2%，则李博士应 该如何选择?


『正确答案』
要解决上述问题，主要是要 比较李博士每年收到20万元的现值与售房76万元的大小问题。由于房贴每年年初
发放，因此对李博士 来说是一个即付年金。其现值计算如下：
P（现值）＝A×年金现值系数，期数减1，系数加1
P＝A[（PA，i，n－1）＋1]
P＝20×[（PA，2%，4）＋1]
＝20×[3.8077＋1]
＝20×4.8077
＝96.154（万元）
从这一点来说，李博士应该接受房贴。


如果李博士本身是一个企业的业主，其资金的投资回报率为32%，则他应如何选择呢？
在投资回报率为32%的条件下，每年20万的住房补贴现值为：
P＝20×[（PA，32%，4）＋1]
＝20×[2.0957＋1]
＝20×3.0957
＝61.914（万元）
在这种情况下，应接受住房。
【提示】

即付年金终值系数等于普通年金终值系数乘以（1＋i）

F（终值）＝A（FA，i，n）（1＋i）

即付年金终值系数与普通年金终值系数的关系：期数＋1，系数－1

F（终值）＝A[（FA，i，n＋1）－1]

即付年金现值系数等于普通年金现值系数乘以（1＋i）

P（现值）＝A×（PA，i，n）×（1＋i）

即付年金现值系数与普通年金现值系数的关系：期数－1，系数＋1

P（现值）＝A[（PA，i，n－1）＋1]

3.递延年金计算
递延年金，是指第一次等额收付发生在第二期或第二期以后的年金。包括递延年金终值和递延年金现值计算
（1）递延年金终值计算
计算递延年金终值和计算普通年金终值基本一样，只是注意扣除递延期即可。
F（终值）＝A（FA，i，n）
式中，“n”表示A的个数，与递延期没有关系
【例题·计算题】某投资者拟购买一处房产，开发商提出了三个付款方案：
方案一：现在起15年内每年末支付10万元；（分析：普通年金）
方案二：现在起15年内每年初支付9.5万元；（分析：即付年金）
方案三：前5年不支付，第六年起到15年每年末支付18万元。（分析：递延年金）
假设按银行贷款利率10%复利计息，若采用终值方式比较，问哪一种付款方式对购买者有利？


『正确答案』终值点确定为15年末
方案一：普通年金
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F（终值）＝A（FA，i，n）（注：年金终值系数）
F＝1O×（F／A，10%，15）
＝10×31.772＝317.72（万元）
方案二：即付年金
F（终值）＝A[（FA，i，n＋1）－1]（注：年金终值系数，期数＋1，系数－1）
F＝9.5×[（F／A，10%，16）－1]
＝9.5×（35.950－1）
＝332.03（万元）
方案三：递延年金
F＝18×（F／A，10%，10）
＝18×15.937
＝286.87（万元）
从上述计算可得出，采用第三种付款方案对购买者有利。


（2）递延年金现值的计算
【方法一】
两次折现，把递延期以后的年金套用普通年 金公式求现值，这是求出来的现值是第一个等额收付前一期期末的
数值，距离递延年金的现值点还有m期 ，再向前按照复利现值公式折现m期即可。

【例题·计算题】某企业向银行借入一 笔款项，银行贷款的年利率为10%，每年复利一次。银行规定前6年不用
还本付息，但从第7年至第1 0年每年年末偿还本息50万元。用该方法计算这笔款项的现值。


『正确答案』

关注：每年年末收付的递延期数m＝7－1＝6
P（现值）＝A（PA，i，n）×（PF，i，m）
＝A×n期的年金现值系数×m期的复利现值系数
P＝A×（P／A，10%，4）×（P／F，10%，6）
＝50×3.170×0.564
＝89.394（万元）


【方法二】把递延期每期期末都当作 有等额的收付A，把递延期和以后各期看成是一个普通年金，计算出这个普
通年金的现值，再把递延期多 算的年金现值减掉即可。

【例题·计算题】某企业向银行借入一笔款项，银行贷款 的年利率为10%，每年复利一次。银行规定前6年不用
还本付息，但从第7年至第10年每年年末偿还 本息50万元。
用该方法计算这笔款项的现值。


『正确答案』

P＝A×[（PA,i,m＋n）－（PA,i,m）]
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＝A×[m＋n期年金现值系数－m期年金现值系数]
P＝A×（P／A，10%，10）－A×（P／A，10%，6）
＝50×[（P／A，10%，10）－（P／A，10%，6）]
＝50×（6.145－4.355）
＝89.5（万元）


【方法三】先求递延年金终值，再折现为现值。

【例题·计算题】某企业向银行借 入一笔款项，银行贷款的年利率为10%，每年复利一次。银行规定前6年不用
还本付息，但从第7年至 第10年每年年末偿还本息50万元。
用该方法计算这笔款项的现值。


『正确答案』

P＝A×[n期年金终值系数×m＋n期复利现值系数]
P＝A×（FA，i，n）×（PF，i，m＋n）
P＝50×（FA，10%，4）×（PF，10%，10）
＝50×4.641×0.386
＝89.5713


【例题·计算题】某企业向银行借入一笔款 项，银行贷款的年利率为10%，每年年末复利一次。银行规定前10
年不用还本付息，但从第11年至 第20年每年年末偿还本息5 000元。
【要求】用3种方法计算这笔款项的现值。


『正确答案』
方法一：
P＝A×年金现值系数×复利现值系数
P＝A×（P／A，10%，10）×（P／F，10%，10）
＝5 000×6.145×0.386
＝11 860（元）
方法二：
P＝A×[m＋n期年金现值系数－m期年金现值系数]
P＝A×[（P／A，10%，20）－（P／A，10%，10）]
＝5 000×（8.514－6.145）
＝11 845（元）
两种计算方法相差15元，是因小数点的尾数造成的。
方法三：
A×[n期年金终值系数×m＋n期复利现值系数]
P＝A×[（F／A，10%，10）×（P／F，10%，20）]
＝5 000×15.937×0.1486
＝11 841

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【思考问题】
某人从第七年年初支付款项，则递延期数＝？递延期数＝7－2＝5
某人从第七年年末支付款项，则递延期数＝？递延期数＝7－1＝6
【例题·计算题 】A公司拟购置一房地产，付款条件为：从第七年开始，每年年初支付10万元，连续支付10年，
合计 100万元该公司资金成本率为10%，则相当于该公司现在一次付款的金额为？万元


『正确答案』
递延期数＝7－2＝5
方法一：
P＝A×年金现值系数×复利现值系数
P＝A×（P／A，10%，10）×（P／F，10%，5）
＝10×6.1446×0.6209
＝38.152（万元）
方法二：
P＝A×[m＋n期年金现值系数－m期年金现值系数]
P＝A×[（P／A，10%，15）－（P／A，10%，5）]
＝10×（7.6061－3.7908）
＝38.153（万元）
两种计算方法相差10元，是因小数点的尾数造成的。
方法三：
A×[n期年金终值系数×m＋n期复利现值系数]
P＝A×[（F／A，10%，10）×（P／F，10%，15）]
＝10×15.9374×0.2394
＝38.154（万元）


【例题·计算题】某公司拟购置一处房产，房主提出三种付款方案：
（1）从现在起，每年年初支付20万，连续支付10次，共200万元；
（2）从第5年开始，每年末支付25万元，连续支付10次，共250万元；
（3）从第5年开始，每年初支付24万元，连续支付10次，共240万元。
假设该公司的资金成本率（即最低报酬率）为10%，你认为该公司应选择哪个方案？


『正确答案』首先确定时间点，折算到一个时点，
方案（1）从现在起，每年年初支 付20万，连续支付10次，共200万元；属于即付年金。即付年金现值的计算。
P（现值）＝A×年金现值系数×（1＋i）
P（现值）＝A×（PA，i，n）×（1＋i）
P＝20×（PA，10%，10） ×（1＋10%）＝135.18（万元）
方 案（2）从第5年开始，每年末支付25万元，连续支付10次，共250万元；递延年金，注意递延期＝5－1 ＝
4年，
P＝A×年金现值系数×复利现值系数
P＝25×（PA，10%，10） ×（PF，10%，4）＝104.93（万元）
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方 案（3）从第5年开始，每年初支付24万元，连续支付10次，共240万元。递延年金，注意递延期＝5－2 ＝
3年
P＝A×年金现值系数×复利现值系数
P＝24×（PA，10%，10）×（PF，10%，3）＝110.78
该公司应该选择第二方案。

4.永续年金
永续年金，是指无限期等额收付的年金。
永续年金因为没有终止期，所以只有现值没有终值。
永续年金的现值，可以通过普通年金的计算公式导出。在普通年金的现值公式中，令n趋于无穷大， 即可得出
永续年金现值：P＝Ai
已知：P（现值）＝A×[1－（1＋i） －n]i
当n趋向无穷大时，由于A和i都有界量，（1＋i）－n趋向无穷小。因此当n趋向无穷大时，P＝Ai
【例题·单选题】下列各项年金中，只有现值没有终值的年金是（ ）。
A.普通年金 B.即付年金
C.永续年金 D.先付年金


『正确答案』C


【例题·计算题】归国华侨吴先生想支持家乡建 设，特地在祖籍所在县设立奖学金。奖学金每年发放一次，奖
励每年高考的文理科状元各10 000元 。奖学金的基金保存在中国银行该县支行。银行一年的定期存款利率为2%。问
吴先生要投资多少钱作为 奖励基金？


『正确答案』由于每年都要拿出20 000元，因此奖学金的性质是一项永续年金，其现值应为
20 000／2%＝1 000 000（元）
也就是说，吴先生要存入1 000 000元作为基金，才能保证这一奖学金的成 功运行。
很明显，按照作业成本法下模型所核算出的菜品成本与
传统成本法核算出的菜品成本不 同。根据模型所核算出的菜品成本包括了根据资源动因、作业动因分配而来的职工薪酬、广告宣传费、维护折旧费 、能源通讯费、清洁保管费等间接费用，而传统成本法核算出的菜品成本仅包括了模型中所提到
的直接成 本费用。

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