高中数学教具制作图片-广西高中数学竞赛试题
江苏高考导数专题复习
一、考试内容
导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数;
两个函数的和、差、基本导数公式,利
用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值
和最小值。
二、热点题型分析
【题型一】利用导数研究函数的极值、最值。
32
f(x)?x?3x?
2
在区间
?
?1,1
?
上的最大值是 1.
2
2.
已知函数
y?f(x)?x(x?c)在x?2
处有极大值,则常数c=;
3.函数
y?1?3x?x
有极小值,极大值
【题型二】利用导数几何意义求切线方程
3
?
?1,?3
?
处的切线方程是
y?x?2
y?4x?x
1.曲线在点
4
2.若曲线
f(x)?x?x
在P点处的切线平行于直线
3x?y?0
,则P点的坐标为
(1,
3
0)
4
y?x
3.若曲线
的一条切线
l
与直线
x?4y?8?0
垂直,则
l
的方程为
4x?y?3?0
4.求下列直线的方程:
32
(1)曲线
y?x?x?1
在P(-1,1)处的切线;
2
(2)曲线
y?x
过点P(3,5)的切线;
【题型三】利用导数研究函数的单调性,极值、最值
32
f(x)?x?ax?bx?c,过曲线y?f(x)上的点P(1,f(1))
的切
线方程为1.已知函数
y=3x+1
(Ⅰ)若函数
f(x)在x??2
处有极值,求
f(x)
的表达式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数
y?f(x)
在[-3,1]上的最大值;
(Ⅲ)若函数
y?f(x)
在区间[-2,1]上单调递增,求实数b的取值范围
322
解:(1)由
f(x)?x?ax?bx?c,求导数得f
?
(x)
?3x?2ax?b.
过
y?f(x)上点P(1,f(1))
的切线方程为:
y?f(1)?f
?
(1)(x?1),即y?(a?b?c?1)?(3?2a?b)(x?1).
的切线方程为y?3x?1.
而过
y?f(x)上P[1,f(1)]
?<
br>3?2a?b?3
?
故
?
a?c??3
?
2a?b?
0
即
?
?
a?c??3
①
②
,故f
?
(?2)?0,??4a?b??12
③
∵
y?f(x)在x??2时有极值
32
由①②③得 a=2,b=-4,c=5
∴
f(x)?x?2x?4x?5.
2
?
f(x)?3x?4x?4?(3x?2)(x?2).
(2)
2
?3?x??2时,f
?
(x)?0;当?2?x?时,f
?
(
x)?0;
3
当
2
当?x?1时,f
?
(x)?0.?f
(x)
极大
?f(?2)?13
3
又
f(1)?4,?f(x)
在[-3,1]上最大值是
13。
2
?
f(x)?3x?2ax?b,
由①知2a+b=0。 (3)y=
f(x)在[-2,1]上单调递增,又
2
??
f(x)f(x)
3x?bx
?b?0.
依题意在[-2,1]上恒有≥0,即
x?
①当
b
?1
时,f
?
(x)
min
?f
?
(1)?3?b?b?0,?
b?6
6
;
b
??2时,f
?
(x)
min?f
?
(?2)?12?2b?b?0,?b?
?
6
;
x?
②当
612b?b
2
?2??1时,f
?
(x)min
??0,则0?b?6.
b12
③当
综上所述,参数b的取值范围是
[0,??)
32
f(x)?x?
ax?bx?c
在
x?1
和
x??1
时取极值,且
f(?2
)??4
. 2.已知三次函数
(1) 求函数
y?f(x)
的表达式;
(2) 求函数
y?f(x)
的单调区间和极值;
(3)
若函数
g(x)?f(x?m)?4m(m?0)
在区间
[m?3,n]
上的
值域为
[?4,16]
,试求
m
、
n
应
满足的条件
.
2
?
解:(1)
f(x)?3x?2ax?b
,
2
由题意得,
1,?1
是
3x?2ax?b?0
的两个根,
解得,
a?0,b??3
.
3
f(?2)??4
f(x)?x?3x?2
.
c??2
再由可得.∴
2
?
(2)
f(x)?3x?3?3(x?1)(x?1)
,
??
当
x??1
时,
f(x)?0
;当
x??1
时,
f(x)?0
;
??
当
?1?x?1
时,
f(x)?0<
br>;当
x?1
时,
f(x)?0
;
?
当
x?
1
时,
f(x)?0
.∴函数
f(x)
在区间
(??,?1
]
上是增函数;
]
在区间
[?1,1
上是减函数;在区间
[1,??)
上是增函数.
函数
f(x)
的极大值是
f(?1)?
0
,极小值是
f(1)??4
.
(3) 函数
g(x)
的图象是由
f(x)
的图象向右平移
m
个单位,向上平移4
m
个单位得到的,
所以,函数
f(x)
在区间
[?3,n?m]<
br>上的值域为
[?4?4m,16?4m]
(
m?0
).
而<
br>f(?3)??20
,∴
?4?4m??20
,即
m?4
.
于是,函数
f(x)
在区间
[?3,n?4]
上的值域为
[
?20,0]
.
令
f(x)?0
得
x??1
或
x
?2
.由
f(x)
的单调性知,
?1剟n?4
综上所述,
m
、
n
应满足的条件是:
m?4
,且
3剟n
3.设函数
f(x)?x(x?a)(x?b)
.
(1)若
f(x
)
的图象与直线
5x?y?8?0
相切,切点横坐标为2,且
f(x)
在
x?1
处取极
值,求实数
a,b
的值;
(2)当b=1时,试证明:不论a取何实数,函数
f(x)
总有两个不同的极值点.
6
.
2
,即
3剟n6
.
2
?
f(x)?3x?2(a?b)x?ab.
解:(1)
??
由题意
f(2)?5,f(1)?0
,代入上式,解之得:a=1,b=
1.
2
?
令f(x)?0得方程
3x?2(a?1)x?a?0.
(2)当b=1时,
2
??4(a?a?1)?0,
故方程有两个不同实根
x
1
,x
2
. 因
''
x?x
f(x)?3(x
?x)(x?x)f
12
12
不妨设,由可判断
(x)
的符号如下:
'''
x?x时,x?x?x时,x?x时,
f(x)f(x)f(x)
>0
1122
当>0;当<0;当
因此
x
1
是极大值点,
x
2
是极小值点.,当b=1时,不论a取何实数,函数
f(x)
总有两个
不
同的极值点。
【题型四】利用导数研究函数的图象
f
1.如右图:是f(x)的导函数,
(x)
的图象如右图所示,则f(x)的图象只可能是( )
(A) (B) (C)
(D)
y?
2.函数
6
4
2
-4 -2
y
1
3
x?4x?1的图像为
3
( )
o 2 4
-2
-4
x
6
4
2
-4 -2
y
6
4
2
x
-4 -2
y
6
4
2
y
o 2 4
-2
-4
y 2 4
-2
-4
x
o
2 4
-2
-4
x
32
3.方程
2x?6x?7?0在(0,2)内根的个数为
( )
A、0 B、1 C、2
D、3
【题型五】利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围
1
f(x)??x
3
?2ax
2
?3a
2x?b,0?a?1.
3
1.设函数
(1)求函数
f(x)
的单调区间、极值.
?
(2)若当
x?[a ?1,a?2]
时,恒有
|f(x)|?a
,试确定a的取值范围.
22
x?a,x
2
?3a
?
?
f(x) ??x?4ax?3a
解:(1)=
?(x?3a)(x?a)
,令
f(x) ?0
得
1
列表如下:
x (-∞,a) a (a,3a) 3a
0
极大
(3a,+∞)
-
f
?
(x)
- 0 +
极小
f(x)
?
?
?
∴
f(x)
在(a,3a)上单调递增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上单调递减
4
f
极小
(x)?b?a
3
3
,
x?3a
时,
f
极小
(x)?b
x?a
时,
22
?
f(x)??x?4ax?3a
(2)∵
0?a?1
,∴对称轴< br>x?2a?a?1
,
?
∴
f(x)
在[a+1,a+2]上单调递减
2222
??
f??(a?1)?4a(a?1)?3a?2a?1f??(a?2) ?4a(a?2)?3a?4a?4
∴
Max
,
min
?
|?a|f
?
|?a
,
|f
min
?
依题
|f(x)|?a
?
Max
即
|2a?1|?a,|4a?4|?a
4
4
?a?1
[ ,1)
解得
5
,又
0?a?1
∴a的取值范围是
5
2
2.已知函数f(x)=x3 +ax2+bx+c在x=-
3
与x=1时都取得极值(1)求a、b的值
与函数f( x)的单调区间
(2)若对x?〔-1,2〕,不等式f(x)?c2恒成立,求c的取值范围。
解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f?(x)=3x2+2ax+b
-
由f?(
21
124
-
-a+b=0
3
)=
93
,f?(1)=3+2a+b=0得a=
2
,b=-2
f?(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:
x
22
(-?,-
3
) -
3
0
2
(-
3
,1)
-
1 (1,+?)
f?(x) +
f(x)
?
0 +
极大值
?
极小值
?
22
所以函数f(x)的递增区间是(-?,-
3)与(1,+?),递减区间是(-
3
,1)
1222
(2)f(x)
=x3-
2
x2-2x+c,x?〔-1,2〕,当x=-
3
时,f(x)=
27
+c
为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值。
要使f(x)?c2(x?〔-1,2〕)恒成立,只需c2?f(2)=2+c,解得c?-1或c?2
【题型六】利用导数研究方程的根
1
3
??
1.已知平
面向量
a
=(
3
,-1).
b
=(
2
,
2
).
??
???
?
???
?
yy
(1)若存在不同时为零的实数k和t,使
x
=
a
+(t2-3)
b
,=-k
a
+t
b
,
x
⊥,
试求函数关系式k=f(t) ;
(2)
据(1)的结论,讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.
????
?
?<
br>????
y
x?y
xaba
解:(1)∵⊥,∴=0
即[+(t2-3) ]·(-k+t
b
)=0.
??
?
2
?
2
a?b
ab
整理后得-k+[t-k(t2-3)] +
(t2-3)·=0
1
??
?
2
?
2
∵
a?b
=0,
a
=4,
b
=1,∴上式化为-4k+t(t2-3)
=0,即k=
4
t(t2-3)
11
(2)讨论方程
4
t
(t2-3)-k=0的解的情况,可以看作曲线f(t)=
4
t(t2-3)与直线y=k的交
点个数.
3
3
于是f′(t)=
4
(t2-1)=
4
(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变
化时,f′(t)、f(t)的变化情况如下表:
t
f′(t)
F(t)
(-∞,-1)
+
↗
-1
0
极大值
(-1,1)
-
↘
1
0
极小值
(1,+ ∞)
+
↗
1
当t=-1时,f(t)有极大值,f(t)极大值=
2
.
1
当t=1时,f(t)有极小值,f(t)极小值=-
2
1
函数f(t)=
4
t(t2-3)的图象如图13-2-1所示,
可观察出:
11
(1)当k>
2
或k<-
2
时,
方程f(t)-k=0有且只有一解;
11
(2)当k=
2
或k=-
2
时,方程f(t)-k=0有两解;
11
(3)
当-
2
<k<
2
时,方程f(t)-k=0有三解.
【题型七】导数与不等式的综合
3
a?0,函数f(x)?x?ax
在
[1,??)
上是单调函数.
1.设
(1)求实数
a
的取值范围;
(2)设
x
0
≥1,
f(x)
≥1,且
f(f(x
0
))?x
0
,求证:
f(x
0
)?x
0
.
2
??
解:(1)
y?f(x)?3x?a,
若
f(x)
在
?
1,??
?
上是单调递减函数,则须
y
??0,即a?3x
2
,
这样的实数a不存在.故
f(x)
在?
1,??
?
上不可能是单调递减函数.
2
若
f(x
)
在
?
1,??
?
上是单调递增函数,则
a
≤3x
,
2
?
?
x?1,??,故3x?3
.从而0x?f(x
0
)
,则(2)方法1、可知
f(x)
在
?<
br>1,??
?
上只能为单调增函数. 若1≤
0
f(x
0)?f(f(x
0
))?x
0
矛盾,
若1≤
f(x<
br>0
)?x
0
,则f(f(x
0
))?f(x
0
),即x
0
?f(x
0
)
矛盾,
故只有
f(x<
br>0
)?x
0
成立.
33
f(x)?u,则f(u)?x?x?ax?u,u?au?x
0
,
两式相减得
00
00
方法2:设,
32
(x
0
?u
3
)?a(x
0<
br>?u)?u?x
0
?(x
0
?u)(x
0
?x
0
u?u
2
?1?a)?0,?x
0
≥1,u≥1,
2
2
?x
0
?x
0
u?u
2
?3,又0?a?3,
?x
0
?x
0
u?u
2
?1?a?0
3
f(x)?(x
2
?)(x?a)
2
2.已知
a
为实数,函数
(1)若函数
f(x)
的图象
上有与
x
轴平行的切线,求
a
的取值范围
(2)若
f'(?1)?0
,(Ⅰ)求函数
f(x)
的单调区间 <
br>(Ⅱ)证明对任意的
x
1
、x
2
?(?1,0)
,不
等式
|f(x
1
)?f(x
2
)|?
5
16
恒成立
?f(x)?x
3
?ax
2
?
解:
33
3
x?a?f'(x)?3x
2
?2ax?
22
,
2
?
函数
f(x)
的图象有与
x
轴平行的切线,
?f'(x)?0
有实数解
???4a
2
?4?3?
9
333
?0
a
2
?
(??,?2]?[2,??)
2
222
a
,,所以的取值范围是
9
3931
?0
a?<
br>?f'(x)?3x
2
?x??3(x?)(x?1)
4
,
2
222
,
1
1
f'(x)?0,?1?x??
2
;由
2
<
br>?f'(?1)?0
,
?3?2a?
由
f'(x)?0,x??1或
x??
1
1
(?1,?)
(??,?1),(?,??)?f(x)
的单调递增区间是
2
2
;单调减区间为
易
知
f(x)
的最大值为
f(?1)?
2514927
f(?)?f(
0)?
8
,
f(x)
的极小值为
216
,又
8
2749
m?
8
,最小值
16
?f(x)
在
[?1,0]
上的最大值
M?
?
对任意
x
1
,x
2
?(?1,0)
,恒有
|f(x
1
)?f(x
2
)|?M
?m?
27495
??
81616
【题型八】导数在实际中的应用
1.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱
,上部的形状是侧棱长为3m的
正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O到底面中心
o<
br>1
的距离为多少时,帐篷的体积
最大?
解:设OO1为
xm
,则
1?x?4
3
2
?(x?1)
2
?8?2x?x
2
,(单位:
m
) 由题
设可得正六棱锥底面边长为:
6?
故底面正六边形的面积为:
333
?(?(
8?2x?x
2
)
22
2
8?2x?x)
=
2m
4
,(单位:)
1
3
33
(16?12x?x3
)
V(x)?(8?2x?x
2
)
[(x?1)?1]
?
m
3
)
3
2
2
帐篷的体积为:(单位: V'(x)?
求导得
3
(12?3x
2
)
2
。
(x)?0
,解得
x??2
(不合题意,舍去)令
V'
,<
br>x?2
,
(x)?0
,
V(x)
当
1?x?2时,
V'
为增函数;
(x)?0
,
V(x)
当
2?x?4
时,
V'
为减函数。
∴当
x?2
时,
V(x)
最大。
答:当OO1为
2
2.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量
y
(升)关于行驶速度
x
(千
m
时,帐篷的体积最大,
最大体积为
163
m
3
。
y?
米小时)的函数解析式可以
表示为:
13
x
3
?x?8(0?x?120).
12800080
已知甲、乙两地相距100千米。
(I)当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
100<
br>?2.5
解:(I)当
x?40
时,汽车从甲地到乙地行驶了
40小时,
13
(?40
3
??40?8)?2.5?17.5
8
0
要耗没
128000
(升)。
100
(II)当速度为
x
千米小时时,汽车从甲地到乙地行驶了
x
小时,设耗油
量为
h(x)
升,
131001
2
80015
h(x)?(x
3
?x?8).?x??(0?x?120),
12800080x1
280x4
依题意得
x8
00x
3
?80
3
h'(x)???(0?x?120).
640x
2
640x
2
令
h'(x)?0,
得
x?80.
当
x?(0,80)
时,
h'(x)?0,h(x)
是减函数;
当
x?(80,120)
时,
h'(x)?0,h(x)
是增函数。
?
当
x?80
时,
h(x)
取到极小值
h(80)
?11.25.
因为
h(x)
在
(0,120]
上只有一个极值,所以它是最小值。
答:当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以
80
千米小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升。
【题型九】导数与向量的结合
?
31
?
13
a?(,?)
,b?(,).
2222
若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k,1.设平面向量
,
使
x?a?(t?k)b,y??sa?tb,且x?y
(1)求函数关系式
S?f(t)
;
2
,??
?
上是单调函数,求k的取值范围。 (2)若函数
S?f
(t)
在
?
1
a?(
解:(1)
??
3113??
,?),b?(,).
a?b?1,a?b?0
2222
??????
又x?y,x?y?0,得
????
2
?
a?
?
b
?
?sa?tb)?0,
?
(t?k)(
?
2
?
2
??
22
即?sa?(tt?k)b-(t?st?sk)a?
b?0。
??s?(t
2
?k)t?0,故s?(ft)?t
3
?k
t。
(2)
f
?
(t)?3t
2
?k且f(t)
在
?
1,??
?
上是单调函数,
??
?0
则在
?
1,??
?
上有
f(t)?0或f(t)
222
?
f(t)?0?3t?k?0?k?3t?
k?(3t)
min
?k?3
;
由
22
?
f(t)?0?3t?k?0?k?3t
由。
22
因为在t∈
?
1,??
?
上
3t
是增函数,所以不存在k
,使
k?3t
在
?
1,??
?
上恒成立。故k的取
值范围是
k?3
。
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