郭化楠高中数学必修四北师大-学会思考 高中数学
第07讲:导数中的双变量存在性和任意性问题的处理
【知识要点】
在平
时的数学学习和高考中,我们经常会遇到不等式的双变量的存在性和任意性问题,学
生由于对于这类问题
理解不清,很容易和不等式的恒成立问题混淆,面对这类问题总是感到
很棘手,或在解题中出现知识性错
误.
1、双存在性问题
“存在称为不等式的双存在性问
...
x
1
?(a,b)
,存在
..
x
2
?(c,d)
,
使得
f(x
1
)?g(x
2
)
成立”
.
题
,存在
..
x
1
?(a,b)
,存在
..
x
2
?(c,d)
,使得
f(x
1
)?g(x
2
)
成立,即
f(x)
在区间
(a,b)
内
至少有一个值小.,
即
f(x)
min
?g(x)
max
.
......
f(x)
比函数
g(x)
在区间
(c,d)
内的一个函数值
.....
(见下图1)
“存在,即在区间
(a,b)
内至少有
..
x
1
?(a,b)
,存在
..
x
2
?
(c,d)
,使得
f(x
1
)?g(x
2
)
成立”
...
一个值大,即
f(x)
max
?g(x)
min.(见下图
...
f(x)
比函数
g(x)
在区间
(c
,d)
内的一个函数值
.....
2)
2、双任意性问题 “任意的
x
2
?(c,d)
,使得
f(x
1
)
?g(x
2
)
成立” 称为不等式的双任意
..
x
1
?(a,b)
,对任意
..
性问题. 任意的
x
2
?(c
,d)
,使得
f(x
1
)?g(x
2
)
成立,即<
br>f(x)
在区间
..
x
1
?(a,b)
,对任意..
意一个值意一个函数值都要小,即
(a,b)
任
.....
f(x)
比函数
g(x)
在区间
(c,d)
内的任
..f(x)
max
?g(x)
min
.
“任意的
x
2
?(c,d)
,使得
f(x
1
)?g(x
2
)
成立”,即
f(x)
在区间
..
x
1
?
(a,b)
,对任意
..
(a,b)
内任意一
...
1
个值一个函数值都
要大,即
f(x)
min
?g(x)
max
.
..
f(x)
比函数
g(x)
在区间
(c,d)
内的任意
..
3、存在任意性问题
“存在的
x
2
?(c,d)
,使得<
br>f(x
1
)?g(x
2
)
成立” 称为不等式的存在任
..
x
1
?(a,b)
,对任意
..
意性问题. 存在的
x
2
?(c,d)
,使得
f(x
1
)?g(x2
)
成立,即
f(x)
在区
..
x
1
?(a,b)
,对任意
..
间
(a,b)
内至少有一个值一个函数值
都要小,即
......
f(x)
比函数
g(x)
在区间
(
c,d)
内的任意
..
f(x)
min
?g(x)
min<
br>. (见下图3)
“存在对任意的
x
2
?(c,d)
,使得
f(x
1
)?g(x
2
)
成立”,即
f(x)在区间
(a,b)
..
x
1
?(a,b)
,
.
.
内至少有一个值意一个函数值都要大,即
......
f(x)
比函数g(x)
在区间
(c,d)
内的任
..
f(x)
max
?g(x)
max
.(见下图4)
【方法讲评】
题型一
使用情景
双存在性问题
不等式中的两个自变量属性都是存在性的.
存在
..
x
1
?(a,b)
,存在
..
x
2
?(c,d)
,使得
f(x
1
)?g(x
2
)
成立” 称为不等式的
双存在性问
题,存在
..
x
1
?(a,b)
,存在
..
x2
?(c,d)
,使得
f(x
1
)?g(x
2
)
成立,
解题理论
即
f(x)
在区间
(a,b)
内至少有一个值
......
f(x)
比函数
g(x)
在区间
(c,d)
内的一
.
个函数值小,即
f(x)
min
?g
(x)
max
.
....
“存在,即在区间
..
x
1
?(a,b)
,存在
..
x
2
?(c,d)
,
使得
f(x
1
)?g(x
2
)
成立”
2
大,即
(a,b)
内至少有一个值
......
f(x)<
br>比函数
g(x)
在区间
(c,d)
内的一个函数值
.....
f(x)
max
?g(x)
min
.
【例1】已知函数<
br>f
?
x
?
?4lnx?ax?
(Ⅰ)讨论
f
?
x
?
的单调性;
?
1
?
(Ⅱ)当
a?
1
时,设
g
?
x
?
?2e
x
?4x?2a
,若存在
x
1
,
x
2
?
?
,2<
br>?
,使
f
?
x
1
?
?g
?
x
2
?
,求
?
2
?
a?3
?
a?
0
?
.
x
实数
a
的取值范围.(
e
为自
然对数的底数,
e?271828L
)
当
0?a?1
时
,
??0
,
x
1
?x
2
?
2??
?
a?1
??
a?4
?
a
4a?3
?0
,
x
1
?x
2
??0
aa
x
1<
br>??0
,
x
2
?
2??
?
a?1
?
?
a?4
?
a
?0
当
x?
?
0
,x
1
?
时,
h
?
x
?
?0
,<
br>f
?
x
?
单调递减,
当
x?
?
x
1
,x
2
?
时,
h
?
x
?
?0
,
f
?
x
?
单调递增,
当
x?<
br>?
x
2
,??
?
时,
h
?
x
?
?0
,
f
?
x
?
单调递减,
3???
3
?
所以当
a?0
时,
f
?
x
?
的减区间为
?
0,
?
,增区间
?
,??
?
.
4
???
4
?
当
a?1
时
,
f
?
x
?
的减区间为
?
0,??
?.
??
2??
?
a?1
??
a?4
?
??
2??
?
a?1
??
a?4
?
?
,
?
,??
?
当
0?a?1
时,
f
?x
?
的减区间为
?
0,
????
aa
????
?
2??
?
a?1
??
a?4
?
2??<
br>?
a?1
??
a?4
?
?
?
.
,
增区间为
?
??
aa
??
?
1
?
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
f
?
x
?
在
?
,2
?
上的最大值为
?
2
?
3
?
1
?
f
??
??4ln2?a?6
,
2
?
2
?
3
g
?
x?
?2e
x
?4
,令
g
?
x
?
?0
,得
x?ln2
.
?
1
?
x?
?
,ln2
?
时,
g
?
x
?
?0
,
g
?
x
?
单调递减,
?
2
?
x
?
?
ln2,2
?
,
g
?
x
?
?
0
,
g
?
x
?
单调递增,
?
1
?
所以
g
?
x
?
在
?
,2
?<
br>上的最小值为
g
?
ln2
?
?4?4ln2?2a
,
?
2
?
3
由题意可知
?4ln2?a?6?4?4ln2?
2a
,解得
a?4
, 所以
1?a?4
.
2
【点
评】(1)存在性问题和任意性问题都是最值关系问题,关键是是什么样的最值关系,所
以务必理解清楚
,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解(见
前面的知识要点),也可
以这样记忆,双存在性问题两边的最值相反.
【反馈检测1】设函数
f(x)?(x?ax?b)e(x?R)
,
(1)
若
x?1
是函数
f(x)
的一个极值点,试求出
b
关于a
的关系式(用
a
表示
b
),并确定
2x
f(
x)
的单调区间;
(2)在(1)的条件下,设
a?0
,函数
g(
x)?(a?14)e
2x?4
,若存在
?
1
,
?
2
?[0,4]
使得
|f(
?
1
)?g(
?
2
)|?1
成立,求
a
的取值范围.
题型二
使用情景
双任意性问题
不等式的两个自变量属性都是任意的.
“任意的
x
2
?(c,d)
,使得
f(x
1
)?g(x
2
)<
br>成立” 称为不
..
x
1
?(a,b)
,对任意
..
等式的双任意性问题. 任的
x
2
?(c,d)
,使得
.<
br>意
.
x
1
?(a,b)
,对任
.
意
.
f(x
1
)?g(x
2
)
成立,即
f(x)在区间
(a,b)
任意一个值
.....
f(x)
比函数
g(x)
在区
间
(c,d)
内的任意一个函数值都要小,即
f(x
)
max
?g(x)
min
.
..
解题理论
“任意对任意的
x
2
?(c,d)
,使得
f(x
1
)?g(x
2
)
成立”,即
f(x)
..
x
1?(a,b)
,
..
在区间
一个函数值都要
(a,b)
内任意一个值
.....
f(x)
比函数
g(x)
在区间
(c,d)
内的任意
..
大,即
f(x)
min
?g(x)
max
.
4
【例2】已知函数
f
?
x
?
?lnx
.若不等式
mf
?
x
?
?a?x
对所有
m?
?
0,1
?
,
x?
?
,e
2
?
都
成立,求实数
a
的取值范围.
【解析】则
a?mlnx?x
对所有
的
m?
?
0,1
?
,
x?
?
,e
2
?
都成立,
令
H
?
x
?
?lnxgm
?x
,
m?
?
0,1
?
,
x?
?
,e
2
?
是关于
m
的一次函数,
?
1
?
e
?
?
?
1
?
e
?
?
?
1
?
e
?
?
因为
x?
?
,e2
?
,所以
?1?lnx?2
?
1
?
e
?
?
【点评】(1)存在性问
题和任意性问题都是最值关系问题,关键是是什么样的最值关系,所
以务必理解清楚,不能含糊.(2)
对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解(见
前面的知识要点),也可以这样记忆,双任意
性问题,两边的最值相反.
【反馈检测2】已知函数
(Ⅰ)讨论的单调性;
,任意,总有,求的取值范围.
,,,.
(Ⅱ)对于任意
题型三
使用情景
存在任意性
不等式的两个自变量一个属性是存在性的,一个是任意性的.
“存在的
x
2
?(c,d)
,使得
f(x
1
)?g(x
2
)成立”称为不等
..
x
1
?(a,b)
,对任意
..<
br>解题理论
式的存在任意性问题. 存的
x
2
?(c,d)
,
使得
.
在
.
x
1
?(a,b)
,对任
.<
br>意
.
f(x
1
)?g(x
2
)
成立,即f(x)
在区间
(a,b)
内至少有一个值
......
f(x
)
比函数
g(x)
5