高中数学第1章导数及其应用1

世宗即位，命以右都御史总督两广军务。广西上思州贼黄缪纠峒兵劫州县，巅讨擒之。广东新宁、 恩平贼蔡猛三等剽掠，众至数万。巅合兵三万余人击新宁诸贼，破巢二百，擒斩一万四千余人，俘贼属五千九百余 人。

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1．理解微积分基本定理的含义．

2．会用定理求定积分．

微积分基本定理

(1)F′(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之____．

(2)微积分基本定理．

如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则

?
ba
f
(
x
)d
x
＝__________.
其中F(x)叫做f(x)的一个______．由于[F(x)＋c]′＝f(x)，F(x)
＋c也 是f(x)的原函数，其中c为常数．

一般地，原函数在[a，b]上的改变量F(b)－F (a)简记作F(x).
因此，微积分基本定理可以写成形式：
______________ __________________.
|
b
a

(1)微积分基 本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时
也提供了计算定积分的一种有效方法．但当运用公式不 能直接求积分
时，需考虑用定积分的几何意义来解决．

(2)利用微积分基本定理求 定积分f(x)dx的关键是找出使
F′(x)＝f(x)的函数F(x)．通常，我们可以运用基本初 等函数的求导

公式和导数的四则运算法则从反方向求出F(x)．
?
a(3)求导运算与求原函数运算互为逆运算．
【做一做1－1】下列各式中，正确的是( )．



b

A．F′(x)dx＝F′(b)－F′( a)
?
a
B．F′(x)dx＝F′(a)－F′(b)
?
a


b
b
C．F′(x)dx＝F(b)－F(a)
?
a
D．F′(x)dx＝F(a)－F(b)
?
a

b
b

【做一做1－2】计算(2x－4)dx＝________.
?
0
5
求定积分有哪些常用技巧？

剖析：(1)对被积函数，要 先化简，再求积分．
(2)对被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可

加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积
嵿遣将出海擒之，获其二舟，贼乃遁。寻召掌南京都察院事，就改工部尚书。嘉靖六年大计京官，拾遗被劾，致仕

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世宗即位，命以右都御史总督两广军务。广西上思州贼黄 缪纠峒兵劫州县，巅讨擒之。广东新宁、恩平贼蔡猛三等剽掠，众至数万。巅合兵三万余人击新宁诸贼，破巢二百 ，擒斩一万四千余人，俘贼属五千九百余人。


分．
题型一 利用微积分基本定理求函数的定积分

【例题1】求下列定积分：


(1)(2＋x2)2dx；
?
?2


?1
(2 )dx；
?
1
4
(3)cos(x－)dx.
?
π
π
3
分析：将被积函数适当变形，确定原函数，再运用微积分基本定

理求解 ．
反思：(1)求f(x)dx一般分为两步：①求f(x)的原函数F(x)，②


计算F(b)－F(a)的值即为所求．
?
a
b
(2)求复杂函数定 积分要依据定积分的性质．
①有限个函数代数和(差)的积分，等于各个函数积分的代数和

(差)，即


?
b
a
[f1(x)±f2(x) ±…±fn(x)]dx
b
＝f1(x)dx±f2(x)dx±…±fn(x)dx.
?
a


b
??
a
bb
a
②常 数因子可提到积分符号外面，即
?
kf(x)dx＝kf(x)dx.
?
a< br>b
a
③当积分上限与下限交换时，积分值一定要反号，即f(x)dx＝－


f(x)dx.
?
a
c
b
?
a
b
④定积分对区间的可加性，若c∈[a，b]，则有


?
f(x )dx＝f(x)dx＋f(x)dx.
?
?
a
a
bb
c< br>题型二 几类特殊被积函数的定积分

【例题2】求下列定积分：
3

(1)dx；
?
?2

?
x
2
，x?0，
(2)若f(x)＝求f(x)dx；
?
?
cosx－1，x＞0,

?
1
?1
(3)dx.
?
0
π
2
分析：由于被积函数不是基本初等函数，因此需要先变换被积函

数，再求定积分．
反 思：(1)对于直接用微积分基本定理不易求解的题目，转化为用
定积分的几何意义来求解，不仅简捷可 行，而且充分体现了初等数学
与高等数学间的关系，因而充分把握定积分的几何意义，也是学好本

节内容的关键．
嵿遣将出海擒之，获其二舟，贼乃遁。寻召掌南京都察院事，就改工部尚书 。嘉靖六年大计京官，拾遗被劾，致仕

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