绵阳高中数学家教老师-18年高中数学教资面试预测
数学选修2-2导数及其应用知识点必记
1.函数的平均变化率是什么?
答:平均变化率为
f(x
2
)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
?
??
x
2
?x
1
?x
?x?x
注1:其中
?x
是自变量的改变量,可正,可负,可零。
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么?
答:函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
,则称
?lim
?x?0
?x
?x?0?x
函数
y?f(x)
在点
x
0
处可导,并把这个极限
叫做
y?f(x)
在
x
0
处的导数,记作
f
'(x
0
)
或
y
'
|
x?x
0
,即
f
'
(x
0
)
=
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
?x
?0
?x
?x?0
?x
3.平均变化率和导数的几何意义是什么?
答:函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线
的斜率。
4导数的背景是什么?
答:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些?
函数 导函数 不定积分
y?c
y'?
0
————————
x
n?1
?
xdx?
n?1
n
y?x
n
n?N
*
??
y'?nx
n?1
y?a
x
?
a?0,a?1
?
y'?alna
y'?e
x
x
a
x
?
adx?
lna
x
y?e
x
?
edx?e
xx
y?log
a
x
?
a?0,a?1,x?0
?
y'?
y?lnx
y?sinx
1
xlna
1
y'?
x
————————
1
?
x
dx?lnx
y'?cosx
y'??sinx
?
cosxdx?sinx
y?cosx
?
sinxdx??cosx
1 251 25
6、常见的导数和定积分运算公式有哪些?
答:若
f
?
x
?
,
g
?
x
?均可导(可积),则有:
和差的导数运算
?
f(x)?g(x)
?<
br>?f
'
(x)?g
'
(x)
'
?
f(x)?g(x)
?
?f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)
积的导数运算
特别地:
?
?
Cf
?<
br>x
?
?
?
'?Cf'
?
x
?
?
f(x)
?
f
'
(x)g(x)?f(x)g
'(x)
(g(x)?0)
?
g(x)
?
?
2
??
?
g(x)
?
'
'
商的导数运算
?
1
?
?g'(x)
特别地:
?
?'?
2
g
?
x
?
?
g
?
x<
br>?
?
复合函数的导数
微积分基本定理
y
x
??y
u
?
?u
x
?
?
f
?
x
?
dx?
(其中
F'
?
x
?
?f
?
x
?
)
a
b
和差的积分运算
?
b
a
[f
1(x)?f
2
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx??
f
2
(x)dx
aa
bb
特别地:
积分的区间可加性
?
b
a
kf(x)dx?k<
br>?
f(x)dx(k为常数)
a
b
?
b
a
f
(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx(其中a?c?b)
ac
cb
6.用导数求函数单调区间的步骤是什么?
答:①求函数f(x)的导数
f'(x)
②令
f'(x)
>0,解不等式,得x的范围就是递增区间.
③令
f'(x)
<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间;
注:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤是什么?
答:(1)确定函数的定义域。(2)
求函数f(x)的导数
f'(x)
(3)求方程
f'(x)
=0的根
(4) 用函数的导数为0的点,顺次将
函数的定义区间分成若干小开区间,
并列成表格,检查
f
(x)
在方
程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在
这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x
)在这个根处取得极小值;如果左
右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤是什么?
2 252 25
答:求
f(x)
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤如
下:
⑴求
f(x)
在
?
a,b
?
上的极值;
⑵将
f(x)
的各极值与
f(a),f(b)
比较,其中最大的一个
是最大值,最小的一
个是最小值。
注:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点;
9.求曲边梯形的思想和步骤是什么?
答:分割
?
近似代替
?
求和
?
取极限
(“以直代曲”的思想)
10.定积分的性质有哪些?
根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:
性质1
?
1dx?b?a
a
b
性质5 若
f(x)?0
,x?
?
a,b
?
,则
?
f(x)dx?0
a
b
①推广:
?
[f
1
(x)?f
2
(x)?
L
?f
m
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx?
L
?
?
f
m
(x)
aaaa
bbbb
②推广:
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
L<
br>?
?
f(x)dx
aac
1
c
k
bc
1
c
2
b
11定积分的取值情况有哪几种?
答:定积分的值可能取正值,也可能取负值,还
可能是0.
( l
)当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定
积分的值取正值,且等于x轴上方的图形面积;
(2)当对应的曲边梯形位于 x
轴下方时,定
积分的值取负值,且等于x轴上方图形面积的相
反数;
(3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于
位于 x
轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为
0,且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积.
12.物理中常用的微积分知识有哪些?
答:(1)位移的导数为速度,速度的导数为加速度。
(2)力的积分为功。
3 253 25
数学选修2-2推理与证明知识点必记
13.归纳推理的定义是什么?
答:从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理。
.......
归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。
....
14.归纳推理的思维过程是什么?
答:大致如图:
实验、观察
概括、推广 猜测一般性结论
15.归纳推理的特点有哪些?
答:
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的
一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证
明和实验检验,因此,它不能
作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理的猜想,可以作为
进一
步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义是什么?
答:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他
方面也相似或相同,这
样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
....
17.类比推理的思维过程是什么?
答:
观察、比较 联想、类推 推测新的结论
18.演绎推理的定义是什么?
答:演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照
严格的逻辑法则得到新
结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。
....
19.演绎推理的主要形式是什么?答:三段论
20.“三段论”可以表示为什么?
答: ①大前题:M是P ②小前提:S是M
③结论:S是
P。
其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理;②是小前提,它指
出了一个
特殊对象;③是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断。
21.什么是直接证明?它包括哪几种证明方法?
答:直接证明是从命题的条件或结论出发,
根据已知的定义、公理、定理,直接
推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
22.什么是综合法?
答:综合法就是“由因导果”,从已知条件出发,不断用必要条件代替
前面的条
件,直至推出要证的结论。
23.什么是分析法?
答:分析法就是从所要
证明的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者
一定成立的式子,可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式:要证A,只要证B,B应是A成立的充分条件.
分析法
和综合法常结合使用,不要将它们割裂开。
24什么是间接证明?
4
254 25
答:即反证法:是指从否定的结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证
实结论的
否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤是什么?
答:(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立;
(2)从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;
(3)从矛盾判定假设不正确,即所求证命题正确。
...
26常见的“结论词”与“反义词”有哪些?
原结论词 反义词 原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
一个也没有
至少有两个
至多有n-1个
至少有n+1个
对任意x不成立
p或q
p且q
反义词
存在x使成立
对所有的x都成立
存在x使不成立
?p
且
?q
?p
或
?q
27.反证法的思维方法是什么?答:正难则反
....
28.如何归缪矛盾?
答:(1)与已知条件矛盾;(2)与已有公理、定理、定义矛盾;
(3)自相矛
................
盾.
29.数学归纳法(只能证明与正整数有关的数学命题)的步骤是什么?
...
?<
br>答:(1)证明:当n取第一个值
....
n
0
?
n
0
?N
?
时命题成立;
(2)假设当n=k
(k∈N
*
,且k≥n
0
)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
.....
由(1),(2)可知,命题对于从n
0
开始的所有正整数n都正
确
注:常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
数学选修2-2数系的扩充和复数的概念知识点必记
30.复数的概念是什么?
答:形如a+bi的数叫做复数,其中i叫虚数单位,
a
叫实部,
b
叫虚部,数集
....
C?
?
a?bi|a,b?R
?
叫
做复数集。
规定:
a?bi?c?di?
a=c且,强调:两复数不能比较大小,只
有相等或不相
....
b=d
...
等。
?
实数 (b?
0)
?
31.数集的关系有哪些?答:
复数Z
?
?
?
一般虚数(a?0)
虚数 (b?0)
?
?
?
?
纯虚数(a?0)
?
32.复数的几何意义是什么?答:复数与平面内的点或有序实数对一一
对应。
33.什么是复平面?
答:根据复数相等的定义,任何一个复数
z?a?b
i
,都可以由一个有序实数对
(a,b)
唯一确定。由于有序实数对
(a,b
)
与平面直角坐标系中的点一一对应,因此
5 255 25
复
数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标
系来表示复数的平面叫做复
平面,
x
轴叫做实轴,
y
轴叫做虚轴。实轴上的点都
表示实数,除了
原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。
34.如何求复数的模(绝对值)?
答:与复数
z
对应的向量
OZ
的模
r
叫做复数
z?a?bi
的模(也叫绝对值)记作
z或a?bi
。由模的定义可知:
z?a?bi?a
2
?b
2
35.复数的加、减法运算及几何意义是什么?
答:①
复数的加、减法法则:
z
1
?a?bi与z
2
?c?di
,
则
z
1
?z
2
?a?c?(b?d)i
。
注:复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。
..
②复数的乘法法则:
(a?bi)(c?di)?
?
ac?bd
?
?
?
ad?bc
?
i
。
③复数的除法法则:
a?bi(a?bi)(c
?di)ac?bdbc?ad
???i
c?di(c?di)(c?di)c2
?d
2
c
2
?d
2
其中
c?di<
br>叫做实数化因子
36.什么是共轭复数?
答:两复数
a?bi与a?bi<
br>互为共轭复数,当
b?0
时,它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律
(1)z?z;
2
(2)z?z?2a,z?z?2bi;
2(3)z?z?z?z?a
2
?b
2
;(4)z?z;(5)z?z?z
?R
(6)i
4n?1
?i,i
2
4n?2
??
1,i
4n?3
??i,i
4n?4
?1;
2
(
7)
?
1?i
?
1?i1?i
?
1?i
?
??i;(8)?i,??i,
??
??i
1?i1?i
?
2
?
?1?3i
3n?1
2
?
?
,
?<
br>3n?2
?
?
,
?
3n?3
?1
是1的立
方虚根,则
1?
?
?
?
?0
,
?
2
(9)
设
?
?
一、题型一:导数在切线方程中的运用
★1.曲线
y?x
在P点处的切线斜率为k,若k=3,则P点为( )
A.(-2,-8) B.(-1,-1)或(1,1)
3
1
1
C.(2,8)
D.(-
2
,-
8
)
★2.曲线
y?
(
)
6 256 25
1
3
x?x
2
?5
,
过其上横坐标为1的点作曲线的切线,则切线的倾斜角为
3
?
??3
?
A.
6
B.
4
C.
3
D.
4
二、题型二:导数在单调性中的运用
32
f(x)?x?3x?1
是减函数的区间为( )
★1.(05广东卷)函数
A.
(2,??)
B.
(??,2)
C.
(??,0)
D.
(0,2)
32
f(x)?2x?6x?7
,下列说法不正确的是( )
★2.关于函数
A.在区间(
??
,0)内,
f(x)
为增函数
B.在区间(0,2)内,
f(x)
为减函数
?(2,??)
内,
f(x)
C.在区间(2,
??
)内,
f(x)
为增函数
D.在区间(
??
,0)
为增函数
?
★★3.(05江西)已知函
数
y?xf(x)
的图象如右图所示(其中
f'(x)
是函数
f(x
)
的导函数),
下面四个图象中
y?f(x)
的图象大致是( )
y
1
x
1
2
y
-2
-1
y
2
y
x
4
2
1
-2
-1
O
4
2
1
2
y
x
-2
-1
O
-1
O
2
1
1
2
x
-2
-1
O
-2
1
1
B
C
A
★★★4、(2010年山东21)(本小题满分12分)
已知函数
f(x)?1nx?ax?
(Ⅰ)当
a
-2
-2
-2
-1
O
2
x
D
1?a
?1(a?R).
x
??1时,求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)当
a≤
1
时,讨论
f(x)
的单调性.
2
三、导数在最值、极值中的运用:
32
f(x)?x?ax?3x?9<
br>,已知
f(x)
在
x??3
时取得极值,则★1.(05全国卷Ⅰ)函
数
a
=( )
A.2
3
B. 3
2
C. 4 D.5
★2.函数
y?2x?3x?12x?5
在[0,3]上的最大值与最小值分别是(
)
A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , -
15 D.5 , - 16
★★★3.(根据04年天津卷文21改编)已知函数
f(x)?ax
3
?cx?d(a?0)
是R上的奇函
7 257 25
数,当
x?1
时
f(x)
取得极值-2.
(1)试求a、c、d的值;(2)求
f(x)
的单调区间和极大值;
2x
?132
f(x)?xe?ax?bx
★★★4.(根据山东2008年文21改编)设函数,
已知
x??2和x?1
为
f(x)
的极值点。(1)求
a,b
的值;(2)讨论
f(x)
的单调性;
高二数学理导数测试题1
一.选择题
(1)
函数
f(x)?x
3
?3x
2
?1
是减函数的区间为 (
)
A.
(2,??)
B.
(??,2)
C.
(??,0)
D.(0,2)
(2)曲线
y?x
3
?3x
2
?1
在点(1,-1)处的切线方程为( )
A.
y?3x?4
B。
y??3x?2
C。
y??4x?3
D。
y?4x?5
a
2
(3) 函
数
y
=
a
x
+1的图象与直线
y
=
x相切,则
a
=
( )
111
A. B. C.
D.1
842
(4) 函数
f(x)?x
3
?ax
2<
br>?3x?9,
已知
f(x)在x??3
时取得极值,则
a
=
( )
A.2 B.3 D.5
?
(5) 在函数
y?x
3
?8x
的图象上,其切线的倾斜
角小于的点中,坐标为整数的
4
点的个数是 ( )
A.3
B.2 C.1 D.0
(6)函数
f(x)?ax
3
?x?1
有极值的充要条件是 (
)
A.
a?0
B.
a?0
C.
a?0
D.
a?0
(7)函数
f(x)?3x?4x
3
(
x?
?
0,1
?
的最大值是( )
A.
1
B. -1 C.0 D.1
2
C.4
(8)函数
f(x)
=
x
(
x
-1)(<
br>x
-2)…(
x
-100)在
x
=0处的导数值为( )
A、0 B、100
2
C、200 D、100!
8 258
25
1
3
?
4
?
x?x
在点?
1,
?
处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
3
?
3
?
1212
A. B. C. D.
9933
二.填空题
3
(1).垂直于直线2x+6y+1=0且与曲线y
= x+3x-5相切的直线方程
是 。
3
1
2
(2).设f ( x ) =
x-x-2x+5,当
x?[?1,2]
时,f ( x ) <
m恒成立,
2
则实数m的取值范围为 .
(9)曲线
y?
(3).函数y = f ( x ) =
x+ax+bx+a,在x = 1时,有极值10,则a = ,b
= 。
3
(4).已知函数
f(x)?4x
3
?bx
2
?
ax?5
在
x?,x??1
处有极值,那么
a?
;
2
b?
(5).已知函数
f(x)?x
3?ax
在R上有两个极值点,则实数
a
的取值范围是
(6).已知函数
f(x)?x
3
?3ax
2
?3(a?2)x?1
既有极大值又有极小值,则实数
a
的取值范围是
(7).若函数
f(x)?x
3
?x
2
?mx?1
是R是的单调函数,则实数
m
的取值范围
是
322
(8).
设点
P
是曲线
y?x
3
?3x?
上的任意一点,
P
点处切线倾斜角为
?
,则
角
?
的取值范围是 。
三.解答题
1.已知函数
f(x)?x
3
?bx
2
?ax?d
的图象过点P(0,2),且在点M
(?1,f(?1))
处
的
切线方程为
6x?y?7?0
.(Ⅰ)求函数
y?f(x)
的解析式;(Ⅱ)
求函数
y?f(x)
的单调区间.
2.已知函数<
br>f(x)?ax
3
?bx
2
?3x
在
x??1
处取得极值.
(Ⅰ)讨论
f(1)
和
f(?1)
是函数
f(x)
的极大值还是极小值;
(Ⅱ)过点
A(0,16)
作曲线
y?f(x)
的切线,求此切线方程.
3
3.已知函数
f(x)?ax
3
?(a?2)x
2
?6x?3
22
3
(1)当
a?2
时,求函数
f(x)
极小值;(2
)试讨论曲线
y?f(x)
与
x
轴公共点
的个数。
9
259 25
4.已知
x?1
是函数
f(x)?mx
3
?3(m?1)x
2
?nx?1
的一个极值点,
其中
m,n?R,m?0
,
(I)求
m
与
n
的关系式;
(II)求
f(x)
的单调区间;
(III)当
x?
?
?
1,1
?
时,函数
y?f(x)
的图象上任意一点的切线斜率恒大于3
m
,
求
m
的取值范围.
5.设函数
f(x)?2x
3
?3ax
2
?3bx?8c
在
x?1<
br>及
x?2
时取得极值.
(Ⅰ)求
a、b
的值;
(
Ⅱ)若对于任意的
x?[0,3]
,都有
f(x)?c
2
成立,求<
br>c
的取值范围.
6.已知
f(x)?ax
3<
br>?bx
2
?cx
在区间[0,1]上是增函数,在区间
(??,0),
(1,??)
上是
13
减函数,又
f
?
()?.
22
(Ⅰ)求
f(x)
的解析式;(Ⅱ)若在区间
[0,m]
(
m
>0)上恒有
f(x)
≤
x
成立,求
m的取
值范围.
7.设函数
f(x)?ax
3?bx?c
(a?0)
为奇函数,其图象在点
(1,f(1))
处的切线
与直
线
x?6y?7?0
垂直,导函数
f'(x)
的最小值为
?12
.
(Ⅰ)求
a
,
b
,
c
的值;
(Ⅱ)求函数
f(x)
的单调递增区间,并求函数
f(x)
在
[?1,3]
上的最大值和最小
值.
10
2510 25
高二数学理导数测试题2
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的,请将所选答案写在答题卡上)
1?x
2
1.设
y?
,则
y'?
( ). <
br>sinx
?2xsinx?(1?x
2
)cosx?2xsinx?(1?x<
br>2
)cosx
A. B.
22
sin
xsinx
?2xsinx?(1?x
2
)?2xsinx?(1?x
2)
C. D.
sinxsinx
2.设
f(x)?ln
A.
x
2
?1
,则
f'(
2)?
( ).
4213
B. C.
D.
5555
2x?3f(x)
3.已知
f(3)?2,f'(3)??2
,则
lim
的值为( ).
x?3
x?3
A.
?4
B.
0
C.
8
D.不存在
4.曲线
y?x
在点
(2,8)
处的切线方程为( ).
A.
y?6x?12
B.
y?12x?16
C.
y?8x?10
D.
y?2x?32
3
(x
2
,0)
,5.已知
函数
f(x)?ax?bx?cx?d
的图象与
x
轴有三个不同交点
(0,0),(x
1
,0)
,
且
f(x)
在
x?1
,
x?2
时取得极值,则
x
1
?x
2
的值
为( )
A.4 B.5 C.6
D.不确定
6.在
R
上的可导函数
f(x)?
取得极小值,则32
1
3
1
2
x?ax?2bx?c
,当
x?
(0,1)
取得极大值,当
x?(1,2)
32
b?2
的取值范围是
( ).
a?1
111111
A.
(,1)
B.
(,1)
C.
(?,)
D.
(?,)
422422
1
x
?
e(sinx
?cosx)
在区间
[0,]
的值域为( ).
22
11
2511 25
7.函数
f(x)?
1111
A.
[,e
2
]
B.
(,e
2
)
C.
[1,e
2
]
D.
(1,e
2
)
2222
8.积分
?
?
?
?
?
a
?a
a
2
?x
2dx?
( ).
B.A.
1
?
a
2
4
1
?
a
2
2
C.
?
a
2
D.
2
?
a
2
x
2
y
2
9.由双曲线
2
?
2
?1
,直线
y?b,y??b
围成的图形绕
y
轴旋转一周所得旋转体的体
ab
积为( )
A.
8
?
ab
2
3
2
B.
8
2
?
ab
3
C.
4
2
4
?
ab
D.
?
ab
2
33
10.由抛物线
y?2x与直线
y?x?4
所围成的图形的面积是( ).
A.
18
B.
38
3
C.
16
3
D.
16
11.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为
V
,则其表面积最小时,底面边长为(
).
A.
3
V
B.
3
2V
C.
3
4V
D.
2
3
V
12.某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣,纸花瓣的边界
由六段全等的正弦曲线弧
y?sinx(0?x?
?
)
组成,其中
曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点,则这个
纸花瓣的面积为( ).
A.
6?33
?
B.
12?
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(每小题4分,共16分。请将答案填在答题卷相应空格上。)
33
13
.曲线
y?x
在点
(a,a)(a?0)
处的切线与
x
轴、
直线
x?a
所围成的三角形的面积为
2
33
2
33
2
?
C.
6?
?
2
D.
6?
?
22
1
,则
a?
_________ 。
6
14
.一点沿直线运动,如果由始点起经过
t
秒后的位移是
S?
为零的时刻是__
_____________。
1
4
3
3
t?t?2t
2
,那么速度
45
12 2512 25
15.
lim(
n??
12n
????)?
_______________. <
br>n
2
?1n
2
?2
2
n
2
?n2
16.
?
4
0
(|x?1|?|x?3|)dx?
____________。
三、解答题:(本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
(17)(本小题满分10分)
已知向量
a?(x
2
,x?1),
b?(1?x,t)
,若函数
f(x)?a?b
在区间
(?1,1)
上是增函数,
求
t
的取值范围。
(18)(本小题满分12分)
已知函数
f(x)?ax?bx?3x
在
x??1
处取得极值. <
br>(1)讨论
f(1)
和
f(?1)
是函数
f(x)
的
极大值还是极小值;
(2)过点
A(0,16)
作曲线
y?f(x)
的切线,求此切线方程.
(19)(本小题满分14分)
设
0?x?a
,求函数
f(x)?3x?8x?6x?24x
的最大值和最
小值。
(20)(本小题满分12分)
用半径为
R
的圆形铁皮剪出一个圆心角为
?
的扇形,制成一个圆锥形容器,扇形的圆
心
角
?
多大时,容器的容积最大?
432
32
13 2513 25
(21)
(本小题满分12分)
直线
y?kx
分抛物线
y?x?x
与
x
轴所围成图形为面积相等的两个部分,求
k
的值.
(22) (本小题满分14分)
已知函数
f(x)?lnx,g(x)
?
2
1
2
ax?bx,a?0
。
2
(1)若
b?2
,且函数
h(x)?f(x)?g(x)
存在单调递减区间,求
a
的取值范围。
(2)设函数
f(x)
的图象
C
1
与函数
g(x)
的图象
C
2
交于点
P,Q
,过线段
PQ
的中点作
x
轴的垂线分别交
C
1
、<
br>C
2
于点
M,N
。证明:
C
1
在点
M
处的切线与
C
2
在点
N
处的
切线不平行。
高二数学理导数测试题3
一、选择题(本大题共有10小题,每小题5,共50分)
1.
f(x)=
x
3
,
f'(x
0
)
=6,则
x
0
= (
)
(
A
)
2
(
B
)
-
2
(
C
)
?
2
(
D
) ±1
2.若函数f(x)=2x
2
+1,图象上P(1,
3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy), 则
( )
A 4 B
4Δx C 4+2Δx D 2Δx
3.若
f
?
?
x
0
?
?2,则lim
f
?
x
0
?k
?
?f
?
x
0
?
的值
为( )
2k
?y
=
?x
k?0
A.-2
B. 2 C.-1 D. 1
4、曲线y=x
3
+x-2在点P0
处的切线平行于直线y=4x,则点P
0
的坐标是( )
A.(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或(1,0)
D.(-1,-4)
14 2514 25
5.函数y=2x-3x-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是(
)
A .5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15
D.5 , -16
6.设y=x-lnx,则此函数在区间(0,1)内为( )
A.单调递增, B、有增有减 C、单调递减, D、不确定
7.
已知f(x)=
3
x
·sinx,则f’(1)=( )
A
.
32
111
+cos1 B. sin1+cos1 C.
sin1-cos1
333
1+cos1
8.
若函数f(x)在区间(a ,b)内函数的导数为正,且f(b)≤0,则函数f(x)
在(a,
b)内有( )A f(x) 〉0 B f(x)〈 0 C f(x)
= 0 D
无法确定
9.
抛物线
y
=(1-2x)
2
在点
x
=
1
0.函数
y?ln
?
2x
2
?1
?
的导数是(
)
A.
C.
3
处的切线方程为( )
2
A. y
=0
B
.8
x
-
y
-8=0
C.
x
=1
D .
y
=0或者8
x
-
y
-8=0
4x1
B.
2x
2
?12x
2
?1
?
4x4x
D.
2x
2
?1ln102x
2
?1log
2
e
???
二、填空题(每小题5分,共20分)
11.若f(x)=x
3<
br>+3ax
2
+3(a+2)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是
___
______
3
12.若函数
y?x
3
?x
2
?
a
在[-1,1]上有最大值3,则该函数在[-1,1]上的
2
最小值
是______________
13.函数y=(1-sinx)
2
的导
数是
y
?
?
________________
14.设有长为a
,宽为b的矩形,其底边在半径为R的半圆的直径所在的直线
上,另两个顶点正好在半圆的圆周上,则此
矩形的周长最大时,
a
=_______________
b
15
2515 25
三、解答题:本大题6小题,共80分,解答写出文字说明、证明过
程或演算
步骤)。
3
15.(本题满分12分)设f(x)=x
3
+,求函数f(x)的单调区间及其极值;
x
16. (本题满分12分)求证:若x>0,则ln(1+x)>
17. (本题满分14分)已知函数f(x)=4x
3
+ax
2
+bx+5在x=-1与x=
x
;
1?x
3
处有极值。
2
(1)写出函数的解析式;
(2)求出函数的单调区间;
(3)求f(x)在[-1,2]上的最值。
18.
(本题满分14分) 做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面
积的价格为20元,侧面
的材料每单位面积价格为15元,问锅炉的底面直径与
高的比为多少时,造价最低?
19. (本题满分14分)已知函数f(x)=ax
4+bx
3
+cx
2
+dx+e是偶函数,它的图象
过点A(0,
-1),且在x=1处的切线方程是2x+y-2=0,求函数f(x)的表达式。
20. (本题满分14分) 如图,由y=0,x=8,y=x
2围成的曲边三角形,在曲线弧
OB上求一点M,使得过M所作的y=x
2
的切线P
Q与OA,AB围成的三角形PQA面
积最大。
B
Q
M
16 2516 25
o
P
A
高二数学理导数测试题1
参考解答
一.BBDDD
CDDA
二.1、y=3x-5 2、m>7 3、4 -11
4、
?18,?3
5、
(??,0)
6、
?<
br>2
?
?
1
[0,]?[,
?
)
7、
8、
,??)
(??,?1)?(2,??)
?
23
3
?<
br>三.1.解:(Ⅰ)由
f(x)
的图象经过P(0,2),知d=2,所以
f(
x)?x
3
?bx
2
?cx?2,f
?
(x)?3x
2
?2bx?c.
由在
M(?1,f(?1))
处的切线方程是
6
x?y?7?0
知
?6?f(?1)?7?0,即f(?1)?1,f
?
(?
1)?6.
?
3?2b?c?6,
?
2b?c?3,
?<
br>?
即
?
解得b?c??3.
故所求的解析式是
?
?
1?b?c?2?1.
?
b?c?0,
f(x)?x
3
?3x
2
?3x?2.
(2)
f
?
(x)?3x
2<
br>?6x?3.令3x
2
?6x?3?0,即x
2
?2x?1?0.解得
当
x
1
?1?2,x
2
?1?2.
当
x?1?2,或x?1?2时,f
?
(x)?0;
1?2?x?1?2时,f
?
(x)?0.
故
f(x)?x
3
?3x
2
?3x?2在(??,1?2)
内是增函数,
在
(1?2,1?2)
内是减
函数,在
(1?2,??)
内是增函数.
2.(Ⅰ)解:
f
?(x)?3ax
2
?2bx?3
,依题意,
f
?
(1)
?f
?
(?1)?0
,即
?
3a?2b?3?0,
解得
a?1,b?0
.
?
?
3a?2b?3?0.
∴
f(x)?x
3
?3x,f
?
(x)?3x
2
?3?3(x?1)(x?1)
.
令
f
?
(x)?0
,得
x??1,x?1
. 若
x?(??,?1)?(1,??)
,则
f
?
(x)?0,
故
f(x)
在
(??,?1)
上是增函数,
f(x
)
在
(1,??)
上是增函数.
若
x?(?1,1)
,则
f
?
(x)?0
,故
f(x)
在
(?1,1)上是减函数.
所以,
f(?1)?2
是极大值;
f(1)??2
是极小值. (Ⅱ)解:曲线方程为
y?x
3
?3x
,点
A(0,16)不在曲线上.
3
?3x
0
. 设切点为
M(x
0,y
0
)
,则点M的坐标满足
y
0
?x
022
?1)
,故切线的方程为
y?y
0
?3(x
0?1)(x?x
0
)
因
f
?
(x
0
)?3(x
0
32
?3x
0
)?3(x
0
?1)(
0?x
0
)
注意到点A(0,16)在切线上,有
16?(x
0<
br>3
??8
,解得
x
0
??2
. 化简得
x<
br>0
所以,切点为
M(?2,?2)
,切线方程为
9x?y?16?0<
br>.
17 2517 25
2a
3.解:(1)
f
'
(x)?3ax
2
?3(a?2)x?6?3a(x?)(x?1),<
br>f(x)
极小值为
f(1)??
a2
(2)①若
a
?0
,则
f(x)??3(x?1)
2
,
?f(x)
的图像
与
x
轴只有一个交点;
②若
a?0
,
?
f(x
)
极大值为
f(1)??
?f(x)
的图像与
x
轴有三个交
点;
a2
?0
,
Qf(x)
的极小值为
f()?0
,
2a
③若
0?a?2
,
f(x)
的图像与
x
轴只有一个交点;
④若
a?2
,则
f
'
(x)?6(x
?1)
2
?0
,
?f(x)
的图像与
x
轴只有一个
交点;
2133
⑤若
a?2
,由(1)知
f(x)
的极大
值为
f()??4(?)
2
??0
,
?f(x)
的图
aa44
像与
x
轴只有一个交点;
综上知,若
a?0,f(x)
的图像与
x
轴只有一个交点;若
a?0
,
f(x)
的图像与
x
轴
有三个交点。
4.解(I)
f
?
(
x)?3mx
2
?6(m?1)x?n
因为
x?1
是函数
f
(x)
的一个极值点,
所以
f
?
(1)?0
,即
3m?6(m?1)?n?0
,所以
n?3m?6
?
?
2
?
?
(II)由(I)知,
f
?
(x)?3mx
2
?6(m?1)x?3m?6
=
3m(x?1)
?
x?
?<
br>1?
?
?
?
?
m
?
?
当
m?0
时,有
1?1?
x
f
?
(x)
f(x)
2
,当
x
变化时,
f(x)
与
f
?
(x)
的变化如下表:
m
2
??
??,1?
??
m
??
1?
2
m
2
??
1?,1
?
?
m
??
1
0
极大值
?
1,??
?
?0
单调递减
?0
调调递减
0
极小值
?0
单调递增
2
??
故有上表知,当
m?0
时,
f(
x)
在
?
??,1?
?
单调递减,
m
??
在
(1?
2
,1)
单调递增,在
(1,??)
上单调递减
.
m
(III)由已知得
f
?
(x)?3m
,即
mx
2
?2(m?1)x?2?0
18 2518 25
2222
(m?1)x??0
即
x
2
?(m?1)x? ?0,x?
?
?1,1
?
①
mmmm
12
设g(x)?x
2
?2(1?)x?
,其函数开口向上,由题意知①式恒成立, < br>mm
又
m?0
所以
x
2
?
22
?< br>?
g(?1)?0
?
1?2???0
所以
?
解之得
?
?
mm
g(1)?0
?
?
?
?1?0< br>4
??m
又
m?0
3
4
所以
??m?0
3
?
4
?
即
m
的取值范围为
?
?,0
?
?
3
?
5.解:(Ⅰ)
f
?
(x)?6x
2
?6a x?3b
,
因为函数
f(x)
在
x?1
及
x?2
取得极值,则有
f
?
(1)?0
,
f
?
( 2)?0
.
?
6?6a?3b?0,
即
?
?< br>24?12a?3b?0
.
解得
a??3
,
b?4
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
f(x)?2x
3
?9x
2
?12x ?8c
,
f
?
(x)?6x
2
?18x?12?6(x? 1)(x?2)
.
当
x?(01),
时,
f
?
(x)?0
;
当
x?(1,2)
时,
f
?
(x)?0
;
当
x?(2,3)
时,
f
?
(x)?0
.
所以,当
x?1
时,
f(x)
取得极大值
f(1)?5?8c,又
f(0)?8c
,
f(3)?9?8c
.
则当
x ?
?
0,3
?
时,
f(x)
的最大值为
f(3)? 9?8c
.
因为对于任意的
x?
?
0,3
?
,有
f(x)?c
2
恒成立,
所以
9?8c?c
2
,
解得
c??1
或
c?9
,
因此
c
的取值范围为
(??,?1)U(9,??)
.
6 .解:(Ⅰ)
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c
,由已知
f
?
(0)?f
?
(1)?0
,
?
c? 0,
?
c?0,
?
即
?
解得
?
3
b??a
.
3a?2b?c?0,
?
?
?2
?1
?
3a3a3
?f
?
(x)?3ax
2
?3 ax
,
?f
?
??
???
,
?a??2
,
?f(x)??2x
3
?3x
2
.
22
?
2
?
4
(Ⅱ)令
f(x)≤x
,即
?2x
3?3x
2
?x≤0
,
1
?x(2x?1)(x?1)≥0,
?0≤x≤
或
x≥1
.
2
1
又
f (x)≤x
在区间
?
0,m
?
上恒成立,
?0?m≤
2
19 2519 25
7.(Ⅰ)∵
f(x)
为奇函数,
∴
f(?x)??f(x)
即
?ax
3
?bx?c??ax
3
?bx?c
∴
c?0
∵
f'(x)?3ax
2
?b
的最小值为
?12
∴
b??12
1
又直线
x?6y?7?0
的斜率为
6
因此,
f'(1)?3a?b??6
∴
a?2
,
b??12
,
c?0
.
(Ⅱ)
f(x)?2x
3
?12x
.
f'(x)?6x
2
?12?6(x?2)(x?2)
,列表如下:
x
(??,?2)
?2
(?2,2)
2
(2,??)
?
f'(x)
?
?
0
0
f(x)
极大 极小
Z
]
Z
所以函数
f(x)
的单调增区间是
(??,?2)
和
(2,??)
∵
f(?1)?10,
f(2)??82
,
f(3)?18
∴
f(x)<
br>在
[?1,3]
上的最大值是
f(3)?18
,最小值是
f(
2)??82
高二数学理导数测试题2
一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分。)
1
B
2
C
3
A
4
B
5
B
6
C
7
A
8
B
9
B
10
A
11
C
12
B
二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
(13)、
?1
(14)、
t?0
(15)、
1
ln2
(16)、
10
2
三、解答题:(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
(17)(本小题满分10分)
解:由题意知:
f(x)?x(1?x)?t(x?1)??x?x?tx?t
,则
f'(x)??3x?2x?t
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (3分)
2
232
20 2520 25
∵
f(x)
在区间
(?1,1)
上是
增函数,∴
f'(x)?0
即
t?3x?2x
在区间
(?1,1)
上是恒成立,
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (5分)
2
设
g(x)?3x?2x
,则
g(x)?3(x?)?
2
2
1
3
1
,于是有
3
t?g(x)
max
?g(?1)?5
∴当
t?5
时,
f(x)
在区间
(?1,1)
上是增函数
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8分)
又当
t?5
时,
f'
(x)??3x?2x?5??3(x?)?
2
1
3
2
14
,
3
在
(?1,1)
上,有
f'(x)?0
,即
t?5
时,
f(x)
在区间
(?1,1)
上是增函数
当<
br>t?5
时,显然
f(x)
在区间
(?1,1)
上不是增函数
∴
t?5
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (10分)
(18)(本小题满分12分)
解:(1)
f'(x)?3ax?2bx?3
,依题意,
f
'(1)?f'(?1)?0
,即
?
3
2
?
3a?2b?3
?0,
解得
a?1,b?0
┅┅ (3分)
?
3a?2b?3?0.
2
∴
f'(x)?x?3x<
br>,∴
f'(x)?3x?3?3(x?1)(x?1)
令
f'(x)?0
,得
x??1,x?1
若
x?(??,?1)?(1,??)
,则
f'(x)?0
故
f(x)
在
(??,?1)和(1,??)
上是增函数;
若
x?(?1,1)
,则
f'(x)?0
故
f(x)
在
(?1,1)
上是减函数;
所以
f(?1)?2
是极大值,
f(1)??2
是极小值。
┅┅┅┅┅┅┅┅ (6分)
(2)曲线方程为
y?x?3x
,点
A(0,16)
不在曲线上。
设切点为
M(x
0
,y
0
)
,则
y
0?x
0
?3x
0
由
f'(x
0
)?3(x
0
?1)
知,切线方程为
2
3
3
21 2521 25
y?y
0
?3(x
0
?1)(x?x
0
)
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (9分)
又点
A(0,16)
在切线上,
有
16?(x
0
?3x
0
)?3(x
0
?1)(0
?x
0
)
化简得
x
0
??8
,解得
x
0
??2
所以切点为
M(?2,?2)
,切线方程为
9x?y?16?0
┅┅┅┅┅┅ (12分)
(19)(本小题满分14分)
解:
f'(x)?12x?24x?12x?24?12(x?1)(x?1)(x?2)
令
f'(x)?0
,得:
x
1
??1,x<
br>2
?1,x
3
?2
┅┅┅┅┅┅┅ (2分)
当
x
变化时,
f'(x),f(x)
的变化情况如下表:
32
2
32
3
x
(0,1)
?
1
0
(1,2)
-
2
0
(2,??)
?
f'(x)
f(x)
单调递增 极大值 单调递减 极小值
单调递增
∴极大值为
f(1)?13
,极小值为
f(2)?8
又
f(0)?0
,故最小值为0。 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
(6分)
最大值与
a
有关:
(1)当
a?(0,1)时,
f(x)
在
(0,a)
上单调递增,故最大值为:
f(a)?3a?8a?6a?24a
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8分)
(2)由
f(x)?13
,即:
3x?8x?6x?24x?13?0
,得:
22
(x?1)(3x?2x?13)?0
,∴
x?1<
br>或
x?
432
432
1?210
3
又
x?0
,∴
x?1
或
x?
1?210
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (10分)
3
∴当
a?[1
,<
br>1?210
]
时,函数
f(x)
的最大值为:
f(1)?13
┅┅ (12分)
3
1?210
,??)
时,函数
f(x)
的最大值为:
3
22 2522 25
(3)当
a?(
f(a)?3a?8a?6a?24a
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
(14分)
(20)(本小题满分12分)
解:设圆锥的底面半径为
r
,高为
h
,体积为
V
,则
由
h?r?R
,所以
V?
222
432
1111
?
r
2
h?
?
(R
2
?h
2
)h?
?
R
2
h?
?<
br>h
3
,(0?h?R)
3333
3
1
2
R
┅┅┅┅┅┅┅ (6分)
?
R?
?
h
2
,令
V'?0
得
h?
3
3
3
R
是函数
V
的唯一极值点,且为最大值
点,从而是最大值点。
3
∴
V'?
易知:
h?
∴当
h?
3
R
时,容积最大。
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8分)
3
把
h?
36
R
代入
h
2
?r
2
?R
2
,得
r?R
33
26
?
3
由
R
?
?2
?
r
得
?
?
即圆心角
?
?
26
?
时,容器的容积最大。 ┅┅┅┅┅┅┅
(11分)
3
26
?
时,容器的容积最大。 ┅┅┅┅
(12分)
3
答:扇形圆心角
?
?
(21)
(本小题满分12分)
?
y?kx
2
解:解方程组
?
得:直线
y?kx
分抛物线
y?x?x
的交点的横坐标为
2
?
y?x?x
x?0
和
x?1?k
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
(4分)
抛物线
y?x?x
与
x
轴所围成图形为面积为
S?
2
1
2
1
31
1
2
(x?x
)dx?(x?x)|
0
?
┅┅┅┅┅ (6分)
?
0
236
1
由题设得
1?k1?k
S
?
?
(x
?x
2
)dx?
?
kxdx
00
2
23
2523 25
?
?
1?k
0
(1?k)
3
┅┅┅┅┅┅┅
(10分)
(x?x?kx)dx?
6
2
3
4
11
3
又
S?
,所以
(1?k)?
,从而得:
k?1?
┅┅┅┅┅ (12分)
2
62
(22) (本小题满分14分)
解:(1)
b?2
时,函数
h(x)?lnx?
1
2
ax?
2x
,且
2
1ax
2
?2x?1
h'(x)??ax?2??
xx
∵函数
h(x)
存在单调递减区间,∴
h'(x)?0
有解
。 ┅┅┅┅ (2分)
又∵
x?0
,∴
ax?2x?1?0
有
x?0
的解。
2
① 当
a?0
时,
y?ax?2
x?1
为开口向上的抛物线,
ax?2x?1?0
总有
2
2
x?0
的解;
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (4分)
2
② 当
a?0
时,
y?
ax?2x?1
为开口向下的抛物线,而
ax?2x?1?0
有
2
x?0
的解,则
??4a?4?0
,且方程
ax?2x?1?0
至少有一正根,此时,
?1?a?0
综上所述,
a
的取值范围为
(?1,0)?(0,??)
。
┅┅┅┅┅┅┅ (7分)
(2)设点
P(x
1
,y
1),Q(x
2
,y
2
)
,且
0?x
1
?x
2
,则
点
M,N
的横坐标为
x?
2<
br>x
1
?x
2
,
2
12
|
x
1
?x
2
?
; x
x?
2
x
1
?x
2
x
1
?
x
2
?
2
C
1
在点
M
处的切线斜率为k
1
?
C
2
在点
N
处的切线斜率为
k
2
?(ax?b)|
x?
a(x
1
?x
2
)
?b
。 ┅ (9分)
2
假设
C1
在点
M
处的切线与
C
2
在点
N
处的
切线平行,则
k
1
?k
2
,即
a(x
1
?x
2
)
2
??b
x
1
?x
2
2
24 2524 25
则
2(x
2
?x
1
)
a
22
?(
x
2
?x
1
)?b(x
2
?x
1
)
x
1
?x
2
2
?(
a
2
a
2
x
2
?bx
2
)?(x
1
?bx
1
)?y
2
?y
1
?lnx2
?lnx
1
22
x
2
?1)
x
x
1
所以
ln
2
?
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅
(11分)
2(
x
1
1?
x
2
x
1设
t?
x
2
x
,则
lnt?
2(t?1),t?1
, ①
1
1?t
令
h(t)?lnt?
2(t?1)
1?t
,t?1
,则
h'(t)?
14(t?1)<
br>2
t
?
(1?t)
2
?
t(t?1)
2
当
t?1
时,
h'(t)?0
,所以
h(t)
在
[1,??)
上单调递增。
故
h(t)?h(1)?0
,从而
lnt?
2(t?1)
1?t
这与①矛盾,假设不成立,
∴C
1
在点
M
处的切线与
C
2
在点
N<
br>处的切线不平行。 ┅┅┅┅
高二数学理导数测试题3
一、
CCBCC,CBBBA
二、11.a>2 or a<-1
12.-12
13.y=sin2x-2cosx 14. 4
三、15.增区间为(0,+
?
),(-
?
,-1)
,减区间为(-1,0),(0,1)
极大值为f(-1)=-4,
极小值为f(1)=4
16.略
17.(1)
a=-3,b=-18,f(x)=4x
3
-3x
2
-18x+5
(2)增区间为(-
?
,-1),(
3
2
,+
?
)
,减区间为(-1,
3
2
)
(3)[ f(x)]=
f(
361
max
= f(-1)=16
[f(x)]
min
2
)=-
4
18.直径与高的比为a:b
19. f(x)=-2x
4
+3x-1
20 M(
16
3
,
256
9
)
25 2525 25
14分) (