高中数学导数复习资料100道导数经典题及参考答案汇编_高中生题库网|高考真题|高考试题-「密云二中」

高中数学书写格式注意点-高中数学数列习题及答案

2020年10月7日发(作者：池宇峰)

高中数学导数经典题100题试题及参考答案汇编
1.已知函数
f(x)?x ?alnx,
其中
a
为常数,且
a??1
.
2
[e,e]
(e＝2.718 28…)上的值域；
f(x)
a ??1
(Ⅰ)当时,求在
2
(Ⅱ)若
f(x)?e?1
对任意
x?[e,e]
恒成立,求实数
a
的取值范围.
1
f(x)?alnx?,a?R.
x
2.已知函数
(I) 若曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线与直线
x?2y ?0
垂直,求a的值；
(Ⅱ)求函数
f(x)
的单调区间；
(Ⅲ)当a＝1,且
x?2
时,证明：
f(x?1)?2x?5.

322
f(x)?x?6ax?9ax
(
a?R
). 3.已知
(Ⅰ)求函数
f(x)
的单调递减区间；
(Ⅱ)当
a?0
时,若对
f(x)?
?x?
?
0,3
?
有
f(x)?4
恒成立,求实数
a
的取值范围.
4.已知函数
13
x?ax
2
?(a
2
?1)x?b(a,b?R).
3

(I)若x＝1为
f(x)
的极值点,求a的值；
(Ⅱ)若
y?f(x)
的图象在点(1,
f(1)
)处的切线方程为
x?y?3?0
,
(i)求
f(x)
在区间[－2,4]上的最大值；
?x
G(x)?[f'(x)?(m?2)x?m]e(m?R)
的单调区间 (Ⅱ)求函数
a
f(x)?lnx?.
x
5.已知函数
(I)当a＜0时,求函数
f(x)
的单调区间；
3
,
2
(Ⅱ)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是求a的值.
mx
3
f(x)??a x
2
?(1?b
2
)x,m,a,b?
3
6.已知函数R
(1)求函数
f(x)
的导函数
f
?
(x)
；
第1页，共103页

(2)当
m?1
时,若函数f(x)
是R上的增函数,求
z?a?b
的最小值；
(3)当 a?1,b?2
时,函数
f(x)
在(2,＋∞)上存在单调递增区间,求m
的取值范围.
f(x)?px?
p
?2lnx.
x
7.已知函数
(1)若
p?2
,求曲线
f(x)在点(1,f(1))
处的切线；
(2)若函数
f(x)
在其定义域内为增函数,求正实数
p
的取值范围； g(x)?
2e
,若在[1,e]
xf(x
0
)?g(x0
)
x
上至少存在一点
0
,使得成立,求实数
p
的取 (3)设函数
值范围。
1
f(x)?p(x?)?2lnx,g(x) ?x
2
.
x
8.设函数
(I)若直线
l
与函数 f(x),g(x)
的图象都相切,且与函数
f(x)
的图象相切于点
(1,0)
,求实数
p
的
值；
(Ⅱ)若
f(x)
在其定义域内为单调函数,求实数p的取值范围。
f(x )?
1
2
x?2x,g(x)?log
a
x(a?0,且a?1), 其中a为常数
2
,如果
h(x)?f(x)?g(x)
9.已知函数
在其定义域上是增函数,且
h
?
(x)
存在零点(
h
?(x)为h(x)
的导函数)。
(I)求
a
的值；
(Ⅱ)设
A(m,g(m)),B(n,g(n))(m?n)
是函数
y?g(x) 的图象上两
g
?
(x
0
)?
g(n)?g(m)(g
?
(x)为g(x)的导函数),证明:m?x
0
?n.
n ?m
点,
2
2
f(x)?xmlnx
h(x)?x?x?a
。 10.设函数,
(Ⅰ)当a＝0时,
f(x)?h(x)
在(1,＋∞)上恒成立,求实数m的取值范围；
(Ⅱ)当m＝2时,若函数
k(x)?f(x)?h(x)
在［1,3］上恰有两个不同零点,求实数 a的取值范
围；
(Ⅲ)是否存在实数m,使函数
f( x)
和函数
h(x)
在公共定义域上具有相同的单调性？若存在,求
出m的值 ,若不存在,说明理由.
2x
f(x)?(x?3x?3)?e定义域为[?2,t](t? ?2),设f(?2)?m,f(t)?n.
11.已知函数
第2页，共103页

(I)试确定t的取值范围,使得函数
f(x)在[?2,t]
上为单调函数；
(Ⅱ)求证：
n?m
；
(Ⅲ)求证：对于任意的
个数。
2
12.已知函数
f(x)?x?alnx
在
(1,2]
是增函数, g(x)?x?ax
在(0,1)为减函数.
t??2,总存在x
0
?(?2,t),满足
f
?
(x
0
)
2
2
?(t?1)
x
3
e
x
0
,并确定这样的
0
的
(1)求
f(x)
、
g(x)
的表达式；
(2)求证:当
x?0
时,方程
f(x)?g(x)?2
有唯一解；
f(x)?2bx?
1
x
2
在
x
∈
(0, 1]
内恒成立,求
b
的取值范围. (3)当
b??1
时,若
13.已知函数
f'(1)?0,且f'(x)?0在R
上恒成立.
(1)求
a,c,d
的值；
h(x)?
3
2
b1
x?bx??,解不等式f'(x)?h(x)?0;
424
(2)若
(3)是否存在实数
m
,使函数
g(x)?f'(x)?mx在区间[m,m?2] 上有最小值－5？若
存在,请求出实数m的值；若不存在,请说明理由. 32
14.已知函数
f(x)?x?ax?x?1
,
a?R
.
(Ⅰ)讨论函数
f(x)
的单调区间；
?
21
?
?
??
?，
(Ⅱ)设函数
f(x)
在区间
?
33 ?
内是减函数,求
a
的取值范围.
15.设函数
f(x)?
lnx
?lnx?ln(x?1)
1?x
.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值；
(Ⅱ)是否存在实数a,使得关于x的不等式
f(x)≥a
的解集为(0,＋
?
)？若存在,求a的取值
范围；若不存在, 试说明理由.
16.某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处,已知AB＝20km,CB ＝
10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),且A,B 与等距离的一
点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP ,设排污管道的总长为
y
km.

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D
O
P
C
A
B

(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO＝
?
(rad),将y
表示成
?
的函数关系式；
②设OP
?x
(km) ,将
y
表示成x
x
的函数关系式.
(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最
短.
17.已知函数
f(x)?
lnx?a
(a?R)
x

(Ⅰ)求
f(x)
的极值；
2
(0,e]
上有公共点,求实数a的取值范
f(x)g(x)
(Ⅱ)若函数的图象与函数＝1的图象在区间
围。
18.已知函数
f(x)?
ln(ax)
?ln(ax)?ln(x?1) x?1
,
(a?0,a?R)

(Ⅰ)求函数
f(x)
的定义域；
(Ⅱ)求函数
f(x)
的单调区间；
(Ⅲ)当
a
>0时, 若存在x使得
f(x)?ln(2a)
成立,求
a
的取值范围.
19.某种商品的成本为5元件,开始按8元件销售,销售量为50件,为了获得最大利润,商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减
少10件；而降价后,日销售量Q(件)与实际销售价x(元)满足关系：
2
39(2x?29x?107)

(5?x?7)

198?6x

x?5

(7?x?8)

(1)求总利润(利润＝销售额－成本)y(元)与销售价x(件)的函数关系式；
(2)试问：当实际销售价为多少元时,总利润最大.
x
2
?cx?1
x 2
?1
f(x)?
g(x)?
g(x)lnx
.
x?c
的图像关于原点成中心对称 ,设函数20.已知函数
Q＝
(1)求
f(x)
的单调区间;
第4页，共103页

xm
(2)已知
e?x
对任意
x?(1,??)
恒成立.求实数
m
的取值范围(其中
e
是自然对数的底数).
2
f(x)?(x?1)?blnx
,其中
b
为常数. 21.设函数
(Ⅰ)当
b?
1
2
时,判断函数
f(x)
在定义域上的单调性；
(Ⅱ)若函数
f(x)
的有极值点,求
b
的取值范围及
f(x)
的极值点；
11
?lnn?1?lnn?
??
2
n
。 (Ⅲ)若
b??1
,试利用(Ⅱ)求证：n
?
3时,恒有
n
22.已知函数
f(x)?ln(x
2
?1),g(x)?
1
?a.
2x?1

y

（1）求
g(x)
在
P(2,g(2))
处的切线方程
l;

（2）若
f(x)
的一个极值点到直线
l
的距离为1,求
a
的值；
（3）求方程
f(x)?g(x)
的根的个数.
23.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发
设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开 (栏
O
N

P

M

x
建
栅
2
f(x)?1?ax(a?0)
的一部分,栏栅与矩形区域的边界要求在一直线上),公共设施边界为曲线
交于点M、N,交曲线于点P,设
P(t,f(t))

(1)将
?OMN
(O为坐标原点)的面积
S
表示成t
的函数
S(t)
；
t?
1
2
处,
S(t)
取得最小值,求此时
a
的值及
S(t)
的最小值.
?2
x
?b
f(x)?
x?1
2?a
(2)若在
24.已知定义域为
R
的函数
(1) 求
a,b
的值；
是奇函数.
f(t
2
?2t)?f(2t
2
?k)?0 t?R
(2)若对任意的, 不等式恒成立, 求
k
的取值范围.
0 ,2
25.已知函数
f(x)
对任意实数
x
均有
f(x)? kf(x?2)
,其中常数
k
为负数,且
f(x)
在区间
? ?
上有表达式
f(x)?x(x?2)
.
(1)求
f(?1)
,
f(2.5)
的值；
?3,3?
?3,3
?
(2)写出
f(x)
在
?
上的表达式,并讨论函数
f(x)
在
?
上的单调性；
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?3,3
?
(3)求出
f(x)
在
?
上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值.
3
f(x)?x(x?a)
(
x?0
,
a?
R) 26.已知函数
求函数
f(x)
的单调区间；
1,8
求函数
f(x)
在
??
上的最大值和最小值.
2
????
??
fx?sinx?cosx?2cosx
,
fx
x?0
27.已知函数为定义在R上的奇函数,且当时,
2
求
x?0
时
f
?
x
?
的表达式；
若关于
x
的方程
f
?
x
?
?a?o
有解,求实数
a
的范围。
a,b?N
?
28.已知函数
y?f(x),x?N?
,满足：①对任意,都有
af(a)?bf(b)?af(b)?bf(a)
；
②对任意
n
∈
N
*
都有
f[f(n)]?3n
.
N
(Ⅰ)试证明：
f(x)
为
?
上的单调增函数；
(Ⅱ)求
f(1)?f(6)?f(28)
；
n1111
??? L
??.
n
a?f(3),n?N
?
a
n
4
(Ⅲ)令
n
,试证明：
4n?2a
1
a
232
f(x)?ln(ax?1)?x?x?ax
. 29.已知函数
(Ⅰ)若 x?
2
3
为
y?f(x)
的极值点,求实数
a
的值；
(Ⅱ)若
y?f(x)
在
[1,??)
上为增函数,求实数
a
的取值范围；
f(1?x)?(1?x)
3
?
bx
有实根,求实数
b
的取值范围. (Ⅲ)若
a??1
时,方程
30.已知函数
y?f(x),x?R
满足
f(x?1)?af(x)
,
a
是不为
0
的实常数。
(1)若当
0?x?1
时,
f(x)?x(1?x)
,求函数
y?f(x),x?
?
0, 1
?
的值域；
(2)在(1)的条件下,求函数
y?f(x),x?
?
n,n?1
?
,n?N
的解析式；
x
f(x)?3 0?x?1
(3)若当时,,试研究函数
y?f(x)
在区间
?
0,??
?
上是否可能是单调函数？
若可能,求出
a
的取值范围；若不可能,请说明理由。
31.已知函数f
?
x
?
??x
3
?ax
2
?bx? c
在
?
??,0
?
上是减函数,在
?
0,1
?
上是增函数,函数
f
?
x
?
在
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R
上有三个零点,且1是其中一个零点.
(1)求
b
的值；
(2)求
f
?
2
?
的取值范围；
(3)试探究直线
y?x?1
与函数
y?f
?
x
?
的图像交点个数的情况,并说明理由.
32
f(x)?x?ax?bx(a,b
为常数)在
x
＝－1处取得极值,且
f(x)
的图像在
R
32.定义在上的函
P
?
1,f
?
1
?
?
数处的切线平行与直线
y?8x
.
(1)求函数
f
?
x
?
的解析式及极值；
(2) 设
k?0
,求不等式
f
?
x
?
?kx
的解集；
112
.
27
(3)对任意
?
,
?
?R,求证：f
?
sin
?
?
?f
?
cos?
?
?
x
33.已知函数
f(x)?ln(1?e)?x(x? R)
有下列性质：“若
f(b)?f(a)
?f
?
(x
0
)
x?[a,b],则存在x
0
?(a,b)
b?a
,使得 ”成立。
(1)利用这个性质证明
x
0
唯一；
(2 )设A、B、C是函数
f(x)
图象上三个不同的点,试判断△ABC的形状,并说明理由。
34.已知函数
f(x)?ax(a?R),g(x)?lnx?1.

h( x)?g(x)?1?
x
f(x)?2x
2
存在单调递减区间,求
a
的取值范围； (1)若函数
(2)当
a
>0时,试讨论这两个函数图象的交点个数.
35.设函数f(x)的定义域D关于原点对称,0∈D,且存在常数a>0,使f(a)＝1,又
f(x
1
?x
2
)?
f(x
1
)?f(x
2
)
1?f( x
1
)f(x
2
)
,
(1)写出f(x)的一个函数解析式,并说明其符合题设条件；
(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性；
(3)若存在正常数T,使得等式f(x)＝f( x＋T)或者f(x)＝f(x－T)对于x∈D都成立,则都称
f(x)是周期函数,T为周期；试问 f(x)是不是周期函数？若是,则求出它的一个周期T；若不
是,则说明理由。
36.设对于任意的实数
x,y
,函数
f(x)
,
g(x)
满足
f(x?1)?
1
f(x)
3
, 且
第7页，共103页

f(0)?3
,
g(x?y)?g(x)?2y
,
g(5 )?13
,
n?N
*

(Ⅰ)求数列
{f(n)}
和
{g(n)}
的通项公式；
n
c
n
?g[f(n)]
2
(Ⅱ)设,求数列
{c
n
}
的前项和
S
n
;
(Ⅲ)设
F(n)?Sn
?3n
,存在整数
m
和
M
,使得对任意正整数
n
不等式
m?F(n)?M
恒成立,求
M?m
的最小值.
37.对于定义在区间D上的函数
f(x)
,若存在闭区间
[a,b]?D
和常数
c
,使得对任意
x
1
?[a,b]
,
都有 f(x
1
)?c
,且对任意
x
2
∈D,当
x
2
?[a,b]
时,
f(x
2
)?c
恒成立,则称函数
f(x)
为区间D上的
“平底型”函数.
(Ⅰ)判断函数
f 1
(x)?|x?1|?|x?2|
和
f
2
(x)?x?|x ?2|
是否为R上的“平底型”函数？并
说明理由；
(Ⅱ)设
f( x)
是(Ⅰ)中的“平底型”函数,k为非零常数,若不等式
|t?k|?|t?k|?|k| ?f(x)
对
一切
t?
R恒成立,求实数
x
的取值范围；
2
g(x)?mx?x?2x?n
是区间
[?2,??)
上的“平底型”函数,求
m
和
n
的值. (Ⅲ)若函数
.
38.设函数f(x)的定义域为R,若|f(x)|≤|x|对任意的实数x均成立,则称函数f(x)为
? 函
数。
e
?x
x
(1)试判断函数
f
1 (x)
＝
xsinx

f
2
(x)
＝e?1
中哪些是
?
函数,并说明理由；
(2)求证：若a>1,则函数 f(x)＝ln(x
2
＋a)－lna是
?
函数。

39.集合A是由具备下列性质的函数
f(x)
组成的：
(1) 函数
f(x)
的定义域是
[0,??)
；
(2) 函数
f(x)
的值域是
[?2,4)
；
(3) 函数
f(x)
在
[0,??)
上是增函数.试分别探究下列两小题：
1
f
2
(x)?4?6?()
x
(x?0)
2
( Ⅰ)判断函数
f
1
(x)?x?2(x?0)
,及是否属于集合A？并简要说明理
由.
第8页，共103页

(Ⅱ)对于(I)中你认为属于集合 A的函数
f(x)
,不等式
f(x)?f(x?2)?2f(x?1)
,是否对于任
意的
x?0
总成立？若不成立,为什么？若成立,请证明你的结论.
0,?∞
?
I?n,n?1
?
n?N
40.已知
f(x) 是定义在
?
的函数,满足
f(x)?2f(x?1)
.设
n ?
,.当
x?
?
0,1
?
f
2
(x )
2
x?I
1
x?I
2
x?I
n
?
?
n,n?1
?
f(x)
f(x)?x?x
时,.分别求当、、时 ,
f(x)
的表达式
1
、
、
f
n
(x) .
f(x)?
3
3
x?x(a?
a
R,
a ?0
). 41.已知函数
(I)求
f(x)
的单调区间；
33
(Ⅱ)曲线
y?f(x)在点(a,(fa)
)处的切线恒过y轴上一个定点,求此定点坐标；
(Ⅲ)若
a?0,x
1
?
a
3
,曲线
y?f(x)在点(x
1
,f(x
1
))
处的切线与
x 轴的交点为(
x
2
,0
),试比
较
x
1与x
2
的大小,并加以证明.
a?x
2
1
??
?lnx
?
a?R,x?[,2]
?
2
??
42.已知函数
f
(
x
)＝
x
1
a?[?2,)
4 时, 求
f(x)
的最大值; (Ⅰ)当
2
g(x)?[f(x)?lnx]?x
(Ⅱ) 设,
k
是
g(x)
图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数
a
,使得
k? 1
恒成立?若存在,求
a
的取值范围;若不存在,请说明理由.
1?ln
?
x?1
?
x
43..已知函数f(ｘ)＝
(1)求函数的定义域;
(2)确定函数f(ｘ)在定义域上的单调性,并证明你的结论；
k
(3)若当ｘ>０时,f(ｘ)＞
x?1
恒成立, 求正整数k的最大值。
44.已知函数
f(x)?log
a
x
和
g(x)?2lo g
a
(2x?t?2),(a?0,a?1,t?R)
的图象在
x?2
处的切线
互相平行.
(Ⅰ) 求
t
的值；
x?
?1,4
?
(Ⅱ)设
F(x)?g(x)?f(x)
,当时,
F( x)?2
恒成立,求
a
的取值范围.
第9页，共103页

45.已知函数
f(x)?aln(x?1)?
2x
?b
x?1的图象与直线
x?y?2?0
相切于点
(0,c)
。
(1)求
a
的值；
(2)求函数
f(x)
的单调区间和极小值。
32
46.已知函数 .
f(x)?2x?ax
与
g(x)?bx?cx
的图象都过点P(2,0) ,且在点P处有公共切线.
(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程；
(2)设
F(x)?
mg(x)
?ln(x?1)
8x
,其中m?0
,求F(x)的单调区间.
x
.
1?x
47.已知函数
f(x)?x
,
g(x)?ln(1?x)
,
h(x)?
(1)证明：当
x?0
时,恒有
f(x)?g(x);

g(x)?
kx
(k?0)
k?x
恒成立,求实数k的取值范围; (2)当
x?0
时,不等式
48.已知函数f(x)＝x
3
＋bx 2
＋cx＋d有两个极值点x
1
＝1, x
2
＝2,且直线y＝6x＋1与曲线y＝
f(x)相切于P点.
(1)求b和c 郝进制作 (2)求函数y＝f(x)的解析式;
(3)在d为整数时, 求过P点和y＝f(x)相切于一异于P点的直线方程.
49.已知函数f(x)＝x
3
－3ax(a∈R).
(I)当a＝l时,求f(x)的极小值；
(Ⅱ)若直线菇x＋y＋m＝0对任意的m∈R都不是曲线y＝f(x)的切线,求a的取值范围；
(Ⅲ)设g(x)＝|f(x)|,x∈[－l,1],求g(x)的最大值F(a)的解析式.
2 y?|x|?1
y?x?2x?2?t
,50.已知函数,
y?
11? t
(x?)
2x
(x?0)
的最小值恰好是方程
x
3?ax
2
?bx?c?0
的三个根,其中
0?t?1
.
2
(Ⅰ)求证：
a?2b?3
；
32
(x
1,M)
(x
2
,N)
f(x)?x?ax?bx?c
的两个极值点. (Ⅱ)设,是函数
①若
|x
1
?x
2
|?
2
3
,求函数
f(x)
的解析式；②求
|M?N|
的取值范围 .
11
51.已知函数f(x)＝
3
x
3
＋
2 ax
2
＋ax－2(a∈R),
(1)若函数f(x)在区间(－∞,＋∞)上为单调增函数,求实数a的取值范围；
5(2)设A(x
1
,f(x
1
))、B(x
2
,f(x
2
))是函数f(x)的两个极值点,若直线AB的斜率不小于－
6
求实第10页，共103页

数a的取值范围.
32
f(x)?ax ?2bx?3cx(a,b,c?R)
的图象关于原点对称,且当
x?1
52.已知函数
2
f(x)取极小值－
3
. 时,
(1)求
a
,
b
,
c
的值；
1
?
时,图象上是否存在两点,使得在这两点处的切线互相垂直？证明你的结论. ( 2)当
x?
?
?1，
53.对于
x
的三次函数
f (
x
)＝
x
3
＋(
m
2
－4
m
＋ 2)
x
＋
m
3
－6
m
2
＋ 9
m
－1.
(Ⅰ)若
f
(
x
)有极值,求
m
的取值范围； (Ⅱ)当
m
在(1)的取值范围内变化时,求
f
(
x
)的极大值和极小值之和
g
(
m
),并求
g
(
m )的最大值
和最小值.
3
f(x)?ax
3
?(a?2)x
2
?6x?3.
2
54.已知函数
(I)当
a
> 2时,求
f
(
x
)的极小值；
(Ⅱ)讨论方程
f
(
x
) ＝ 0的根的个数.
55.设函数
f(x)?x(x?1)(x?a)(a?1)

'
f
(1)求导数
(x)
,并证明
f(x)
有两个不同的极值点； (2)若对于(1)中的
x
1
、x
2
不等式
f(x 1
)?f(x
2
)?0
成立,求
a
的取值范围。
1
f(x)??x
3
?tx.
2
56.已知
t?R
,函数
(Ⅰ)当
t＝
1时,求函数
y?f(x)
在区间[0,2]的最值；
(Ⅱ)若
f(x)
在区间[－2,2]上是单调函数,求
t
的取值范围； (Ⅲ))是否存在常数
t
,使得任意
x?[?2,2]都有|f(x)|?6 恒成立,若存在,请求出
t
,若不存在请
说明理由.
322
x(x?x)是函数f(x)?ax?bx?ax(a?0)
的两个极值点.
212
57.设
x
、
1
(1)若
x
1
??1,x
2
?2
,求函数
f
(
x
)的解析式；
(2)若
|x
1
|?|x
2
|?22,求b
的最大值；
(3)若
x
1
?x?x
2
,且x
2
?a,函数g(x)?f
?
(x)?a(x?x
1
)
,求证：
|g(x)|?
1
a(3a?2)
2
.
12

3 2
2
f(x)?ax?3x?6ax?11
g(x)?3x?6x?12
,和直线
m:y?kx?9
,又58.已知函数,
f
?
(?1)?0.
第11页，共103页

(Ⅰ)求
a
的值；
(Ⅱ)是否存在
k
的值,使直线
m
既是曲线
y?f(x)
的切线,又是
y?g(x)
的切线；如果存在,求
出
k
的值；如果不存在,说明理由.
(Ⅲ)如果对于所有
x??2
的
x
,都有
f(x)?kx?9?g(x)
成立,求
k
的取值范围.
32
f (x)?x?ax?bx
(x?0)
的图象与直线
y?4
相切于
M( 1,4)
. 59.设函数
32
f(x)?x?ax?bx
在区间
( 0,4]
上的最大值与最小值； (Ⅰ)求
32
f(x)?x?ax?bx
的值域也是
[s,t]
,
s,t
(s?t)x?[s,t]
(Ⅱ)是否存在两个不等正数,当时,函数
若存在,求出所有这样的正数
s,t
；若不存在,请说明理由；
32
f(x)?x?ax?bx
的值域是
[ks,kt]
,
s,t
(s?t)x?[s,t]
(Ⅲ)设存在两个不等正数,当时,函数
求正数
k
的取值范围.
60.已知函数
f
(
x
) ＝
x
4
＋
ax
3
＋
bx
2
＋c
,在
y
轴上的截距为－5,在区间[0,1]上单调递增,在[1,2]
上单调递减,又当
x
＝0,
x
＝2时取得极小值.
(Ⅰ)求函数
f
(
x
)的解析式；
(Ⅱ)能否找到函数 f
(
x
)垂直于
x
轴的对称轴,并证明你的结论;
(Ⅲ)设使关于
x
的方程
f
(
x
)＝λ
2
x
2
－5恰有三个不同实根的实数
λ
的取值范围为集合
A
, 且
两个非零实根为
x
1
、
x
2
.试问：是否存在实数
m
,使得不等式
m
2
＋
tm
＋2≤|
x
1
－
x
2
|对任意
t
∈[－3,3],
λ
∈
A
恒成立？若存在,求
m
的取值范围；若不存在,请说明理由.
61.已知f(x)＝x
3
＋bx
2
＋cx＋2.
(Ⅰ)若f(x)在x＝1时,有极值－1,求b、c的值；
(Ⅱ)当b为非零实数时,证明 f(x)的图像不存在与直线(b
2
－c)x＋y＋1＝0平行的切线；
3
(Ⅲ)记函数|f′(x)|(－1≤x≤1)的最大值为M,求证：M≥
2
.
f(
-
11
)
=
f()
aa
(
a
∈R ,且
a
≠0),函数62.设函数
f(x)=|x+1|+|ax+1|
,已知
f(-1)=f(1)
,且
g(x)?ax
3
?bx
2
?cx
(
b
∈R,
c
为正整数)有两个不同的极值点,且该函数图象上取得极值的两
点A、B与坐标原点O在同一直线上。
(1)试求
a
、b的值；
(2)若
x?0
时,函数
g(x)
的图象恒在函数
f(x)
图象的下方,求正整数
c
的值。
3232
f(x)?x?bx?3cx?8g(x)?x?bx?cx
(其中63.已知函数和
3
??b?0
?
2
),
F(x)?f(x)?5g (x)
,
f(1)?g
?
(m)?0
.
第12页，共103页

(1)求
m
的取值范围；
(2)方程
F(x)?0
有几个实根？为什么？
32
x?bx?c x?d(b，c，d?R
且都为常数)的导函数为
f
′(
x
)＝3 x
2
?4x
, 64.已知函数
f
(
x
)＝
且
f
(1)＝7,设
F
(
x
)＝
f
(
x
)－
ax
(
a
∈R).
(Ⅰ)当
a
＜2时,求
F
(
x
)的极小值； 2
??
?
,都有
F
(
x
)≥0成立,求
a
的取值范围并证明不等式(Ⅱ)若对任意的x∈
?
0，
a
2?13a?39?
1
a?6
.
2
f(?x)?f(x)?2x
65、已知二次函数
f(x)
?x?x
,若不等式的解集为
C
.
(1)求集合
C
；
xx?1
f(a)?a?5
(a ?0,a?1)
在
C
上有解,求实数
a
的取值范围； (2)若方程
t
g(x)?x
3
?3tx?,x?[0,1]
2
(3)记
f(x)
在
C
上的值域为
A
,若的值域为
B
,且
A?B
,求实数
t
的取值
范围.
66、设函数?
f(x)?ax
3
?2bx
2
?cx?4d
(
a,b,c,d?R
)的图象关于原点对称,且
x?1
时,
f(x)
取极
1
小值
3
,
①求
a,b,c,d
的值；
②当
x?
?
?1,1
?
时,图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论。
f(x
1
)?f(x
2
)?
4
3
。 ③若
x
1
,x
2
?
?
?1,1
?
,求证：
67、已知函数
f(x)?
1
3
(k?1)
2
1
x?x,g(x)??kx且f(x)在区间(2,??)
323
上为增函数.
(1)求
k
的取值范围；
(2)若函数
f(x)与g (x)
的图象有三个不同的交点,求实数
k
的取值范围.
32
f（ x）?ax?bx?cx（a?0）
68、已知函数是定义在R上的奇函数,且
x??1
时,函数取极值
1.
(1)求
a，b，c
的值；
第13页，共103页

1
?
,求证：(2)若
x 1
，x
2
?
?
?1，
f（x
1
）? f（x
2
）?2
；
(3)求证：曲线
y?f(x)
上不存在两个不同的点
A，B
,使过
A，B
两点的切线都垂直于直线
AB .
f(x)?lnx,g(x)?
a
(a?0)
x
,设F(x)?f(x)?g(x)
。 69.已知函数
(Ⅰ)求F(
x
)的单调区间；
(Ⅱ)若以
y?F (x)(x?
?
0,3
?
)
图象上任意一点
实数
a
的最小值。
(Ⅲ)是否存在实数
m
,使得函数
y?g(
2 a
)?m?1
2
2
y?f(1?x)
的图象恰好有四个
x? 1
的图象与
P(x
0
,y
0
)
为切点的切线的斜率
k?
1
2
恒成立,求
不同的交点？若存在,求出
m
的取值范围,若不存在,说名理由。
y
F(x,y)?(1?x),x,y?(0,??)
, 70.定义
2f(x)?F(1,log(x?4x?9))
的图象为曲线C,曲线C与y轴交于点A(0,m) ,过
2
(1)令函数
11
坐标原点O作曲线C
1
的切线,切点为B(n,t)(n>0),设曲线C
1
在点A、B之间的曲线段与线段
OA 、OB所围成图形的面积为S,求S的值。
(2)当
x,y?N*且x?y时,证明F(x,y)?F(y,x);

32
(3)令函数
g(x)?F(1,log
2
(x?ax? bx?1))
的图象为曲线C
2
,若存在实数b使得曲线C
2
在x
0
(?4?x
0
??1)
处有斜率为－8的切线,求实数a的取值范围。
x
n
ax
2
e
(e?x?1)?
2 对于
n?R
恒成立 . 71.(1)求证：当
a?1
时,不等式ax
0
2
e
x
0
e?x
0
?1?x
0
?0
a
2
成立？ (2)对于在(0,1)中的任一个常数 ,问是否存在使得
x
0
如果存在,求出符合条件的一个
x
0
；否则说明理由。
72.把函数
y?lnx?2
的图象按向量
a?(?1, 2)
平移得到函数
f(x)
的图象。
f(x)?
2x
x?2
。 (1)若
x?0
证明：
1
2
x?f(x
2
)?m
2
?2bm?3
(2)若不等式
2
对于
x?[?1,1]
及
b?[?1,1]
恒成立 ,求实数
m
的取值范围。
第14页，共103页

2
y?|x|?1
y?x?2x?2?t
,73.已知函数,
y?
11?t (x?)
2x
(x?0)
的最小值恰好是方程
x
3
? ax
2
?bx?c?0
的三个根,其中
0?t?1
.
2
(1)求证：
a?2b?3
；
32
(x
1,M)
(x
2
,N)
f(x)?x?ax?bx?c
的两个极值点. (2)设,是函数
①若
|x
1
?x
2
|?
2
3
,求函数
f(x)
的解析式； ②求
|M?N|
的取值范围.
ax
x
2
?b
,在
x?1
处取得极值为2。 74.已知函数
f(x)?
(Ⅰ)求函数
f(x)
的解析式；
(Ⅱ)若函数
f(x)
在区间(m,2m＋1)上为增函数,求实数m的取值范围；
f(x)?
axax
f(x)?
x
2
?b
图象上的任意一点,直线
l
与
x
2
?b
的图象相切于点P,(Ⅲ)若 P(x
0
,y
0
)为
求直线
l
的斜率的取值范围.
?
75.已知：在函数
f(x)?mx?x
的图象上,以
N(1,n )
为切点的切线的倾斜角为
4
.
(Ⅰ)求
m
,
n
的值；
3
(Ⅱ)是否存在最小的正整数
k
,使得不等式
f(x)?k?1993
对于
x?[?1, 3]
恒成立？如果
存在,请求出最小的正整数
k
；如果不存在,请说明理由；
|f(sinx)?f(cosx)|?2f(t?
1
)
2t
(x?R
,
t?0
). (Ⅲ)求证：
76.设M是由满足下列条件的函数
f(x)
构成的集合：“①方程
f(x)
?x?0
有实数根；② 函数
f(x)
的导数
f
?
(x)
满足
0?f
?
(x)?1
.”
f(x)?
xsinx
?
24
是否是集合M中的元素,并说明理由； (I)判断函数
(Ⅱ)集合M中的元素
f(x)
具有下面的性质：若
f (x)
的定义域为D,则对于任意
[m,n]
?
D,都存在
x0
?
[m,n],使得等式
f(n)?f(m)?(n?m)f
?
(x
0
)
成立”,
试用这一性质证明：方程
f(x)?x?0
只有一个实数根；
第15页，共103页

(Ⅲ)设
x
1
是方程
f(x)?x?0
的实数根,求证：对于
f(x)
定义域中任意的
x
2
,x
3
,当|x
2
?x
1
|?1,且| x
3
?x
1
|?1时,|f(x
3
)?f(x
2 )|?2
.
2x?2
f(x)?(x?ax?b)e(x?R)
在 x?1
处取得极值. 77.若函数
(I)求
a
与
b
的关系式(用
a
表示
b
),并求
f(x)
的单调区间； (Ⅱ)是否存在实数
m
,使得对任意
a?(0,1)
及
x1
,x
2
?[0,2]
总有
|f(x
1
)?f (x
2
)|?

[(m?2)a?m
2
]e
?1
?1
恒成立,若存在,求出
m
的范围；若不存在,请说明理由.
2
l
1
:x?2
l
2
:y??t
2
?8t f(x)?ax?bx?c
78.已知二次函数,直线,直线(其中
0?t?2
,
t
为常
数)；.若直线
l
1
、
l
2与函数
图阴影所示.
(Ⅰ)求
a
、
b
、
c
的值；
f
?
x
?
fx
l
的图象以及
2
、
y
轴与函数
??
的图象所围成的封闭图形如
(Ⅱ)求阴影面积
S
关于 t
的函数
S
?
t
?
的解析式；
y?f?
x
?
y?g
?
x
?
(Ⅲ)若
g(x )?6lnx?m,
问是否存在实数
m
,使得的图象与的图象有且只有
两个不同的交点？若存在,求出
m
的值；若不存在,说明理由.
x
3
21 0
f(x)?
2
a
图象上斜率为3的两条切线间的距离为
5
,f(x)的导数为
f'(x)
,函79.已知函数
g(x)?f(x)?
b f'(x)
?3
x
。数
(1)若函数g(x)在x＝1有极值,求g(x)的解析式；
2
b
(2 )若函数g(x)在[－1,1]是增函数,且
?mb?4?g(x)
在[－1,1]上都成立 ,求实数m的取值
范围。
2
80.设关于
x
的方程
x?m x?1?0
有两个实根α、β,且
?
?
?
。定义函数
f(x)?
2x?m
.
x
2
?1

(I)求
?
f(
?
)
的值；
(Ⅱ)判断
f (x)在区间(
?
,
?
)
上单调性,并加以证明；
(Ⅲ)若
?
,
?
为正实数,①试比较
f(
?
),f (
??
?
??
),f(
?
)
?
?
?
的大小；
第16页，共103页

|f(
②证明
??
?
????
?
??
)?f()|?|
?
?
?
|.
?
?
??
?
?

81.设直线
l:y?g(x),曲线S:y?F(x)
.若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：
①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；
② 对任意x∈R都有
g(x)?F(x)
.则称直线l为曲线S的“上夹线”.
(1)已知函数
f(x)?x?2sinx
.求证：
y?x?2
为曲线
f(x)
的“上夹线”.
(2)观察下图：

根据上图,试推测曲线
S:y?mx?nsinx(n?0)
的“上夹线” 的方程,并给出证明.
82.若存在实常数
k
和
b
,使得函数f(x)
和
g(x)
对其定义域上的任意实数
x
分别满足：f(x)?kx?b
和
g(x)?kx?b
,则称直线
l:
y? kx?b
为
f(x)
和
g(x)
的“隔离直线”.已知
h( x)?x
2
,
?
(x)?2elnx
(其中
e
为自然对数的底数).
(Ⅰ)求
F(x)?h(x)?
?
(x)
的极值；
(Ⅱ) 函数
h(x)
和
?
(x)
是否存在隔离直线？若存在,求出此隔离直线方程；若不存在,请说明理
由.
83.已知函数
f(x)?ln(1?x)?mx
.
(1)若函数
f(x)
在
(0,??)
上单调递减,求实数
m
的取值范围；
(2)求函数
f(x)
的极值；
111
?????ln2(n?N
*
)
n?(n?1)
(3)求证：
n?1n?2

84.设
f(x)?
a
?xlnx
32
g(x)?x?x?3
.
x
,
第17页，共103页

(1)当
a?2
时,求曲线
y?f(x)
在
x?1
处的切线方程；
(2) 如果存在
x
1
,
x
2
?[0,2]
使得
g (x
1
)?g(x
2
)?M
成立,求满足上述条件的最大整数
M
；
1
t?[,2]
2
都有
f(s)?g(t)
成立,求实数
a
的取值范围。 (3)如果对任意的
s
,
2
f(x)?lnx?x
85.已知函数.
(1)若函数
g(x)?f(x)?ax
在其定义域内为增函数,求实数
a 的取值范围；
3xx
h(x)?e?3ae
a?1
(2)在(1)的条件下,若,,
x?[0,ln2]
,求
h(x)
的极小值；
2 F(x)?2f(x)?3x?kx(k?R)
,若函数
F(x)
存在两个零点
m
,
n(0?m?n)
,且
2x
0
?m?n
,(3)设
问：函数
F(x)
在点
说明理由。

86. 已知函数
(x
0
,F(x
0
))
处的切线能否平行于
x
轴？若能,求出该切线方程；若不能,请
f(x)?x
3
?3x?a? ?
?sin(
?
?x)
,其中
a
,
?
?R
；
(1)当
a?0
时,求
f(1)
的值并判断函数
f(x)
的奇偶性；
(2)当
a?0
时,若函数
y?f( x)
的图像在
x?1
处的切线经过坐标原点,求
?
的值；
(3)当
?
?0
时,求函数
f(x)
在
[0,2]
上的最小值。

答案及解析
1.解：(Ⅰ)当
a??1
时,
f(x)?x?lnx,

1
f
?
(x)?1?,
x
得
1?

………………2分
令
f
?
(x)?0
,即
1
?0
x
,解得 x?1
,所以函数
f(x)
在
(1,??)
上为增函数,
2
[e,e]
上为增函数,
f(x)
据此,函数在 ………………4分
2222
而
f(e)?e?1
,
f(e )?e?2
,所以函数
f(x)
在
[e,e]
上的值域为
[ e?1,e?2]

………………6分
aa
f
?
(x)?1?,1??0,
?
(x)?0f
xx
(Ⅱ)由令,得即
x??a,

当
x?(0,? a)
时,
f
?
(x)?0
,函数
f(x)
在
(0,?a)
上单调递减；
第18页，共103页

当
x?(?a,??)
时,
f
?
(x)?0
,函数
f(x)
在
(?a,??)
上单调递增； ……………7分
2
[e,e]
上为增函数,
f(x)
1??a?e?e?a??1
若,即,易得函数在
22 2
f(x)?f(e)x?[e,e]f(e)?e?1
即可,
f(x)?e?1 max
此时,,要使对恒成立,只需
?e
2
?e?1
a?2
e?2a?e?1
2
所以有,即
?e
2
?e?1? (e
2
?3e?1)?e
2
?e?1
?(?e)??0
?? e
22
2
而,即,所以此时无解.
………………8分
2
22
若
e??a?e
,即
?e?a??e
,易知函数
f(x )
在
[e,?a]
上为减函数,在
[?a,e]
上为增函数, a??1
?
?
?
f(e)?e?1
?
?e
2 ?e?1
?
2
?
a?
f(e
2
)?e?1 x?[e,e]
f(x)?e?1
?
2
要使对恒成立,只需,即
?
,
?e
2
?e?1?e
2
?e?1?e
2 ?e?1e
2
?e?1
2
?(?1)??0?(?e)??0
2222
由和
?e
2
?e?1
?e?a?
2
得.
2
………………10分
2
22
若?a?e
,即
a??e
,易得函数
f(x)
在
[e,e ]
上为减函数,
2
x?[e,e]
恒成立,只需
f(e)?e?1
即可,
f(x)?f(e)
f(x)?e?1
max
此时,,要使对
所以有
e?a?e?1
,即
a??1
,又因为
a??e
,所以
a? ?e
. ……………12分
?e
2
?e?1
(??,]
2
综合上述,实数
a
的取值范围是.
22
……………13分
2.解：(I)函数
f(x)的定义域为{x|x?0}
,
f
? (x)?
a1
?.
x
x
2
……………………………… ……………………………………2分

又曲线
y?f(x) 在点(1,f(1))
处的切线与直线
x?2y?0
垂直,
所以
f
?
(1)?a?1?2.

即
a
＝1.………………………………………………………………………………4分
f
?
(x)?
ax?1
.
x
2

第19页，共103页
(Ⅱ)由于

当 a?0
时,对于
x?(0,??),有f
?
(x)?0
在定义域上恒成立,
即
f(x)在(0,??)
上是增函数.
1
a?0 时,由f
?
(x)?0,得x???(0,??).
a
当
1
x?(0,?)时,f
?
(x)?0,f(x)
a
当单调递增；
1
x?(?,??)时,f
?
(x)?0,f(x)
a
当单调递减. …………………………8分
f(x?1)?ln(x?1)?
1
?2x?5.
x?1

1
,x?[2,??).
x?1

(Ⅲ)当
a
＝1时,
令
g(x)?ln(x?1)?
g
?
(x)?

11(2x?1)(x?2)
??2?.
x?1
(x?1)
2
(x?1)
2
………………10分
当
x?2时,g
?
x (x)?0,g(x)在(2,??)
单调递减.
又
g(2)?0,所以g(x)时,g(x)?0.

ln(x?1)?
1
?2x?5?0.
x?1

即
故当
a
＝1,且
x?2时,f(x?1)?2x?5
成立.…… ………………13分
22
f'(x)?3x?12ax?9a?3(x?a)(x?3a)?0
3解：(Ⅰ)
2
f'(x)?3x?0
,不成立.
a?3aa?0
(1)当,即时,
(2)当
a?3a
,即
a?0
时,单调减区间为 (3a,a)
.
(3)当
a?3a
,即
a?0
时, 单调减区间为
(a,3a)
.－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5
分
22
f'(x)?3x?12ax?9a?3(x?a)(x?3a)
, (Ⅱ)f(x)
在
(0,a)
上递增,在
(a,3a)
上递减,在(3a,??)
上递增.
(1)当
a?3
时,函数
f(x) 在
[0,3]
上递增,
第20页，共103页

所以函数
f(x)
在
[0,3]
上的最大值是
f(3)
, ?
f(3)?4,
?
?x?
?
0,3
?
f(x )?4
若对有恒成立,需要有
?
a?3,
解得
a??
.
( 2)当
1?a?3
时,有
a?3?3a
,此时函数
f(x)
在
[0,a]
上递增,在
[a,3]
上递减,所以函数
f(x)在
[0,3]
上的最大值是
f(a)
,
?
f(a)? 4,
?
?x?
?
0,3
?
f(x)?4
若对有恒成立,需要有
?
1?a?3,
解得
a?1
.
( 3)当
a?1
时,有
3?3a
,此时函数
f(x)
在
[a,3a]
上递减,在
[3a,3]
上递增,
所以函数
f(x )
在
[0,3]
上的最大值是
f(a)
或者是
f(3).
2
f(a)?f(3)?(a?3)(4a?3)
, 由
①
0?a?
3
4
时,
f(a)?f(3)
,
? f(3)?4,
?
?
3
0?a?,
?
?x?
?
0,3
?
f(x)?4
4
若对有恒成立,需要有
?
a?[1?
233
,]
94
. 解得
3
?a?1
②
4
时,
f(a)?f(3)
,
?
f(a)?4,
?
?
3
3
?a?1,
a ?(,1)
?
?x?
?
0,3
?
f(x)?4
?4
4
. 若对有恒成立,需要有解得
a?[1?
23
,1]
9
. －－－－－－－－－－－－－14分综上所述,
?
(x)?x
2 ?2ax?a
2
?1.f
4.解：(1)

?x?1
是极值点
2

?f
?
(1)?0
,即
a?2a?0

?x?0
或2.…………………………………………………………3分
第21页，共103页

(2)
?(1,f(1))
在
x?y?3?0
上.
?f(1)?2

1
?2??a?a
2
?1?b
3
∵(1,2)在
y?f(x)
上
又
f
?
(1)?k??1?1?2a?a
2
?1??1

8
?a
2
?2a?1?0a?1,b?
3

18
?f(x)?x
2
?x
2
?,f
?
( x)?x
2
?2x.
33

(i)由
f
?
(x)?0
可知
x
＝0和
x
＝2是
f( x)
的极值点.
84
?f(0)?,f(2)?,f(?2)??4,f(4)?8,
33

?f(x)
在区间[－2,4]上的最大值为8.…………………………8分
2?x
G(x)?(x?mx?m)e
(Ⅱ)
?x?x2?x2
?
G(x)?(2x?m)e?e(x?mx?m)?e[?x?(2?m)x]

令
G
?
(x)?0
,得
x?0,x?2?m

当
m
＝2时,
G
?
(x)?0
,此时
G(x)在
(??,??)
单调递减
当
m?2
时：
(－∞,2,－m) 2－m (2－m,0) 0 (0,＋∞)
G′(
x
) － 0 ＋ 0 －
G(
x
) 减增减
当时G(x)在(－∞,2,－m),(0,＋∞)单调递减,在(2－m,0)单调递增.
当
m?2
时：

x
x
(－∞,0) 0 (0,2－m) 2－m (2－m＋∞)
G′(
x
) － 0 ＋ 0 －
G(
x
) 减增减

此时G(
x
)在(－∞,0),(2－m＋∞)单调递减,在(0,2－m)单调递增,综上所述：当m＝2
时, G(
x
)在(－∞,＋∞)单调递减；

m?2
时,G(
x
)在(－∞,2－m),(0,＋∞)单调递减,在(2－m,0)单调递增；

m?2
时,G(
x
)在(－∞,0),(2－m,＋∞)单调递减,在(0,2－m)单调递增.
第22页，共103页

5.解：函数
f'(x)?
f(x) ?lnx?
a
x
的定义域为
(0,??)
…………1分
1ax?a
?
2
?
2
x
xx
…………3分
(1)
?a?0,?f'(x)?0.

故函数在其定义域
(0,??)
上是单调递增的. …………5分
(Ⅱ)在[1,e]上,发如下情况讨论：
①当a＜1时,
f'(x)?0,
函数
f(x)
单调递增,
其最小值为
f(1)?a?1,

3
这与函数在[1,e]上的最小值是
2
相矛盾； …………6分
②当a＝1时,函数
f(x)在
?
1,e
?
单调递增,
其最小值为
f(1)?1,

3
同样与最小值是
2
相矛盾； …………7分
③当
1? a?e
时,函数
f(x)在
?
1,a
?
上有
f'( x)?0
,单调递减,
在
?
a,e
?
上有
f'( x)?0,
单调递增,所以,
函数
f(x)
满足最小值为
f(a)?lna?1

lna?1?
3
,得a?e,
2
由…………9分
④当 a＝e时,函数
f(x)在
?
1,e
?
上有f'(x)?0,
单调递减,
3
其最小值为
f(e)?2,
还与最小值是
2
相矛盾； …………10分
⑤当a>e时,显然函数
f(x)在[1,e]
上单调递减,
f(e)?1?
a
?2,
e
其最小值为
3
仍与最小值是
2
相矛盾； …………12分
第23页，共103页

综上所述,a的值为
e.
…………13分
22
?
f(x)?mx?2ax?(1?b).
……3分 6.(I)解：
(Ⅱ)因为函数
f(x)
是R上的增函数,
所以
f
?
(x)?0
在R上恒成立,
2222
??4a?4(1?b)?0,即a?b?1.
则有
?
a ?rcos
?
,
(
?
为参数,0?r?1).
?
b ?rsin
?
设
?

z?a?b?r(cos
?
? sin
?
)?2rsin(
?
?
?
则
4

)
当
sin(
?
?
?
4
)??1,
且
r
＝1时,
z?a?b
取得最小值
?2
.
(可用圆面的几何意义解得
z?a?b
的最小值
?2
)………………………… 8分
2
?
f(m)?mx?2x?1
是开口向上的抛物线,显然
f
?
(x)
在(2,＋∞)上存在
m?0
(Ⅲ)①当时
子区间使得
f
?
(x)?0
,所以m的取值范围是(0,＋∞).
②当
m
＝0时,显然成立.
2
③当
m?0
时, f
?
(m)?mx?2x?1
是开口向下的抛物线,要使
f
?
(x)
在(2,＋∞)上存在子区间
?
?
m?0
?
?
m?0,
?
1
?
1
?
??2,
?
?
m
?
??2,
m
1
?
?
?
f (?)?0,
?
?
f
?
(2)?0.
?
f(x)? 0
m
?
使,应满足或
?

1313
?m?0,?? m?(?,0).
2
,所以
m
的取值范围是
4
解得
2
或
4

?
3
(?,??).
则
m
的取值范围是
4
……………………………………………………13分
7.解：(1)当
p?2
时,
f(x)?2x?
2
?2l nx,f(1)?2?2?2ln1?0
x

第24页，共103页
函数

22
?
x
2
x

曲线
f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线的斜率为
f(x)?2?
f
??
(1)?2?2?2?2.
1分
从而曲线
f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线方程为
y?0?2(x?1),

即
y?2x?2

p2px2
?2x?p
f
?
(x)?p?
2
??.
2 xxx
(2) 3分

2
h(x)?p x?2x?p
,要使
f(x)
在定义域(0,∞)内是增函令
只需
h(x)?0
在(0,＋∞)内恒成立 4分
2
p?0,h(x)?px?2x?p
的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为由题意
x?

1
?(0,??)
p
,
1
,
p

?h(x)
min
?p?
p?

只需
1
?0,即p?1
p
时,
h(x)?0,f
?
(x)?0

?f(x)
在(0,＋∞ )内为增函数,正实数
p
的取值范围是
?
1,??
?
6分
2e
Qg(x)?在[1,e]
x
(3)上是减函数,

?x?e
时,
g(x)
min
?2;

,
x?1时,g(x)
min
?2e
即
g(x)?[2,2e]
1分
2
h(x)?px?2x?p

p?0
①当时,
第25页，共103页

x?
其图象为开口向下的抛物线,对称轴
1
p
在
y
车的左侧,
且
h(0)?0
,所以
f(x)在x?[1,e]
内是减函数。
当
p?0
时,在
h(x)??2x

因为
x?[1,e]
,
所以
h(x)?0,f
?
(x)??
2x
x
2
?0.

此时,
f(x)在x?[1,e]
内是减函数。
故当
p?0
时,
f(x)在x?[1,e]
上单调递减
?f(x)
max
?f(1)?0?2
,不合题意；
②当
0?p?1
时,由
x?[1,e]
?x?
1
x
?0

所以
f(x)?p(x?
11
x
)?2lnx?x?
x?2lnx.

又由(2)知当
p?1
时,
f(x)在x?[1,e]
上是增函数,
?x?
111
x
?2lnxe?
e
?2lne?e?
e
?2?2
,不合题意；
③当
p?1
时,由(2)知
f( x)在x?[1,e]
上是增函数,
f(1)?0?2

又
g(x)在x?[1,e]
上是减函数,
故只需
f(x)
max
?g(x)
min
,x?[1,e]

而
f(x) e)?p(e?
1
max
?f(
e
)?2lne,g(x)
min
?2

即
P(e?
1
e
)?2lne?2,

解得
p?
4e
e
2
?1
,
第26页，共103页
分

11

4e
,??)
2
p
所以实数的取值范围是
e?1
。 13分
(
p2
f
'
(x)?p?
2
?
x x
,………………………………2分 8.解：(Ⅰ)方法一：∵
'
1)?2(p?1)
. ∴
f(
:?2(p?1)(x?1)
设直线
ly
,
x ,y
并设
l
与
g(x)?x
相切于点M(
00
) ………………………………3分
x?2(p?1)
∵
g
?
(x)?2x
∴2
0

2
∴
x
0
?p?1,y
0
?(p?1)
2

代入直线
l
的方程,解得p＝1或p＝3. ………………………………6分
方法二：
将直线方程
l
代入
y?x
得
2(p?1)(x?1)?0
∴
??4(p?1)
2
?8(p?1)?0

2
解得p＝1或p＝3 . ………………………………6分
2
px?2x?p
f(x)?
2
x
(Ⅱ)∵,
'
'
f)?0
在
(0,??)
恒成立,
f(x)
①要使为单调增函数,须
(x
p?
2
px?2x?p?0
即在
(0,??)
恒成立,即
2x2
?
1
x
2
?1
x?
x
在
(0,??)
恒成立,
2
1x?
x
又
?1
,所以当
p?1
时,
f(x) 在
(0,??)
为单调增函数； …………9分
'
f)?0
在
(0,??)
恒成立,
f(x)
② 要使为单调减函数,须
(x
p?
2
px?2x?p?0
即在
(0,??)
恒成立,即
2x2
?
1
x
2
?1x?
x
在
(0,??)
恒成立,
2
1
x? x
又
?0
,所以当
p?0
时,
f(x)
在 (0,??)
为单调减函数. …………11分
第27页，共103页

综上,若
f(x)
在
(0,??)
为单调函数,则
p 的取值范围为
p?1
或
p?0
.……12分
h(x)? 1
2
x?2x?log
a
x(x?0).
2

1
.
xlna

9.解：(I)因为

所以
h
?
(x)?x?2?
因为
h(x)在(0,??)
上是增函数。
x?2?
1
?0在(0,??)
xlna
上恒成立 ……………………………1分所以

当
x?0时,x?2?
1 1
?0?x
2
?2x??.
xlnalna

22
x?2x?(x?1)?1在(0,??)
上的最小值是
?
1。而
于是
?1??
11
,即1?.
lnalna
(※)
11
?0.这与?1矛盾)
lnalna
可见

a?1(若0?a?1,则
从而由(※)式即得
lna?1.
① ………………..………………………… 4分
1x
2
lna?2xlna?1h
?
(x)?x?2??(x?0)
xlnaxlna
同时,

由
h
?
(x)存在( 正)零点知??(?2lna)
2
?4lna?0,

解得
lna? 1
②,或
lna?0(因为a?1,lna?0,这是不可能的).

由①②得
lna?1.

此时,
h
?
(x)存在正零点x?1,故a?e
即为所求 ……………………………6分
注：没有提到(验证)
lna?1
时,
h?
(x)存在正零点x?1,
不扣分。
g(x)?lnx,g
?
(x
0
)?
1
,
x
0
(Ⅱ)由(I),

1g(n)?g(m)n?m
?,x
0
?.n?mlnn?lnm
……………………………7分于是
x
0
第28页，共103页

以下证明
m?
n?m
.
lnn?lnm
(☆)
(☆)等价于
mlnn?mlnm?n?m?0.
……………………………8分

构造函数
r(x)?xlnn?xlnx?n?x(0?x?n),

则
r
?
(x)?lnn?lnx,当x?(0,n)
时,
r
?
(x)?0,所以r(x)在(0,n]
上为增函数。
因此当
m?n时,r(m)?r(n)?0,
即
mlnn?mlnm?n?m?0.

从而
x
0
?m
得到证明。 ……………………………11分
n?m
.综上,m?x
0
?n.
lnn?lnm
……………………………12分

同理可证
n?
注：没有“综上”等字眼的结论,扣1分。
10.解：(Ⅰ) 由a＝0,
f(x)?g(x)
可得
?mlnx??x
,
m?
x
lnx
┉┉┉┉┉┉┉┉1分
x
lnx
,则
f(x)?g(x)
在(1,＋∞)上恒成立等价于
m?
?
(x )
min
.
lnx?1
ln
2
x
┉┉┉┉┉┉┉┉2分
即
记
?
?
求得
?
'(x) ?
当
x?(1,e)
时；
?
'(x)?0
；当
x? (e,??)
时,
?
'(x)?0
┉┉┉┉┉┉┉┉3分
故
?
(x)
在x＝e处取得极小值,也是最小值,
即
? (x)
min
?
?
(e)?e
,故
m?e
. ┉┉┉┉┉┉┉┉4分
1,31,3
(Ⅱ)函数
k(x)?f(x)?h(x)在
??
上恰有两个不同的零点等价于方程
x?2lnx?a
,在
??
上
恰有两个相异实根.┉┉┉┉┉┉┉┉5分
令
g(x)?x?2ln x
,则
g'(x)?1?
2
x
┉┉┉┉┉┉┉┉6分
当
x?[1,2)
时,
g'(x)?0
,当
x?(2,3]
时 ,
g'(x)?0

?
g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在
(2,3]
上是单调递增函数.
第29页，共103页

故
g(x)
min
?g(2)?2?2ln2
┉┉┉┉┉┉┉┉8分
又g(1)＝1,g(3)＝3－2ln3
∵g(1)>g(3),∴只需g(2)＜a≤g(3),
故a的取值范围是(2－2ln2,3－2ln3) ┉┉┉┉┉┉┉┉9分
1
(Ⅲ )存在m＝
2
,使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性.
f'(x)
min
m2x
2
?m
?2x??
xx
,函数f(x)的定义域为(0,＋∞).┉┉┉┉┉┉10分
若
m?0
,则
f(x)'?0
,函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增,不合题意；┉┉┉11分
mm
若
m?0
,由
f(x)'?0
可得2x
2
－m>0 ,解得x>
2
或x＜－
2
(舍去)
m
故
m?0
时,函数的单调递增区间为(
2
,＋∞)
m
单调递减区间为(0,
2
) ┉┉┉┉┉┉┉┉12分
11 而h(x)在(0,＋∞)上的单调递减区间是(0,
2
),单调递增区间是(
2
,＋∞)
m
11
故只需
2
＝
2
,解之得m＝
2
┉┉┉┉┉┉┉┉13分
1
即当m＝
2
时,函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性.┉14分.
2xxx
?f(x)?(x?3x?3)?e?(2x?3)?e?x(x?1)?e
11.解：(I)因为 ……1分
由f
?
(x)?0?x?1或x?0;由f
?
(x)?0 ?0?x?1,

所以f(x)在(??,0),(1,??)上递增,在(0,1)上递减LLLL3分

欲f(x)在[?2,t]上为单调函数,则?2?t?0LLLLL4分

( Ⅱ)证：因为
f(x)在(??,0),(1,??)上递增,在(0,1)上递减,所以f(x)在x ?1
处取得极小值e

又f(?2)?
13
?e,所以f( x)在[?2,??]上的最小值为f(?2)
e
2

从而当t??2时,f(?2)?f(t),即m?nLLLLLL7分

第30页，共103页

f
?
(x
0
)f ?
(x
0
)
22
2222
?x?x,所以?(t?1 ),即为x?x?(t?1)
0000
x
0
33
e
x
0
(Ⅲ)证：因为
e
,
22
令g(x)?x
2 ?x?(t?1)
2
,从而问题转化为证明方程g(x)?x
2
?x? (t?1)
2
?0
33
在(?2,t)上有解,并讨论解的个数LLLLLL 9分
222
因为g(?2)?6?(t?1)
2
??(t?2)(t?4), g(t)?t(t?1)?(t?1)
2
333

1
?(t?2)(t?1),所以
3

①当
t?4或?2? t?1时,g(?2)?g(t)?0,所以g(x)?0在(?2,t)
上有解,且只有一解
………………11分
2
1?t?4时,g(?2)?0且g(t)?0,但由于g(0)?? (t?1)
2
?0
3
②当,
所以
g(x)?0在(?2,t)
上有解,且有两解
2
t?1时, g(x)?x?x?0?x?0或x?1,所以g(x)?0在(?2,t)
上有且只有一解； ③当 当t?4时,g(x)?x
2
?x?6?0?x??2或x?3,
所以g(x) ?0在(?2,4)上也只有一解LLLLLL13分

综上所述,对于任意的t??2,总存在x
0
?(?2,t),满足
且当t?4或?2?t?1时,有唯一的x
0 适合题意;
f
?
(x
0
)
2
2
?( t?1),
x
0
e3

a
f
?
(x)?2x?,
2
x
依题意
f
?
(x)?0,x?(1, 2]
,即
a?2x
,
x?(1,2]
. 12.解: (1)
∵上式恒成立,∴
a?2
①
分
g
?
(x)?1?
a
…………………………1
又
2x
,依题意
g
?
(x)?0, x?(0,1)
,即
a?2x
,
x?(0,1)
.
∵上式恒成立,∴
a?2.
②
分
由①②得
a?2
.
…………………………2

…………………………3分
2
f(x)?x?2lnx,g(x)?x?2x.
∴ …………………………4分
2
(2)由(1)可知,方程
f(x)?g(x)?2 ,
即x?2lnx?x?2x?2?0.

第31页，共103页

2
h(x)?x?2lnx?x?2x?2
,设
则h
?
(x)?2x?
21
?1?,
x
x

令
h
?
(x)?0
,并由
x?0,
得
(x?1)(2xx?2x?x?2 )?0,
解知
x?1.
……………………5分
令
h
?
(x)?0,
由
x?0,解得0?x?1.
…………………………6分
列表分析:

x

h
?
(x)

(0,1)
－
递减
1
0
0
(1,＋?)
＋
递增
h(x)

可知
h(x)
在
x?1
处有一个最小值0, …………………………7分
当
x?0且x?1
时,
h(x)
＞0,
∴
h(x)?0
在(0,＋?)上只有一个解.
即当x＞0时,方程
f(x)?g(x)?2
有唯一解.
(3)
设
…………………………8分
?
(x)?x
2?2lnx?2bx?
122
'
则
?
(x)?2x??2b?? 0
x
2
xx
3
, ………………9分
??
(x)
在
(0,1]
为减函数
?
?
(x) min
?
?
(1)?1?2b?1?0
又
b??1
……………11分
所以：
?1?b?1
为所求范围.
13.解：(1)
?f(0)?0,
?d?0

…………………………12分
11
x?c及f'(1)?0,有a?c?
22

1
?f' (x)?0在R上恒成立,即ax
2
?x?c?0
2
恒成立
?f'(x)?ax
2
?

即
ax
2
?
11
x??a?0
22
恒成立
显然
a?0
时,上式不能恒成立

?a?0,函数f ?
(x)?ax
2
?
11
x??a
22
是二次函数
由于对一切
x?R,都有f
?
(x)?0,
于是由二次函数的性质可得
第32页，共103页

?
a?0,
a?0,
?
?
?
?
1
2
1
?
a 2
?
1
a?
1
?0
,
(?)?4a(?a) ?0.
?
?
216
2
?
2
即
?
?
?
a?0,
1
2
即
?
,
(a?)?0?
4
?
解得:a?
1
4

a?c?
1
4
.
1111
?a?c?.?f
?
(x)?x
2
?x?.
4424
(2)

1113b1
?由f
?
(x)?h(x)?0,即x
2
?x ??x
2
?bx???0
424424

1b1
x
2
?(b?)x??0,即(x?b)(x?)?0
222
即
11111
b?时,解集为(,b),当b?时,解集为(b,)b?时,解集为
?
2222,当
2
当.
1111
?a?c?,?f
?
(x)? x
2
?x?
4424
(3)

?g(x )?f
?
(x)?mx?
1
2
11
x?(?m)x?.424

该函数图象开口向上,且对称轴为
x?2m?1.

g (x)?f
?
(x)?mx?
1
2
11
x?(?m)x? 424
区间
[m.m?2]
上有

假设存在实数m使函数
最小值－5.
①当
m??1时,2m?1?m,函数g(x)在区间[m,n?2]
上是递增的.
111
?g(m)??5,即m
2
?(?m)m???5.
424 
777
m??3或m?.???1,
?m?
3
舍去
33
解得
②当
?1?m?1时,m?2m?1?m?2,函数g(x)在区间[m, 2m?1]
上是递减的,而在
区间
[2m?1,m?2]
上是递增的,
?g(2m?1)??5.

111
(2m?1)
2?(?m)(2m?1)???5
24
即
4

第33页，共103页

1111
m???21或m???21,均应舍去
2222
解得
③当
m?1
时,
2m?1?m?2,函数g(x)在区间[m,m?2]
上递减的
?g(m?2)??5

111 (m?2)
2
?(?m)(m?2)???5.
24
即
4
解得
m??1?22或m?1?22.其中m?1?22
应舍去.
综上可得,当
m??3或m??1?22
时,
函数
g(x)?f ?
(x)?mx在区间[m,m?2]上有最小值?5.

322
?
f(x)?x?ax?x?1f(x)?3x?2ax?1
14. 解：(1)求导：
2
当
a
≤
3
时,
?≤
0
,
f
?
(x)
≥
0
,
f(x)
在
R
上递增
?a?a
2
?3
x?
2
?f(x)?0
a
?
3
3
当,求得两根为
??
?a?a
2
?3?a?a
2
?3
?
?a?a
2?3
?
，
?
??，
???
????
333f(x)
????
递减, 即在递增,
?
?a?a
2
? 3
?
，??
??
??
3
??
递增
??a?
?
?
?
?
?a?
?
(2)
? a
2
?32
≤
?
33
a
2
?31 7
≥
?
a
≥
33
,且
a
2
?
3
解得：
4

f
?
(x)?
1lnx1 1lnx
?????
x(1?x)(1?x)
2
xx?1(1?x)
2
. 2分 15.解：(Ⅰ)
，
时,
f
?
(x)?0
, 故当
x?(01)
x?(1，∞?)
时,
f
?
(x)?0

1)
单调递增,在
(1，∞?)
单调递减. 4分所以
f(x) 在
(0，
?)
的极大值为
f(1)?ln2
,没有极小值. 6分由此知
f(x)
在
(0，∞
(Ⅱ)(ⅰ)当
a≤0
时,
第34页，共103页

(1?x)ln(1?x)?xlnx
ln( 1?x)?x
?
ln(1?x)?lnx
?
f(x)???0
1?x 1?x
由于,
?)
. 10分故关于
x
的不等式
f(x )≥a
的解集为
(0，∞
ln2
n
1
lnx
??
1
?
n
?ln1?
f(x)??ln
?
1?
?
f(2)?
?
nn
1?22
1?xx
?
??
a?0
(ⅱ)当时,由知
1
?
ln
?
1?n
?
2
nn
1
?
a
22
?
? ?
n
?e?1?n??log
2
(e?1)
2
?
2
. 12分
?
?
?
,其中
n
为正整数,且有 ln2
n
nln2nln22ln2
???
1?2
n
1?(1?1)
n
n(n?1)
n?1
2
又
n≥2
时,.
2ln2a4ln2
??n??1
n?12n
且.
n0
??log
2
(e?1)
n
0
?
n
0
取整数满足,
n
2
4ln2
?1
n≥2
a
,且
0
,
f(2
n
0
)?
则
n
0
ln2
1
?
?ln1?
?
n
1?2
n
0
?
2
0
?
aa
?
???a
? 22
,
?)
. 即当
a?0
时,关于
x
的不等式
f(x)≥a
的解集不是
(0，∞
?)
,且
a
的取值范围为综合(ⅰ)(ⅱ)知,存在
a
,使得关于
x
的不等式
f(x)≥a
的解集为
(0，∞
0
?
?
?∞，
. 14分
OA?
AQ10
?
cos
?
cos
?
, 故 16.(Ⅰ)①由条件知PQ 垂直平分AB,若∠BAO＝
?
(rad) ,则
OB?
10
cos
?
,又OP＝
10?10tan
?
10－10ta
?
,
y?OA?OB?OP?
1010
??10 ?10tan
?
cos
?
cos
?
, 所以
? ??
20?10sin
?
0?
?
?
y??10
??
4
??

cos
?
所求函数关系式为
②若OP＝
x
(km) ,则OQ＝10－
x
,所以OA ＝OB＝
所求函数关系式为
?
10?x
?

2
?10
2
?x
2
?20x?200

y ?x?2x
2
?20x?200
?
0?x?10
?
第35页，共103页

?10cos
?
g
cos
?
?
?
20?10sin
?
??
?sin
?
?
10
?
2sin
?
?1
?
y??
2
co s
?
cos
2
?
(Ⅱ)选择函数模型①,
'
令
y?
0 得sin
?
?
?
?
?
?
0,
?
6
?
'
?
?
1?
?
0?
?
?
4
,所以
?
＝
6
,
2
,因为
?
??
?
?
?
?
,
?
64
?
当
'
?
时,
y?0 ,
y
是
?
的减函数；当
'
?
时,
y?0
,
y
是
?
的增函数,所以当
?
?
＝
6
时,
y
min
?10?103
。这时点P 位于线段AB 的中垂线上,且距离AB 边
103
3
km处。
17解： (1)
f(x)的定义域为(0,??),f
?
(x)?
1?(lnx?a)
x
2

1?a
?
f(x)?0得x?e
令
1?a
x?(0,e)时,f
?
(x)?0,f(x)
是增函数当
1?a
x?(e,??)时,f
?
(x)?0,f(x)
是减函数当
∴
f(x)在x?e
1?a
处取得极大值,f(x)
极大值
?f(e
1?a
)?e
a?1
1?a

(2)(i)当 e
1?a1?a2
?e
2
时,
a??1时
,由(Ⅰ) 知
f(x)在(0,e)
上是增函数,在
(e,e]
上是减函数
?f(x)
max
?f(e
1?a
)?e
a?1

?a?a?a2a?1
x?e时,f(x)?0,当x?(0,e]时f(x)?0.当x?( e,e]f(x)?(0.e)
所以又当时,
f(x)与图象g(x)?1
的图象在 (0,e
2
]
上有公共点,等价于
e
a?1
?1
解得
a?1,又a??1,所以a?1

2
1?a2
f(x)在(0,e]
上是增函数,
e?e即a??1
(Ⅱ)当时,
∴
f(x)在(0,e
2
]上的最大值为f(e
2
)?
2?a
e
2

2?a
2
?1,解得a?e?2.
2
所以原问题等价于
e

又
?a??1
,∴无解
第36页，共103页

1 8解：(Ⅰ)当
a?0
时函数
f(x)
的定义域为
(0,??)；
当
a?0
时函数
f(x)
的定义域为
(?1,0)

x?1
?ln(ax)
11
f
?
(x)?
x
??
2
xx?1

(x?1)
(Ⅱ)
(x?1)?xln (ax)?(x?1)
2
?x(x?1)?ln(ax)
??
x(x?1) 2
(x?1)
2

令
f
?
(x)?0
时,得
lnax?0
即
x?
1
a
,
11
x?(0,)x?(,??)
a
时
f
?
(x)?0
,当 a
①当
a?0
时,时,
f
?
(x)?0
,
11
(0,)(,??)
故当
a?0
时,函数的递增区间为
a
,递减区间为
a

②当
?1?a? 0
时,
?1?ax?0
,所以
f
?
(x)?0
,
故当
?1?a?0
时,
f(x)
在
x?(?1,0)
上单调递增.
11
x?(?1,)x?(,0)
a
,
f
?
(x)?0
;若
a
③当
a??1
时,若,
f?
(x)?0
,
1
1
(?1,)
(,0)
a
. 故当
a??1
时,
f(x)
的单调递增区间为
a
;单调递减区间为
11 (0,)(,??)
(Ⅲ)因为当
a?0
时,函数的递增区间为
a;单调递减区间为
a

1
f()?ln(2a)
若存在
x
使得
f(x)?ln(2a)
成立,只须
a
,
?
a?0
a?1a?1
?
ln()?ln2a??2a?
?
1
?0?a?1
aa
??a?1
?
?2
即
19解：(1)据题意的
39(2x
2
?29x?107)(x?5).. .(5?x?7)
198?6x
y?
{
(x?5)............ ........(7?x?8)
x?5
?
50?10(x?8)
?
(x?5)...........(x?8)

第37页，共103页 

39?(2x
3
?39x
2
?252x?535).. .(5?x?7)
?
{
6(33?x)..................... .............(7?x?8)
?10x
2
?180x?650.... ...................(x?8)

32
y?39?(2x?39x?252x?535)

5?x?7
(2)由(1)得：当时,
y
'
?234(x
2
?13x?42)? 234(x?6)(x?7)

'
y
5?x?6
当时,
?0
,
y?f(x)
为增函数
'
y
6?x?7
当时,
?0,y?f(x)
为减函数 ?
当
x?6
时,
f(x)
max
?f(16)?195

当
7?x?8
时,
y?6(33?x)?
? 150,156
?

2
y??10(x?9)?160
x?8
当时,
当
x?9
时,
y
max
?160

综上知：当
x?6
时,总利润最大,最大值为195
x
2?1x
g(x)?,f(x)?
x
,
x
ln
20解: (1) 由已知可得C＝0, ∴
f
?
(x)?
lnx?1
ln
2
x
, 令
f
?
(x)?0
,得
x?e
.列表如下:
x

(0,1)
－
单调减
(1,e)

(e,??)

f
?
(x)

f(x)

－
单调减
＋
单调增
所以
f(x)
的单调增区间为
(e,??)
,单调减区间为
(0,1)
和
(1,e)

m?
x
lnx

xm
(2)在
e?x
两边取对数,得
x?mlnx
.而
x?1
.所以
由(1)知当
x?(1,??)
时,
f(x)?f(e)?e
.所以
m?e
.
21解：(1)由题意知,
f(x)
的定义域为
(0,??)
,
11
2(x?)
2
?b?
b2x?2x?b
22
(x?0)f'(x)?2x?2???
xxx

2
第38页，共103页

?
当
b?
1
2
时,
f
?
(x)?0
,函数
f(x)
在定义域
(0,??)
上单调递增.
b?
1

2
时,
f(x)?0
,函数
f(x)
无极值点. (2) ①由(Ⅰ)得,当
②当
b ?
11?2b11?2b
1
x
1
??, x
2
??
2222
 2
时,
f
?
(x)?0
有两个不同解,
x
1
?
11?2b11?2b
??0?(0,??)，舍去而x
2
???1?(0,??)
2222
,,
?i) b?0
时,
此时
f
?
(x)
,
f(x)
随
x
在定义域上的变化情况如下表：
x

(0,x
2
)

x
2

(x
2
，??)
?

f
?
(x)

f(x)

?

减
0

极小值
, x?
增
11?2b
?
22
, 由此表可知：
b?0
时,
f(x)
有惟一极小值点
Ⅱ) 当
x

0?b?
1
2
时,0＜
x
1
?x
2
＜1 此时,
f
?
(x)
,
f(x )
随
x
的变化情况如下表：
x
1
?
0,x
1
?

?

(x
1
，x
2
)

x
2

(x
2
，??)
?

f
?
(x)

f(x)

0

极大值
0?b?
?

0

增减极小值增
由此表可知：
11?2b11?2b
1
x
1
??x
2
??
22
和一个极小值点
22
；
2
时,
f(x)
有一个极大值
综上所述：当
b?0
时,
f(x)
有惟一最小值点
0?b?
, x?
11?2b
?
22
；
当
11?2b11?2b
1
x??x??
2222
2
时,
f(x)
有一个极大值点和一个极小值点
2
(3)由(2)可知当 b??1
时,函数
f(x)?(x?1)?lnx
,此时
f(x)有惟一极小值点
x?
3?1
2

第39页，共103页

且
x?(0,
1?31?3
)时，f'(x)?0, f(x)在(0,)为减函数
22

141?3
??，
n32
111
?恒有 f(1)?f(1?)，即恒有 0?
2
?ln(1?)
nn
n
1
?当 n?3 时恒有ln(n?1)?lnn ?
2
成立
n

?当 n?3 时， 0? 1?1?
（x?0)
令函数
h(x)?(x?1)?lnx
则 h'(x)?1?
1x?1
?
xx

?x?1 时，h'(x)?0 ，又h(x)在x?1处连续?x?[1,??)时h(x)为增函数
1111
?n?3 时 1?1? ?h(1?)?h(1) 即 ?ln(1?)?0
nnnn
11
?ln(n?1)?lnn?ln(1?)?
nn
11
综上述可知 n?3 时恒有 ?ln(n?1)?lnn?
2
n
n

?2x
Q
g
'
(x)?
2
'
2
?g(2)??22
且
g(2)?1?a

(x?1)
22解：(1)
故
g(x)
在点
P(2,g(2))
处的切线方程为：
22x?y ?5?a?0

f
'
(x)?
2x
?0 2
x?1
得
x?0
, (2)由
故
f(x)
仅有一个极小值点
M(0,0)
,根据题意得：
d?
5?a
?1
3

?a??2
或
a??8

(3)令h(x)?f(x)?g(x)?ln(x
2
?1)?
1
?a
2
x?1

h
'
(x)?

当
?
12x2x1
?
??2x?
?
x
2
?1(x
2?1)
2
?
x
2
?1(x
2
?1)
2
??

'
h
时,
(x)?0

x?
?
0,1)?(1,??)
'
h
x?(??,?1)?(?1,0)
当时,
(x)?0

因此,
h(x)
在
(??,?1 ),(?1,0)
时,
h(x)
单调递减,
第40页，共103页

在
(0,1),(1,??)
时,
h(x)
单调递增.
又
h(x)
为偶函数,当
x?(?1,1)
时,
h(x)
极小值为
h(0)?1?a

当
x??1
时,
h(x)???
, 当
x??1
时,
h(x)???

??
当
x???
时,
h(x)???
, 当
x???
时,
h(x)???

故
f(x)?g(x)
的根的情况为：
当
1?a?0
时,即
a?1
时,原方程有2个根；
当
1?a?0
时,即
a?1
时,原方程有3个根；
当
1?a?0
时,即
a?1
时,原方程有4个根
2
?
y?(1?at)??2at(x?t)

y??2ax
?2at
l
?
23解：(1),切线的斜率为,切线的方程为
1?at2
1?at
2
?2at
2
1?at
2
x??t ??
y?0,
2at2at2at
令得
1?at
2
?M(,0)
2222
y?1?at?2at?1?at,?N(0,1?at) 
2at
t?0
,令,得
11?at
2
(1?at 2
)
2
2
S(t)??(1?at)?
22at4at

??MON
的面积
3a
2
t
4 ?2at
2
?1(at
2
?1)(3at
2
?1) S
?
(t)??
2
4at4at
2
(2)
Qa?0,t?0
,由
S
?
(t)?0
,得
3at
2
?1?0,即t?
3at
2
?1?0,得t?
1
3a

当
1
3a
时,
S
?
(t)?0

1
3a
时,
S
?
(t)?0

3at
2
?1?0,即0?t?
当
?当t?
1
时,S(t)有最小值
3a

已知在
t?
114
1
?,?a?
3

2
处,
S(t)取得最小值
,故有
3a
2
第41页，共103页

41
a?,t?
32
时,故当
S(t)
min
41
(1??)
2
1
34
?
2
?S()?
41
23
4??
32

1
k??.
3
24.(1)
a,b
的值依次是2、1, (2)
b?11?2
x
?0?b?1?f(x)?
f(x)f(0)
a?2
x?1
?解析：(1)因为是奇函数, 所以＝0, 即
a?2
1 1?2
2
?a?2.??
f(1)??f(?1)
知
a?4a ?1

1?
又由
1?2
x
11
f(x)???? 2?2
x?1
22
x
?1
, 易知
f(x)
在
(??,??)
上为减函 (2) 解法一：由(1)知数。又因
22
f(x)
是奇函数,从而不等式：
f(t?2t)?f(2 t?k)?0
等价于
f(t
2
?2t)??f(2t
2
? k)?f(k?2t
2
)
22
.因
f(x)
为减函数,由上式推得:
t?2t?k?2t
.
1
??4?12k?0?k??.
3
即对一切
t?R
有：
3t?2t?k?0
, 从而判别式
2
1?2
t?2t
1?2
2t?k
1?2
x
??0
f (x)?
t
2
?2t?12t
2
?k?1
x?1
2 ?22?2
2?2
.又由题设条件得：解法二：由(1)知
22
即：
(2
2t
2
?k?1
?2)(1?2
t
2
2
?2t
)?(2
t
2
?2t?1
?2)(1?2
2t
2
?k
)?0

3t
整理得:
2?2t?k
?1,因底数2>1,故:
3t
2
?2t?k?0
. 上式对一切
t?R
均成立, 从而判别式
1
??4?12k?0?k??.
3

?
k2
(x?2)(x?4),?3?x??2;
?
kx(x?2),?2?x?0;
?
?
f(x)?
?
x(x?2),0?x?2;
?
3
?
1
(x?2)(x?4),2?x?3.
f(2,5)??
? ?
k
4k
(2)25、(1)
f(?1)??k
,

f(x)
在
?
?3,?1
?
与
?
1,3 ?
上为增函数,在
?
?1,1
?
上为减函数；
2 f(?3)??k
f(x)
k??1x??3
(3)①而在处取得最小值,在 x??1
处取得最大值
f(?1)??k
.
②
k??1时,
f(x)
在
x??3
与
x?1
处取得最小值
f(?3)?f(1)??1
,在
x??1
与
x?3
处取得最大值
f(?1)?f(3)?1
.
第42页，共103页
③
?1?k?0
时,
f(x)
在
x?1
处取得最小值 f(1)??1
,在
x?3
处取得最大值
?解析：(1)
f( ?1)?kf(1)??k,Qf(0.5)?kf(2,5)
,
?f(2,5)?
113
f(0.5)?(0.5?2)?0.5??
kk4k
.
f(3)??
1
k
.
(2)
Q
对任意实数
xf(x)?kf(x?2)
,
?f(x?2)?kf(x),?f(x)?
1
f(x?2)
k
.
当
?2?x?0
时,
0?x?2?2,f(x)?kf(x?2)?kx(x ?2)
；
?1?x?2?1,f(x)?
11
f(x?2)?(x?2)( x?4)
kk
. 当
?3?x??2
时,
?
k
2 (x?2)(x?4),?3?x??2;
?
kx(x?2),?2?x?0;
?
?
f(x)?
?
x(x?2),0?x?2;
?
?
1
(x?2)(x?4),2?x?3.
?
?
k
故
Qk ?0,?f(x)
在
?
?3,?1
?
与
?
1,3 ?
上为增函数,在
?
?1,1
?
上为减函数；
?3 ,3
?
(3)由函数
f(x)
在
?
上的单调性可知, f(x)
在
x??3
或
x?1
处取得最小值
f(?3) ??k
2
或
f(1)??1
,而在
x??1
或
x? 3
处取得最大值
f(?1)??k
或
f(3)??
1
k.
2
f(?3)??k
f(x)
k??1x??3
故有①而在处取得最小值,在
x??1
处取得最大值
f(?1)??k
.
② k??1
时,
f(x)
在
x??3
与
x?1
处取得最小值
f(?3)?f(1)??1
,在
x??1
与
x?3 处取得最
大值
f(?1)?f(3)?1
.
③
?1?k?0
时,
f(x)
在
x?1
处取得最小值
f(1)??1
,在
x?3
处取得最大值
26.若
a?0
,则
f(3)? ?
1
k
.
f
?
?
x
?
?0,因此
x??
f
?
x
?
在
?
0,??
?
上是增函数.
若
a?0
,则由
f
?
?
x
?
?0
得
?
a
?
a
?,?? ??
?
,单调递减区间是
4
,因此
f
?
x ?
的单调递增区间是
?
4
第43页，共103页
a
??
0,?
??
4
?
.
?32?a??15
时,最大值是
a?1
；当
?15?a??4
时,最大值是
2 a?16
.
?
2
4
1
1
?
3
4 x?a
3
f
?
?
x
?
?x?ax?
fx? x?ax
33
3
3
x
2
?解析：解：(1)
??
,故
4
3
1
3
若
a?0
,则
f
?
?
x
?
?0
,因此
f
?
x ?
在
?
0,??
?
上是增函数.
?
a?
a
?,??
??
f
?
?
x
?
?0
x??
4
f
?
x
?
4
??
,单调递减区间是
a?0
若,则由得,因此的单调递增区间是
a
??
0,?
??
4
?
.(2) 若
a??4
,则
f?
?
x
?
?0
(
x?
?
1,8
?
),因此
f
?
x
?
在
?
1,8
?
上是增函数.
?
那么
f
?
x
?
在 x?
?
1,8
?
上的最小值是
f
?
1
?
?a?1f8?2a?16
,最大值是
??
；
若
a??32
,则
那么
f
?
?
x
?
?0x ?
?
1,8
?
fx1,8
(),因此
??
在
??
上是减函数.
上的最小值是
f
?
x
?
在 x?
?
1,8
?
f
?
8
?
?2a? 16
,最大值是
f
?
1
?
?a?1
.
若
?32?a??4
,则
x
f
?
?
x
?
1

a
??
1,?
??
4
?

?
?
a
4

?
a
?
?
? ,8
?
?
4
?

8

－ 0
极小值
＋
↗
f
?
x
?

f
?
1
?
?a?1
↘

f
?
8
?
?2a?16

a
?
a
?
3
f
?
?
?
?a
3
?
fxx?
?
1,8
?
4
, 所以
??
在上的最小值是
?
4
?
4
当
f
?
1
?
?a?1?f
?
8
?
?2a?16
,即
?32?a??15
时,最大值是
a?1
；当
?15?a??4
时,最大值
是 2a?16
.
?
??
2sin
?
2x?
?
?2
4
??
27、f(x)＝ ,
a?f
?
x?
??2?2,2?2??2?2,2?2?
?
0
?

????
?解析：(1)当
x?0
时,
f
?
x ?
?
?
sinx?cosx
?
?2cos
2
x?sin2x?2cos
2
x?1

2
?
??
? 2sin
?
2x?
?
?2
4
??
?sin2x?c os2x?2

第44页，共103页

?
??
2s in
?
2x?
?
?2
4
??
x?0
时, ?x?0
,
f
?
x
?
??f(?x)?
(6 分)
(2)若关于
x
的方程
f
?
x
?
? a?o
有解,
a?f
?
x
?
??2?2,2?2??2?2 ,2?2?
?
0
?
(12分)
28、
f(1)?f(6)?f(28)?2?9?55?66

*
a,b?N,a?b
,都有
(a?b)(f(a)?f(b))?0
, ?解析：解：(I) 由①知,对任意
*
f(a)?f(b)f(x)
N
a? b?0
由于,从而,所以函数为上的单调增函数
????
1
,显然
a?1
,否则
f(f(1))?f(1)?1
,与
f(f(1))?3矛盾.从而
a?1
,而(Ⅱ)令
f(1)?a
,则
a…
由
f(f(1))?3
,即得
f(a)?3
.
又由(I)知
f(a)?f(1)?a
,即
a?3
.
* 于是得
1?a?3
,又
a?N
,从而
a?2
,即f(1)?2
.
进而由
f(a)?3
知,
f(2)?3
.
于是
f(3)?f(f(2))?3?2?6
,
f(6)?f(f(3))?3?3?9
,
f(9)?f(f(6))?3?6?18
,
f(18)?f(f(9))?3?9?27
,
f(27)?f(f(18))?3?18?54
,
f(54)?f(f(27))?3?27?81
, 由于
54?27?81?54?27
,
而且由(I)知,函数
f(x)为单调增函数,因此
f(28)?54?1?55
.
从而
f(1)?f(6)?f(28)?2?9?55?66
.
(Ⅲ) f(a
n
)?f(f(3
n
))?3?3
n
?3n?1
,
a
n?1
?f(3
n?1
)?f(f(a n
))?3a
n
a
1
?f(3)?6
,.
即数列
{a
n
}
是以6为首项, 以3为公比的等比数列 .
n?1
∴
a
n
?6?3?2?3
n
(n?1,2,3L)
11
(1?
n
)
11111111
3
?
1(1?
1
)??
L
??(?
2
?
L
?
n
)??
3
111
1
a
1
a
2 a
n
2333243
n
(1?
n
)?
1? 3
4
,
3
于是,显然
4
另一方面
1 2n
3
n
?(1?2)
n
?1?C
n
?2?Cn
?2
2
???C
n
?2
n
?1?2n
,
第45页，共103页

1111n
(1?
n
)?(1?)?
42n?14n?2
.
3
从而
4
n1111
??????
a
n
4
. 综上所述,
4n?2a
1
a
2
29、(Ⅰ)
a?0

0?a?
1?5
2
(Ⅱ)
(Ⅲ)
(??,0]

f
?
(x)?
a
?3x
2
?2x?a
ax ?1
?解析：(Ⅰ)
x[3ax
2
?(3?2a)x?(a
2?2)]
?
ax?1

x?
∵
2
2
f
'()
=
0
3
为
f(x)
的极值点,∴
3

22
3
a
()
2
+
(3
-2
a
)
-
(
a
2
+
2)
= 0
2
a?1?0
33
∴且
3

∴
a?0
.
又当
a?0
时,
f'(x)=x(3 x-2)
,从而
(Ⅱ)因为
f(x)
在
[1,??)
上为增函数,
x=
2
3
为
f(x)
的极值点成立。
x [3ax
2
?(3?2a)x?(a
2
?2)]
?0
ax? 1
所以在
[1,??)
上恒成立.
若
a?0
,则
f
?
(x)?x(3x?2)
,
∴
f(x)
在
[1,??)
上为增函数不成立；
若
a?0
,由
ax?1?0
对
x?1
恒成立知
a?0
。
22
3ax?(3?2a)x?(a?2)?0
对
x?[1,??) 上恒成立。所以
令
g(x)?3ax?(3?2a)x?(a?2)
,其对称轴为
22
x?
11
?
32a
,
第46页，共103页

111
??
因为
a?0,所以
32a3
,从而
g(x)
在
[1,??)
上为增函数。
2
所以只要
g(1)?0
即可,即
?a?a?1?0

1?51?5
?a?
2
所以
2
0?a?
1?5
2
.
b
x

又因为
a?0
,所以
(Ⅲ)若
a ??1
时,方程
f(1?x)?(1?x)
3
?
b
x
可得
lnx?(1?x)
2
?(1?x)?
223
b?xlnx ?x(1?x)?x(1?x)?xlnx?x?x
即在
x?0
上有解
23
g(x)?xlnx?x?x
即求函数的值域.
b?x(lnx?x?x
2
)
令
h(x)?lnx?x?x
2

h
?
(x)?
1 (2x?1)(1?x)
?1?2x?
xx
∵
x?0
由
∴当
0?x?1
时,
h
?
( x)?0
,从而
h(x)
在(0,1)上为增函数；
当
x?1时,
h
?
(x)?0
,从而
h(x)
在(1,＋∞)上为减函数。
∴
h(x)?h(1)?0
,而
h(x)
可以无穷小。 ∴
b
的取值范围为
(??,0]
.
?
1
?
0,
??
?f
n
?
x
?
?a
n
?
x?n
??
n?1?x
?
4
??
30、(1)( 2)(3)
a?3

11
?
1
?
?f(x)??( x?)
2
?,x?
?
0,1
?
,?f(x)?
? 0,
?
24
?
4
?
。 ?解析：(1)
(2)当
n?x?n+1(n?0,n?Z)时
,
f
n
?
x
?
?af
n?1
?
x?1
??a
2
f
n?1
?
x?2
?
?L?a
n
f
1
?
x?n
?
?f
n
?
x ?
?a
n
?
x?n
??
n?1?x
?
。
,
f
n
?
x
?
?af
n?1?
x?1
?
?a
2
f
n?1
?
x?2
?
?L?a
n
f
1
?
x?n
?
n ?x?n+1(n?0,n?Z)时
(3)当,,
第47页，共103页

?f
n
(x)?a
n
?3
x?n
；
当
a?0
时是增函数, 显然
f
n
(x)?a
n ?3
x?n
,x?
?
n,n?1
?
,n?0,n?Z
?f
n
(x)?a
n
,3a
n
此时,
? ?
若函数
y?f(x)
在区间
?
0，??
?
上是是单调增函数,则必有
a
n?1
?3a
n
,解得：
a?3；
显然当
a?0
时,函数
y?f(x)
在区间
?所以
a?3
。
?
5
?
?
?,??
?
?
(3)见解析 31、(1)0(2)
?
2
0，??
?
上不是单调函数；
?解析：(1)解：∵
∵
f
?
x
?
??x
3
?ax
2
?bx?c
0,1
?
,∴
f
?
?
x
?
??3x
2
?2ax?b
.
f
?
x
?
在
?
??,0
?
上是减函数,在
? 上是增函数,
. ∴当
x?0
时,
∴
b?0
. f
?
x
?
取到极小值,即
f
?
?
0
?
?0
(2)解：由(1)知,
∵1是函数
f
?
x
?
??x
3
?ax
2
?c
,
,∴
c?1?a
.
f
?
x
?
2
的一个零点,即
f
?
1
?
?0
2a
x?
f
?
?
x
?
??3x?2ax?0
x
1
?0
2
3
∵的两个根分别为,.
∵
f
?
x
?
x
2
?
在
?
0,1
?
上是增函数,且函数
f
?
x
?
在
R
上有三个零点,
∴
2a35
?1a?f
?
2
?
??8?4a?
?
1 ?a
?
?3a?7??
32
.∴
2
. ,即
?5
?
?,??
??
f
?
2
?
2
??
. 故的取值范围为
(3)解：由(2)知
f
?
x
?
??x?ax?1?a
32
,且
a?
3
2
. 要讨论直线
y?x?1
与函数
y?f
?
x
?
图像的交点个数情况,
?
y?x?1,
?
32
y??x?ax?1? a
解的个数情况.
?
即求方程组
第48页，共103页
 由
?x?ax
32
?1?a?x?1
,得
?
x
3
?1
?
?a
?
x
2
?1
?
?
?
x?1
?
?0
.
x?1
?
?
x
2
?x?1
?
?a
?
x?1
??
x?1
?
?
?
x?1
?
?0
?
即.
2
x?1
?
?
x
?
?
?
?
1?a ?
x?
?
2?a
?
?
?
?0
. 即
∴
x?1
或
由方程
得
x
2
?
? 1?a
?
x?
?
2?a
?
?0
.
x
2
?
?
1?a
?
x?
?
2?a
?
?0
2
, (*)
. ??
?
1?a
?
?4
?
2?a
?
?a
2
?2a?7
a?
3
2
, ∵
3
?a?2 2?1
2
a?2a?7?0
??0
2
若,即,解得.此时方程(*) 无实数解.
2
a
??0
若,即
?2a?7?0
,解得a?22?1
.此时方程(*)有一个实数解
x?2?1
.
2
若
??0
,即
a?2a?7?0
,解得
a?22?1
.此时方程(*)有两个实数解,分别为
a?1?a
2
?2a?7a?1?a
2?2a?7
x
1
?x
2
?
22
,.
且当
a?2
时,
x
1
?0
x
2
?1
,.
3
?a?22?1
y?f
?
x
?
综上所述 ,当
2
时,直线
y?x?1
与函数的图像有一个交点.
y?f?
x
?
当
a?22?1
或
a?2
时,直线y?x?1
与函数的图像有二个交点.
y?f
?
x
?
当
a?22?1
且
a?2
时,直线
y?x?1
与函数的图像有三个交点.
?
?
f'
?
?1
?
?0
?
3?2a?b?0
?
a?2
?
?
?
??
3 ?2a?b?8
f'
?
1
?
?8
??
b?1
?
?
32、1)由题设知： ,

32
f(x)?x?2x?x
∴
f'
?
x
?
?3x
2
?4x?1
则

1
f
?
(x)?0,解得x
1
??, x
2
??1
3
令
当
x
变化时,
f
?
x
?
,f'
?
x
?
的变化情况如下表
：
第49页，共103页

x

?
??,?1
?

＋

1
1
?
?
?
?1

?
?1,?
?
3

3
?

??
1
?
?,??
??
?
3
?

f'
?
x
?
0
0
－
?

0
?
＋
f
?
x
?

?

4
?
27

4
?
1
?
f
?
?
?
??
fxf?1?027
……………5分所以
??
的极大值为
??
；极小值为
?
3
?
(2)

x
3
?2x
2
?x?kx?x
?
x
2?2x?1?k
?
?0

考虑方程
x
?
x2
?2x?1?k
?
?0
根的情况：

k?0
,则方程
当
当
当
x
?
x
2
?2x?1? k
?
?0的根为x
1
?0,x
2
??k?1,x
3
?k?1
k?1时，?k?1?0?k?1,解集为xx?k?1或?k?1?x?0
k?1时,解集为
?
xx??2
?
??

0?k?1,解集为xx?0或?k?1?x?k?1
??

(3)
?
,
?
?R,∴?1?sin
?
?1,∴?1?co s
?
?1

?
4
?
112
∴f
?
sin
?
?
?f
?
cos
?
?
? f
?
?
?
?
?
27
?
27

33、(1)见解析(2)钝角三角形
??
x,x?(a,b),且x
0
?x
0
,
使得 ?解析：证明：假设存在
00
f(b)?f(a)
?f
?
(x
0
)
b?a

f(b)?f(a)
?
?f
?(x
0
)
b?a
∴
?
(x
0
)?f
?
(x
0
?
)f
∵
e
x
11 ?
f
?
(x)??1?,记g(x)?f(x)??,
xxx
1?e1?e1?e
∴
e
x
g
?
(x)??0,f
?
(x)是[a,b]
x2
(1?e)
∴上的单调增函数。
∴ ?
,这与x
?
?x
0
矛盾,即x
0
x
0
?x
0
是唯一的。
第50页，共103页

( 2)设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
),且x
1
?x
2
?x
3

∵
f
?
(x)?
?1
? 0,
1?e
x

∴
f(x)是x?R
上的单调减函数。 ∴
f(x
1
)?f(x
2
)?f(x
3
).

∵
BA?(x
1
?x
2
,f(x
1)?f(x
1
)),BC?(x
3
?x
2
,f(x3
)?f(x
2
)),

∴
BA?BC?(x
1
?x
2
)(x
3
?x
2
)?(f(x
1
)?f(x
2
))(f(x
3
)?f(x
2
)),

∵
x
1
?x
2
?0,x
3
?x
2
?0,f(x
1
)?f(x
2
)?0,f(x
3
)?f(x
2
)?0,

∴
BA?BC?0

∴
cosB?0,?B
为钝角
∴△ABC为钝角三角形。
34、(1)
a
>1(2)有且仅有两个交点
?解析：(1)
h( x)?lnx?
a
2
1
x?2x(x?0),h'(x)??ax?2.2x

h'(x)?
1
?ax?2?0在(0,??)
x
上有解. 若使 h(x)
存在单调递减区间,则
1112
x?0时,?ax?2?0?ax?? 2?a?
2
?
xxx

x
而当
a?
121 2
?在(0,??)?在(0,??)
2
x
x
2
x
x
上有解,故
a
大于函数上的最小值. 问题转化为

12112
2
??(?1)?1,?在(0,??)
22
xxxx
又
x
上的最小值为－1,所以
a
>1.
(2)令
F(x)?f(x)?g(x)?ax?lnx?1(a?0).

函数f(x)?ax与g(x)?lnx?1
的交点个数即为函数
F(x)
的零点的个数.
1
F'(x)?a?(x?0).
x

令
F'(x)?a?
11
?0,x?.
xa
解得
第51页，共103页

随着
x
的变化,
F'( x),F(x)
的变化情况如下表：
x

F'(x)

F(x)

1
(0,)
a

－
1
a

0
1
(,??)
a

＋
单调递减极(最)小值2＋
lna
单调递增
1
F()?2?lna?0,即a?e
?2
时,F(x)
① 当
a
恒大于0,函数
F(x)
无零点.
1
F()?2?lna?0,即a?e
?2
时,
② ②当
a
由上表,函数
F(x)
有且仅有一个零点.
1
1 F()?2?lna?0,即0?a?e
?2
时,
1?
a
③
a
显然
11
F(1)?a?1?0,所以F(1)?F()?0.又F(x) 在(0,)
aa
内单调递减,
1
F(x)在(0,)
a
内有且仅有一个零点所以
1(ea
)
x
x?时,F(x)?ln?1.
ax
当
axa
y?(e)(e?1)
与幂函数
y?x
增长速度的快慢,知存在由指数函数 x
0
?
1
,
a

(e
a
)
x
0
(e
a
)
x
0
?1.F(x
0
)?ln?1?ln1?1?1?0.
xx
0
使得
0
从而
1
F()?F(x
0
)?0.
因而
a

?
1
?
1
F(x)在
?
,??
?
F(x)在 (,??)
?
a
?
上的图象是连续不断的曲线,
a
又内单调递增,
1
F(x)在(,??)
a
所以内有且仅有一个零点.
?2
0?a?e时,F(x)
有且仅有两个零点. 因此,
?2?2
a?e时,f(x)与g(x)a?e时,f(x)与g(x)
的图象有且仅有一个交点；综上,的图象无交点；当
第52页，共103页

0?a?e
?2
时,f( x)与g(x)
的图像有且仅有两个交点.
35、(1)见解析(2)奇函数(3)见解析
?
?解析：(1)取f(x)＝tanx,定义域为{x∣x≠kπ＋
2
,k ∈Z}关于原点对称,且0∈D；
a?
?
4
使得f(a)＝tana＝1；且存在常数
又由两角差的正切公式知,符合
f(x
1
?x
2
)?
f(x
1
)?f(x
2
)
1?f(x
1
)f(x
2
)
。
f(0?x)?
f(0)?f(x)
1?f(0)f(x)
, (2)f(x )是D上的奇函数；证明如下：f(0)＝0,取x
1
＝0,x
2
＝x,由 得f(－x)＝－f(x),所以f(x)是D上的奇函数；
(3)考察f(x)＝tanx的最小正周期T＝π＝4a,可猜测4a是f(x)的一个周期。证明：由已知
f(x?a)?
f(x)?f(a)f(x)?1
?
1?f (x)f(a)1?f(x)
,则
f(x?a)?1f(x)?1f(x)?11
? [?1]?[1?]??
1?f(x?a)1?f(x)1?f(x)f(x)
,
1
?f(x)
f（x?2a）
。
f(x?2a)?f[(x?a) ?a]?
f(x?4a)?f[(x?2a)-2a]??
所以f(x)是周期函数,4a是f (x)的一个周期。
36、(Ⅰ)
1
f(n)?()
n?1
3 ,
g(n)?13?2(n?5)?2n?3

913n1 92n?31
n?1
S
n
?[1?()
n
]?()
n
?3n??3n??()
4323443
(Ⅱ)
(Ⅲ)
(M?m)
min
?3

?解析：.解：(Ⅰ)取 x?n
,得
故数列
{f(n)}
是首项是
f(n?1)?11
f(n)f(1)?f(0)?1
33
,取
x?0
, 11
f(n)?()
n?1
3
1,公比为
3
的等比数列 ,所以
*
取
x?n
,
y?1
,得
g(n?1)? g(n)?2(n?N)
,即
g(n?1)?g(n)?2
,故数列
{g(n )}
是公差为
2
的等差数列,又
g(5)?13
,所以
g( n)?13?2(n?5)?2n?3

nn11
c
n
?g[f(n )]?g[()
n?1
]?n()
n?1
?3
2233
(Ⅱ )
S
n
?c
1
?c
2
?
111
?c
n
?1?2()?3()
2
?4()
3
?
33 3
11
?(n?1)()
n?2
?n()
n?1
?3n33

第53页，共103页

1111
S
n ??2()
2
?3()
3
?
3333
11
? (n?1)()
n?1
?n()
n
?n
33
,两式相减得
2111
S
n
?1??()
2
?()
3
?
3333
1
1?()
n
11
3
?n(
1 )
n
?2n?
3
[1?(
1
)
n
] ?n(
1
)
n
?2n?()
n?1
?n()
n?2n?
1
333233
1?
3
所以
913n192n ?31
n?1
S
n
?[1?()
n
]?()
n?3n??3n??()
4323443

(Ⅲ)
F(n)?S
n
?3n?
92n?31
n?1
2n?31
n?1
2n?5 1
n
1
??()F(n?1)?F(n)?()?()?(n?1)()
n ?0
44343433
,
所以
F(n)
是增函数,那么F(n)
min
?F(1)?1

2n?3
92n?31
n?1
9
?0
limF(n)?()?0F(n)?
n?1
4,由于
434
由于
n??
3
,则
n??
,则 lim
,所以
1?F(n)?
9
4

因此当
m?1
且
M?
9
4
时,
m?F(n)?M
恒成立, 所以存在正数
m?0,?1,?2,,M?3,4,5,
,使得对任意
的正整数,不等式
m?F(n)?M
恒成立.此时,
(M?m)
min
?3

15
[,]
f(x)
37、(1)
2
不是“平底型”函数(2)实数
x 的范围是
22
⑶
m
＝1,
n
＝1
?解析： (1)对于函数
f
1
(x)?|x?1|?|x?2|
,当
x?[1 ,2]
时,
f
1
(x)?1
.
当
x?1
或
x?2
时,
f
1
(x)?|(x?1)?(x?2)|?1
恒成立,故
f
1
(x)
是“平底型”函数.
对于函数
f
2
(x)?x?|x?2|
,当
x?(??,2]
时,
f
2
(x)?2
；当
x?(2,??)
时,
f
2 (x)?2x?2?2
.
所以不存在闭区间
[a,b]
,使当
x?[a,b]
时,
f(x)?2
恒成立.故
f
2
(x)
不是“平底型”函数.
(Ⅱ)若
|t?k|?|t?k |?|k|?f(x)
对一切
t?
R恒成立,则
(|t?k|?|t?k|)
min
?|k|?f(x)
.
因为
(|t?k|?|t?k|) min
?2|k|
,所以
2|k|?|k|?f(x)
.又
k ?0
,则
f(x)?2
.
15
?x?
2
. 因为
f(x)?|x?1|?|x?2|
,则
|x?1|?|x?2|?2
, 解得
2
15
[,]
故实数
x
的范围是
22
.
2g(x)?mx?x?2x?n
是区间
[?2,??)
上的“平底型”函数,则存在区间(Ⅲ)因为函数
[a,b]?[?2,??)
和常数
c
,使得
mx?x
2
?2x?n?c
恒成立.
第54页，共103页

22
x?2x?n?(mx?c)
所以恒成立,即
?
m
2
?1
?
?
?2mc?2
?
c
2
?n
?
.解得
?
m?1
?
?
c??1
?
n? 1
?
或
?
m??1
?
?
c?1
?
n?1
?
.
当
?
m?1
?
?
c??1
?
n?1
?
时,
g(x)?x?|x?1|
.
当
x?[?2,?1]
时,
g(x)??1
,当
x?(?1 ,??)
时,
g(x)?2x?1??1
恒成立.
此时,
g(x)
是区间
[?2,??)
上的“平底型”函数.
?
m??1
?
?
c?1
?
n?1
?
当时,
g(x)??x?|x?1|
.
当
x?[?2,?1]
时 ,
g(x)??2x?1?1
,当
x?(?1,??)
时,
g(x) ?1
.
此时,
g(x)
不是区间
[?2,??)
上的“平底型”函数.
综上分析,
m
＝1,
n
＝1为所求.

e
?x
f
2
(x)?
x
e?1
不是
?
函数；38、(1)(2)在R上恒有|f(x)| ≤|x|成立,则函数f(x) 是
?
函数.
?解析：1)∵|xsinx|≤|x|,∴f
1
(x )＝xsinx是
?
函数；
1
e
?x
f
2
(0)?
f
2
(x)?
x
2
,∴不满足|f(0)|≤| 0|,∴
e?1
不是
?
函数； ∵
2x
?1
2x?a
(2)设F(x)＝f(x)－x,则F′(x)＝
①当x>0时,∵a>1,
2x2x1
???1
2
2
x?a
2xa
a
∴
当x＝0时,F′(x)＝－1＜0
2x
?1
2
x?a
∴当x≥0时,F′(x)＝＜0.
∴F(x)在
?
0,??
?
上是减函数
∴F(x)≤F(0),又F(0)＝f(0)＝0,∴F(x)＝f(x)－x≤0
2x
?0
2
x?a
∵x>0时f′(x)＝
第55页，共103页

∴函数f(x)在
?
0,??
?
上是增函数,∴f(x)≥f(0)＝0
∴0≤f(x)≤x,即|f(x)| ≤|x|
②当x＜0时,－x>0, ∴|f(－x)|≤|－x|,显然f(x)为偶函数
∴|f(x)|≤|－x|即|f(x)| ≤|x|
∴在R上恒有|f(x)| ≤|x|成立,则函数f(x) 是
?
函数.

39、(1)见解析(2)成立
f(x)
?解析：(1)函数
f
1
(x)?x?2
不属于集合A.因为
1
的值域是
[?2,??),所以函数
f
1
(x)?x?2
不属于集合A.(或
Q当x?4 9?0时,f
1
(49)?5?4
,不满足条件.)
1
f
2
(x)?4?6?()
x
2
(x?0)
在集合A中, 因为: ① 函数
f
2
(x)
的定义域是
[0,??)
；
② 函数
f
2
(x)
的值域是
[?2,4)
；③ 函数
f
2
(x)
在
[0,??)
上是增函数.
1 1
f(x)?f(x?2)?2f(x?1)?6?()
x
(?)?0
24 (2),
?不等式f(x)?f(x?2)?2f(x?1)
对于任意的
x?0
总成立
f
1
(x)?
1111
2
??
f(x?1)??
(x?1)?(x?1)f(x)?f(x?1)?(x?2)?(x?2)
2
?
21
????
2222
； 40、
∴f
n
(x) ?
11
2
??
f(x?n)?(x?n)?(x?n)
n
? ?
22

x?I
1
?解析：当
f
1
(x) ?
1,2x?1?
?
0,1
?
＝
?
?
时, ,由题意
11
f(x?1)?
?
(x?1)?(x?1)
2
?
??
22
,
当
x?I
2
?
?
2,3
?
时,
x?1?
?
1,2
?
,由题意 f
2
(x)?
11
2
?
f
1
(x? 1)?
?
(x?2)?(x?2)
?
22
?
.
∵ f(x)?2f(x?1)?2
2
f(x?20?…?2
n
f(x?n),
∴f(x?n)?2
n
f(x)
,
当
x?In
?
?
n,n?1
?
时,
x?n?
?
0,1
?
,
∴f
n
(x)?
11
?
f( x?n)?(x?n)?(x?n)
2
?
n
??
22
.
第56页，共103页

41.解：(I)
f
?
(x )?
9
2
x?1
a

当
a?0时,f
?
(x)?
9
2
x?1?0,所以f(x)
a
在R 上是减函数；

9aa
9aa
a?0时,解x
2
?1? 0,得x?或x??;
解x
2
?1?0,得??x?,
a33

a33
当
所以,区间
33
(?
aa
aa
,)为f(x)
(??,?)和(,??)为f(x)
33
33
的减区间, 区间的增区间.…5分 (Ⅱ)
9
3
2
a?1
(a,f(a))在点处曲线切线的斜率为
a
,
y?(3?
3
a)?(
9
3
2
a?1)(x?
3
a),
a

切线方程
令
x
＝0,可得y＝－6, 所以切线恒守定点(0,－6)…………9分
39
y?(x
1
3
? x
1
)?(x
1
2
?1)(x?x
1
)
a a
(Ⅲ)点
(x
1
,f(x
1
))
处曲线的切线方程为,

6x
1
3
y?0,得x
2
?
2
9x
1
?a
, 令
6x
1
3
x
1
(a?3x
1
2
)
x
2
?x
1
?
2
?x
1
?
9x
1
?a9x
1
2
?a
,
a?0,x
1
?
a
,所以x
1
?0,9x
1
2
?a?0,a?3x
1
2
?0
3 ,

因为

x
1
(a?3x
1
2
)
?0,所以x
2
?x
1
2
所以
9x 1
?a

1?1?4a1?1?4a
,x
2
?.f'(x)
22
时,由＝0得
x
1
＝
1
42.(Ⅰ)当－2≤
a
＜
4
1
显然－1≤
x
1 ＜
2
1
,
2
?
1
??
1
?
?x
1
?
?
,2
?
,x
2
??
,2
?
.
?
2
??
2
?
＜
x
2
≤2,
?
x?x
1
??
x?x2
?
又
f'(x)
＝－
1
当
2
x2

≤
x
≤
x
2
时,
f'(x)≥0,
f(x)
单调递增；
当
x
2
＜
x≤2时,
f'(x)
＜0,
f(x)
单调递减,
第57页，共103页

2a1?1?4a1?1?4a
??ln22
∴
f(x)
max
＝
f
(
x
2 )＝
1?1?4a

＝－
1?4a?ln
1?1?4a
.
2

7
a?(??,]
4
符合条件 (Ⅱ)答: 存在
2
3
g(x)?[f(x)?lnx]?x
解: 因为＝
ax?x

不妨设任意不同两点
p
1
(x
1
,y
1
),p
2
(x
2
,y
2
)
,其中
x
1
?x
2

3
y
1?y
2
a(x
1
?x
2
)?(x
2
? x
1
3
)
2
k???a?(x
1
2
?x 1
x
2
?x
2
)
x
1
?x
2
x
1
?x
2
则
2
(x
1
2
?x
1
x
2
?x
2
)
a?
k?1
由知: 1＋
?
7
?
3
2222
?,13?
?3x
1
?x
1
?x
1
x
2
?x
2
?3x
2
?12
22
?
(x?x
1
x
2
?x
2
)
?
4
?
, 因为
4
,所以1＋
1
7
a?(??,]
4
符合条件。故存在
43.解：(1)函数的定义域为
(?1,0)?(0,??).

1
?
x
?
1
?
1
?ln
?
x?1
?
?
??
?1?lnx?1
??
2
?
? ＝－
x
2
?
?
x?1
?
(2)
f
?
?
x
?
＝
x
?
x?1
1 ∵ｘ＞０,∴ｘ
２
＞０,
x?1
＞０.lｎ(ｘ＋１)＞０。∴
f
?
?
x
?
＜０。

因此函数f(ｘ)在区间(０,＋∞)上是减函数.
g(x)?
当－1＜x＜0时, 记
111x
?ln(x?1),g
'
(x)?????0
x?1(x?1)
2
x?1
(x?1)
2
,故g(x)在(－
1
?
1
?ln
?
x?1
?
?
?
2
?
?
＜0,因此,函数1,0)上是减函数,即知g(x)>g(0)＝1>0,故此时
f
?
?
x
?
＝－
x
?
x?1 f(x)在区间(－1,0)上也是减函数.
综上可知函数f(x)在 (－1,0)和
(0,??)
上都是减函数
k
(3) 当ｘ>０时,f(ｘ)＞
x?1
恒成立, 令ｘ＝１有ｋ＜２
?
1?ln2
?

又k为正整数.∴k的最大值不大于３. ……..10分
第58页，共103页

k
下面证明当ｋ＝３时,f(ｘ)＞
x?1
(ｘ＞０)恒成立.
即证当ｘ>０时,
?
x?1
?
ln
?
x?1
?
＋１－２ｘ＞０恒成立.
令ｇ(ｘ)＝
?
x?1
?
ln
?
x?1
?
＋１－２ｘ, 则
g
?
?
x
?
＝
ln
?
x?1 ?
－１,
当ｘ>ｅ－１时,
g
?
?
x
? ＞０；当０＜ｘ＜ｅ－１时,
g
?
?
x
?
＜０.
∴当ｘ＝ｅ－１时,ｇ(ｘ)取得最小值ｇ(e－1)＝３－ｅ＞０.
∴当ｘ>０时,
?
x?1
?
ln
?
x?1
?
＋１－２ｘ＞０恒成立.
因此正整数k的最大值为３
14
Q
f
?
(x)?l og
a
e,g
?
(x)?log
a
e
x2x?t? 2
44.解：(Ⅰ) .
∵函数
f(x)
和
g(x)
的图象在
x?2
处的切线互相平行,
?f
?
(2)?g
?
(2)
,
14
?log
a
e?log
a
e
2t?2

?t?6
.
(Ⅱ)
Qt?6

?F(x) ?g(x)?f(x)
?2log
a
(2x?4)－log
a
x
(2x?4)
2
?log
a
,x?
?
1,4
?
x

(2x?4)
2
16
h(x)??4 x??16,x?
?
1,4
?
xx
令
Qh
?
(x)?4?
164(x?2)(x?2)
?,x?
?
1,4 ?
x
2
x
2

∴当
1?x?2
时,
h
?
(x)?0
,当
2?x?4
时,
h
?
(x)?0
.
1,22,4
∴
h(x)
在
??
是单调减函数,在
?
?
是单调增函数.
?h(x)min
?h(2)?32?h(x)
max
?h(1)?h(4)?36
,.
∴当
0?a?1
时,有
∵当
F(x)
min
?log
a
36
,当
a?1
时,有
F(x)
min
?2
F(x)
min
?log
a
32
.
x?
?
1,4
?
时,
F(x)?2
恒成立, ∴
第59页，共103页

∴满足条件的
a
的值满足下列不等式组
?
0?a? 1,
?
a?1,
??
?
log
a
36?2;
①,或
?
log
a
32?2.
②
不等式组①的解集为空集,解不等式组②得
1?a?42
.
综上所述,满足条件的
a
的取值范围是：
1?a?42
. f(x)?aln(x?1)?
a2
2x
f'(x)??
?b
2
x?1(x?1)
x?1
,∴, 45.解：(1)∵
∵函数
f(x)
在
x?0
处的切线方程为
y??x?2
,
∴
f'(0)?a?2??1
,∴
a?1

(2)∵点
(0,c)
在直线
x?y?2?0
上, ∴
c?2?0
,∴
c?2
,
∵
(0,2)
在f(x)?ln(x?1)?
2x
?b
x?1
的图象上,∴
f( 0)?b?2
,
∴
f(x)?ln(x?1)?
2x
?2(x?? 1)
x?1

f'(x)?
由(1)得：
12x?1
?? (x??1)
22
x?1
(x?1)(x?1)
,
令
f' (x)?0
,则
x?1
,因此函数
f(x)
的单调递增区间为(1, ＋∞),
令
f'(x)?0
,则
?1?x?1
,因此函数
f(x)
的单调递减区间为(－1,1)
∴当
x?1
时,函数
f( x)
取得极小值
1?ln2

33
f(x)?2x?axf(x)?2x?8x
,
P(2,0),46.解：(1)∵过点∴a＝－8
f
?
(x)?6x
2
?8x

∴切线的斜率
k?f
?
(2)?16

2g(x)?bx?cx
的图像过点
P(2,0),
∴4b＋2c＝0, ∵
∵
g
?
(x)?2bx?c,f
?
(2)?g ?
(2)?4b?c?16
,解得：b＝8,c＝－16
2
g(x)?8x?16x
∴
16（x-2）
切线方程为
y＝
.即16x－y－32＝0
第60页，共103页

(2) ∵
F(x)?m(x?2)?l n(x?1)
F
?
(x)?m?
1mx?m?1
?(x?1)
x?1x?1

(x?1)

m[x?(1?
当m＜0时,
F
?
(x)?
1
)]
m
∵m＜0 ∴
x?1
1?
1
?1
m

又x>1 当
x?(1,1?
11
)x?(1?,??)
m
时
F
?
(x)?0
当
m
时
F
?
(x)?0

1
,??)
m

1?
1
m
)
1?
11
1?
m
),单调减区间是(
m
,
??) 。
1?
1x
?
1?x1?x
,
∴F(x)的单调减区间是
(1?
∴F(x)的单调增区间是(1,
即m＜0 时,F(x)的单调递增区间是(1,
'
F
F(x)?f(x)?g(x)
4 7.解：(1)设,则
(x)
＝
'
F
x?0
当时,
(x)?0
,所以函数
F(x)
在(0,
??)
单调递增,又
F(x)

在
x?0
处连续,所以
F(x)?F(0)?0
,即
f(x)?g(x)?0
,
所以
f(x)?g(x)
。
G(x)?g(x)?
kx
k?x
, (2)设
k
2
G(x)?ln(1?x)?k?
G(x)??)
k?x
, 则在(0,恒大于0,
1k
2
x
2
?(2k?k
2
)x
G'(x )???
22
1?x
(k?x)(1?x)(k?x)
,
x 2
?(2k?k
2
)x?0
的根为0和
k
2
?2k,

2
k
??)G'(x)?0
即在区间(0,上,的根为0 和
?2k,

2
2
(0,k?2k)
单调递减,
G(x)
k?2k?0
若,则在
且
G(0)?0
,与
G(x )
在(0,
??)
恒大于0矛盾；
第61页，共103页

2
若
k?2k?0
,
G(x)
在(0,
??) 单调递增,
2
且
G(0)?0
,满足题设条件,所以
k?2 k?0
,所以
0?k?2.
。
48.解: (1)设直线y＝6x＋1, 和y＝x
3
＋bx
2
＋cx＋d相切于点P(x
0
,y0
)
∵f(x)＝x
3
＋bx
2
＋cx＋d有两个极值点x
1
＝1,x2＝2,
于是f '(x)＝3x
2
＋2bx ＋c＝3(x－1)(x－2)＝3x
2
－9x＋6
9
从而b＝－, c＝6
2
y=6x＋1 ①
?
?
9
9
(2)又f(x)＝x－x＋6x＋d, 且P(x,y)为切点, 则
?
y=x－x＋6x＋d ②

2
2
?
?
3x－9x＋6=6 ③
00
32
32
00
0000
2
00
9
由③求得x
0
＝0或x
0
＝3, 由①②联立知d＝1＋x
0
2
－x
0
3
.在x
0
＝0时, d＝1; 在x
0
＝3
2
299
2
9
2
29
33
时, d＝ ∴f(x)＝ x－x＋6x＋1, 或f(x)＝ x－x＋6x＋
2222
(3)当d为整数时,d＝1符合条件, 此时P为(0,1)
9
设过P(0,1)的直线
l
: y＝kx＋1和y＝ x
3
－x
2
＋6x＋1,相切于另一点(x1,y1).则
2
y=kx＋1 ④
?
?
9
y= x－x＋6x＋1 ⑤
由④⑤及x≠0, 可知: kx＝x
?
2
?
?
k=3x－9x＋6 ⑥
11
32
111
11
2
11
9
2
9
2
1
－x
1
＋6x
1
即 k＝x
1
－x
1
＋6
22
3
再联立⑥可知k＝x
1
2
－x
1
＋6＝3x
1
2
－9x
1
＋6,又x
1
≠0,
91515
∴x
1
＝ , 此时k＝故切线方程为: y＝ x＋1 .
41616
49.解:(1)∵当a＝ 1时
当
x?
?
0,1
?
f
?
?
x
?
?3x
2
?3
,令
f
?
?
x ?
＝0,得
x
＝0或
x
＝1………………………2分
f
?
?
x
?
?0
时
f
?
?x
?
?0
,当
x?
?
??,0
?
U ?
1,??
?
时
fx0,1??,0
?
U
?
1,??
?
∴
??
在
??
上单调递减,在
?
上单调递增,
fxf1
∴
??
的极小值为
??
＝－2.………………………………………………………………4分
f
?
?
x
?
?3x
2
?3a
??3a
(2)∵…………………… …………………………………………6分
∴要使直线
x?y?m
＝0对任意的
m?R
总不是曲线
y?
f(x)
的切线,当且仅当－1＜－3a,
第62页，共103页

∴
a?
1
3
.…… ……………………………………………………………………………………8分
(3)因
g ?
x
?
?f
?
x
?
?x
3
?3ax
f
?
?
x
?
?0
在[－1,1]上为偶函数,故只求在 [0,1]上最大值,…………9分
① 当
a?0
时,
∴
fx0,1f0?0
,
??
在
??
上单调递增且
??
,
g
?
x
?
?f
?
x
?
?f
?
x
?
Fa?f
?
1
?
?1 ?3a
,∴
??
.…………………………………………10分
② 当
a?0
时
f
?
?
x
?
?3x
2
?3a?3x?a
???
x?a
?

gx?f
?
x
?
??f
?
x
?
?f
?
x ?
?
0,1
?
i .当
a?1
,即
a?1
时
??
,在上单调递增,此时
F
?
a
?
? ?f
?
1
?
?3a?1
…………………………………………………… ………………12分
?
0,a
??
a,1
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
0?a?1
???
上单调递增.
0?a?1
Ⅱ. 当,即时,在上单调递减,在
?
1
?a?1
?
a,1
?
0,a
?
g
?
x ?
?f
?
x
?
??f
?
x
?
?
f
?
1
?
?1?3a?0
0
???
上单调
3
1 当即时,在上单调递增,在
?
递减,故
F
?a
?
??f
?
a
?
?2a
0?a?
a
.……………………………………14分
f1?1?3a?0
2
0
当
??
即
1
3
时,
0?a?
1
4
时,
F
?
a
?
? f
?
1
?
?1?3a
(ⅰ)当
?f
??
a?f
?
1
?
?1?3a
即
(ⅱ) 当
?f
??
11
?a?
a?f
?
1
?
?1?3aF?
a
?
??f
3
时,即
4
?
a
?
?2aa

1
?
1?3a,(a?),
?
4 ?
1
?
F
?
a
?
?
?
2a a,(?a?1),
4
?
?
3a?1,[1,??).
?
?
综上………………………………………………
50.解：(Ⅰ)三个函数的最小值依次为1
,
1?t
,
1?t
,…………………… …3分
由
f(1)?0
,得
c??a?b?1

3232
f(x)?x?ax?bx?c?x?ax?bx?(a?b?1)
∴
?(x?1)[x
2
?(a?1)x?(a?b?1)]
,
第63页，共103页

2
x
故方程
?(a?1)x ?(a?b?1)?0
的两根是
1?t
,
1?t
.
故1?t?1?t??(a?1)
,
1?t?1?t?a?b?1
.………………… ……4分
(1?t?1?t)
2
?(a?1)
2
,即
2? 2(a?b?1)?(a?1)
2

2
∴
a?2b?3
.…………………………………………………………5分
(Ⅱ)①依题意
x
1
,x
2
2
f'(x)?3x?2ax?b?0
的根, 是方程
故有
x
1
?x
2
??
2abx
1
x
2
?
3
,
3
,
2
?(2a)?12b?0
,得
b?3
. 且△
2a
2
?3b23?b
|x
1
?x
2
|?(x
1?x
2
)?4x
1
x
2
??
33
…… …………………7分由
2
23?b
2
?
2
a
3 b?2
3
；得,,
?2b?3?7
.
由(Ⅰ)知
1?t?1?t??(a?1)?0
,故
a??1
,
∴
a??7
,
c??(a?b?1)?7?3

32
f(x)?x?7x?2x?7?3
.…………………………………………9分 ∴
32
)?a(x
1
2
?x
2
)?b(x1
?x
2
)|
|M?N|?|f(x
1
)?f(x2
)|
?|(x
1
3
?x
2
②
?| x
1
?x
2
|?|(x
1
?x
2
)
2
?x
1
x
2
?a(x
1
?x
2
)?b|

?
23?b2ab2a
|(?)
2
??a?( ?)?b|
3333

3
2
3
49?a
4
?(3?b)
2
()
2
2
27
(或
27
) . ………………………………………11分
222
由(Ⅰ)
(a?1)?(1?t?1?t)?2?21?t

∵
0?t?1
,
2
2?(a?1)?4
, ∴
又
a??1
,
∴
?2?a?1??2
,
第64页，共103页

?3?a??2?1
,
3?22?a
2
?9
(或
2?b?3
) …………………13分
3
4
0?|M?N|?(3?2)
2
27
∴ .…………………………………15分
51..解：(1)因为函数f(x)在(－∞,＋∞)上为单调递增函数,
所以f′(x)＝x
2
＋ax＋a>0在(－∞,＋∞)上恒成立.
由Δ＝a
2
－4a＜0,解得0＜a＜4. 4分
1
又当a＝0时,f(x)＝
3
x
3
－2在(－∞, ＋∞)上为单调递增函数;
14
11
当a＝4时,f(x)＝
3
x
3
＋2x
2
＋4x－2＝
3
(x＋2)
3
－
3
在(－∞,＋∞)上为单调递增函数,
所以0≤a≤4. 6分
(2)依题意,方程f′(x)＝0有两个不同的实数根x
1
、x
2 ,
由Δ＝a
2
－4a>0,解得a＜0或a>4,且x
1
＋ x
2
＝－a,x
1
x
2
＝a. 8分
11
所以f(x
1
)－f(x
2
)＝［
3 (x
1
2
＋x
1
x
2
＋x
2
2
)＋
2
a(x
1
＋x
2
)＋a］(x
1
－x
2
).
f(x
1
)?f(x
2
)
x
1
?x
2
所以
1111
＝
3
［ (x
1
＋x
2
)
2
－x
1
x
2 ］＋
2
a(x
1
＋x
2
)＋a＝
3
(a
2
－a)＋
2
a(－a)＋a＝－
125
6
a
2
＋
3
a≥－
6
.
解之,得－1≤a≤5.
所以实数a的取值范围是－1≤a＜0或4＜a≤5.
52.解：(1)依题意,对任意实数
x
都有：
f(?x)??f(x)
,
32
?f(x)?ax?3cx,f(x)?3ax?3c
…(3分)
f(0)?0
可得：,
b
＝0；…(2分)
2
f(x)取极小值－
3
, 又当
x?1
时,
所以：
f
?
(1)?3a?3c?0
,
f(1)?a?3c ??
2
3
.…(5分)
1111
a?,c??a?,b?0,c??
33
,故
33
.…(6分) 解得：
1
?
时,图象上不存在两点,使得在这两点处的切线互相垂直. (2)当
x?
?
?1，
1
?
时,图象存在两点假设当
x?
?
?1，
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,使得在这两点处的切线互相垂直.设
这两条切线的斜率分别为
k
1
和
k
2
,则有
k
1 k
2
??1
.…(8分)
第65页，共103页
 2
k
1
?x
1
2
?1,k
2
?x 2
2
?1
f(x)?x?1
则由知这两点处的切线的斜率分别为：,且

k
1
k
2
?(x
1
2
?1)(x
2
2
?1)??1LL(?)
…(10分)
Qx
1
,x
2
?
?
?1，1
?
,?x1
2
?1?0,x
2
2
?1?0,
?(x
1 2
?1)(x
2
2
?1)?0

这与(*)相矛盾,故假设不成立.…(13分)
1
?
时,图象上不存在两点,使得在这两点处的切线互相垂直.…(14分) 所以当
x?
?
?1，
53.解：(Ⅰ) ∵
f
(
x
)＝
x
3
＋(
m
2
－4
m
＋ 2)
x
＋
m
3
－6
m
2
＋ 9
m
－1,
∴
f
′(
x
)＝ 3
x
2
＋(
m
2
－4
m
＋ 2).
因为
f
(
x
)有极值,故
f
′(
x
)＝ 0有两个不同的实数根,
∴
m
2
－4
m
＋ 2＜0, ∴
2?2?m?2?2
. ……………… 4分
(Ⅱ)设
f
′(
x
)＝ 0的实数根为
?
,
?
(
?
＜
?
),则
?
＋
?
＝ 0.
于是
g
(
m
)＝
f
(
?
)＋
f
(
?
)
＝
?
3
＋
?
3
＋(
m
2
－4
m
＋ 2)(
?
＋
?
)＋ 2(
m
3
－6
m
2
＋ 9
m
－1)
＝(
?
＋
?
)(
?
2
－
??
＋
?
2 )＋(
m
2
－4
m
－2)(
?
＋
?
)＋ 2(
m
3
－6
m
2
＋ 9
m
－1),
由
?
＋
?
＝ 0 得
g
(
m
)＝ 2(
m
3
－6
m
2
＋ 9
m
－
1),(
2?2?m?2?2
). ……………… 8
分
∴
g
′(
m
)＝ 6(
m
2
－4
m
＋ 3),由
g
′(
m
)＝ 0,得
m
＝ 1,3.
m

2?2

…
＋

1
0
6
…
－

3
0
－2
…
＋

2?2

g
′(
m
)
g
(
m
)
2(1?2)

2(1?2)

由上表得,最大值
g
(1)＝ 6,最小值
g
(3)＝－2.…………12分
3
f
?
( x)?3ax
2
?3(a?2)x?6?3a(x?)(x?1)
2
54.解 (I),………………2分
2
?a?2,??1
a

22
x?或x?1时,f
?
(x)?0,当?x?1时,f
?
(x)?0 .
aa
当 ………………4分
22
?f(x)在(??,),(1 ,??)内单调递增,在(,1)
aa
内单调递减,
a
f(x)的极小值为f(1)??.
2
…………………………………………6分故
2
a?0时,?3(x?1)?0
,只有一根；…………………………7分 (Ⅱ)①当
第66页，共103页

②当
a?0时,
22
?1,当x?或x?1时,f
?
(x)?0
aa
,
2 a
?x?1时,f
?
(x)?0.?f(x)极大值为f(1)???0
2 当
a
,
2
f()?0,?f(x)?0
极小值
a
有三个根；………………………………9分
0?a?2时,
22 ?1,当x?1或x?时,f
?
(x)?0
aa
, ③当
2
1?x?时,f
?
(x)?0
a
当, ?f(x)极大值为f(1)??
a
?0,?f(x)?0
2
有一个根； ………………10分
2
?
a?2时,f(x)?6(x?1)?0.?f( x)?0
有一个根………………11分 ④当
2133
f(x)极大值为f( )??4(?)
2
??0
aa44
⑤当
a?2时
,由(I),

f(x)?0
有一个根
综上：当
a?0时,f(x)?0
有一根；
当
a?0时,f(x)?0
有三个根.………………………………………12分
32
f(x)?x?(1?a)x?ax
55.解:(1)
13
(a?)
2
?
1?a
2
(1?a)1?a
2
24 f
'
(x)?3x
2
?2(1?a)x?a?3(x?)?a??3( x?)?
3333

2
'
'
f
f(x)?0
x,x
12
所以方程有两个不同的实数解,
(x)?3(x?x
1
)(x?x
2
)

'
f
x?x(??,x)(x,??) 1212
不妨设,则在区间和上,
(x)?0
,
f(x)
是增函数；在区间
(x
1
,x
2
)
'
f
上, (x)?0
,
f(x)
是减函数；
故
x
1
是极大值点,
x
2
是极小值点。
3322
x?x?(1?a)(x?x)?a(x
1
?x
2
)?0 
f(x)?f(x)?0
1212
12
(2) 由得：
2 2
(x?x)[(x?x)?3xx]?(1?a)[(x?x)?2x
1
x
2
]?a(x
1
?x
2
)?0

12121212
即
第67页，共103页

2
? x?x?(1?a)
2
?
?
1
3
?
?
xx?
a
12
?
3
?
又且
a?1

2442a2(1?a)a
(1?a)[(1?a)
2
?a]?(1?a)[ (1?a)
2
?]??0
9933
所以
3

2
整理得
2a?5a?2?0
解得
a?2

所以当
a?2
时,不等式
f(x
1
)?f(x
2
)?0
成立。
6
13
f(x)??x
3
?x,f
?
(x)??x
2
?1?0
?x?
3
………………2分
22
56.解：(Ⅰ),
f(x)
max
?f(
626
)?,f(x)
min
?f(2)??2
39
, …………4分当
x?[0,2]
时,
33
f
?
(x)?? x
2
?t?0得t?x
2
,
?t?6,f(x)
是单调增函数； ………………6分
22
(Ⅱ)
33
f
?
(x)??x
2
?t?0得t?x
2
,
?t?0,f(x)
是单调减函数； ………………8分
22
由
(Ⅲ)
|f( x)|
是偶函数,对任意
x?[?2,2]
都有
|f(x)|?6
成立
?
对任意
x?[0,2]
都有
|f(x)|?6
成立
1°由(Ⅱ)知当
t?0
或
t?6
时,
f(x)
是定义域上的单调函数,
对任意
x?[0,2]
都有
|f(x)|?6
成立
?|f(2)|?6?|2t?4|?6??1?t?5

??1?t?0时,对任意
x?[?2,2]
都有
|f(x)|?6
成立 …………10分
f(x)?tx?
36t
1
3
1
f
?
(x)??x
2
?t?0得x??2
x??x(x
2
? 2t)
23
22
,由 2°当
0?t?6
时,
??
6t
?
6t
?
?f(x)在
?
0,,2
????
3
?
上是单调增函数
?
3
?
在上是单调减函数,∴对任意
x?[0,2]
都有
?
?1?t?5
?
?1? t?5
?
|f(2)|?6
???
3
?
?
????
243
6t
26t
3
0?t?
f()?6
?6
???
2

|f(x)|?6成立
3
?
??
9
第68页，共103页

?0?t?
3
24 3
2
时,对任意
x?[?2,2]
都有
|f(x)|?6
成立 ………………12分
?1?t?
3
综上可知,当
243
2
时,对任意
x?[?2,2]
都有
|f(x)|? 6
成立 .……14分
22
57.解：
f
?
(x)?3ax?2bx?a(a?0).
………1分
(1)
?x 1
??1,x
2
?2
是函数
f
(
x
)的两个极值点,

?f
?
(?1)?0,f
?
( 2)?0.
………………………………………………………………2分
?3a?2b?a2
?0,12a?4b?a
2
?0,解得a?6,b??9.
………………………3分
?f(x)?6x
3
?9x
2
?36x.
…………………………………………………………4分
(2)∵
x
1
、
x
2
是
f
(
x
)是两个极值点,
?f
?
(x
1
)?f
?
(x
2
)?0.

22
∴
x
1
、
x
2
是方程
3ax?2bx?a?0
的两根.
∵△＝ 4
b
2
＋ 12
a
3
, ∴△>0对一切
a
> 0,
b?R
恒成立.
x
1
?x
2
? ?
?a?0,
2ba
,x
1
?x
2
??,
3a3
?x
1
?x
2
?0.

2b
2a4b
2
4
?|x
1
|?|x
2
|?|x1
?x
2
|?(?)?4(?)??a.
2
3a33
……………………6分
9a
4b
2
4
22
|x
1
|?|x
2
|?22得?a?22,?b?3a(6?a).
2
3 9a
由 ………………7分
?b
2
?0,?3a
2
(6?a)?0,0?a?6.
………………………………………… 8分
22
?
h(a)?3a(6?a),则h(a)??9a?36a.
令
0?a?4时,h
?
(a)?0?h(a)
在(0,4)内是增函数；
4?a?6时,h
?
(a)?0
∴
h
(
a
)在(4,6)内是减函数.
∴
a
＝ 4时,
h (
a
)有极大值为96,
?h(a)在
?
0,6
? 上的最大值是96,
∴
b
的最大值是
46.
…………………………………………………………………10分
(3)证法一：∵
x 1
、
x
2
是方程
f
?
(x)?0
的两根,
第69页，共103页

?f
?
(x)?3a(x? x
1
)(x?x
2
)
,…………………………………………………… 12分
1
|x?x
1
|?|x?x
2
?|
13
)
2
?|g(x)|?3a|x?x
1
|?|x?x
2
?|?3a(
32
………… 14分
?x
1
?x?x
2
,?x?x
1
?0,x?x
2
?0,
3a13a 1
[(x?x
1
)?(x?x
2
?)]
2
?(x 2
?x
1
?)
2
.
4343
a1
? x
1
?x
2
??,x
2
?a,?x
1
?? .
33

?|g(x)|?
?|g(x)|?
3a111
? (a??)
2
?a(3a?2)
2
.
43312
……………………………………16分
证法二：∵
x
1
、
x
2
是方程
f
?
(x)?0
的两根,
?f
?(x)?3a(x?x
1
)(x?x
2
)
.……………………… …………………………… 12分
a1
?x
1
?x
2
?? ,x
2
?a,?x
1
??.
33

111
?|g(x)|?|3a(x?)(x?a)?a(x?)|.?|a(x?)[3(x?a)?1]|
333

∵
x
1
＜
x
＜
x
2
,
1
?|g(x)|?a(x?)(?3x?3a?1)
3
………………………………………………… 14分
13a?1
??3a(x?)(x?) 33
a
2
3a
3
1
??3a(x?)??a
2
?a
243

3a
3
1a(3a?2)
2
2
??a?a?
4312
……………………………………………1 6分
?
(x)?3ax
2
?6x?6af
58.解：(Ⅰ)因为, 所以
f
?
(?1)?0
即
3a?6?6a?0
,所以
a
＝－2.
(Ⅱ)因为直线
m
恒过点(0,9).
2
(x,3x?6x
0
?12)
,因为
g
?
(x
0 )?6x
0
?6
.
m
00
先求直线是
y
＝
g
(
x
) 的切线.设切点为
2
所以切线方程为
y?(3x
0
?6x
0
?12)?(6x
0
?6)(x?x
0
)
,将点(0,9) 代入得
x
0
??1
.
当
x
0
??1
时,切线方程为
y
＝9, 当
x
0
?1
时,切线方程为
y
＝12
x
＋9. 
2
f
由
(x)?0
得
?6x?6x?12?0
,即有
x??1,x?2

第70页，共103页

当x??1
时,
y?f(x)
的切线
y??18
,
当
x?2
时,
y?f(x)
的切线方程为
y?9
?
y?9
是公切线, 
2
f
又由
(x)?12
得
?6x?6x?12?12
?
x?0
或
x?1
,
当
x?0
时
y?f(x)
的切线为
y?12x?11
,
当
x?1
时
y?f(x)
的切线为
y?12x?10
,
?
y?12x? 9
,不是公切线
综上所述
k?0
时
y?9
是两曲线的公切线
2
(Ⅲ).(1)kx?9?g(x)
得
kx?3x?6x?3
,当
x?0
,不等式恒成立,
k?R
.
1
k?3(x?)?6
x
当
?2?x?0
时,不等式为,
11
3(x?)?6??3[(?x)?]?6
x(?x)
??3?2?6? 0?k?0
而
11
k?3(x?)?63(x?)?6?12
xx
当
x?0
时,不等式为,
?

?
k?12

?
当
x??2
时,
kx?9?g(x)
恒成立,则
0?k ?12

32
(2)由
f(x)?kx?9
得
kx?9?? 2x?3x?12x?11

当
x?0
时,
9??11
恒成立,
k?R
,当
?2?x?0
时有
h(x)??2x
2?3x?12?
k??2x
2
?3x?12?
20
x

设
20310520
?2(x?)
2
??
x
＝48x
,
310520
?2(x?)
2
??
48为增函数,
x
也为增函数
?
h(x)?h(?2)?8
当?2?x?0
时
?
要使
f(x)?kx?9
在
?2?x ?0
上恒成立,则
k?8

由上述过程只要考虑
0?k?8
,
2
f(x)??6x?16x?12
＝
?6(x?1)(x?2)

x?0
则当时

?
在
x?(0,2]
时
f( x)?0
,在
(2,??)
时
f(x)?0
?
f(x)在
x?2
时有极大值即
f(x)
在
(0,??)
上的最大值,又
f(2)?9
,即
f(x)?9
而当
x?0
,k?0
时
kx?9?9
,
?
f(x)?kx?9
一定成立
第71页，共103页

综上所述
0?k?8
.
2
f'(x)?3x?2ax?b
。依题意则有： 59.解：(Ⅰ)
?f(1)?4
?
1?a?b?4
?
a??6
???
32
f'(1)?03?2a?b?0b?9
f(x)?x?6x?9x
；
? ??
,所以,解得,所以
f'(x)?3x
2
?12x?9?3(x?1)( x?3)
,由
f'(x)?0
可得
x?1
或
x?3
。
f'(x),f(x)
在区间
(0,4]
上的变化情况为：
x

0
(0,1)

1
0
4
(1,3)

3
0
0
(3,4)

4
f'(x)

f(x)

＋
增函
数
—
减函
数
＋
增函
数

4 0
32
f(x)?x?6x?9x
在区间
[0,4 ]
上的最大值是4,最小值是0。所以函数
(Ⅱ)由函数的定义域是正数知,
s?0
,故极值点
(3,0)
不在区间
[s,t]
上；
1t?3
,在此区间上
f(x)
的最大值是4,不可能等(1)若极值点
M(1,4)
在区间
[s,t]
,此时
0?s≤≤
于
t
；故在区间
[s,t]
上没有极值点；
32
f(x)?x?6x?9x
在 [s,t]
上单调增,即
0?s?t≤1
或
3?s?t
, ( 2)若
32
?
s?6s?9s?s
?
f(s)?s
??s?2
?
??
32
t?6t?9t?t
f(t)?t
?
则
?
,即
?
,解得
?
t?4
不合要求；
?
f(s)?t
?
32
f(x)?x?6x?9x
[s,t ]
(3)若在上单调减,即
1≤s?t≤3
,则
?
f(t)?s,
2
(s?t)?6(s?t)?st?10?0
, ①
s?t
两式相减并除得：
22
[s(s?3)]?[t(t?3)] 两式相除并开方可得,
即
s(3?s)?t(3?t)
,整理并除以
s?t
得：
s?t?3
, ②
?s?t?3
?
2
st?1
s,t
x
?
则①、② 可得,即是方程
?3x?1?0
的两根,
s?
3?53?5
t?
2
,
2
满足要求；即存在
第72页，共103页

(Ⅲ)同(Ⅱ),极值点
(3,0) 不可能在区间
[s,t]
上；
1t?3
, (1)若极值点
M(1,4)
在区间
[s,t]
,此时
0?s≤≤
?
??
?
?
?
故有①
?
?
0?s≤1≤t?3?
kt?4
?
?
ks?f(s)
?
?
f(s) ≤f(t)
或②
?
0?s≤1≤t?3
kt?4
ks?f(t)f(s)≥f(t)

①由
k?
44
k?(,4]
t ,
1≤t?3
知,
3
,当且仅当
t?1
时,
k?4
；
2
k?(s?3)
1
知,
k?[4,9]
,当且仅当
s?1
时,
k?4
再由,
0?s≤
由于
s?t
,故不存在满足要求的
k
值。
s?
1tt(3?t)
2
f(t)?f(t)?[]
1
可解得
2≤t?3
,
k42
,及
0?s≤
44
k?( ,2]
t
,
2≤t?3
知,
3
；
②由
所以
k?
441tt(3?t)
2
k?(,2]t??[2,3)s?f(t) ?f(t)?[]?(0,1]
3kk42
即当时,存在,,
f(s)≥4s?
4
f(t)?f(t)
k
,满足要求。且
1
或
3?s?t
, (2)若函数
f(x)
在区间
[s,t]
单调递增,则
0?s?t≤
?
f(s)?ks
?
2
且
?
f(t)?kt
,故
s,t
是方程
x?6 x?9?k
的两根,
由于此方程两根之和为3,故
[s,t]
不可能同在一个单调增区间；
? f(s)?kt
?
f(x)
[s,t]
1≤s?t≤3
(3) 若函数在区间单调递减,即,
?
f(t)?ks
,
2222
s(s?3)?t(t?3)
两式相除并整理得,
由
1? s?t?3
知
s(s?3)?t(t?3)
,即
s?t?3
,
再将两式相减并除以
s?t
得,
?k?(s
2
?st?t
2
)?6(s?t)?9?(s?t)
2
?6(s?t)?9?st
??st
,
第73页，共103页

即
k?st?(
s?t
2
9
)?
24
。
9
k?(0,)
4
,
s,t
是方程
x
2
?3x?k?0
的两根, 即
s?
3?9?4k3?9?4k
s?
22
,满足要求。即存在 综上可得,当
0?k?
9
32
4
时,存在两个不等正数
s,t
(s?t)
,使
x?[s,t]
时,函数
f(x)?x?6 x?9x
的值域恰好是
[ks,kt]
。
60.(Ⅰ)解：∵函数
f
(
x
)＝
x
4
＋
ax
3
＋bx
2
＋
c
,在
y
轴上的截距为－5, ∴
c
＝－5.
∵函数
f
(
x
)在区间[0,1] 上单调递增,在[1,2]上单调递减,
∴
x
＝1时取得极大值,又当
x ＝0,
x
＝2时函数
f
(
x
)取得极小值.
∴
x
＝0,
x
＝1,
x
＝2为函数
f
(
x
)的三个极值点,
即
f'
(
x
)＝0的三个根为0,1,2,
∴
f

'
(
x
)＝4
x
3
＋3
ax
2
＋2
bx
＝4
x
(
x
－1)(
x
－2))＝4
x
3
－12
x
2
＋8
x
.
∴
a
＝－4,
b
＝4, ∴函数
f
(
x
)的解析式：
f
(
x
)＝
x
4
－4
x
3
＋4
x
2
－5.
(Ⅱ)解：若函数
f
(
x
)存在垂直于
x
轴的对称轴,设对称轴方程为
x
＝
t
,
则
f
(
t
＋
x
)＝
f
(
t
－
x
)对
x
∈R恒成立.
即:

(
t
＋
x
)
4
－4(
t
＋
x
)
3
＋4(
t
＋
x
)2
－5＝(
t
－
x
)
4
－4(
t－
x
)
3
＋4(
t
－
x
)
2
－5.
化简得(
t
－1)
x
3
＋(
t
2
－3
t
＋2)
x
＝0对
x
∈R恒成立.
?
?
t
－1＝0，
∴
?
2
∴
t
＝1
?
t
－3
t
+2＝0．
?
即函数
f (
x
)存在垂直于
x
轴的对称轴
x
＝1.
(Ⅲ)解：
x
4
－4
x
3
＋4
x
2
－5＝λ
2
x
2
－5恰好有三个不同的根,
即
x
4
－4
x
3
＋4
x
2
－λ
2
x
2
＝0恰好有三个不同的根,
即
x
2
(
x
2
－4
x
＋4－λ
2
)＝0,∵
x
＝0是一个根 ,
∴方程
x
2
－4
x
＋4－λ
2
＝0应有两个非零的不相等的实数根,
∴△＝16－4(4－λ
2
)＝4λ
2>0,且
x
1
x
2
＝4－
?
2
≠0, ∴
?
≠0,－2,2.
若存在实数
m
,使得不等式
m2
＋
tm
＋2≤|
x
1
－
x
2
|对任意
t
∈[－3,3],
λ
∈
A
恒成立.
∵|
x
1
－
x
2
|＝(
x
1
－
x
2
)
2
－4
x
1
x
2
＝2|
?
|＞0,
要使
m2
＋
tm
＋2≤|
x
1
－
x
2
|对任意
t
∈[－3,3],
λ
∈
A
恒成立,
只要
m
2
＋
tm
＋2≤0对任意
t
∈[－3,3 ] 恒成立,
令
g
(
t
)＝
tm
＋
m
2
＋2

, 则
g
(
t
)是关于
t
的线性函数.
??
?
g
(－3) ≤ 0，
?
1≤
m
≤2，
?
∴只要解得
?

g
(3) ≤ 0．
??
??
－2≤
m
≤－1． ∴不存在实数
m
,使得不等式
m
2
＋
tm
＋ 2≤|
x
1
－
x
2
|对任意
t
∈[－3, 3],
λ
∈
A
恒成立.
61.(Ⅰ)∵f′(x)＝3x
2
＋2bx＋c,
?
f'(1) ?0,
?
由f(x)在x＝1时,有极值－1得
?
f(1)??1.
(2分)
第74页，共103页

?
3?2b?c?0,
?
b?1,
解得
??
1?b?c?2??1.
?
c??5. (3分) 即
?
当b＝1,c＝－5时,
f′(x)＝3x
2
＋2x－5＝(3x＋5)(x－1),
当x>1时,f′(x)>0,
5
当－
3
＜x＜1时,f′(x)＜0.
?
b?1,?
从而符合在x＝1时,f(x)有极值,∴
?
c??5.
(4分)
(Ⅱ)假设f(x)图像在x＝t处的切线与直线
2
(b－c)x＋y＋1＝0平行,
∵f′(t)＝3t
2
＋2bt＋c,
直线(b
2
－c)x＋y＋1＝0的斜率为c－b
2
,
∴3t
2
＋2bt＋c＝c－b
2
,(7分)
即3t
2
＋2bt＋b
2
＝0.
∵Δ＝4(b
2
－3b
2
)＝－8b
2
,
又∵b≠0, ∴Δ＜0.
从而方程3t
2
＋2bt＋b
2
＝0无解,
因此不存在t,使f′(t)＝c－b
2
,
却f(x)的图像不存在与直线(b
2
－c)x＋y＋1＝0平行的切线.(9分)
b
2
b
(Ⅲ)证法一：∵|f'(x)|＝|3(x＋
3
)
2
＋c－
3
|,
b
①若|－
3
|>1, 则M应是|f′(－1)|和|f′(1)|中最大的一个,
∴2M|≥f′(－1)|＋|f′(1 )|＝|3－2b＋c|＋|3＋2b＋c|≥|4b|>12,
3
∴M>6,从而M≥
2
. (11分)
b
②当－3≤b≤0时,2M≥|f′(－1)＋|f′(－
3
)|
b
2
b
2
13
＝|3－2b＋c|＋|c－
3
| ≥|
3
－2b＋3|＝|
3
(b－3)
2
|≥3,所以M≥
2
.
b
2
b
2
b
③当0＜b≤3时,2 M≥|f′(1)|＋|f′(－
3
)|＝|3＋2b＋c|＋|c－
3
|≥ |
3
＋2b＋3|
13
＝|
3
(b＋3)
2|>3,∴M≥
2
.
第75页，共103页

3
综上所述,M≥
2
. (14分)
b3c?b
2
?,
2
3
), 证法二：f′(x)＝3x＋ 2bx＋c的顶点坐标是(
3
b
①若|－
3
|>1,则M应是|f′ (－1)|和|f′(1)|中最大的一个,
∴2M≥|f′(－1)|＋|f′(1)|＝|3－2 b＋c|＋|3＋2b＋c|≥4|b|>12,
3
∴M>6,从而M≥
2
. (11分)
3c?b
2b
②若|－
3
|≤1,则M是|f′(－1)|、|f′(1)|、|
3
|中最大的一个.
3
(i)当c≥－
2
时,2M≥|f′(1)| ＋|f′(－1))|≥|f′(1)|＋f′(－1)|＝|6＋2c|≥3,∴
3
M≥2
.
3c?b
2
b
2
33
||?
3 3
－c≥－c>
2
, (2)当c＜－
2
时,M≥
3
综上所述,M≥
2
成立. (14分)
证法三：∵M是|f′(x)|,x∈[－1,1]的最大值,
∴M≥|f′(0)|,M≥|f′(1)|,M≥|f′(－1)|.(11分)
3
∴4M≥2|f′(0)|＋|f′(1)|＋|f′(－1)|≥|f′(1)＋f′(－1)－2f′(0 )|＝6,即M≥
2
.
(14分)
1?a?2?a?1
62.解：(1)
Qf(?1)?f(1)
,∴ ①
11
11
1???1?2
f(?)?f()
1?a?2a?a? 1
aa
aa
,∴又,即 ②
由①②得
a?1
?a? ?1
,.又
Qa?1
时,①、②不成立,故
?a??1
.－－－－－－2分
32
g(x)??x?bx?cx
,设
x
、
x是函数
g(x)
的两个极值点,则
x
、
x
是方程∴1212
g

(x)??3x
2
?2bx?c
＝0的两个根,
??4b
2
?12c?0(c为正整数)
,
第76页，共103页

32
?x
1
3
?b x
1
2
?cx
1
?x
2
?bx
2
?cx
2
2b
?
x
1
x
2
∴
x 1
＋
x
2
＝
3
,又∵ A、O、B三点共线, ＝,
2b
(x?x)[?(x
1
?x
2
)?b]
∴12
＝0,又∵
x
1
≠
x
2
,∴b＝
x
1
＋
x
2
＝
3
,∴b＝0.－－－－－－－－－－
－－－－－－6分
f(x)
min
?2
(2)
Qx?0
时,, －－－－－－－－－－－－－－－
－－－－－－－－7分
2
g(x)??3x?c? 0
得由
x?
c
cc
(,??)(0,)
3
,可知 g(x)
在
3
上单调递增,在
3

cccc2cc
)???c?
333333
. －－－－－－－－－－－－－－－上单调递减,
g(x)
极大值
?g(
－－－－－－9分
?
c
? 1
?
?
3
?
?
2cc
?2
?
①由
?
33
得
c?3,
?c
的值为1或2.(∵
c为正整数) －－－－－－－－－－－－－－
－－－11分
cc
?1x?[ 1,]
g(x)
3
上切线斜率为2的切点的横坐标为
x
0
, ②
3
时,记在
2
g(x)??3x?c?2
得则由
x
0
?
c?2
3
,依题意得
g(x
0
)?f(x 0
)
,
??x
0
3
?cx
0
?2 x
0
,?x
0
2
?c?2,?
c?2
?c?2, 3
得
c?2,
与
c?3
矛盾.
hx?2x?g?
x
?
x?1
(或构造函数
??
在上恒正)
综上,所求
c
的值为1或2. －－－－－－－－－－－－－－－－
－－－－－－－14分
??
63.解：(1)∵
f(x)?3x?2bx?3c
,
f(1)?0
,∴
3?2b?3c ?0
,∴
2
c??
2b?3
3
.1分
g
?
(m)?3m?2bm?c?0
2
,即
3m
2
?2bm?
2b?3
?0
2
3
,∴
(2?6m)b?9m?3
.…3分
①当
2?6m?0
,即
m?
1
3
时,上式不成立.………………………………………………4分
第77页，共103页
9m
2
?339m
2
?3
13
???0
b? m???b?0
2?6m?0
22?6m
2?6m
32
②当, 即时,.由条件,得到.
9m
2
?33
1
??
?m?1 m?0
2?6m2
3
由,解得或.……………………………………………5分
313
9m
2
?3
m?
??m?
?0
3 .…………………………………………6分
3
或由
2?6m
,解得 3
?
33
?m?0?m?1
33
或.…………………………… …………7分
?

m
的取值范围是
(2)有一个实根.…………… …………………………………………………………………9分
F(x)?0
,即
3x
3
?3bx
2
?4cx?4?0
.
32
?
(x)?9x
2
?6bx?4cQ(x)?3x?3bx?4cx?4Q
记,则.
32b?3
??b?0c??
3
,
?
?1?c?0
.………………………10分 ∵
2
,
?
△＞0,故
Q
?
(x)?0
有相异两实根
x
1
，x
2
(x
1
?x
2
)
.
?
0?x
1
?x
2
?1，
?
4
?
4
24
x??
??xx? 0.
x
1
?x
2
??b,x
1
?x
2?c
1
12
?
9x
2
,
39
,∴
?
9
显然
x
1
?0?x
2
,
1?x
1
?x
2
?
?4
4
?x
2
0?x
2
?
2
9x
2
3
. …………12分 ,∴
9x
2
?9x
2
?4?0
,∴∴1881632
22
Q(x
2
)?x
2
?Q
?
(x
2
)?bx
2
?cx
2
?4?0?bx
2
?cx
2
?4?b?c?4
33399
于是
88?32
?(2b?4c)?4?(c?3)?4??4?0
999
.
而
x
2
为三次函数
Q(x)
的极小值点,故
Q (x)
与
x
轴只有一个交点.
∴ 方程
F(x)?0
只有一个实根.…………………………15分
22
f?(x)?3x?4x?3x?2bx?c
, 64.解：(Ⅰ)∵
∴
b?2，c?0
.
32
f(x)?x?2x?d
. ∴
又∵
f(1)?7,?d?4
,
第78页，共103页

32
f(x)?x?2x?4.
∴
232232
F (x)?f(x)?ax?x?2x?4?ax?x?(2?a)x?4
. ∴
2
F?(x)?3x?2(2?a)x
. 则
由
F?(x)?0求得x
1
??
2(2?a)
,x
2
?0
3
。
?x
1
?x
2
.当
x
变化时,
F
′(
x
)、
F
(
x
)的变化情况如下： ∵
a?0，
(－∞,－
x
2(2?a)
3
)
－
2(2?a)
3
(－
2(2?a)
3
,0)
0
0
极小值
(0,＋∞)
＋
增函数

F
′(
x
) ＋ 0 －
F
(
x
) 增函数极大值减函数
∴当
x
＝0时,
F
(
x
)取得极小值4.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
F
(
x
)＝
x
3
＋( 2－
a
)
x
2
＋4.
∵
F
(
x
)≥0在
?
0,??
?
恒成立
?
当
x∈
?
0,??
?
时,
F
(
x
)
min
≥0.
(1)若2－
a
>0,即
a
＜2时,由( Ⅰ)可知
F
(
x
)
min
＝
F
(0)＝4 >0,符号题意；
2(2?a)
,x
2
?0
3
1
(2)若2－
a
≤0,即
a
≥2时,由
F
′(
x )＝0求得
x＝
－,且
x
1
?x
2
. 2(2?a)
?0
?
?
x?0，??
3
∴当时,
F
(
x
)
min
＝
F
(－),
2a? 42a?4
2
3
即(
3
)－(
a
－2)(
3
)＋4≥0,解不等式得2≤
a
≤5.
a
2
?13a? 39?
11
,6?a???(a?6)
2
?3.
6?a
只需证
6?a
要证不等式
∵
a?5
,∴
6?a?
1 ?2
2
(a?6)?3?2.
(当
a
＝5时,“＝”号成立)
6?a
,－
故
a
2
?13a?39?
1
a ?6
成立(当
a
＝5时,“＝”号成立)
2
f(x)?f(?x)?2x
65.[解](1) －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－1分
2
当
x?0
时,
2x?2x

?

0?x?1
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
第79页，共103页

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分
2
当
x?0
时,
2x??2x

?

?1?x?0
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
－－－－－－－－－－3分
所以集合
C?[?1,1]
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－4分
xx?1x2x
x
(2)
f(a)?a?5?0

?

(a)?(a?1)a?5?0
,令
a?u

2
h(u)?u?(a?1)u?5?0

h(0)??5
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－则方程为
－－－－－－－－－－－－－－5分
1 1
u?[,a][,a]
a
当
a?1
时,,
h(u)?0 在
a
上有解,
11
?
1
?
h()?2
?1??5?0
a
?
a
a
2
?
h( a)?a?(a?1)a?5?0
?
a?5
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－则
?
－－－－－－－－－－－－－－－－7分
1
1
u?[a,]
[a,]
a
,
g(u)?0
在
a
上有解, 当
0?a?1
时,
?
h(a)?0
?
1
?
h(
1
)?0
0?a?
?
2
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－则
?
a

?

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－9分
所以,当
0 ?a?
1
2
或
a?5
时,方程在
C
上有解,且有唯一解。－－－－－－－－－－－－－－－
－10分
1
A?[?,2]
4
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－(3)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－11分 ①当
t?0
时,函数
g(x)?x
3
?3tx?
t2
在
x?[0,1]
单调递增,所以函数
g(x)
的值域 1
1
?
?
t
t??
??
?
?
2
2
4
??
2
5
t52
??
t??
2?1?t
B?[,1?t]t??
5
,即
2
,解得
? 22
, ∵
A?B
, ∴
?
5
－－－－－－13分
②当
t?0
时,任取
x
1
,x
2
?[0,1]
,
x
1
?
x
2

g(x
1
)?g(x
2
)?x
1
?3tx
1?x
2
?3tx
2
?(x
1
?x
2
) (x
1
2
?x
1
x
2
?x
2
?3 t)

第80页，共103页
332

1
0 2
若
t?1
,∵
0?x
1
?1
,
0 ?x
2
?1
,
x
1
?
x
2
,∴ x
1
?x
1
x
2
?x
2
?3?3t

2
5t
B?[1?t,]
22
∴
g (x
1
)?g(x
2
)?0
,函数
g(x)
在区间
[0,1]
单调递减,
?
?
1?
?
?
∴ ?
51
t??
24
t
?2
2
：又
t ?1
,所以
t?4
。－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
－－－－－－－－－－－－15分
2
0
若
0?t?1
, 222
x?xx?x?3t3x?3t
,
x
1
?t
.
g(x)?g(x)?0,
xx
11221
12
12
?若则须,∵,∴
22
x,x?[t,1]
x?xx?x?3t
,
g(x
1
)?g(x
2
)?0
；－－－－－－－－－－－－－－－ 12
1122
于是当时,
16分
22
x,x?[0,t] x?xx?x?3t
,
g(x
1
)?g(x
2
)?0 .

12
1122
当时,
因此函数
g(x)
在[t,1]
单调递增；在
[0,t]
单调递减.
g(x)
在x?t
达到最小值。
?
g(0)?2或g(1)?2
?
? g(t)??
1
?
?
4
要使
A?B
,则?
2
?
t?4或t??
?
5
?
32
?
?
8(t)?2(t)?1?0
,
因为
0?t?1
,所以使得
A?B
的
t
无解。－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ －－－－－－－－－－－－－－－18分
2
(??,?]?[4,??)
5 综上所述：
t
的取值范围是：
66.解：①
Q
函数
f(x)
的图象关于原点对称
?
对任意实数
x
,有
f(?x)??f(x)

3232
?

?ax?2bx?cx?4d??ax?2bx?cx?4d

即
bx
2
?2d?0
恒成立
?
b?0,d?0

?f(x)?ax
3
?cx ,f
?
(x)?3ax
2
?c
22
a?c?
Qx? 1
时,
f(x)
取极小值
3
,
?3a?c?0
且 3

?
1
?a?,c??1
3

第81页，共103页

②当
x?
?
?1,1
?
时,图象上不存在这样的两点使结论成立。
A(x
1
,y
1 ),B(x
2
y
2
)
假设图象上存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直,则由

f
?
(x)?x
2
?1
知 两点处的切线斜率分别为
且
2
(x
1
2
?1)(x 2
?1)??1
2
K
1
?x
1
2
? 1,K
2
?x
2
?1
(*)
Qx
1 ,x
2
?
2
?(x
1
2
?1)(x
2
?1)?0
[－1,1]与(*)矛盾
Qf
?
(x)?x
2
?1
③ 令
f
? (x)?0
得
x??1
,
Qx?(??,?1)

或
x?(1,??)
时,
f
?
(x)f0
,
x?(?1,1)
时
f
?
(x)p0

?
f
?
(x)
在[－1,1]上是减函数,且
f
max
(x )?f(?1)?
2
3
……10分
f
min
(x)?f(1)??
22
f(x)?
3

?
在[－1,1]上
3

f(x
1
)?f(x2
)?f(x
1
)?f(x
2
)?
224
??
333

Qx
1
,x
2
?
?
?1 ,1
?
时,
2
?
f(x)?x?(k?1)x
……………… ……1分 67.解：(1)由题意
因为
f(x)在区间(2,??)
上为增函数 2
?
f(x)?x?(k?1)x?0在(2,??)
上恒成立,……………… 3分所以
即
k?1?x恒成立,又x?2

所以
k?1?2,故k?1
……………………5分
22
?
f(x)?x?2x?(x?1)?1在x?(2,??)
恒大于0, 当k＝1时,
故
f(x)在(2,??)
上单增,符合题意.
所以k的取值范围为k≤1.……………………6分
x
3
(k?1)
2
1
h(x)?f(x)?g(x)??x?kx?
323
(2)设h
?
(x)?x
2
?(k?1)x?k?(x?k)(x?1)

令
h
?
(x)?0得x?k或x?1
………………8分
由(1)知k≤1,
第82页，共103页

2
?
h(x)?(x?1)?0,h(x)
在R上递增,显然不合题意………9分 ①当k＝1时,
②当k＜1时,
h(x),h
?
(x)随x
的变化情况如下表：
x
h
?
(x)

(??,k)

k
0
极大
(k,1)
－
1
0
极小
k?1
2

(1,＋
?
)
＋＋
h(x)

↗
k
3
k
2
1
↘
???
623

↗
……………………11分
k?1?0,欲使f(x)与g(x)
由于
2
图象有三个不同的交点,
即方程
f(x)?g(x)

也即
h(x)?0
有三个不同的实根
k
3
k
2 1
????0
2
(k?1)(k?2k?2)?0,

623
故需即
?
k?1
,
?
2
所以
?
k ?2k?2?0
解得
k?1?3

综上,所求k的范围为
k?1?3
.……………………14分
32
f（x）?ax?bx?cx（a?0）
68.解：(1)函数是定义在R上的奇函数,
2 ?f（?x）??f（x），
即
bx?0
对于
x?R
恒成立,
?b?0
.
?
x）f（x）?ax
3
?cx
, f（?3ax
2
?c

?a?c?1
,
?
x??1
时,函数取极值1.∴
3a?c?0，
13
a?，c??
2 2
. ……………………………………………4分解得:
f（x）?
1
3
3333
x?xf
?
(x)?x
2
??(x?1)(x? 1)
22
,
222
, (2)
?
x）
x? ?
?1，1
?
时
f（?0
,
?f(x)在x?
?
?1,1
?
上是减函数, ……………6分
f（x）?1
1）?f（x）?f（?1）
即
f（
,则,
第83页，共103页

1
?
时,当
x
1 ，x
2
?
?
?1，
f（x
1
）?f（x2
）?f（x
1
）?f（x
2
）?1?1?2
.…9分
(3)设
A（x
1
，y
1
），B（x
2，y
2
）（x
1
?x
2
）
,
?f ?
（x）?
3
2
3
x?
22
,过
A ，B
两点的切线平行,
22
?
x
1
）
?
x
2
），可得x
1
?x
2
?f（?f（
.
?x
1
?x
2
?x
1
??x
2
, 则
y
1
??y
2
,
k
AB
?
y
2
?y
1
y
1
1
2
3
??x1
?
x
2
?x
1
x
1
22
,
3
2
31
2
3
?（x
1
?）（x
1
?）??1，
2222
由于过
A
点的切线垂直于直线
AB
,12分
∴
3x
1
?12x
1
?13?0
,∵
???12?0,?关于x
1
的方程无解.
?
曲线上不存在两个不同的点
A，B
,使过
A，B
两点的切线都垂直于直线
AB.
42
69.解.(Ⅰ)
F
(x)?f(x)?g(x)?lnx?
a1ax?a
(x?0F'(x)??
2
?
2
(x?0) xx
xx

?a?0,由F
?
(x)?0?x?(a, ??),?F(x)在（a,??）上单调递增。

由
F
?
(x)? 0?x?(0,a),?F(x)在（0,a）上单调递减
。
?F(x)的单调递减区间为（0,a），单调递增区间为（a,??）

F?
(x)?
(Ⅱ)
x
0
?a
1x?a
?
(0?x?3),k?F(x)??(0?x
0
?3)恒成立
0
2
2
x
2
x
0

1
2
1
2
1
a?(?x
0
?x
0
)
min
x
0?1时，?x
0
?x
0
取得最大值
222
当
?a?
11
,?a
nmn
?
22
…………………………………………4分
y?g(
2a1
2
1
)? m?1?x?m?
22
的图象与
x
2
?1

(Ⅲ )若
y?f(1?x
2
)?ln(x
2
?1)
的图象恰有四个不同交点,
1
2
1
x?m??ln(x
2
?1)
2
即
2
有四个不同的根,亦即
第84页，共103页
 m?ln(x
2
?1)?
1
2
1
x?
22 有四个不同的根。
1
2
1
x?
22
, 令
G(x)?ln(x
2
?1)?
2x2x?x
3
?x?x(x?1) (x?1)
G
?
(x)?
2
?x??
2
x?1x? 1x
2
?1
则。
当
x
变化时
G
?
(x).G(x)
的变化情况如下表：
x

（??，?1）

(－1,0) (0,1)
＋
↗
－
↘
＋
↗
(1,
??
)
－
↘
G
?
(x)
的符号
G(x)
的单调性
由表格知：
G(x)
最小值
?G(0)?
1
,G(x)
最大值
?G(1)?G(?1)?ln2?0
2
。
111
?m?(,ln2)
22
可知,当
2
时, 画出草图和验证
G(2)?G(?2)?ln5?2?
y?G(x)与y?m恰有四个不同的交点，
12a11
?当m?(,ln2)时，y?g(
2
)?m?1?x2
?m?的图象与
222
x?1

y?f(1?x
2 )?ln(x
2
?1)的图象恰有四个不同的交点。
………………4分
y
?F(x,y)?(1?x)
70.解：(1)
?f(x)?F(1,l og
2
(x
2
?4x?9)?2
log
2
(x2
?4x?9)
?x
2
?4x?9
,故A(0,9)…1分 又过坐标原点O向曲线C
1
作切线,切点为B(n,t)(n>0),
f
?
(x)?2x?4.

?
t?n
2
?4n?9
?
?
?
t
,解得B(3,6)
?
?2n?4
?n
…………3分
x
3
?S??(x?4x?9?2x)dx?(?3x
2
?9x)|
3
0
?9.
3

3
0
2
………………5分
x
?ln(1?x)
ln(1?x)
1?x
h( x)?,x?1,由h
?
(x)?
x
x
2
(2)令,…………6分
第85页，共103页

11?x
x
?
?p(x)????0
p(x)??ln(1?x),x?0,
22
1? x
(1?x)(1?x)
1?x
又令 ,
?p(x)在[0,??)
单调递减.……………………7分
?当x?0时有p(x)?p(0)?0,?当x?1时有h
?
(x)?0,

?h(x)在[1,??)
单调递减,………………8分
?1?x?y时,有
ln(1?x)ln(1?y)
?,?yln(1?x)?xln(1?y),?(1?x)
y
?(1?y)
x
xy
,
?当x,y?N
?
且x ?y时F(x,y)?F(y,x).
………………9分
2232
g(x)?F(1,log(x?ax?bx?1)?x?ax?bx?1,

2
(3)
设曲线
C
2
在x
0
(?4 ?x??1)
处有斜率为－8的切线,
322
?
log(x?ax?bx? 1)?0,g(x)?3x?2ax?b,

2
又由题设
∴存在实数b使得 由①得
2
?
3x
0
?2ax
0
?b??8 ?
?
?4?x
0
??1
?
32
?
x
0
?ax
0
?bx
0
?1?1
①
②
有解,…………11分
,…………12分
③
2
b??8? 3x
0
?2ax
0
,
代入③得
2
?2x
0
?ax
0
?8?0
2
?
2x
0
?ax0
?8?0
?由
?
22
?
?4?x
0
?8?0
有解,得
2?(?4)?a?(?4)?8?0或2?(?1)?a?(?1)?8? 0
,
?a?10或a?10,?a?10.
………………14分
x
x
ax
2
e
e?x?1?
2
成立。 7 1.(1)证明：(Ⅰ)在
x?0
时,要使
只需证：
e
x
?
a
2x
ax?1
xe?x?11?x
2
?
x
22e
① 即需证：
1?e
x
?(x?1)e
x ?x
a
2
x?1
y
?
(x)?ax??ax?
y(x)?x?
x
x2x
(e)e
2e
令,求导数
∴ y
?
(x)?x(a?
1
)
2
e
,又
a?1
,求
x?0
,故
y
?
(x)?0

∴
y(x)
为增函数,故
y(x)?y(0)?1
,从而①式得证
第86页，共103页

x
2
x
e?x?1?ae 2
x?0
(Ⅱ)在时,要使成立。
x
ax
2
?x ax
2
?2x
e?e?x?11?e?(x?1)e
?x
22
只需证：,即需证： ②
x
ax
2
?2x
?2xx
m(x)?e?(x?1)e
?x
?
?
m(x)??xe e
?
?a(x?1)
?
?

2
令,求导数得
x
?
(x)?e?a(x?1)
在
x?0
时为增函数 ,故
?
(x)?
?
(0)?1?a?0
,从而
m(x)?0
而
∴
m(x)
在
x?0
时为减函数,则
m(x)?m(0) ?1
,从而②式得证
ax
2
x
e?x?1?e
2
由于①②讨论可知,原不等式在
a?1
时,恒成立…………(6分)
2
22
x
0
ax
0
x
x0
e?x
0
?1 ?a?e?
x
0
0
?1?0
2
(2)解：将变形为
2e
③
x0
ax
2
x?1
t(x)?? x
?1
2e
要找一个X
0
>0,使③式成立,只需找到函数的最小值,
满足
t(x)min?0
即可,对
t(x)
求导数
令
t
?
(x)?0
得
e
x
?
t
?
(x)?x(a?
1
)
e
x

1
a
,则x＝－lna,取X
0
＝－lna
在0＜ x ＜－lna时,
t
?
(x)?0
,在x > －lna时,
t
?
(x)?0

t(x)
在x＝－lna时 ,取得最小值
t(x
0
)?
a
(lna)
2
?a( ?lna?1)?1
2

a
(lna)
2
?alna?a? 1)?0
下面只需证明：
2
,在
0?a?1
时成立即可
p (a)?
a
(lna)
2
?alna?a?1
2
,对
p(a)
关于
a
求导数又令
1
p
?
(a)?( lna)
2
?0
2
则,从而
p(a)
为增函数
a
(lna)
2
?alna?a?1?0
则
p(a)?p(1)?0 ,从而
2
得证
于是
t(x)
的最小值
t(?lna)?0

第87页，共103页

因此可找到一个常数
x
0
? ?lna(0?a?1)
,使得③式成立 ……………………(14分)
g(x)?f( x)?
2x2x
?ln(x?1)?,
x?2x?2
则72.解：(1)由题设得
'
f
?
x
?
?ln(x?1)
,令
1 2(x?2)?2xx
2
g(x)???.
22
x?1(x?2)(x?1) (x?2)
Qx?0,?g
'
(x)?0,
?g(x)
在
?
0,??
?
上是增函数。故
g(x)?g(0)?0,
即
f
?
x
?
?
2x
x?2
。
1
2 x?f(x
2
)?m
2
?2bm?3
(2)原不等式等价于 2
。
2xx
3
?x
1
2
1
2'
22
?
h(x)?x?f(x)?x?ln(1?x),
h(x)?x ?
2
1?x1?x
2
。
22
令则
'
h 令
(x)?0,
得
x?0,x?1,x??1.
列表如下(略) 2
?
当
x?
?
?1,1
?
时,
h(x )
max
?0,
?m?2bm?3?0
。
2
?
?
Q(1)?m?2m?3?0
?
2
Q(?1)?m
2
?2m ?3?0
?
Q(b)??2mb?m?3,
?
令则解得
m??3或
m?3
。
73.解：(1)三个函数的最小值依次为
1
, 1?t
,
1?t
,
由
f(1)?0
,得
c??a?b?1

3232
f(x)?x?ax?bx?c?x?ax?bx?(a?b?1)
∴
?(x?1)[x
2
?(a?1)x?(a?b?1)]
,
2x
故方程
?(a?1)x?(a?b?1)?0
的两根是
1?t
,
1?t
.
故
1?t?1?t??(a?1)
,
1?t?1?t?a?b?1
.
(1?t?1?t)
2
?(a?1)
2
,即
2?2(a?b ?1)?(a?1)
2

2
∴
a?2b?3
.
(2)①依题意
x
1
,x
2
2
f'(x)?3x?2ax ?b?0
的根, 是方程
故有
x
1
?x
2
??2ab
x
1
x
2
?
3
,
3
,
2
?(2a)?12b?0
,得
b?3
. 且△
第88页，共103页

2a
2
?3b23?b
|x
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
??
33
由
2
23?b
2
?
2
3

3
；得,
b?2
,
a?2b?3?7
.
由(Ⅰ)知
1?t?1?t??(a?1)?0
,故
a??1
,
∴
a??7
,
c??(a?b?1)?7?3

32
f(x)?x?7x?2x?7?3
. ∴
32
|M?N| ?|f(x
1
)?f(x
2
)|
?|(x
1
3?x
2
)?a(x
1
2
?x
2
)?b(x1
?x
2
)|
②
?|x
1
?x
2 |?|(x
1
?x
2
)
2
?x
1
x
2
?a(x
1
?x
2
)?b|

?
23?b2ab2a
|(?)
2
??a?(?)?b|
3333

3
49?a
2
3
4
2
?(3?b)
() 2
2
27
(或
27
).
222
(a?1)?(1?t?1?t)?2?21?t
由(Ⅰ)
2
2?(a?1)?4
,
0?t?1
∵ , ∴
又
a??1
, ∴
?2?a?1??2
,
?3? a??2?1
,
3?22?a
2
?9
(或
2?b?3
)
3
4
0?|M?N|?(3?2)
2
27
∴ ..
2
ax
?f'(x)?
a(x?b)?ax(2x)
f(x) ?
2
22
(x?b)
x?b
74.解：(Ⅰ)已知函数,…………１分
?
f'(1)?0
?
?
f(1)?2
又函数
f (x)
在
x?1
处取得极值2,
?
…………２分

?
a(1?b)?2a?0
?
a?4
?
?
??
a
4x
?2
?f(x)?
2
?
b?1
?
x?1
……………………4分即
?
1?b

第89页，共103页

?f'(x)?
(Ⅱ)
4(x
2
?1)?4x(2x)
(x
2
?1)
2
?
4? 4x
2
(x
2
?1)
2
由
f'(x)?0
,得
4?4x
2
?0
,即
?1?x?1

所以f(x)?
4x
x
2
?1
的单调增区间为(－1,1)………… ……………… 6分
因函数
f(x)
在(m,2m＋1)上单调递增,
?
m??1
?
?
2m?1?1
?
2m?1?m
则有 ?
, …………７分
解得
?1? m?0
即
m?(?1，0]
时,函数
f(x)
在(m,2m＋1)上为增函数 ………８分
4x
?f(x)?
2
x?1
(Ⅲ)
4(x
2
?1)?4x(2x)
?f'(x)?
(x
2
?1 )
2

22
4(x
0
?1)?8x
0
k? f'(x
0
)?
22
(x?1)
0
直线
l
的斜率…………９分
即
k

?4[
211
?]?t，t ?(0，1]
222
(x
0
?1)
2
x
0
?1
令
x
0
?1
,…………１０分
2
k?4(2t?t)，t?(0，1]
则
11
?k?[?，4][?，4]
2
即直线
l
的斜率k的取值范围是
2
………………1２分
75.解：(Ⅰ)
f
?
(x)?3mx?1
,依题意,得
f
?
(1)?
∵
f(1)?n
, ∴
n??
2
tan
?
4
,即
3m?1?1
,
m?
2
3
. …2分
1
3
. ……………………3分
x??
2
2
. …………………………4分 (Ⅱ)令
f
?
(x)?2x?1?0
,得
?1?x??
2
当 2
22
??x?
22
2
时,
f
?
( x)?2x?1?0
；当
22
时,
f
?
(x)?2x?1? 0
；

2
?x?3
2
?
f(x)?2x?1?0
. 又
2
当时,
第90页，共103页

f(?1)?
2222
1
f(?)?f()??
23
,
23
,
f (3)?15
. 因此,当
x?[?1,3]
3
,
时,
?
2
?f(x)?15
3
.
要使得不等式
f(x)? k?1993
对于
x?[?1,3]
恒成立,则
k?15?1993?200 8
.
所以,存在最小的正整数
k?2008
,使得不等式
f(x)?k?1993
对于

x?[?1,3]
恒成立.

22
?|(sin
3
x?sinx)?(cos
3
x?cosx)|
33
(Ⅲ)方法一：
|f(sinx)?f(cosx)|

2
2
22
?|(s in
3
x?cos
3
x)?(sinx?cosx)|
?|(sin x?cosx)[(sinx?sinxcosx?cosx)?1]|
3
3
21
1
?|sinx?cosx|?|?sinxcosx?|
?|sinx?c osx|
3
?
1
|2sin(x?
?
)|
3
?
22
33
3
3
.
34
又∵
t?0
,

∴
t?
11
? 2t
2
?
2
?1
2t
4t
,.
∴
2f(t?
12
2
11
2122
1
211
)
?2[(t?)
3
?(t?)]
?2(t?)[(t?
2
)?]
?22(?)?
333
.
2t33
2t
4t
32t2t
综上可得,
|f( sinx)?f(cosx)|?2f(t?
1
)
2t
(
x?R,
t?0
). ………14分
?
222
?
2
]上是增函数；在[
2
,
2
]上是减函数；方法二：由(Ⅱ)知,函数
f(x)
在 [－1,
22222
11
f (?)?f()??
f(?1)?f(1)??
23
,
23
,
3
,
3
. 在[
2
,1]上是增函数.又
?
22 2
?f(x)?|f(x)|?
33
,即
3
.
|f(sinx)|?
2
2
|f(cosx)|?
3
.
3
,
2222
??
333
.……11分
所以,当
x
∈[－1,1]时,
∵
sinx
,
cosx
∈[－1,1],∴
∴
|f(sinx)?f(cosx)|?|f(sinx)|?|f(cosx)|?
又∵
t?0
,∴
t?
1
?2?1
2t
,且函数 f(x)
在
[1,??)
上是增函数.
第91页，共103页

∴
2f(t?
1222
)?2f(2)?2[(2)3
?2]?
2t33
. …………………13分
综上可得,
|f(sinx)?f(cosx)|?2f(t?
1
)
2t
(x?R
,
t?0
).……………14分
76..解：(1)因为
f
?
(x)?
11
?cosx
24
,…………2分

13
f
?
(x)?[,]
44
满足条件
0?f
?
(x)?1,
………………3分所以
又因为当
x?0
时,
f(0)?0
,所以方程
f(x)?x?0
有实数根0.
f(x)?
xsinx
?
24
是集合M中的元素.…………4分所以函数
(2)假设方程
f(x)?x?0
存在两个实数根
?,
?
(
?
?
?
),

则
f(
?
)?
?
?0,f(
?
)?
?
?0
,………5分不妨设
?
?
?
,根据题意存在数
c?(
?
,
?
),

使得等式
f(
?
)?f(
?
) ?f(
?
?
?
)f
?
(c)
成立,………………… …7分
因为
f(
?
)?
?
,f(
?
)?
?
,且
?
?
?
,所以
f
?
(c) ?1
,
与已知
0?f
?
(x)?1
矛盾,所以方程
f(x)?x?0
只有一个实数根；…………9分
(3)不妨设
x
2?x
3
f(x
2
)?f(x
3
)
,因为
f
?
(x)?0,
所以
f(x)
为增函数,所以,
又因为
f
?
(x)?1?0
,所以函数
f(x)?x
为减函数, ………………10分
所以
所以
所以
f(x
2
)?x
2
?f(x
3
)?x
3
,…………11分
,即
|f(x
3
)?f(x
2
)|?|x
3
?x
2|,0?f(x
3
)?f(x
2
)?x
3
?x
2
…………12分

|f(x
3
)?f(x
2
) |?|x
3
?x
2
|?|x
3
?x
1
?( x
2
?x
1
)?|x
3
?x
1
|?|x 2
?x
1
|?2.
f
?
(x)?[x
2?(a?2)x?a?b]e
x?2
,由条件得：
f
?
(1)? 0
. 77..解：(I)

?2a?b?3?0
,
?b??3?2a
. (1分)
f
?
(x)?[x
2
?(a?2)x?3?a]e
x?2
?0
得：
(x?1)[x?(?3?a)]?0
.
当
a??4
时,
x?1
不是极值点,
?a??4
. (2分)
当
a??4
时,得
x?1
或
x??3?a
；当
a??4
时,得
x??3?a
或
x?1
. (4分)
综上得：当
a??4
时,
f(x)
的单调递增区间为(??,?3?a)
及
(1,??)

第92页，共103页

单调递减区间为
(?3?a,1)
. (5分)
当
a??4
时,

f(x)
的单调递增区间为
(??,1)
及
(?3?a,??)

单调递减区间为
(1,?3?a)
. (6分)
(Ⅱ)
a?(0,1)
时,由(I)知

f( x)
在
[0,1)
上单调递减,在
(1,2]
上单调递增.
f(x)
min
?f(1)?(1?a?b)e
?1
?(?2?a)e?1
x?[0,2]
?
当时,.
又
f(0)?(?3?2 a)e
,
f(2)?4?2a?b?1
,则
f(2)?f(0)
.
?1

?
当
x?[0,2]
时,
f(x)?[(? 2?a)e,1]
.
?2
(8分)
[(m?2)a?m 2
]e
?1
?1?f(x
1
)?f(x
2
)
max
?f(x)
max
?f(x)
min
?1?(2?a )e
?1
?
由条件有：.

(m?2)a?m
2 ?2?a
.即
(m?1)a?m
2
?2?0
对
a?( 0,1)
恒成立.
(10分)

2
?
?
g( 0)?m?2?0
.
?
2
2
g(1)?m?m?1?0
? 令
g(a)?(m?1)a?m?2
,则有：
?

解得：
m?2
或
m?
?5?1
2
. (14分)
的最大值为16 78.解：(I)由图形可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0 ),并且
?
?
c?0
?
??
a??1
2
? 8?c?0解之得：
?
a?8?b
?
b?8
2
?
?
4ac?b
?
c?0
?16,
?
则
?
4a
,
f
?
x
?
∴函数
f
?
x?
2
f(x)??x?8x
的解析式为
2
?
?
y??t?8t
?
?
y??x
2
?8x
?
(Ⅱ) 由得
x
2
?8x?t(t?8)?0,?x
1
?t,x
2
?8?t,

fx
l
∵0≤t≤2,∴直线
2
与 ??
的图象的交点坐标为
2
t,?t?8t)
(
由定积分的几何意义知：
S(t)?
?
[(?t
2
?8 t)?(?x
2
?8x)]dx?
?
[(?x
2
?8x)? (?t
2
?8t]dx
0t
t2

第93页，共103页

x
3
x
3
22t
?[(?t?8t)x?( ??4x)]
0
?[(??4x
2
)?(?t
2
?8t)? x]
33
2
t

440
??t
3
?10t
2
?16t?
33
……………9分
2
(Ⅲ)令
?
(x)?g(x)?f(x)?x?8x?6lnx?m.

因为
x?0,要使函数
f
?
x
?
与函数
g
?
x ?
有且仅有2个不同的交点,则函数
?
(x)?x
2
?8x? 6lnx?m
的图象与
x
轴的正半轴有且只有两个不同的交点
62x
2
?8x?62(x?1)(x?3)
?
?
(x)?2x?8???(x? 0)
xxx

'
'
?
xx
∴＝1或＝3时,
(x)?0

''
?
(x)?0,
?
(x)
?
xx
当∈(0, 1)时,是增函数,当∈(1,3)时,
(x)?0,
?
(x)
是减函数,当
x
∈(3,
'
?
＋∞)时,
(x)?0,
?
(x)

是增函数
?
(x)极大值为
?
(1)?m?7;
?
(x)极小值为
?
(3)?m?6ln3?15

又因为当
x
→0时,
?
(x)???
；当
x???时，
?
(x)???

?
?
(1)?0
?
?
( 3)?0
或
??
'
?
(1)?0
所以要使
?
(x)?0
有且仅有两个不同的正根,必须且只须
?
?
(3)?0
?

?
m?7?0
?
m?6ln3?15?0
或
? ?
m?6ln3?15?0
??
m?7?0
即, ∴
m?7
或
m?15?6ln3.

∴当
m?7
或
m?15?6ln3.
时,函数
f
?
x
?
与
g
?
x
?
的图象有且只有两个不同交点。
3
3
2
?f'(x)?
2
?x
2
?x?3
2
a
79.解：,∴由
a
有
x??a
,即切点坐标为(a,a),(－a,－a) ,
∴切线方程为y－a＝3(x－a),或y＋a＝3(x＋a),
整理得3x－y－2a＝0,或3x－y＋2a＝0。
?
|?2a?2a|
3
2
?(?1)
2
?
210
5
32
?f( x)?x,f'(x)?3x
a??1
解得：, ,
?g(x)?3x
2
?3bx?3
。
2
?g'(x)?3x?3b
?g(x)
在x＝1处有极值, (1)
?g'(1)?0
,即
3?1
2
?3b?0
,解得b＝1,
第94页，共103页

?g(x)?3x
2
?3x?3
。
2
?g'(x)?3x?3b
在[－1,1]上恒大于0, (2)∵函数g(x)在 [－1,1]是增函数,
22
?b?0
。又
?b?mb?4?g(x)
在[－1,1]上恒成立,
?b?mg?4?g(1)
,
2
即
b?mb?4?4?3b
,
?m?b?3
在
b?(??,0]
上恒成立,
?m?3
,
?m
的取值范围是
[3,??)
。
2
?
?
,
?
是方程x?mx?1?0
的两个实根, 80.I)解：
?
?
?
?
?m,
?
?
? ?
?
?
??1.

?f(
?
)?
2
?
?m2
?
?(
?
?
?
)
??
?
1
???.
22
?
(
?
?
?
)
?
?
?1
?
?
??

?
?
f(
?
)?1.
…………3分
2x?m
?f(x)?
2
x?1
, (Ⅱ)
2(x 2
?1)?(2x?m)?2x2(x
2
?mx?1)
?f
?
(x)???.
(x
2
?1)(x
2
?1)
2 …………4分
2
当
x?(
?
,
?
)时,x ?mx?1?(x?
?
)(x?
?
)?0.
…………5分
而
f
?
(x)?0
,
?f(x)在(
?
,
?
)
上为增函数。 …………7分
(Ⅲ)①
?
?
?0,
?
?0,且
?
?
?

??
?
????
?
??
?(
?
?
?
)
??
(
?
?
?
)?
?
???0,
?
?
??
?
??
? ?
??
?
????
?
??
?(
?
?
?
)
??
(
?
?
?
)
?
?
???0.
?
?
??
?
??
?
?
??
?
??
?
?
??
?
.
?
?
?

?
…………9分
f(
?
)?f(
由(Ⅱ),可知
??
?
??
)?f(
?
).
??
?
…………10分
第95页，共103页

f( ?
)?f(
②同理,可得
?f(
?
)?f(
?
)?f(
??
?
??
)?f(
?
).
?
?
?

??
?
????
?
??
)?f() ?f(
?
)?f(
?
).
?
?
??
??

?|f(
??
?
????
?
??
)?f()|?|f(
?
)?f(
?
)|.
?
?
? ?
?
?
…………12分
f(
?
)?
1
又由(I),知
?|f(
?
)?f(
?
)|?|
1
?
?
,f(
?
)?
1
1
?
,
??
??1.

??
|?|
?
?
?
|?|?
?
?
|.
??

|f(
所以
?? ?
????
?
??
)?f()|?|
?
?
?
|.
?
?
??
?
?
…………14分
81.解 (1)由
f
?
(x)?1?2cosx?1
得
c osx?0
, ………………1分
x??
?
2
时,
cosx?0
, 当
此时
y
1
?x?2??
?
?2y
2
?x?2sinx???2 2
2
,, ………………2分
?
?
??
?
?
?,??2
?
y
1
?y
2
,所以
? 22
?
是直线
l
与曲线
S
的一个切点； ………………3分
当
x?
3
?
2
时,
cosx?0
, 3
?
3
?
?2y
2
?x?2sinx??2
2 2
,, ………………4分此时
y
1
?x?2?
?
3
?
3
?
?
?2
??
,
y 1
?y
2
,所以
?
22
?
是直线
l
与曲线
S
的一个切点； ………………5分
所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点；
对任意x∈R,
g(x)?F(x) ?(x?2)?(x?2sinx)?2?2sinx?0
,
所以
g(x)?F(x)
………………6分
因此直线
l:y?x?2
是曲线
S:y?ax?bsinx
的“上夹线”. ………………7分
(2)推测：
y?mx?nsinx(n?0)
的“上夹线 ”的方程为
y?mx?n
…………9分
第96页，共103页

①先检验直线
y?mx?n
与曲线
y?mx?nsinx
相切,且至少有两个切点：
设：
F(x)?mx?nsinx

'
?

F(x)?m?ncosx
,
令
F(x)?m?ncosx?m
, 得：
'
x?2k
?
?
?
2
(k
?
Z) ………………10分
当
x?2k
?
?
? F(2k
?
?)?m(2k
?
?)?n
2
时,
22

2k
?
?
??
?
故：过曲线
F( x)?mx?nsinx
上的点(
m(2k
?
?)?n
2
,
2
)的切线方程为：
?
2k
?
?
m(2k
?
?)?n
mx
2
)],
2
y－[]＝ [－(
?
?
化简得：
y?mx?n
.
即直线
y? mx?n
与曲线
y?mx?nsinx
相切且有无数个切点.………………12分
不妨设
g(x)?mx?n

②下面检验g(x)
?
F(x)
?
g(x)－F(x)＝
n(1?sinx)?0(n?0)

直线
y?mx?n
是曲线y?F(x)?mx?nsinx
的“上夹线”. ………………14分
2
x?2elnx(x?0)
,
QF(x)?h(x)?
?
(x)?
82.【解】(Ⅰ)
?F?
(x)?2x?
2e2(x?e)(x?e)
?
xx
. …………………………2分
当
x?e
时,
F
?
(x)?0
. …………………………3分
?
当
0?x?e
时,
F
?(x)?0
,此时函数
F(x)
递减；
当
x?e
时,
F
?
(x)?0
,此时函数
F(x)
递增；
∴当
x?e
时,
F(x)
取极小值,其极小值为
0
. …………………………6分
(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)可知函数
h(x)
和
?
(x)
的图象在
x?e
处有公共点,因此若存在
h(x)
和
?
(x)
的隔离直线,则该直线过这个公共点. …………………………7分
第97页，共103页

设隔离直线的斜率为k
,则直线方程为
y?e?k(x?e)
,即
y?kx?e?ke
. …………………………8分
2
h(x)?kx?e?ke(x?R)
x
由, 可得
?kx?e?ke?0
当
x?R
时恒成立.
???(k?2e)
2
,
?
由
??0
,得
k?2e
. …………………………10分
下面证明
?
(x)?2ex?e
当
x?0
时恒成立. 令
G(x)?
?
(x)?2ex?e
?2elnx?2ex?e
,则
G
?
(x)?
2e2e(e?x)
?2e?
xx
, …………………………11分
当
x?e
时,
G
?
(x)?0
.
?当
0?x?e
时,
G
?
(x)?0
,此时函数
G(x)
递增；
当
x?e
时,
G
?
(x)?0 ,此时函数
G(x)
递减；
∴当
x?e
时,
G(x )
取极大值,其极大值为
0
.
从而
G(x)?2elnx? 2ex?e?0
,即
?
(x)?2ex?e(x?0)
恒成立.………13分
∴函数
h(x)
和
?
(x)
存在唯一的隔离直线
y ?2ex?e
. ………………………14分
解法二：由(Ⅰ)可知当
x?0
时,
h(x)?
?
(x)
(当且当
x?e
时取等号) .……7分
若存在
h(x)
和
?
(x)
的隔离直线,则存在实常数
k
和
b
,使得 h(x)?kx?b(x?R)
和
?
(x)?kx?b(x?0)
恒成立 ,
令
x?e
,则
e?ke?b
且
e?ke?b

?ke?b?e
,即
b?e?ke
. …………………………8分
后面解题步骤同解法一.
83解：
f(x)?ln(1?x)?mx

f
?
(x)?
1
?m?0
1?x
恒成立 ①
x?0
时,
第98页，共103页

所以
m?
1
1?x

由于
x?0

1
?1
所以
1?x

从而
m?1

因而所求
m?
?
1,??
?

f
?
(x)?
1
?m
1?x
,
(x??1)
②
(1)
m?0
时,
f
?
(x)?0
恒成立
f(x)
在
(?1,??)
上单调递增,无极值。
1
?1??1
(2)
m?0
时,由于
m

1
???
1
?
?1,??
?
?1,?1
?
?
?
m
f(x)
m
?
上单调递增,在
??
上单调递减, 所以在
?
从而
f(x)
极大值
?f(
1?1)?m?lnm?1
m

③由(1)知
m?1
时,
f(x)
在
(0,??)
上递减。
从而
x?0
时,
ln(1?x)?x

x?
11 1
?ln(1?)?ln(n?2)?ln(n?1)
n?1
,则
n? 1n?1

1
?ln(n?3)?ln(n?2)
所以
n?2

1
?ln(2n?2)?ln(2n?1)
n?(n?1)

令

111
?????ln(2n?2)?ln(n?1 )
2n?1
从而
n?1n?2

111
?????ln2
n?1n?22n?1
即有
第99页，共103页

84解：(1)当
a? 2
时,
f(x)?
2
2
?xlnxf
?
(x)??
2
?lnx?1
x
x
,,
f(1)?2
,
f
?
(1)??1
,
所以曲线
y?f(x)
在
x ?1
处的切线方程为
y??x?3
；
(2)存在
x
1,
x
2
?[0,2]
,使得
g(x
1
)?g( x
2
)?M
成立
等价于：
[g(x
1
)?g(x
2
)]
max
?M
,
2
g
?
( x)?3x
2
?2x?3x(x?)
3
, 考察
g(x)?x?x?3
,
32
x

0
2
(0,)
3

2
3

?
1
?
?
,2
?
?
3
?

g
?
(x)

g(x)

0
－3
－
递减
0
极(最)小值
85
?
27

＋
递增
285
g(x)
min
?g()??
3 27
,
g(x)
max
?g(2)?1
, 由上表可知：
[ g(x
1
)?g(x
2
)]
max
?g(x)
ma x
?g(x)
min
?
所以满足条件的最大整数
M?4
；
112
27
,
1
t?[,2]
2
,都有
f(s)?g(t)
成立 (3) 对任意的
s
,
1
[,2]
等价于：在区间
2
上,函数
f(x)
的最小值不小于
g(x)
的最大值,
1
[,2 ]
由(2)知,在区间
2
上,
g(x)
的最大值为
g(2) ?1

f(x)?
a
?xlnx?1
x
恒成立
2
等价于
a?x?xlnx
恒成立,
2
h(x)?x?x lnx
,
h
?
(x)?1?2xlnx?x
,
h
?
(1)?0
记
第100页，共103页

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