小甘笔记高中数学文科-高中数学换元法怎么用
二次函数知识点
一、二次函数概念:
b,c
是常数,
a?0
)的函数,叫做二次函数。 这里需要
强调:和一1.二次函数的概念:一般地,形如
y?ax?bx?c
(
a,
c
可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
元二次方程类似,二次项系数
a?0
,而
b,
2.
二次函数
y?ax?bx?c
的结构特征:
⑴
等号左边是函数,右边是关于自变量
x
的二次式,
x
的最高次数是2. 2
2
b,c
是常数,
a
是二次项系数,
b
是一
次项系数,
c
是常数项. ⑵
a,
二、二次函数的基本形式
1.
二次函数基本形式:
y?ax
的性质:
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2
a
的符号
a?0
开口方向
向上
顶点坐标 对称轴 性质
0
?
?
0,
0
?
?
0,
y
轴
x?0
时,
y
随
x
的增大而增大;
x?0
时,
y
随
x
的
增大
而减小;
x?0
时,
y
有最小值
0
.
a?0
向下
y
轴
x?0
时,
y随
x
的增大而减小;
x?0
时,
y
随
x
的
增大而增大;
x?0
时,
y
有最大值
0
.
2.
y?ax?c
的性质:
上加下减。
3.
y?a
?
x?h
?
的性质:
左加右减。
4.
y?a
?
x?h
?
?k
的性
质:
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
方法一:⑴
将抛物线
解析式转化成顶点式
2
2
2
a
的符号
a?0
开口方向
向上
顶点坐标 对称轴 性质
c
?
?
0,
c
?
?
0,
y
轴
x?0
时,
y
随
x
的增大而增大;
x?0
时,
y
随
x
的
增大
而减小;
x?0
时,
y
有最小值
c
.
a?0
向下
y
轴
x?0
时,
y随
x
的增大而减小;
x?0
时,
y
随
x
的
增大而增大;
x?0
时,
y
有最大值
c
.
a
的符号
a?0
开口方向
向上
顶点坐标
对称轴
X=h
性质
0
?
?
h,
0
?
?
h,
x?h
时,
y
随
x
的增大而增大;
x?h
时,
y
随<
br>x
的
增大而减小;
x?h
时,
y
有最小值
0
.
a?0
向下 X=h
x?h
时,
y
随
x
的增大而减小;
x?h
时,
y
随
x
的
增大而增大;
x?h
时,
y
有最大值
0
.
a
的符号
a?0
开口方向
向上
顶点坐标
对称轴
X=h
性质
?
h,k
?
?
h,k
?
x?h
时,
y
随
x
的增大而增大;
x?h
时,
y
随
x
的
增大
而减小;
x?h
时,
y
有最小值
k
.
y?a?
x?h
?
?k
,确定
k
?
;
其顶点坐标
?
h,
2
a?0
向下 X=h
x?
h
时,
y
随
x
的增大而减小;
x?h
时,
y
随
x
的
增大而增大;
x?h
时,
y
有最
大值
k
.
k
?
处,具体平移方法如下: ⑵ 保持抛物线
y?ax
的形状不变,将其顶点平移到
?
h,
2
<
br>y=ax
2
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=ax<
br>2
+k
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
向右(h
>0)【或左(h<0)】
平移 |k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平
移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
y=a(x-h
)
2
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
y=a(x-h)
2
+k
2. 平移规律
在原有函数的基础上“
h
值正右移,负左移;
k
值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴
y?ax2
?bx?c
沿
y
轴平移:向上(下)平移
m
个单位,
y?ax
2
?bx?c
变成
y?ax
2
?bx?
c?m
(或
y?ax
2
?bx?c?m
)
⑵
y?
ax
2
?bx?c
沿轴平移:向左(右)平移
m
个单位,
y
?ax
2
?bx?c
变成
y?a(x?m)
2
?b(x?m
)?c
(或
y?a(x?m)
2
?b(x?m)?c
)
四、二次函数
y?a
?
x?h
?
?k
与
y
?ax?bx?c
的比较
2
2
从解析式上看,
y?a
?<
br>x?h
?
?k
与
y?ax?bx?c
是两种不同的表达形式,
后者通过配方可以得到前者,即
2
2
b
?
4ac?b
2b4ac?b
2
?
y?a
?
x?
?
?
,其中
h??
.
,k?
2a4a
2a4a
??
五
、二次函数
y?ax?bx?c
图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数y?ax?bx?c
化为顶点式
y?a(x?h)?k
,确定其开口方向、对称轴
及顶点坐标,然后在
对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与
22
2
2
c
?
、
c
?
关于对称轴对称的点?
2h,c
?
、以及
?
0,
y
轴的交点
?
0,
0
?
,
?
x
2
,0
?<
br>(若与
x
轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 与
x
轴的交
点
?
x
1
,
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与
x
轴的交点,与
六、二次函数
y?ax?bx?c
的性质
2
y
轴的交点.
?
b4ac?b
2
?
b
,
1. 当
a
?0
时,抛物线开口向上,对称轴为
x??
,顶点坐标为
?
?
?
.
2a4a
2a
??
4ac?b
2
bbb<
br>当
x??
时,
y
随
x
的增大而减小;当
x?
?
时,
y
随
x
的增大而增大;当
x??
时,
y
有最小值.
2a2a2a
4a
?
b4ac?b
2?
bb
,
2. 当
a?0
时,抛物线开口向下,对称轴为<
br>x??
,顶点坐标为
?
?
时,
y
随
x
的增大而增大;当
?
.当
x??
2a4a
2a2a
??<
br>4ac?b
2
bb
.
x??
时,
y
随x
的增大而减小;当
x??
时,
y
有最大值
2a2a<
br>4a
七、二次函数解析式的表示方法
2
1. 一般式:
y?ax?b
x?c
(
a
,
b
,
c
为常数,
a?0);
2
2. 顶点式:
y?a(x?h)?k
(
a
,
h
,
k
为常数,
a?0
);
3. 两根式:
y?a(x?x
1
)(x?x
2
)
(
a?0
,
x
1
,
x
2
是抛物线与
x
轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非
所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与
x
轴有交点,即
b
2
?4ac?0
时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
a
二次函数
y?ax?bx?c
中,
a
作为二次项系数,显然
a?
0
.
⑴ 当
a?0
时,抛物线开口向上,
a
的
值越大,开口越小,反之
a
的值越小,开口越大;
⑵ 当
a?0
时,抛物线开口向下,
a
的值越小,开口越小,反之
a
的值越大,开
口越大.
总结起来,
a
决定了抛物线开口的大小和方向,
a
的正负
决定开口方向,
a
的大小决定开口的大小.
2. 一次项系数
b
在二次项系数
a
确定的前提下,
b
决定了抛物线的对称轴.
⑴ 在
a?0
的前提下,
当
b?0
时,
?
当
b?0
时,
?
当
b?0
时,
?
2
b
?0
,即抛物线的对称轴在
y
轴左侧;
2a
b
?0
,即抛物线的对称轴就是
y
轴;
2a
b
?0
,即抛物线对称轴在
y
轴的右侧.
2a
b
?0
,即抛物线的对称轴在
y
轴右侧;
2a
b
?0
,即抛物线的对称轴就是
y
轴;
2a
b
?0
,即抛物线对称轴在
y
轴的左侧.
2a
⑵ 在
a?0
的前提下,结论刚好与上述相反,即
当
b?0
时,
?
当
b?0
时,
?
当
b?0<
br>时,
?
总结起来,在
a
确定的前提下,
b
决定了抛物
线对称轴的位置.
ab
的符号的判定:对称轴
x??
总结:
3. 常数项
c
b
在
y
轴左边则
ab?0
,在
y
轴的右侧则
ab?0
,概括的说就是“左同右异”
2a<
br>y
轴的交点在
x
轴上方,即抛物线与
y
轴交点的纵坐标为正;
⑵ 当
c?0
时,抛物线与
y
轴的交点为坐标原点,即抛
物线与
y
轴交点的纵坐标为
0
;
⑶ 当
c?0
时,抛物线与
y
轴的交点在
x
轴下方,即抛物线与
y
轴交点的纵坐标为负.
总结起来,
c
决定了抛物线与
y
轴交点的位置.
⑴
当
c?0
时,抛物线与
b,c
都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
总之,只要
a,
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利
用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,
才能使解题简
便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2.
已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3.
已知抛物线与
x
轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;
4.
已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
九、二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与
x
轴交点情况):
2<
br>一元二次方程
ax?bx?c?0
是二次函数
y?ax?bx?c
当函
数值
y?0
时的特殊情况.
2
图象与
x
轴的交点个数:
① 当
??b?4ac?0
时,图象与
x
轴交于两点
A
?
x
1
,0
?
,B
?
x
2
,0
?
(x
1
?x
2
)
,
其中的
x
1
,x
2
是一元二次方程
2
b
2
?4ac
.
ax?bx?c?0
?
a?0
?
的
两根.这两点间的距离
AB?x
2
?x
1
?
a
2<
br>② 当
??0
时,图象与
x
轴只有一个交点;
③
当
??0
时,图象与
x
轴没有交点.
1'
当
a
?0
时,图象落在
x
轴的上方,无论
x
为任何实数,都有
y
?0
;
2'
当
a?0
时,图象落在
x
轴的下方,无论
x
为任何实数,都有
y?0
.
2.
抛物线
y?ax?bx?c
的图象与
3. 二次函数常用解题方法总结:
⑴
求二次函数的图象与
x
轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵
求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶ 根据图象的位置判
断二次函数
y?ax?bx?c
中
a
,
b
,
c的符号,或由二次函数中
a
,
b
,
c
的符号判断图象的
位置,要数形
结合;
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对
称的点坐标,或已知与
x
轴的一个交点坐标,可由对称性求出
另一个交点坐标.
2
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式
ax?bx?c(a?0)本身就是所含字母
x
的二次函数;下面以
a?0
时为例,揭示
2
2
y
轴一定相交,交点坐标为
(0
,
c)
;
二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
图像参考:
y=2x
2
+2
y=2x
2
??0
抛物线与
x
轴有两
个交点
二次三项式的值可正、可
零、可负
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个不相等实根
??0
抛物线与
x
轴只有
一个交点
抛物线与
x
轴无交
点
一元二次方程有两个相等的实数根
??0
二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.
y=2x
2
y=x
2
y=2x
2
-4
y=
x
2<
br>2
y= -
x
2
2
y=
-x
2
y=-2x
2
a与图像开口方向及大小的关系
图像平移
十一、函数的应用
y=2x
2
y=2(x-4)
2
y=2(x-
4)
2
-3
?
刹车距离
?
二次函数应用
?
何时获得最大利润
?
最大面积是多少
?
二次函数考查重点与常见题型
1.
考查二次函数的定义、性质,有关试题常出
现在选择题中,如:
已知以
x
为
自变量的二次函数
y?(m?2)x
2
?m
2
?m?2
的图
像经过原点, 则
m
的值是
2. 综合考查正比例、反比例、
一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为
选择题
,如:
如图,如果函数
y?kx?b
的图像在第一、二、三象限内,那么函数
y?kx
2
?bx?1
的图像大致是( )
y
y y y
1 1
0 x
o-1 x 0 x 0 -1 x
A
B C D
3. 考查用待定系数法求二次
函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如:
已知一条抛
物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为
x
y=3(x+4)
2
?<
br>5
,求这条抛物线的解析式。
3
4. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、<
br>y=3x
2
y=3(x-2)
2
对称轴、二次函数的极值,有关试题<
br>为解答题,如:
已知抛物线
y?ax?bx?c
(a≠0)与x轴的
两个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐
2
y=-2(x+3)
2
y
=-2x
2
y=-2(x-3)
2
3
标是-
2
(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确
定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
为专项压轴题。 5.考查代数与几何的综合能力,常见的作
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 (1)二次函数
y?ax?bx?c
的图像如图1,则点
M(b,
2
c
)
在( )
a
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
(2)已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,?则下
列结论:①a、b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;
④当y=-2时,x的
值只能取0.其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个
D.4个
2
(1) (2)
【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系,是解决问题的关键.
例
2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x
1
,0),且1
<2,与y轴的正半轴的交点在点(O,2)的下方.下列结论:
①aO;③4a+c
A
1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
答案:D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知:关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的
一个根为x=-2,且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为( )
A(2,-3) B.(2,1) C(2,3) D.(3,2)
答案:C
例4、(2006年烟台市)如图(单位:m),等腰三角形ABC以2米秒的速度
沿直线L向正方形移动,直到AB与CD重合.设x秒时,三角
形与正方形重叠部分的面积为ym.
(1)写出y与x的关系式;
(2)当x=2,3.5时,y分别是多少?
(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,
三角形移动了多长时间?求抛物线顶点坐标、
对称轴.
2
22
2
例5、已知抛物线y=
1
2
5
2
x+x-
2
.
(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.
(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.
【点评】本题(1)是对二
次函数的“基本方法”的考查,第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.
例6.已知:二
次函数y=ax-(b+1)x-3a的图象经过点P(4,10),交x轴于
A(x
1
,0)
,
B(x
2
,0)
两点
(x
1
2
?x
2
)
,交y轴负半轴于C点,
且满足3AO=OB.
(1)求二次函数的解析式;(2)在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角∠MCO>∠ACO?若存在,请
你求出M点的横坐标的取值范围;若不
存在,请你说明理由.
(1)解:如图∵抛物线交x轴于点A(x
1
,0),B(x2,O),
则
x
1
·x
2
=3<0,又∵x
1
,
∴x
2
>O,x
1
=-3x
1
.
∴x
1
·x
2
=
-3x
1
=-3.∴x
1
=1.
x
1
<0,∴x
1
=-1.∴.x
2
=3.
∴点A(-1,O),P(4,10)代入解析式得解得a=2 b=3
∴.二次函数的解析式为y-2x-4x-6.
(2)存在点M使∠MC0<∠ACO.
(2)解:点A关于y轴的对称点A’(1,O),
∴直线A,C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0,-6),(5,24).
∴符合题意的x的范围为-1
例7、
“已知函数
2
22
y?
1
2
x?bx?c
的图象经过点A(c,-2),
2
求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨
水污染了无法辨认的文字。
(1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?
若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;若不能,
请说明理由。
(2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。
点评: 对于第(1)小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的
结论“函数图象的对称轴是x=3”当
作已知来用,再结合条件“图象经过点A(c,-2)”,就可以
列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函
数解析式。对于第(2)小题
,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点
的坐标等。
[解答] (1)根据
y?
1
2
x?bx?c
的图象经过点
2
A(c,-2),图象的对称轴是x=3,得
?
1
2
?
2
c?bc?c??2,
?
?
b
?
?3,
?
1
?
2?
2
?
解得
?
?
b??3,
c?2.
?
所以所求二次函数解析式为
(2)
在解析式中令y=0,得
y?
1
2
x?3x?2.
图象如图所示。
2
1
2
x?3x?2?0
,解得
x
1
?3
?5,x
2
?3?5.
2
所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的
坐标是(3+
令x=3代入解析式,得
所以抛物线
5,0)
”或“抛物线与x
轴的一个交点的坐标是
(3?5,0).
5
y??,
2
5
1
2
x?3x?2
的顶点坐标为
(3,?),
2
2
5
所以也可以填抛物线的顶点坐标为
(3,?)
等等。
2
y?
函数主要关注:通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助
多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之
间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函
数与相关知识的联系。
用二次函数解决最值问题
例1已知边长为4的正方形截去
一个角后成为五边形ABCDE(如图),其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最
大面积.
【评析】本题是一道代数几何综合题,把相似三角形与二次函数的知识有机的结合
在一起,能很好考查学生的综合应用能力.同时,也给
学生探索解题思路留下了思维空间.
例2
某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)?与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:
x(元) 15 20 30 …
y(件) 25 20 10 …
若日销售量y是销售价x的一次函数.
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元??此时每日销售利润是多少元?
【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b.则
?
?
15k?b?25, 解得k=-1,b=40,?即一次函数表达式为y=-x+40.
?
2k?b?20
2
(2)设每件产品的销售价应定为x元,所获销售利润为w元
w=(x-10)(40-x)=-x+50x-400=-(x-25)+225.
产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元.
【点评】解决最值问题
应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点:(1)设未知数在“当某某为何值时,什么最大(或<
br>2
最小、最省)”的设问中,?“某某”要设为自变量,“什么”要设
为函数;(2)?问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程.
例3.你知道吗?平时我们在跳大
绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为
4 m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5
m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙
的身高是1.5
m,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)
( )
A.1.5 m
B.1.625 m
C.1.66 m D.1.67 m
分析:本题考查二次函数的应用
答案:B
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