高中数学必修5综合测试试题-高中数学题做什么
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例
1
(1)关于
x
的方程
x2
?2(m?3)x?2m?14?0
有两个实根,且一个大
于1,一个小于1,
求
m
的取值范围;
(2)
关于
x
的方程
x
2
?2(m?3)x?2m?14?0
有两实根都在
[0,4)
内,求m
的取值范围;
⑶关于x的方程
x
2
?2(m?3)x?2m
?14?0
有两实根在
?
1,3
?
外,求m的取值范围
(
4)关于
x
的方程
mx
2
?2(m?3)x?2m?14?0
有两实根,且一个大于4,一个小
于4,求
m
的取值范围.
例
3
已知函数
f(x)?ax
2
?(2a?1)x?3
在区间
[?,2]
上的最大值为1,求实数
a
的值。
3
2
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解(1)令
f(x)?x
2
?
2(m?3)x?2m?14
,∵对应抛物线开口向上,∴方程有
两个实根,且一个大于1,一
个小于1等价于
f(1)?0
(思考:需要
??0
吗?),
即
m??
21
.
4
(2)令
f(x)?x
2?2(m?3)x?2m?14
,原命题等价于
?
f(0)?0
?2m?14?0
?
f(4)?0
?
16?8(m?3)?2m?14?0
?
27
??
?
?
???m??5.
2(
m?3)
?
?7?m??3
5
0???4
??
2
?
?
?
m??5,m?1
2
?
4(m?3)?4(2m?14)?0<
br>?
(3)令
f(x)?x
2
?2(m?3)x?2m?14
,
原命题等价于
?
f(1)?0
?
1?2(m?3)?2m?14?0
21
即得
m??.
??
4
f(3)?09?6(m?3
)?2m?14?0
??
(4)令
g(x)?mx
2
?2(m?3)
x?2m?14
,依题得
?
m?0
?
m?0
19
或得
??m?0.
,
?
?
13
?
g(4)?0
?
g(4)?
0
例
2
(1)已知函数
f(x)?ax
范围;
值范围。
2
?a?2
,若
f(x)?0
有解,求实数
a
的取
值
(2)已知
f(x)??x
2
?4x
,当
x?[?1,1
]
时,若
f(x)?a
恒成立,求实数
a
的取
解:(1)<
br>f(x)?0
有解,即
ax
2
?a?2?0
有解
?a
(x
2
?1)?2
有解
?a?
有解
?
a?|
2
|
max
?2.
所以
a?(??,2).
2
x?1
(2)当
x?[?1,1]
时,
f(x)?a
恒成立
?
[f(x)]
min
?a.
又当
x?[?1,1]
时,
2
x
2
?1
[f(x)]
min
?f(?1
)??5
,所以
a?(??,?5).
【评注】“有解”与“恒成立”是很
容易搞混的两个概念。一般地,对于“有
解”与“恒成立”,有下列常用结论:(1)
f(x)
?a
恒成立
?
[f(x)]
min
?a
;(2)
(
4)
f(x)?af(x)?a
恒成立
?
[f(x)]
max
?a
;(3)
f(x)?a
有解
?
[f(x)]
max<
br>?a
;
有解
?
[f(x)]
min
?a.
分析:这是一个逆向最值问题,若从求最值入手,首先应搞清二次项系数
a
是否为零,
如果
a?0,f(x)
的最大值与二次函数系数
a
的正负有关,也与对称轴<
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x
0
?
1?2a
的位置有关,但f(x)的最大值只可能在端点或顶点处取得,解答时必
2a
须用讨论法。
解、
a?0
时,
f(x)??x?3
,
3f(x)
在
[?,2]
上不能取得1,故
a?0
.
2
f(x)?ax
2
?(2a?1)x?3(a?0)
的
对称轴方程为
x
0
?
1?2a
.
2a
(1)令
f(?)?1
,解得
a??
此时
x
0
??
因为
a?0
,
f
(x
0
)
最大,所以
f(?)?1
不合适。
(2)令
f(2)?1
,解得
a?
此时
x
0
???[?,2]
,
313
?0,x
0
???[?,2]
,且距右端点2较远,所以
f(2)<
br>最大,合适。
432
1
(3)令
f(x
0
)?1,得
a?(?3?22)
,
2
1
3
3
2
3
,
4
3
2
233
?[?,2]
,
202
3
2
10
,
3
因为
a?
验证后知只有
a?(?3?22)
才合适。
综上所述,
a?
1
2
31
,或
a??(3?22).
42
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