高中数学二次函数最值知识点全总结

二次函数在闭区间上的最值
一、 知识要点：
一元二次函数的区 间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置
关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中 间，右边三种情况.
设
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
， 求
f(x)
在
x?[m，n]
上的最大值与最小值。
?
b 4ac?b
2
?
b
分析：将
f(x)
配方，得顶点为
?
?，
、对称轴为
x??
?
4a
?
2a
?
2a
当
a?0
时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上
f(x)
的< br>最值：
b
（1）当
??m，n
时，
f(x)
的最小 值是
2a
??
2
?
b
?
4ac?b
f?
?
?
?，f(x)
的最大值
?
2a
?
4a
是
f(m)、f(n)
中的较大者。
（2）当
?
b
?m，n
时
2a
b
若??m
，由
f(x)
在
m，n
上是增函数则
f(x)< br>的最小值是
f(m)
，最大
2a
??
??
值是
f(n)

若
n??
值是
f(n)

当
a?0
时，可类比得结论。
二、例题分析归类：
（一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互
位置关系的讨论往往成为解 决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：

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b< br>，由
f(x)
在
m，n
上是减函数则
f(x)
的最大 值是
f(m)
，最小
2a
??

（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，
区间变。
1. 轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定
二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数
y??x
2
?4x? 2
在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是
_______。


练习. 已知
2x
2
?3x
，求函数
f(x)? x
2
?x?1
的最值。
2、轴定区间变
二次函数是确定的，但它 的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情
况是“定函数在动区间上的最值”。
例2. 如果函数
f(x)?(x?1)
2
?1
定义在区间
t，t?1
上，求
f(x)
的最值。







例3. 已知
f(x)??x
2
?4x?3
，当
x?[t，t?1](t?R)
时，求
f(x)
的最值．


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??

对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
当
a?0
时
b 1
?
f(m)，??(m?n)(
如图1
)
?
?
2 a2
f(x)
max
?
?
f(x)
min
b1?
f(n)，??(m?n)(
如图2
)
?
2a2
?< br>b
?
f(n)，??n(
如图3
)
?
2a
?
bb
?
?
?
f(?)，m???n(
如图4
)
2a2a
?
b
?
f(m)，??m(
如图5
)
?
2a
?


当
a?0
时
b
?
f(n)，??n(
如图6
)
?
b1
?2a
f(m)，??(m?n)(
如图9
)
?
?
?2a2
bb
?

f(x)
max
?
?
f(?)，m???n(
如图7
)
f(x)
min
?
?b1
2a2a
?
f(n)，??(m?n)(
如图10
)
?
?
b
?
2a2
?
f(m)，??m(
如图8< br>)
?
2a
?


3、轴变区间定
二 次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固
定的，我们称这种情况是“动二次 函数在定区间上的最值”。

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例4. 已知
x
2
?1
，且
a?2?0
，求函数< br>f(x)?x
2
?ax?3
的最值。





例5. (1) 求
f(x)?x
2
?2ax?1
在区间[-1,2]上的最大值。
(2) 求函数
y??x(x?a)
在
x?[?1,1]
上的最大值。





4. 轴变区间变
二次函数是含参数的函数，而 定义域区间也是变化的，我们称这种情况是
“动二次函数在动区间上的最值”。

222
y?4a(x?a)(a?0),u?(x?3)?y
例6. 已知，求的最小值。






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