【精选】浙江专版高考数学第1部分重点强化专题技法篇4大思想提前看渗透整本提时效教学案

技法篇：4大思想提前看，渗透整本提时效
高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合 ；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的
考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录与 描述，那么数学思想方法则是
数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处 理和解决．高考
中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归 思
想．这些在一轮复习中都有所涉及，建议二轮复习前应先学习此部分．带着方法去复习，这
样 可以使理论指导实践，“一法一练”“一练一过”，既节省了复习时间又能起到事半功倍的
效果，而市面 上有些辅导书把方法集中放于最后，起不到”依法训练”的作用，也因时间紧
造成学而不透、学而不深， 在真正的高考中不能从容应对．不过也可根据自身情况选择学完
后再复习此部分．
思想1 函数与方程思想
函数的思想，就是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、
转化问题，从而使问题获得解决的数学思想.
方程的思想，就是建立方程或方程组，或者构造 方程，通过解方程或方程组，或者运用
方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想.
【例1】 (1)设函数
f
(
x
)的导函数为
f
′ (
x
)，对任意
x
∈R都有
f
(
x
)＞< br>f
′(
x
)成立，则

( ) 【导学号：68334003】




A．3
f
(ln 2)＜2
f
(ln 3)
B．3
f
(ln 2)＝2
f
(ln 3)
C．3
f
(ln 2)＞2
f
(ln 3)
D．3
f
(ln 2)与2
f
(ln 3)的大小不确定
x2y2
(2)(名师押题)直线
y
＝
kx
＋2和椭圆＋＝1在< br>y
轴左侧部分交于
A
，
B
两点，直线
l
43

过点
P
(0，－2)和线段
AB
的中点
M
，则
l
在
x
轴上的截距
a
的取值范围为________ ．

(1)C (2)
?
－
?
?
6
?
，0
?
[ (1)令
F
(
x
)＝
3
?
ex
，则
F
′(
x
)＝
－
ex
.

因为对?x
∈R都有
f
(
x
)＞
f
′(
x)，所以
F
′(
x
)＜0，


即
F
(
x
)在R上单调递减．
又ln 2＜ln 3，所以
F
(ln 2)＞
F
(ln 3)，



所以＞
即
eln 2
＞
eln 3
，
23
，即3
f
(ln 2)＞2
f
(ln 3 )，故选C.
(2)设
A
(
x
1
，
y
1< br>)，
B
(
x
2
，
y
2
)，
M
(
x
0
，
y
0
)，直线
l
与< br>x
轴的交点为
N
(
a,
0)．

y＝kx＋2，
?
?
由
?
x2y2
＋＝1，
?
?
43

－
得(3＋4
k
)
x
＋ 16
kx
＋4＝0.
22

x2y2
因为直线
y< br>＝
kx
＋2和椭圆＋＝1在
y
轴左侧部分交于
A
，< br>B
两点，所以
43

?
16k
?
x1＋x2 ＝－
3＋
＜0，
4k2
?
4
x1x2＝
?
?
3＋4k2
＞0，

Δ＝＋＞0，


，

1
解得
k
＞.
2
又
M
为线段
AB
的中点，所以

x1＋x2－8k
x0＝＝，
?
?
23＋4k2
?
y1＋y26
?
?
y0＝2
＝
3＋4k2
.

由
P
(0，－2)，M
(
x
0
，
y
0
)，
N
(< br>a,
0)三点共线，
6
＋2
3＋4k2
0－－
所以＝
－8ka－0
3＋4k2


43
所以－＝2
k< br>＋.
ak
13646
又因为
k
＞，所以2
k
＋≥26，当且仅当
k
＝时等号成立，所以－≥26，则－
2k2a3


函数与方程思想在解题中的应用
≤
a
≤0.]
[方法指 津]
1．函数与不等式的相互转化，对函数
y
＝
f
(
x)，当
y
＞0时，就化为不等式
f
(
x
)＞0，借
助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
2．数列的 通项与前
n
项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分



重要．
3．解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这 都涉及二次方程与二次
函数有关理论．
4．立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常 需要运用列方程或建立函数表达
式的方法加以解决．

π
??
[ 变式训练1] 将函数
y
＝sin
?
4x－
?
的图象向左平 移
m
(
m
＞0)个单位长度后，所得到的
3
??

图象关于
y
轴对称，则
m
的最小值为________. 【导学号：68334004】
π
?
5π
?
[把
y
＝sin
?
4x－
?
的图象上所有的点向左平移
m
个单位 长度后，得到
y
＝
3
?
24
?



sin
?
?
?
＋
ππ
??
－< br>?
＝sin
?
4x＋4m－
?
的图象，
?
3
?
3
??
ππ
而此图象关于
y
轴对称，则4
m
－＝
k
π＋(
k
∈Z)，
32
15π5π解得
m
＝
k
π＋(
k
∈Z)．又
m
＞ 0，所以
m
的最小值为.]
42424
思想2 数形结合思想
数形结合思想，就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.其应用包括以下两
个方面：
以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象
思维，揭示数学问 题的本质，如应用函数的图象来直观地说明函数的性质.
以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精 确，如应用曲线的方程来精确地
阐明曲线的几何性质.
?
?
|x|，x≤m，
【例2】 已知函数
f
(
x
)＝
?
?
x2－2mx＋4m，x>m，
?

其中
m
>0.若存在实数
b
，使得关于

x
的方程
f
(
x
)＝
b
有三个不同的根，则
m的取值范围是________．
222
(3，＋∞) [作出
f
(x
)的图象如图所示．当
x
>
m
时，
x
－2< br>mx
＋4
m
＝(
x
－
m
)＋4
m< br>－
m
，∴

要使方程
f
(
x
)＝< br>b
有三个不同的根，则4
m
－
m
2
<
m，即
m
2
－3
m
>0.又
m
>0，解得
m
>3.]


数形结合思想在解题中的应用
[方法指津]


1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等 式．
2．构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围．



3．构建解析几何模型求最值或范围．
4．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关 系．
[变式训练2] (1)(2017·绍兴一中高考考前适应性考试)已知方程|ln
x
|＝
kx
＋1在(0，
e)上有三个不等的实根，则实数
k
的取值范围是( )
【导学号：68334005】
3

2
??
A.
?
0，
?

?
e3
?
C.
?
B.
?
D.
?< br>?
3
，
2
?

?
?
e3e2
?
?
2
，
3
?

?
?
e3e2
?
?
2
，
1
?

?
?
e 3e2
?
?
1
?
2
(2)若不等式4
x
－ log
a
x
<0对任意
x
∈
?
0，
?恒成立，则实数
a
的取值范围为( )
?
4
?
A.
?
?
1
，1
?

?
?
256?
B.
?
?
1
，1
?

?
?
256
?
1
??
C.
?
0，
?

?
256
?
1
??
D.
?
0，
?

?
256
?
(1)C (2)B [(1)令
f
(
x
)＝
kx
＋1，
g
(
x
)＝ln < br>x
，而
f
(
x
)＝
kx
＋1与
g< br>(
x
)＝|ln
x
|的图象在
(0,1)上一定有1个交点 ，那么根据题目条件只需
f
(
x
)＝
kx
＋1，
g
(
x
)＝ln
x
在(1，e)
上有2个交点即可，作函数
f
(
x
)＝
kx
＋1，
g
(
x< br>)＝ln
x
的图象如下，设两者相切于点(
a
，
1
k＝，
?
?
a
b
)，则有
?
b＝ln a，
?
?
b＝ka＋1，
3

1
解得
k
＝，且对数函数
g
(
x
)＝ln
x
的增长速度越来越慢，
e2
221
直线
f
(x
)＝
kx
＋1过定点(0,1)，方程|ln
x
|＝
kx
＋1中取
x
＝e
3
得
k
＝，则＜
k
＜，
e3e3e2
?
21
?
故实数
k
的取 值范围是
?
，
?
，故选C.]
?
e3e2
?

?
1
??
1
?< br>2
(2)由已知4
x
a
x
对任意
x
∈
?
0，
?
恒成立，相当于在
?
0，
?< br>上，函
?
4
??
4
?
数
y
＝log
a
x
的图象恒在函数
y
＝4
x
图象的上方，显然当
a
>1时，不
1
?
2
1
111
?
成立，当0＜
a
<1时，如图，只需log
a
≥4×
??
?
a
4
≥
?
a
≥
，
44256
?
4
?
又
a
<1，故
a
∈
?
2?
1
，1
?
.故选B.]
?
?
256
?
思想3 分类讨论思想
分类讨论思想是当问 题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进
行分类，然后对每一类分别研究，给出 每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解
答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再 集零为整”的数学思想.

?
?
3x－1，x<1，
【例3】 (1)设函数
f
(x
)＝
?
?
2x，x≥1.
?

则满足
f
(
f
(
a
))＝2
f
(
a
)
的
a
的取值范围是
( )
?
2
?
A.
?
，1
?

?
3
?
?
2
?
C.
?
，＋∞
?

?
3
?
B．[0,1]
D．[1，＋∞)
x2y2(2)设
F
1
，
F
2
为椭圆＋＝1的两个焦点，
P
为椭圆上一点．已知
P
，
F
1
，
F
2
是一个直角三
94
|PF1|
角形的三个顶点，且|
PF
1
|＞|
PF
2
|，则的值为________．
|PF2|
722
f
(
a
)
(1)C (2)2或 [(1)由
f
(
f
(
a
))＝2得，
f
(
a
)≥1.当
a
<1时，有3
a
－1≥1，∴
a< br>≥，∴
233
≤
a
<1.
当
a
≥1时，有2≥1，∴
a
≥0，∴
a
≥1.
2
综上，
a
≥，故选C.
3
(2)若∠
PF
2
F
1
＝90°，
则 |
PF
1
|＝|
PF
2
|＋|
F
1
F
2
|.
∵|
PF
1
|＋|
PF
2< br>|＝6，|
F
1
F
2
|＝25，
144
解 得|
PF
1
|＝，|
PF
2
|＝，
33
|PF1|7
∴＝.
|PF2|2
若∠
F
2
PF
1
＝90°，
则|
F
1
F
2
|＝|
PF
1
|＋|PF
2
|
＝|
PF
1
|＋(6－|
PF
1
|)，
解得|
PF
1
|＝4，|
PF
2
|＝2，
|PF1|
∴＝2.
|PF2|
|PF1|7
综上所述，＝2或.]
|PF2|2
[方法指津]
分类讨论思想在解题中的应用
1．由数学概念 引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、
22
222
2 22
a

对数函数等．
2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的 定理、公式、性质是分类给出的，

在不同的条件下结论不一致，如等比数列的 前
n
项和公式、函数的单调性等．
3．由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法 运算中除数不为零，偶次方根为非负，
对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘 以一个正数、负数，


三角函数的定义域等．
4．由图形的不确定性引起的 分类讨论．有的图形类型、位置需要分类，如：角的终边所
在的象限；点、线、面的位置关系等．
[变式训练3] (1)(2017·台州市高三年级调考)某校在一天的8节课中安排语文、数学、
英语、物理、化学、选修课与2节自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三
门中的一门，第8节 只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课

均不能相邻，则所有不同的排法共有________种(结果用数字表示)．

39
(2)在等比数列{
a
n
}中，已知
a
3
＝，S
3
＝，则
a
1
＝________.
22
3
(1)1 296 (2)或6 [(1)若第8节课安排选修课，则第一节有3种方法，第7节有4种
2
方法，两节自修课有6种方法，其余3节课有A33＝6种方法，所以共有3×4×6×6＝
432种方法，若第8节安排自修课，则排列方法在432的基础上再乘以A22，结果为

432×2＝864种方法，所以共有432＋864＝1 296.

3
( 2)当
q
＝1时，
a
1
＝
a
2
＝
a
3
＝，
2


S
3
＝3
a1
＝，显然成立；
当
q
≠1时，由题意，
9
2

3
a1q2＝a3＝，
?
?
2
得
?
－9< br>＝S3＝.
?
?
1－q2

3
a1q2＝， ①
?
?
2
所以
?
9
＋q＋＝，②
?
?
2



1＋q＋q21
2
由①②，得＝3， 即2
q
－
q
－1＝0，所以
q
＝－或
q
＝ 1(舍去)．
q22


思想4 转化与化归思想
1a3
当
q
＝－时，
a
1
＝＝6.
2q2
3
综上 可知，
a
1
＝或
a
1
＝6.]
2

< br>转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之
转化，进而 得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难
解的问题通过变换转化为 容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.
【例4】 (1)抛物线
y
＝4
x
的焦点为
F
，点
P
(
x
，
y
)为该抛物线上的动点，又点
A
(－1,0)，
2

则
|PF|
的最小值是( ) 【导学号：68334006】
|PA|


|
x
|
12
A.B.
22
323
D.
22
C.
(2)( 名师押题)已知函数
f
(
x
)＝3e.若存在实数
t
∈[－ 1，＋∞)，使得对任意的
x
∈[1，

m
]，
m
∈Z且
m
>1，都有
f
(
x
＋
t
)≤3e
x
，则
m
的最大值为________．
|PF|
的最值问 题等价转化成直线
PA
的斜率问题．
|PA|
＝1＋ln x－x
――→

[解题指导] (1)利用抛物线的定义把
x＋t≥0
x
＋
t
两边取对数令
(2)
f
(
x
＋< br>t
)≤3e
x
――→e≤e
x
――→
t
≤1 ＋ln
x
－
x

h
(
x
)
min
≥－1.

|PF|
(1)B (2)3 [(1)如图，作
PH
⊥
l
于
H
，由抛物线的定义可知，|
PH
|＝|
PF
|，从而的
|PA|
|PH|
最小值等价于的最小值，等价于∠
PAH
最小，等 价于∠
PAF
最大，即直线
PA
的斜
|PA|
率最大．此时 直线
PA
与抛物线
y
＝4
x
相切，由直线与抛物线的关系可 知∠
PAF
＝45°，
2


|PF||PH|2
所以＝＝sin 45°＝.
|PA||PA|2
(2) 因为当
t
∈[－1，＋∞)且
x
∈[1，
m
]时，
x
＋
t
≥0，

所以
f
(
x
＋< br>t
)≤3e
x
?e
x
＋
t
≤e
x< br>?
t
≤1＋ln
x
－
x
.
所以原命题等价 转化为：存在实数
t
∈[－1，＋∞)，使得不等式
t
≤1＋ln
x
－
x
对任意


x
∈[1，
m
]恒成立．
令
h
(
x
)＝1＋ln
x
－
x
(
x
≥1)．


1因为
h
′(
x
)＝－1≤0，
x
所以函数
h< br>(
x
)在[1，＋∞)上为减函数．

又
x< br>∈[1，
m
]，所以
h
(
x
)
min
＝
h
(
m
)＝1＋ln
m
－
m
.

所以要使得对
x
∈[1，m
]，
t
值恒存在，


只需1＋ln
m< br>－
m
≥－1.
1
?
13
?
因为
h< br>(3)＝ln 3－2＝ln
?
·
?
>ln ＝－1，
e
?
ee
?
14
?
1

h
(4)＝ln 4－3＝ln
?
?
e
·
e2
?
e
＝－1，且函数
h
(
x
)在[1，＋∞)上为减函数，
??

所以满足条件的最大整数
m
的值为3.]

转化与化归思想在解题中的应用
[方法指津]
1．在三角函数中，涉及到三角式的变 形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为
已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要 的方法有公式的“三用”(顺

用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．
2 ．换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、



方程、不等式的一种重要的方法．
3．在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析 几何等知识的交汇题目时，常将平面向
量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．
4．在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．
5．在利用导数研究函数问题时 ，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其

导函数
f
′(
x
)构成的方程．
[变式训练4] (1)( 2017·金华十校高考模拟考试)在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知∠
B
＝30°，△
ABC
的面积为.且sin
A
＋sin
C
＝2sin
B
，则
b
的值为
3
2




B．4－23
( )
A．4＋23
C.3－1

D.3＋1
?
m
?
23
(2)若对于任意
t
∈[ 1,2]，函数
g
(
x
)＝
x
＋
?
＋2< br>?
x
－2
x
在区间(
t,
3)上总不为单调函数，< br>?
2
?

则实数
m
的取值范围是________．
?
37
?
(1)D (2)
?
－，－5
?
[(1)在△
ABC
中，由sin
A
＋sin
C
＝2sin
B
结合正弦定理得
a
＋
?
3
?
c
＝2
b
，△
ABC
的面积为
ac< br>sin
B
＝
ac
×＝，解得
ac
＝6，则在△ABC
中，由余弦定
理得
b
＝
a
＋
c
－2
ac
cos
B
＝(
a
＋
c
)－2< br>ac
－3
ac
＝(2
b
)－(2＋3)×6，解得
b
＝3
22222
1
2
1
2
13
22

＋1，故选D.

(2)
g
′(
x
)＝3
x
＋(
m
＋4)
x
－2，若
g
(
x
)在区间(
t,
3)上总为单调函数，则①
g
′(
x)≥0在
2

(
t,
3)上恒成立，或②
g
′ (
x
)≤0在(
t,
3)上恒成立．
22
2
由①得 3
x
＋(
m
＋4)
x
－2≥0，即
m
＋4 ≥－3
x
在
x
∈(
t,
3)上恒成立，所以
m＋4≥－3
t
xt




恒成立，
则
m
＋4≥－1，即
m
≥－5；
2237
由②得
m
＋4≤－3
x
在
x
∈(
t,
3)上恒成立，则m
＋4≤－9，即
m
≤－.
x33
37
所以若函数g
(
x
)在区间(
t,
3)上总不为单调函数，则
m< br>的取值范围为－＜
m
＜－5.]
3
课后对应完成技法强化训练(一)～ (四)
(注：因所练习题知识点比较整合，难度比较大，建议部分学生学完“第一部分重点强化专题”后再做此部分训练)