青花瓷封面的高中数学教材-武汉高中数学慕课工作室
1.4.2 空间向量应用(二)
【题组一 空间向量求线线角】
1
.(
2020·
宜昌天问教育集团高二期末)如图,将两个全等等腰直角三角形拼
成一个平行四边形
ABCD
,将
平行四边形
ABCD
沿对
角线
BD
折起,使平面
ABD?
平面
BCD
,则直线
AC
与
BD
所成角余弦值为(
)
A
.
22
3
B
.
6
3
C
.
3
3
D
.
1
3
2
.
?BAD?60?
,
(
2020·
湖北武汉。月考)如图,直四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的底面是菱形,
AA
1
?AB?2
,
M
是
BB
1
的中点,则异面直线
A
1
M
与
B
1
C
所成角的余弦值为(
)
A
.
?
10
5
B
.
?
1
5
C
.
1
5
D
.
10
5
3
.(
2019
·
绍兴鲁迅中学高二期中)如图,长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
AA
1
?AB?4
,AD?2
,
E
、
F
、
G
分别是
DD<
br>1
、
AB
、
CC
1
的中点,则异面直线
A<
br>1
E
与
GF
所成角的余弦值是(
)
11 11
A
.
0
B
.
10
5
C
.
2
2
D
.
15
5
4
.(
2019
·
浙江湖州
.
高二期中)在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,异面直线
AC
与
B1
D
所成的角为(
)
A
.
C
.
?
6
?
3
?
4
?
D
.
2
B
.
5
.(
2020·
武汉外国语学校高一月考)如图,正三棱锥V?ABC
的侧棱长为
3
,底面边长为
2
,则
VA与
BC
所成角的余弦值为
______.
【题组二 空间向量求线面角】
1
.(
2020·
江苏高二)如图
,在三棱锥
P-ABC
中,
AC
⊥
BC
,且,
AC
=BC=2
,
D
,
E
分别为
AB
,
PB<
br>中点,
PD
⊥平面
ABC
,
PD=3.
11 11
(1)
求直线
CE
与直线
PA
夹角的余弦值;
(2)
求直线
PC
与平面
DEC
夹角的正弦值
.
CC
1
?
底面
ABCD
,
2
.(
2020·
沙
坪坝
.
重庆八中)如图,四棱台
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,底面
ABCD
是菱形,
且
?BAD?
60°
,
CD?CC
1
?C
1
D
1
?4
,
E
是棱
BB
1
的中点
.
(
1
)求证:
AA
1
?BD
;
(
2
)求直线
AA
1
与平面
A
1
EC
1
所成线面角的正弦值
.
11 11
3<
br>.
BC?1
,(
2020·
浙江金华
.
高二期末)在
三棱锥
C?ABD
中,
BC?CD
△ABD
是边长为
2的等边三角形,
且平面
CBD?
平面
ABD
,
P
,
E
分别为线段
BD
、
CD
的中点
.
(
1
)求证:
AE?CD
;
(
2
)求直线
AP
与平面
ABC
所成角的正弦值
.
4
(
2020·
浙江瓯海
.
温州中学高二期末)如图,已知三棱锥
P?ABC
,
PC?AB
,
ABC
是边长为
2
的正
三角形,
PB?4
,
?PB
C?60?
,点
F
为线段
AP
的中点.
(
Ⅰ
)证明:
PC?
平面
ABC
;
(
Ⅰ
)求直线
BF
与平面
PBC
所成角的正弦值.
5
.(
2020·
甘肃城
关
.
兰大附中)如图,在四棱锥
P?ABCD
中,
PA?
底
面
ABCD
,底面
ABCD
为直角梯
11 11
形,
AB?AD
,
BC
∥
AD<
br>,
AD?2BC?2PA?2
,
AB?1
,
E
,F
,
G
分别为线段
AD
,
DC
,
PB
的中点.
(
1
)证明:平面
PEF
∥平面
GAC
.
(
2
)求直线
GC
与平面
PCD
所成角的正弦值.
【题组三 空间向量求二面角】
1<
br>.(
2020·
全国)如图,在四棱锥
P?ABCD
中,底面
ABCD
为边长为
3
的正方形,
AP?
平面
APD?
平面
ABCD
,
E
为
AP
的中点,
F
为
CD
的中点.
6
,
PD?3
,
(
Ⅰ
)求证:
EF
平面
PBC
;
(
Ⅰ
)求二面角
A?BP?C
的余弦值.
2
.(
2020·
全国)已知三棱柱
ADEBCF
中,侧面
ABCD
是矩形,
ABFE
是
?AEF?60?
的菱形,且平面
11 11
ABCD?
平面
ABFE
,
M
,
N
,
P
分别是
DE
,
AE
,
BF
的中点
.
(
1
)证明:
EP
平面
CMN
;
(
2
)若
AB?2AD
,求二面角
M?NP?C
的余弦值
.
3
.(
2020
·
全国高三其他(理))如图
1
,平面四边形
ABPC
中,
ABC
和
PBC
均为边长为
23
的等边
三角形,现沿
BC
将
PBC
折起,使
PA?32
,如图
2.
(
1
)求证:平面
PBC?
平面
ABC
;
(
2
)求二面角
A?PB?C
的余弦值
.
4
.(
2020·
全国)如图
1
,等
腰梯形
ABCD
中,
ABCD
,
AB?2AD?4
,
P
为
AB
的中点,对角线
AC
平分
?DAB
,将
△ACD
沿
AC
折起到如图
2
中
△ACD
?
的位置
.
11 11
(
1
)求证:
PD
?
?AC
.
(
2
)若二面角
B?AC?D
?
为直二面角,
M
为线段AB
上的点,且二面角
A?D
?
C?M
与二面角
M?D
?
C?B
大小相等,求出
AM
AB
的值
.
【题组四
空间向量求距离】
1
.已知正方体
ABCD ?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
2
,点
E
是<
br>A
1
B
1
的中点,则点
A
到直线
BE
的距离是
(
)
11 11
A
.
65
5
25
5
B
.
45
5
5
5
C
.
D
.
2
.(
2020·
全国高二课时练习)在直三棱柱中,
AA
1
?AB?BC?3
,AC?2
,
D
是
AC
的中点
.
(
1
)求证:
B
1
C
平面
A
1
BD
;
(
2
)求直线
B
1
C
到平面
A
1
BD
的距离
.
3
.(
2020·
全国高二课时练习)如图,在直三棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
中,∠
ABC=90°
,
BC=2
,
CC
1
=4
,点
E
在棱
BB
1
上,
EB
1
=1
,
D
,
F
,
G
分别
为
CC
1
,
B
1
C
1
,
A
1
C
1
的中点,
EF
与
B
1
D
相交于点
H.
11 11
(
1
)求证:
B
1
D
⊥平面
ABD
;
(
2
)求证:平面
EGF
∥平面
ABD
;
(
3
)求平面
EGF
与平面
ABD
的距离
.
4
.(
2020·
全国高二课时练习)在三棱锥
S?ABC
中,
ABC
是边长为
4
的正三角形,平面
SAC?
平面
ABC
,
SA?SC?
23
,
M
,
N
分别为
AB
,
SB
的中点,如图所示
.
求点
B
到平面
CMN
的距离
.
11 11
5
.(
2020·
江苏常熟
.
高二期
中)如图,在四棱锥
P?ABCD
中,底面
ABCD
是矩形,
PA?
平面
ABCD
,
PA?AD?4
,
AB?2
,M
是
PD
上一点,且
BM?PD
.
(1
)求异面直线
PB
与
CM
所成角余弦的大小;
(
2
)求点
M
到平面
PAC
的距离
.
6
.(
2020·
安
徽)如图,边长为
2
的等边
ABC
所在平面与菱形
A
1ACC
1
所在平面互相垂直,
AC?3AC
1
,
1M
为线段
AC
的中点
.
11 11
(
1
)求证:平面
BMC
1<
br>?
平面
A
1
BC
1
;
(
2
)求点
C
到平面
A
1
BC
1
的距离.
7.
(
2020·<
br>福建)如图,四棱锥
P?ABCD
中,底面
ABCD
为矩形,点
E
在
PA
线段上,
PC
平面
BDE
(
1
)请确定点
E
的位置;并说明理由
.
平面
PAD
?
平面
ABCD
,(
2)若
△PAD
是等边三角形,
AB?2AD
,四棱锥
P?ABC
D
的体积为
93
,
求点
E
到平面
PCD
的
距离
.
11 11