2020年浙江高考数学一轮复习：三角函数的图象与性质

第三节三角函数的图象与性质


1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
?
π
，1
?
，
?
3π
，－1
?
，正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图 象上，五个关键点是：(0,0)，(π，0)，
?
2
??
2
?(2π，0)．
?
π
，0
?
，
?
3π
，0
?
，余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1) ，(π，－1)，
?
2
??
2
?
(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
R
[－1,1]
2π
奇函数
y＝sin x y＝cos x y＝tan x

R
[－1,1]
2π
偶函数

错误!
R
π
奇函数

?
2kπ－
π
，2kπ＋
2
?
单调性

[2kπ－π，2kπ]
为增；[2kπ，2kπ
＋π]为减


π
?
[
2kπ


2
?
为增；

?
kπ－
π
，kπ
2
?

π
＋
?
为增
2
?
π3π
＋，2kπ＋
?
为减
22
?
(kπ，0)
π
x＝kπ＋
2
对称中心
对称轴

[小题体验]
?
kπ＋
π
，0
?

2
??
x＝kπ
?
kπ
，0
?

?
2
?

1．①y＝cos
2
x; ②y＝sin 2x; ③y＝tan 2x; ④y＝|sin x| 四个函数中，最小正周期为π
的奇函数是________．
答案：②

π
x＋
?
＋2的定义域为________________． 2．(教材习题 改编)函数y＝－tan
?
?
6
?
??
π
x≠kπ ＋
，k∈Z
?
答案：
?
x
?
3
?
??


1． 闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，
要讨论参数对最值的 影响．
2．要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω＞0时的情况．
3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．
[小题纠偏]
1．函数y＝4sin(－x)，x∈[－π，π]的单调性是( )
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
ππππ
－，
?
上是增函数，在
?
－π，－
?
和
?
，π
?
上是减函数 B．在
?
2
??
2
?
22
? ??
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
ππππ
，π
?
和
?
－π，－
?
上是增函数，在
?
－，
?
上是减函数 D．在
?
2
??
2
???
22
?
答案：D
ππ
2x－
?
在区间
?
0，
?
上的最小值 为________． 2．函数f(x)＝sin
?
4
???
2
?
ππ3π
π
0，
?
，得2x－∈
?
－，
?
， 解析：由已知x∈
?
?
2
?
4
?
44
?
πππ
2
2x－
?
∈
?
－，1
?
，故函数f(x)＝sin
?
2x－
?
在区间
?
0，
?
上的最小值为－所以sin
?
4
?
?
24
????
4
?
?
2
.
2
答案：－
2

2

考点一 三角函数的定义域?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透]
1．函数y＝ log
2
1
－1的定义域为________．
sin x
1
?
?
log
2
sin x
－1≥0，
1
解析：由题可得
?
所以有0＜sin x≤，
2
?
?
sin x＞0，
π5π
解得2kπ＜x≤2kπ＋或2kπ＋≤x＜2kπ＋π，k∈Z，
66

π5π
??
2kπ＜x≤2kπ＋或2kπ＋ ≤x＜2kπ＋π，k∈Z
?
. 所以所求函数的定义域为
?
x
?
66
?
??
π5π
??
2kπ＜x≤2kπ＋或2kπ＋≤x＜2kπ＋π，k∈Z
?
答案：
?
x
?
66
?
??

2．函数y＝lg(sin 2x)＋9－x
2
的定义域为______________．
?
?
sin 2x＞0，
?
kπ＜x＜kπ＋
2
， k∈Z，
?
?
解析：由
?
得
2
?
9－x≥ 0，
?
?

π
?
－3≤x≤3.


ππ
∴－3≤x＜－或0＜x＜.
22
ππ
－3，－
?< br>∪
?
0，
?
. ∴函数y＝lg(sin 2x)＋9－x
2
的定义域为
?
2
??
2
??
ππ
－3，－
?
∪
?
0，
?
答案：
?
2
??
2
??
[谨记通法]
三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．
考点二 三角函数的值域或最值?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领] < br>πx
π
?
1．函数y＝2sin
?
?
6
－< br>3
?
(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．2－3
C．－1
B．0
D．－1－3
πππ7π
解析：选A ∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，
3636
ππ
?
?
3
x－
∈
－，1
?
. ∴sin
?
?
63
??
2
?
∴y∈[－3，2]，∴y
max
＋y
min< br>＝2－3.
2．(2018·浙北联考)函数f(x)＝2cos
2
x＋5sin x－4的最小值为________，最大值为
________．
5
9
sin x－
?
2
＋.因为－1≤sin 解析：f(x)＝2cos
2
x＋5sin x－4＝－2sin
2
x＋5sin x－2＝－2
?
4
?
8
?
x≤1，所以当sin x＝－1时，f(x)有最小值－9；当sin x＝1时，f(x)有最大值1.
答案：－9 1
3．函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]的值域为________________．
解析：设t＝sin x－cos x，
则t
2
＝sin
2
x＋cos
2
x－2sin xcos x，

1－t
2
即sin xcos x＝，且－1≤t≤2.
2
t
2
11
∴y＝－＋t＋＝－(t－1 )
2
＋1.
222
当t＝1时，y
max
＝1；当t＝－ 1时，y
min
＝－1.
∴函数的值域为[－1,1]．
答案：[－1,1]
ππ
2x＋
?
＋a＋b(a＜0)的定义域为
?
0，
?
，值域4．(2019·平阳模拟)已知函数f(x)＝2asin
?
6
???
2
?
为[－5,1]，则a＋b＝______ __.
ππ
1
π
π7π
0，
?
，所以2x＋∈< br>?
，
?
，所以sin
?
2x＋
?
∈
?
－，1
?
.因为a＜0，解析：因为x∈
?
6
??
2
?
2
???
6
?
66
?
所以f(x) ∈[3a＋b，b]．因为函数的值域为[－5,1]，所以3a＋b＝－5，b＝1，所以a＝－2，
所以a＋b＝－1.
答案：－1
[由题悟法]
三角函数最值或值域的3种求法
(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．
(2)化一法：把所给三角函 数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出
函数的值域．
(3)换元法：把sin x、cos x、sin xcos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数．
[即时应用]
π
|x|≤
?
的最大值与最小值． 求函数y＝cos
2
x＋sin x
?
4
??
π
22
??
解：令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈
－，
.
4
2
??
2
1< br>5
t－
?
2
＋， ∴y＝－t
2
＋t＋1＝－
?
?
2
?
4
15
∴当t＝时，y
max
＝，
24
当t＝－
1－2
2
时，y
min
＝.
22
1－2
π
5
|x|≤
?
的最大值为，最小值为 ∴函数y＝cos
2
x＋sin x
?
.
4
??
42
考点三 三角函数的性质?题点多变型考点——多角探明?


[锁定考向]
三角函 数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多

与奇偶性、 周期性结合．
常见的命题角度有：
(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性．
[题点全练]
角度一：三角函数的周期性
ππ
?
1．(2019 ·湖州期末)函数y＝5sin
?
?
6
－
3
x
?< br>的最小正周期为( )
A．6
2π
C．
3
B．－6
2
D．
3
2π
＝6.
?
－
π
?
?
3
?
解析：选A 函数的最小 正周期为T＝
5π
?
2．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋ φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f
?
?
8
?
＝2，11π
?
f
?
?
8
?
＝0，且f(x)的最小 正周期大于2π，则( )
2
π
A．ω＝，φ＝
312
1
11π
C．ω＝，φ＝－
324
2
11π
B．ω＝，φ＝－
312
1
7π
D．ω＝，φ＝
324
5π
??
11π
?
＝0， 解析：选A ∵f
?
＝2，f
?
8
??
8
?
∴
11π5π
T
－＝(2m＋1)，m∈N，
884
3π
，m∈N，
2m＋1
∴T＝
∵f(x)的最小正周期大于2π，∴T＝3π，
∴ω＝< br>2
2π
2
?
＝，∴f(x)＝2sin
?
?
3
x＋φ
?
.
3π
3
2
5π
π
×＋φ
?
＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z. 由2sin
?
?
38< br>?
12
又|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝
角度二：三角函数的对称性
π
2x＋
?
的图象的对称轴方程可以是( ) 3．(2018·嘉兴期末 )函数f(x)＝sin
?
3
??
π
A．x＝
12
π
C．x＝
3
B．x＝
5π

12
π
.
12
π
D．x＝
6

kπ
πππ
解析：选A 由题可得，令2x＋＝kπ＋，k ∈Z，得x＝＋，k∈Z.所以当k＝0
32212
时，函数f(x)的图象的一条对称轴方程 为x＝
π
.
12
4．函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对 称图形，则φ＝________.
解析：由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数，
π
故φ＝kπ＋(k∈Z)．
2
π
答案：kπ＋(k∈Z)
2
角度三：三角函数的单调性
ππ
ωx＋φ＋
??
ω＞0 ，|φ|＜
?
的最小正周期为π，5．(2019·浦江模拟)已知函数f(x)＝2sin< br>?
4
??
2
??
且是偶函数，则( )
π
0，
?
内单调递减 A．f(x)在
?
?
2?
π3π
?
B．f(x)在
?
?
4
，
4
?
内单调递减
π
0，
?
内单调递增 C．f(x)在< br>?
?
2
?
π3π
?
D．f(x)在
?
?
4
，
4
?
内单调递增
解析：选A 因为函数f(x) 的最小正周期为π，所以ω＝2.因为函数f(x)是偶函数，且|φ|
ππ
＜，所以φ＝.所 以
24
ππ
2x＋
?
＝2cos 2x，所以函数f(x)在
?
0，
?
内单调递减． f(x)＝2sin
?
2
???
2
?
[通法在握]
1．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性
(1)若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝
Asin(ω x＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.
(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对 称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一
定是函数的零点，因此在判断直线x＝x
0< br>或点(x
0,
0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可
通过检验f(x
0
)的值进行判断．
2．求三角函数单调区间的2种方法
(1)代换法：就是将 比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利
用基本三角函数的单调性列不等式 求解．
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．
[演练冲关]

1．(2019·舟山模拟)若函数f(x)＝sin(φ－x )是奇函数，则φ的值可能是( )
π
A．
6
π
C．
2
π
B．
3
D．π
解析：选D 因为函数f(x)是奇函数，所以φ＝kπ(k∈Z)．对比选项可知，φ的值可能
是π.故选D.
π
ωx＋
?
＋sin ωx(ω＞0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝ 2．若函数f(x)＝sin
?
3
??
________.
π
1333
ωx＋
?
＋sin ωx＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx＝sin ωx＋cos ωx＝解析：f(x)＝sin
?
3
? ?
2222
π
2π
ωx＋
?
，又因为f(x)相邻两条对称 轴之间的距离为2，所以T＝4，所以＝4，即ω3sin
?
6
??
ω
π
＝.
2
π
答案：
2
π3π
－，
?
上的单调减区间为_______． 3．函数y＝|tan x|在
?
?
22
?
π3π
－，?
上的单调解析：如图，观察图象可知，y＝|tan x|在
?
?
22
?
ππ
－，0
?
和
?
，π
?
. 减区间为
?
?
2
??
2
?
ππ
－，0?
和
?
，π
?
答案：
?
?
2
??
2
?

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．下列函数中，周期为π的奇函数为( )
A．y＝sin xcos x
C．y＝tan 2x
B．y＝sin
2
x
D．y＝sin 2x＋cos 2x
π
解析：选A y＝sin
2
x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶
2
函数，B、C、D都不正确，选A.
π
ωx＋
?
在x＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) 2．函数y＝sin
?
6
??
ππ
A. B.
23
ππ
C. D.
46

πππ
解析：选D 由题意得，2ω＋＝＋2kπ(k∈Z)，解 得ω＝＋kπ(k∈Z)，∵ω＞0，∴
626
π
当k＝0时，ω
min＝，故选D.
6
3．函数y＝
ππ
－，
?
A.< br>?
?
66
?
ππ
kπ－，kπ＋
?
(k∈Z ) B.
?
66
??
ππ
2kπ－，2kπ＋
?
( k∈Z) C.
?
66
??
D．R
解析：选C ∵cos x－
33
≥0，得cos x≥，
22
cos x－
3
的定义域为( )
2
ππ
∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
66
?
0，
π
??
的单调递增区间是4．(2018·浙江六校联考)函数y＝3sin x＋3cos x
?
x∈
??
2
??
________．
π
πππ2π
x＋
?
，由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得 －＋解析：化简可得y＝23sin
?
?
6
?
2623
ππ
π
0，
?
，∴函数的单调递增区间是
?
0，
?. 2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，又x∈
?
?
2
??
3< br>?
3
π
0，
?
答案：
?
?
3?
ππ
2x＋
?
在
?
0，
?
上的值域 是________． 5．函数f(x)＝sin
?
3
??
2
??
π
π
π4π
πππ
0，
?
，∴2x＋∈
?
，
?
，∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)
max
＝1.当解析：∵ x∈
?
?
2
?
3
?
33
?
321 2
π4ππ
3
?
3
?
2x＋＝，即x＝时，f(x)
min
＝－，∴f(x)∈
－，1
.
3322
?
2?
答案：
－
?
?
3
?
，1

2
?
二保高考，全练题型做到高考达标
πππ
0，
?上单调递增，在区间
?
，
?
1．(2019·诸暨模拟)若函数f(x) ＝sin ωx(ω＞0)在区间
?
?
3
??
32
?
上单调递减，则ω＝( )
A．3
3
C．
2
B．2
2
D．
3

πππ
0，
?
上单调递 增，在区间
?
，
?
上单调递减，所以解析：选C 因为函数f(x)在区间< br>?
?
3
??
32
?
π
?
ωπωπ< br>π2ππ
3
f(x)
max
＝f
?
＝sin＝1.又 因为≥2×，所以0＜ω≤2，所以＝，解得ω＝.
?
3
?
ω
32 322
π
2x－
?
，下列说法正确的是( ) 2．关于函数y＝tan
?
3
??
A．是奇函数
π
0，
?
上单调递减 B．在区间
?
?
3
?
π
?
C.
?
?
6
，0
?
为其图 象的一个对称中心
D．最小正周期为π
ππ
2x－
?
是非奇非偶 函数，A错；函数y＝tan
?
2x－
?
在区间解析：选C 函数y＝tan
?
3
?
3
???
?
0，
π
?上单调递增，B错；最小正周期为
π
，D错；由2x－
π
＝
kπ
，k∈Z，得x＝
kπ
＋
π
，k
?
3
?< br>23246
π
?
π
∈Z.当k＝0时，x＝，所以它的图象关于
?
?
6
，0
?
对称．
6
π
??
π
?
π
＋x
＝f
－x
，则f
??
的值为 ( ) 3．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)对任意x都有f
?
?
6
??
6
??
6
?
A．2或0
C．0
B．－2或2
D．－2或0
π
??
π
?
解析：选B 因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f
?
?
6
＋x
?
＝f
?
6
－x
?
，所以该函数
π
图象 关于直线x＝对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.
6
4．已知 函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为
π
6π，且当x＝
时，f(x)取得最大值，则( )
2
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
1
解析：选A ∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝.
3
π
∵当x＝时，f(x)有最大值，
2
1
πππ
∴×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ(k∈Z)，
3223
π
∵－π＜φ≤π，∴φ＝.
3

x
π
?
∴f(x)＝2sin
?
?
3
＋
3
?
，
x
πππ
令－＋2kπ≤＋≤＋2kπ，k∈Z，
2332
5ππ
得－＋6kπ≤x≤＋6kπ，k∈Z，
22
5ππ
－＋6kπ，＋6kπ
?
，k∈Z， 故f(x)的单调 增区间为
?
2
?
2
?
5ππ
－，
?
， 令k＝0，得x∈
?
?
22
?
5ππ
－，
?
，故A正确． ∵[－2π，0]?
?
?
22
?
ππ
ωx＋
?
在
?
，π
?
上单调递减，则ω的取值范围是( ) 5．已知ω＞0，函数f(x)＝sin
?
4
??
2
??
15
?
A．
?
?
2
，
4
?

1
0，
?
C．
?
?
2
?
13< br>?
B．
?
?
2
，
4
?

D．(0,2]
πππππ
解析：选A 由＜x＜π得
ω＋
＜ωx＋＜πω＋，
22444
ππππ3π
ω ＋
，πω＋
?
?
?
，
?
， 由题意知
?< br>44
??
22
??
2
?
∴
?
π3π
πω＋
?
4
≤
2
，
πππ
ω＋
≥ ，
242

15
∴≤ω≤，故选A.
24
π
kx ＋
?
的最小正周期T满足1＜T＜2，6．若函数f(x)＝2tan
?
则自 然数k的值为________．
3
??
π
解析：由题意知，1＜
k
＜2，即k＜π＜2k.又k∈N，所以k＝2或k＝3.
答案：2或3
ππ< br>1
x＋
?
，其中x∈
?
－，a
?
，若f(x )的值域是
?
－，1
?
，则实数a7．已知函数f(x)＝sin
?
?
6
??
3
??
2
?
的取值范围是___ _____．
πππ
π
－，a
?
，∴x＋∈
?
－ ，a＋
?
， 解析：∵x∈
?
6
??
3
?
6
?
6
ππ
1
π
－，
?
时，f(x)的值 域为
?
－，1
?
， ∵当x＋∈
?
?
2
?
6
?
62
?
ππ7ππ
∴结合函数的图象知≤a＋≤，∴≤ a≤π.
2663
π
?
答案：
?
?
3
， π
?

π
π
ωx＋
?
(ω＞0)的 图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数8．若函数f(x)＝sin
?
6
??
2
π
0，
?
，则x
0
＝________. 图象 关于点(x
0,
0)成中心对称，x
0
∈
?
?
2< br>?
T
π
kπ
ππ
解析：由题意得＝，T＝π，ω＝2.又2x
0
＋＝kπ(k∈Z)，x
0
＝－(k∈Z)，而x
0
∈< br>226212
?
0，
π
?
，所以x
0
＝5π
.
?
2
?
12
答案：
5π

12
2π
0＜φ＜
?
的最小正周期为π. 9．已知函数f(x)＝ sin(ωx＋φ)
?
3
??
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
?
π
3
?
，求f(x)的单调递增区间． (2)若f(x)的图象 过点
，
?
62
?
2π
解：∵f(x)的最小正周期为π，则 T＝
ω
＝π，∴ω＝2.
∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
π
(1)当f(x)为偶函数时，φ＝＋kπ，k∈Z，
2
2ππ
∴cos φ＝0，∵0＜φ＜，∴φ＝.
32
?
π
3
?
时，sin
?
2×
π
＋φ
?＝
3
， (2)f(x)的图象过点
，
?
6
?
2
?
62
?
π
3
＋φ
?
＝. 即sin< br>?
?
3
?
2
又∵0＜φ＜
2πππ
，∴＜＋ φ＜π.
333
π
π2ππ
2x＋
?
. ∴＋φ＝，φ＝ .∴f(x)＝sin
?
3
??
333
πππ
令2kπ－≤ 2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
232
5ππ
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
1212
5ππ
kπ－，kπ＋
?
，k∈Z. ∴f(x)的单调递 增区间为
?
1212
??
π
2x＋
?
. 10．已 知函数f(x)＝2sin
?
4
??
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程 ；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
π3π
?
(3)当x∈
?
?
4
，
4
?
时，求函数f(x)的最大值和最小值．

kπ
πππ
解：(1)令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z .
4228
所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝
kπ
π
＋， k∈Z.
28
πππ
(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
242
3ππ
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
88
3ππ
kπ－，kπ＋
?
，k∈Z. 故函数f(x)的单调递 增区间为
?
88
??
π3π
?
3ππ7π
，
时，≤2x＋≤， (3)当x∈
?
?
44
?
444
π< br>2
2x＋
?
≤，所以－2≤f(x)≤1， 所以－1≤sin
?4
?
2
?
π3π
?
所以当x∈
?
?< br>4
，
4
?
时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－2.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
π
53
0，
?
上取到最 大值1，则1．若存在实数a，使函数y＝sin
2
x＋acos x＋a－在闭区间
?
?
2
?
82
实数a等于( )
A．1
3
C．
2
2
5
B．
2
D．2
1
a
51
cos x－a
?
2
＋＋a－. 解析：选C y＝－
?
2
?
482
?
π
当0≤x≤时，0≤cos x≤1，令t＝cos x，则0≤t≤1，
2
1
a
51
t－a
?
2＋＋a－，0≤t≤1. 所以y＝－
?
?
2
?
482
aaaa
2
51
①当0≤≤1，即0≤a≤2时，则当t＝，即cos x＝时，y< br>max
＝＋a－＝1，解得a
222482
33
＝或a＝－4(舍去) ，故a＝；
22
a
②当＜0，即a＜0时，则当t＝0，即cos x＝0时， < br>2
5112
y
max
＝a－＝1，解得a＝，由于a＜0，故这种情况 不存在满足条件的a值；
825
a
③当＞1，即a＞2时，则当t＝1，即cos x＝1时，
2
532020
y
max
＝a＋a－＝1，解得a＝.由于＜2，
821313
故这种情况下不存在满足条件的a值．
2

3
综上知，存在a＝符合题意．故选C.
2
π
ω＞0，|φ|＜
?
，给出以下四个论断： 2．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)
?
2
??
①它的最小正周期为π；
π
②它的图象关于直线x＝成轴对称图形；
12
π
?
③它 的图象关于点
?
?
3
，0
?
成中心对称图形；
π
－，0
?
上是增函数． ④在区间
?
?
6
?
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题
______ __(用序号表示即可)．
解析：若①②成立，则ω＝
2ππππ
＝2.令2×＋φ ＝kπ＋，k∈Z，且|φ|＜，故k＝0，则
π
1222
π
ππ
?
2x＋
π
?
＝sin π＝0，
?
π
，0
?
成
2x＋
?
.当x＝时，
φ＝
.此时f(x)＝sin< br>?
sin所以f(x)的图象关于
3
?
3
????
3
?
33
5πππ
－，
?
上是增函数，则f(x)在
?
－，0
?
上也是增函数，因此①②?中心对称；又f(x)在
?
?
1212
??
6
?
③④.用类似的分析可求得①③?②④.
答案：①②?③④或①③?②④
x
2cos
2
＋sin x
?
＋b. 3．(2019·武汉调研)已知函数f(x)＝a
?
2
??
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．
解：已知函数f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b
π
x＋
?
＋a＋b. ＝2asin
?
?
4
?
π
x＋
?
＋b－1， (1)当a＝－1时，f(x)＝－2sin?
?
4
?
ππ3π
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
242
π5π
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
44
π5π
2kπ＋，2kπ＋
?
(k∈Z)． ∴f(x)的单调 递增区间为
?
44
??
ππ5π
(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
444
∴－
π
2
x＋
?
≤1，依题意知a≠0. ≤sin
?
?
4
?
2

?
2a＋a＋ b＝8，
①当a＞0时，得
?
∴a＝32－3，b＝5.
?
b＝5 ，
?
b＝8，
②当a＜0时，得
?
∴a＝3－32，b＝8.
?
2a＋a＋b＝5，
综上所述，a＝32－3，b＝5或a＝3－32，b＝8.