高中数学会考的重要性-设置高中数学作业纸
高一数学知识点汇总
必修一
一、集合
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性:
(1)
元素的确定性如:世界上最高的山
(2)
元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性:
如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{ … }
如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)
用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)
集合的表示方法:列举法与描述法。
? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q
实数集
R
1) 列举法:{a,b,c……}
2)
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x?R|
x-3>2} ,{x| x-3>2}
3)
语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) Venn图:
4、集合的分类:
(1) 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合
(2)
空集 不含任何元素的集合 例:{x|x
2
=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:
A?B
有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
?
B或B
?
?
A
2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1}
“元素相同则两集合相等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为
Φ
规定:
空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
?
有n个元素的集合,含有2
n
个子集,2
n-1
个真子集
二、函数
幂、指数、对数的运算
1.方根的定义、性质:
(1),,;
(2),,。
2.指数性质与运算法则:
, , ,
,
,
3.对数性质:
若a>0且a≠1,则, ,
(3)零与负数没有
对数,
对数运算法则:
若a>0且a≠1,M>0,N>0,b>0且b≠1,则
,
,
(4)换底公式
4.指数与对数式的恒等变形:
; 。
幂函数的图象与性质
1、幂函数在第一象限的图象特征
2、幂函数性质:
(1),图象过(0,0)、(1,1),下凸递增,如;
(2),图象过(0,0)、(1,1),上凸递增,如;
(3),图象过(1,1),单调递减,且以两坐标轴为渐近线,如
(4)幂函数在第四象限没有图象,其它象限的图象可以由奇偶性确定。
指、对数函数的图象与性质
一般式
分类
图
像
定义域
值域
过定点 (0,1) (1,0)
值分
布
图象关
图象关于轴对称 图象关于轴对称
系
图象关于直线对称
方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函
数
y?f(x)(x?D)
,把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义:函数
y
?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根,亦即函数
y?f(x)的图
象与
x
轴交点的横坐标。
即:方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点.
3、函数零点的求法:
1
○
(代数法)求方程
f(x)?0
的实数根;
2
○
(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来,并利用
函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二
次函数
y?ax
2
?bx?c
(
a?
0)
. (1)△>0,方程
ax
2
?bx?c?
0
有两不等实根,二次
函数的图象与
x
轴有两个交点,二次函
数有两个零点.
(2)△=0,方程
ax
2
?bx?c?
0
有两相等实根,二次函数的图象与
x
轴有一个交点,二次函
数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程
ax
2
?bx?c?
0
无实根,二次函数的图象与
x
轴无交
点,二次函数无零点.
三、平面向量
向量:既有大小,又有方向的量.数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度.
零向量:长度为
0
的向量.单位向量:长度等于
1
个单位的向量.
相等向量:长度相等且方向相同的向量
平面向量
(一)、向量的有关概念
1、向量的模计算公式:(1)向量法:|
a
|
=
a?a?a
2
;
(2)坐标法:设
a
=(x,y),则|
a
|
=
x
2
?y
2
2、平行向量:规定:零向量与任一向量平
行。设
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x<
br>2
,y
2
),λ为实数
向量法:
a
∥
b<
br>(
b
≠
0
)<=>
a
=λ
b
坐标法:
a
∥
b
(
b
≠
0
)<=
> x
1
y
2
– x
2
y
1
=
0 <=>
x
1
x
2
y
?
(y
1
≠0 ,y
2
≠0)
1
y
2
3、垂直向量:
规定:零向量与任一向量垂直。设
a
=(x
1
,y
1
),<
br>b
=(x
2
,y
2
)
向量法:
a
⊥
b
<=>
a
·
b
= 0
坐标法:
a
⊥
b
<=> x
1
x
2
+ y
1
y
2
= 0
4.平面两点间的距离公式
d
A,B
=
|
u
AB
uur
|?
uAB
uur
?
u
AB
uur
?(x
22
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
(A(x
1
,y
1
)
,
B
(x
2
,y
2
)
).
(二)、向量的加法
(1)向量法:三角形法则(首尾相接首尾连),平行四边形法则(起点相同连对角)
(2)
坐标法:设
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(
x
2
,y
2
),则
a
+
b
=(x
1
+ x
2
,y
1
+ y
2
)
(三)、向量的减法
(1)向量法:三角形法则(首首相接尾尾连,差向量的方向指向被减向量)
(2)坐标法:
设
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2
),则
a
-
b
=(x
1
- x
2
,y
1
- y
2
)
(3)、重要结论:| |
a
| - |
b
| | ≤
|
a
±
b
| ≤ |
a
| + |
b
|
(四)、两个向量的夹角计算公式:
(1)向量法:cos
?
=
a?b
|a||b|
(2)坐标法:设
a
=(x<
br>1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2<
br>),则cos
?
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
2
?y
2
11
x
22
2
?y
2
(五)、平面向量的数量积计算公式:
(1)向量法:
a
·
b
= |
a
|
|
b
| cos
?
(2)坐标法:设
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2
),则
a
·
b
= x
1
x
2
+ y
1
y
2
(3)
a·b的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
(六).1、实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,那么
1. 结合律:λ(μa)
=(λμ)a;(2)分配律:(λ+μ)a=λa+μa;(3)分配律:λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的数量积的运算律:(1)
a
·b= b·
a
(交换律);(2)(
?
a
)·b=
?
(
a
·b)=
?
a
·b=
a
·(
?
b);
(3)(
a
+b)·c=
a
·c +b·c.
3.平面向量基本定理:如果e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一
向量,有且只有一对实数λ
1
、λ
2
,使得a=λ
1
e
1
+λ
2<
br>e
2
.不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内
所有向量的一组基底.
(七).三角形的重心坐标公式 :△ABC三个顶点的坐标分别为<
br>A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
3
,
3<
br>)
四、三角函数
1、善于用“1“巧解题2、三角问题的非三角化解题策略
3、三角函数有界性求最值解题方法4、
三角函数向量综合题例析5、三角函数中的数学思想方法
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
性
函
y?sinx
y?cosx
y?tanx
质
数
图象
定义
?
域
R
R
?
?
xx?k
?
?
?
?
2
,k??
?
?
值域
?
?1,1
?
?
?1,1
?
R
当
x?
2<
br>k
?
?
?
k??
2
?
k??
?当
x?2k
?
??
时,
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?
最值
时,<
br>y
max
?1
;当
??
?
时,
y
m
in
??1
.
既无最大值也无最小值
x?2k
?
?
?
?
k
2
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
周期
2
?
2
?
?
奇偶奇函数 偶函数 奇函数
性
单调
在
?
?
?
?
?
在
?
2k
?
?
?
,2k
?<
br>?
?
k??
?
?
?
2
k
?
?
性
2
,2
k
?
?
2
?
?
?
上是增函数;在
在
?
?
k
?
?
???
2
,
k
?
?
2
?
?
k??
?
上是增函数;在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
?
k??
?
上是增函数.
?
?
2k
?<
br>?
3
?
?
?
k??
?
上是减函数.
?
?
2
,2k
?
?
2
?
?
?
k??
?
上是减函数.
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?
对称中心
对称
?
k
?
性
对称轴
x?k
?
?
?
?
k??
?
?
?
k
?
?
?
,0
?
对称中心<
br>?
2
?
2
?
?
?
k??
?
?
2
,0
?
?
?
?
k??
?
对称轴
x?k
?
?
k??
?
无对称轴
必修四
角
?
的顶点与原点重合,角的始边与
x
轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称
?
为第几象限
角.
第一象限角的集合为
?
?
k?360
o
?
?
?k?360
o
?90
o
,k??
?
第二象限
角的集合为
?
?
k?360
o
?90
o
?k?36
0
o
?180
o
,k??
?
第三象限角的集合为
?
?
k?360
o
?180
o
?
?
?k?360
o
?270
o
,k??
?
第四象
限角的集合为
?
?
k?360
o
?270
o
??
?k?360
o
?360
o
,k??
?
<
br>终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180
o<
br>,k??
?
终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180
o
?90
o
,k??
?
终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90
o
,k??
?
3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?
k?360
o
?
?
,k??
?
4、已知
?
是第几象限角,确定
?
?
n??
*
n
?
所在象限的方法:先把各象限均分
n
等份,再从
x
轴的
正半轴的上方
起,依次将各区域标上一、二、三、四,则
?
原来是第几象限对应的标号即为
?
n
终
边所落在的区域.
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度.
口诀:奇变偶不变,符号看象限.
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三
角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+
α)=tanα
公式二:
设α为任意角,π
α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanα
公式三:
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanα
公式六:
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π2+α)=cosαcos(π2+α)=-sinαtan(π2+α)=-cotα
sin(π2-α)=cosαcos(π2-α)=sinαtan(π2-α)=cotα
sin(3π2+α)=-cosαcos(3π2+α)=sinαtan(3π2+α)=-cotα <
br>sin(3π2-α)=-cosαcos(3π2-α)=-sinαtan(3π2-α)=cotα
(以上k∈Z)
其他三角函数知识:
同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式
商的关系:sinαcosα=tanα
平方关系:sin^2(α)+cos^2(α)=1
两角和差公式
★倍角公式
★两角和(差)的正弦、余弦、正切公式 积化和差公式
①+②
?
?
?
sin2
?
?2sin
?
cos
?
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos<
br>?
?sin
?
cos
?
①
①-②
si
n(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?si
n
?
cos
?
②
22
cos2
?
?c
os
?
?sin
?
(
sin
2
?
?
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
co
s
?
?sin
?
sin
?
③
③+④
③-④
?
?cos
?
?1
)→
?2cos
?
?1
2
22
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
? ④
?1?2sin
?
2tan
?
tan2
?
?
1?tan
2
?
?
?
?
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
?tan
?
1
sin
?
?c
os
?
?[sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)]
2
1
sin
?
?cos?
?[sin(
?
?
?
)?sin(
?
??
)]
2
1
cos
?
?cos
?<
br>?[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?<
br>)]
2
1
sin
?
?sin
?
?[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)]
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
令 则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
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