2020_2021学年新教材高中数学课时素养评价五十事件的独立性含解析北师大版必修1

课时素养评价五十 事件的独立性

(15分钟 35分)
1.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时 射击,则他们同时中
靶的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由题意可知甲乙同时中靶的概率为
【补偿训练】
×=.
从 应届高中生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为,视力合格的概率为,其他几
项标准合格的概 率为,从中任选一名学生,则该生各项均合格的概率为(假设各项标准互不影
响) ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由独立事件概率公式计算可得:该生各项均合格的概率为××=.
2.如图所 示,A,B,C表示3个开关,若在某段时间内,它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,
则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为
( )

A.0.504
C.0.496


B.0.994
D.0.064
【解析】选B.1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.7)=1-0.006=0.994.
- 10 -

3.中国古代的“礼”“乐”“射”“御”“书” “数”合称“六艺”.某校国学社团准备于周
六上午9点分别在6个教室开展这六门课程讲座,每位同学 只能选择一门课程,则甲乙两人至
少有1人选择“礼”的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.由题意,甲和乙不选择“礼”的概率均是,且相互独立,所以甲乙两人 都不选择
“礼”的概率是×=,所以甲乙两人至少有1人选择“礼”的概率是1-=.
4.某 校组织《最强大脑》PK赛,最终A,B两队进入决赛,两队各由3名选手组成,每局两队各派
一名选手 PK,除第三局胜者得2分外,其余各局胜者均得1分,每局的负者得0分.假设每局比
赛A队选手获胜 的概率均为,且各局比赛结果相互独立,比赛结束时A队的得分高于B队的得
分的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.比赛结束时A队的得分高于B队的得分可分为以下3种情况:
第一局:A队赢 ,第二局:A队赢,第三局:A队赢;第一局:A队赢,第二局:B队赢,第三局:A队赢;
第一局:B 队赢,第二局:A队赢,第三局:A队赢,则对应概率为+··2=.
5.加工某一零件需经过三道工 序,设第一、二、三道工序的次品率分别为
序互不影响,则加工出来的零件的次品率为 . < br>,,,且各道工
【解析】依题意得,加工出来的零件的正品率是××=,因此
加工出来的 零件的次品率是1-=.
答案:
- 10 -

6.在同一时间内,甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内,求:
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率;
(2)至少有一个气象台预报准确的概率.
【解析】记“甲气象台预报天气准确”为事件A,“乙气象台预报天气准确”为事件B.
(1)P(AB)=P(A)P(B)=×=.
(2)至少有一个气象台预报准确的概率P=1-P()=1-P()P()=1-×=.

(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.在某道路的A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒,35< br>秒,45秒,某辆车在这段道路上匀速行驶,则在这三处都不停车的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为××=. 2.如图,元件A
i
(i=1,2,3,4)通过电流的概率均为0.9,且各元件是否通 过电流相互独立,则电
流能在M,N之间通过的概率是 ( )

A.0.729 B.0.882 9 C.0.864 D.0.989 1
【解析】选B.电流能通过A
1
,A
2
的概率为0.9×0.9=0.81,电流能通过A
3
的 概率为0.9,故电流
不能通过A
1
,A
2
也不能通过A
3
的概率为=0.019,所以电流能通过系统
A
1
,A
2
, 或A
3
的概率为1-0.019=0.981,而电流能通过A
4
的概率为0 .9,所以电流能在M,N之间通
过的概率为0.981×0.9=0.882 9.
【补偿训练】
- 10 -

电路从A到B共连 接着6个灯泡(如图),每个灯泡断路的概率是,整个电路的连通与否
取决于灯泡是否断路,则从A到B 连通的概率是 ( )

A. B. C. D.
【解析】选B.可 知A,C之间未连通的概率是=,连通的概率是1-=.E,F之间连通的概
率是=,未连通的概率是1 -=,故C,B之间未连通的概率是=,故C,B之间连通
的概率是1-=,故A,B之间连通的概率是 ×=.
3.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始,正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制 ,并
且每次得分者发球,所有单项的每局获胜分至少是21分,最高不超过30分,即先到21分的获< br>胜一方赢得该局比赛,如果双方比分为20∶20时,获胜的一方需超过对方2分才算取胜,直至
双方比分打成29∶29时,那么先到第30分的一方获胜.在一局比赛中,甲发球赢球的概率为,
甲接 球贏球的概率为,则在比分为20∶20,且甲发球的情况下,甲以23∶21赢下比赛的概率
为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.设双方20∶20平后的第k个球甲获 胜为事件A
k
(k=1,2,3,…),则P(甲以23∶21
赢)=P(A
2
A
3
A
4
)+P(A
1
A
3
A
4
)
=P(

)P(A
2
)P(A
3
)P(A
4
)
- 10 -

+P(A
1
)P()P(A
3
)P(A
4
)
=+=.
4.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不 发生的概率
相同,则事件A发生的概率P(A)等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.由题意,P()·P()=,P()·P(B)=P(A)·P().
设P(A)=x,P(B)=y,则
即
所以x-2x+1=,
2
所以x-1=-,或x-1=(舍去),
所以x=.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分) < br>5.甲罐中有3个红球、2个白球,乙罐中有4个红球、1个白球,先从甲罐中随机取出1个球放
入乙罐,分别以A
1
,A
2
表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件,再从 乙罐中随机取出1个球,
以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件,下列结论正确的是 ( )
A.P(B)=
B.事件B与事件A
1
相互独立
- 10 -

C.事件B与事件A
2
相互独立
D.A
1
,A
2
互斥
【解析】选AD.根据题意画出树状图,得到有关事件的样本点数:

因此P(A
1
)==,P(A
2
)==,P(B)==,A正确;
又P(A
1
B)=,因此P(A
1
B)≠P(A
1
)P(B),B错误;同理,C错误;
A
1
,A
2
不可能同时发生,故彼此互斥,故D正确.
6 .从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,
下列结论正 确的是 ( )
A.2个球都是红球的概率为
B.2个球不都是红球的概率为
C.至少有1个红球的概率为
D.2个球中恰有1个红球的概率为
【解析】选AC D.设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A
1
,“从乙袋中摸出一个红球”为事件
A< br>2
,
则P=,P=,且A
1
,A
2
独立;
- 10 -

在A中,2个球都是红球为A
1
A
2
,其概率为×=,A正确;在B中,“2个球不都是红球”是“2
个球都是红球” 的对立事件,其概率为,B错误;在C中,2个球中至少有1个红球的概率为
1-P()P()=1-× =,C正确;2个球中恰有1个红球的概率为×+×=,D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.国产杀毒软件进行比赛,每个软件进行四轮考核, 每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进
入下一轮考核,否则被淘汰.已知某个软件在四轮考核中能够准 确杀毒的概率依次是,,,,
且各轮考核能否通过互不影响.则该软件至多进入第三轮考核的概率为 .
【解析】设事件A
i
(i=1,2,3,4)表示“该软件能通过第i轮考核” ,由已知得
P(A
1
)=,P(A
2
)=,P(A
3
)=,P(A
4
)=,设事件C表示“该软件至多进入第三轮”,则
P(C)=P( +A
1
+A
1
A
2
)=P()+P(A
1
)+P(A
1
A
2
)=+×+××=.
答案:
8.同学 甲参加某科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别
得100分、1 00分、200分,答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率
分别为0.8,0 .6,0.5,且各题答对与否相互之间没有影响,则同学甲得分不低于300分的概率
是 .
【解析】设“同学甲答对第i个问题”为事件A
i
(i=1,2,3),则P(A1
)=0.8,P(A
2
)=0.6,P(A
3
)=0.5,< br>且A
1
,A
2
,A
3
相互独立,同学甲得分不低于3 00分对应于事件A
1
A
2
A
3
∪A
1
A
3
∪A
2
A
3
发生,
故所求概率P=P(A1
A
2
A
3
∪A
1
A
3
∪A
2
A
3
)=P(A
1
A
2
A
3< br>)+P(A
1
A
3
)+P(A
2
A
3
)=
P(A
1
)P(A
2
)P(A
3
)+P( A
1
)P()P(A
3
)+P()P(A
2
)P(A
3
)=
0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5=0.46.
- 10 -

答案:0.46
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从 重庆到上海的三列火车正点到达的概率分
别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到 达互不影响.求:
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
【解析】用A,B,C分别表示这三列火车正 点到达的事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,
所以P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1.
(1)由题意得A,B,C之间互 相独立,所以恰好有两列火车正点到达的概率
P
1
=P(BC)+P(AC)+P(A B)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()=0.2×0.7×0.9
+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398.
(2)三列火车至少有 一列正点到达的概率
P
2
=1-P()=1-P()P()P()=1-0.2×0. 3×0.1=0.994.
10.甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次,甲射中的概率为0.8 ,乙射中的概率为0.9,求:
(1)2人都射中目标的概率;
(2)2人中恰有1人射中目标的概率;
(3)2人至少有1人射中目标的概率;
(4)2人至多有1人射中目标的概率.
【解析】设“甲射击1次,击中目标”为事件A,“ 乙射击1次,击中目标”为事件B,则A与B,
与B,A与,与为相互独立事件.
(1)2人都射中目标的概率为P(AB)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=0.72.
- 10 -

(2)“2人各射击1次,恰有1人射中目标”包 括两种情况:一种是甲射中、乙未射中(事件A发
生),另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生).根 据题意,事件A与B互斥,根据互斥事件
的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,
所 求的概率
P=P(A)+P(B)=P(A)·P()+P()·P(B)=0.8×(1-0.9)+ (1-0.8)×0.9=0.08+0.18=0.26.
(3)“2人至少有1人射中目标”包括 “2人都中”和“2人有1人射中”两种情况,其概率
P=P(AB)+[P(A)+P(B)]=0. 72+0.26=0.98.
(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况,
故所求概率P=P()+P(A)+P(B)
=P()·P()+P(A)·P()+P() ·P(B)=0.02+0.08+0.18=0.28.

1.某一部件由四个电子元件按 如图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3或元件4
正常工作,则部件正常工作,若四个电 子元件的使用寿命超过1 000小时的概率都为,且各个
元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为 .

【解析】设事件A为元件1或元件2正常工作,事件B为 元件3或元件4正常工作,所以
P(A)=1-×=,P(B)=1-×=,
所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P(AB)=P(A)·P(B)=×=.
- 10 -

答案:
2.某校选拔若干名学生组建数 学奥林匹克集训队,要求选拔过程分前后两次进行,当第一次选
拔合格后方可进入第二次选拔,两次选拔 过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平,第一
次选拔,甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5 ,0.6,0.4.第二次选拔,甲、乙、丙三人合格的
概率依次为0.6,0.5,0.5.
(1)求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率;
(2)分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率;
(3)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后,恰有一人合格的概率.
【解析】(1)分别设甲、 乙经第一次选拔后合格为事件A
1
,B
1
;设事件E表示第一次选拔后甲合< br>格、乙不合格,则P(E)=P(A
1
)=0.5×0.4=0.2.
(2)分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格为事件A,B,C,
则P(A)=0. 5×0.6=0.3,P(B)=0.6×0.5=0.3,P(C)=0.4×0.5=0.2.
( 3)设事件F表示经过前后两次选拔后,恰有一人合格,则
P(F)=P(A··)+P+P(··C) =0.3×0.7×0.8+0.7×0.3×0.8+
0.7×0.7×0.2=0.434=

.
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