高中数学奥林匹克竞赛训练题(193)(无答案)

环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而 泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？ 太守自谓也。

高中数学奥林匹克竞赛训练题（193）（无答案）



第一试

一、
填空题（每小题8分，共64分）

1.
复数满足.则.
z
z?i?z?1?z?2015
z?

2.
函数的最大值为.
f(x)?
x
x
2
?x? 4
(x?5)

3.
(2sin36
0
2sin720
)
2
?
.

4.
圆锥曲线的离心率为.
x
2
?xy?1?0

5.
已知实数满足.则的最大值为.
x、y
（2015?x
2
)(2015?y
2
)?2
22
x?y

6.
设为正四面体的高的中点.则二面角的弧度数
为.
M
ABCD
DD
1
A?MB?C

7.
从集合中任取元素（可以相同）.则的个位数字是3的概率
为.
?
1,2, ,100
?
m、n
2
m
?3
n

8.
甲、乙、丙三人的年龄数之和为120，且.则有序数组 的个
为.
x、y、z
x、y、z?（20，60）(x,y,z)

二、解答题（共56分）

9.（16分）求方程的所有实数解.
2
x
?x
2
?28?0

至于负者歌于途，行者休于树，前者呼，后者 应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前 陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢也。

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数

环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然 而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者， 醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？太守自谓也。

1
?
510.（20分）证明：（1）对任意正整数，均有；
n
?
1?
???

?
2n
?
3
?
k
?
?< br>??
k?1
?
n
?
（2）对任意正整数，均有.
n? 1
n?1
?e

n
?
k
?
?
??
k?1
?
n
?
n
n
n
11.（20分）设 椭圆上有三个动点，且两点关于坐标原点对称.求的最
x
2
y
2
大值 .
??1
P、Q、R
P、Q
RP?RQ

169
加 试

一、（40分）如图1，已知动点在圆的劣弧上，为优弧的中点，过点的
切线分别 与过点的切线交于点，联结，与弦分别交于点.证
明：.
D
?
AB
C
AB
D
A、B
E、F
EC、FC
AB
G、H
AB?2GH

二、（40分）已知正实数满足.证明：，其中，“”表示轮换对称
和.
a、b、c、da?b?c?d?1
?
a16
?

?< br>a
2
?117
三、（50分）求满足的素数.
pq(2
p?2
q
)
p、q

四、(50分)给凸多面体的每个顶点定义一 个曲解.将项点所有面角之和
关于的补角称为该顶点的曲角（如正方体顶点的曲角为，正四面体顶
点的曲角为）.证明：凸多面体所有顶点的曲角之和等于.
2
?
?
?
4
?

2
至于负者歌于途，行者休于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来 而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。宴 酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢也。

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