2020年菲律宾高中数学奥林匹克竞赛

2020年 菲律宾数学奥林匹克
1.定义T—四格拼板是由四个单位正方形构成的， 其中有三个正方形形成1×3的矩形，
中间的单位正方形与第四个正方形有公共边。求从202×202 的方格表中至少能去掉多少
个单位正方形，使得可用若干个T—四格拼板覆盖整个图形（每个单位正方形 恰好被一
个T—四格拼板覆盖）。
色不同，白二色，使相邻两格染【解】将202?202的 方格表相间染成黑、
.黑或一黑三白每个T?四格拼板可覆盖一白三
.T?四格拼板覆盖若20 2?202的方格表能被若干个
白，黑，b个T?四格拼板覆盖住一黑三设有a个T?四格拼板覆盖住一 白三
3a?b?a?3b，另一半为黑格，可得由202?202的方格表中一半为白格
202 ?202
.?10201是奇数，矛盾即a?b，而a?b?
4
.T?四格拼板覆盖故 202?202的方格表不能被若干个
格个数被4整除，可知又由若干个T?四格拼板覆盖的单位方合题意.至少要从202?202的方格表中去掉4个单位方格，才可能符
记第i行(从下向上)第 j列(从左向右)的单位方格为(i，j).
(202,202).(202,201)，(1,201 )，(201,1)，现在去掉四个单位方格
由下图1可知每个4?4的正方形可被4个T?四格拼板覆 盖，
.T?四格拼板覆盖因此200?200的正方形可被若干个
.T?四格拼板覆盖整个图形 后，可用若干个由下图2可知去掉四个单位方格
故，所求的为4.







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2. 求所有的正整数
k
，使得存在正整数
r、s
， 满足方程
(k
2
?6k?11)
r?1
?(2k?7)
s
.
【解】当k?1时，6
r?1
?(?5)
s
，此时不存在r,s?N
*
符合该式；
当k?2时，3
r?1
?(?3)
s
，可取r?3，s?2，此式成立；
当k?3时，2
r?1
?(?1)
s，可取r?1，s?2，此式成立；
当k?4时，3
r?1
?1
s
，可取r?1，s?2，此式成立；
当k?5时，由(k
2
?6k?11)
r?1
?(2k?7)
s
可知k
2
?6k?11，2k?7必为同一 正整数幂
可设k
2
?6k?11?n
a
，2k?7?n
b< br>(n,a,b?N
*
，a?b)
则(k?2)
2
?(k
2
?6k?11)?(2k?7)?n
a
?n
b
?n
b< br>(n
a?b
?1)
又由gcd(n，n
ba?b
?1)?1， 可知n与n
ba?b
?1都为完全平方数.

gcd(k?2，2k?7)? gcd(k?2，2(k?2)?3)?gcd(k?2，3)?1或3...①
gcd((k?2)< br>2
，2k?7)?gcd(k
2
?6k?11，2k?7)?gcd(n
a
，n
b
)?n
b
...②
结合①②以及n
b< br>是完全平方数，可知n
b
?1或9.
若n
b
?1，则n?1， 此时k?4，这与k?5不符；
若n
b
?9，则n?3，b?2，此时k?8.于是2 7
r?1
?9
s
，可取r?3，s?3，此式成立.
综上所述，k? 2,3,4,8.

















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3. 已知数列
{a
n
}
满足 ：
a
0
?1,a
1
?4,a
n?1
?5a
n
?a
n?1
,n?1
.
求证：数列
{a
n}
中的每一项都可以表示为
c
2
?3d
2
(c,d?Z )
的形式.
【证】数列{a
n
}的特征方程为x
2
?5x ?1?0，其特征根为
可设a
n
?
?
1
(
5?21
.
2
5?21
n
5?21
n
)?
?
2
()，由a
0
?1,a
1
?4可得：
22
?< br>7?21
?
?
1
?
?
2
?1
??
?
1
??
14
.，解得
?
5?21
?
5?21
?
?
?
2
?4
??
?
?
7?21
1
2
?
2
2
?
14
?
7?215?21
n
7?215?21
n
()?().
14 2142
15?21
n
5?21
n
定义b
n
?[( )?()](n?N).
22
21
由b
0
?0,b
1
?1,b
n?1
?5b
n
?b
n?1
，可知对任意n?N ，有b
n
?Z.于是，
故a
n
?
7?215?21
2n
7?215?21
2n
()?()
142142
7?215?2 1
n
7?215?21
n2
15?21
2n
5?21
2n
?[()?()]?[()?()?2]
142142722
22
?a
n
?3b
n
；
a
2n
?
7?215?21
2n?1
7?215?21
2n?1
()?()
142142
14?3215?21
2n
14?3215?21
2n
?()?()
7272
7?215?21
n
7?215?21
n2
15?21< br>2n?2
5?21
2n?2
?[()?()]?[()?()?2]
1 42142722
22
?a
n
?3b
n?1
.
a< br>2n?1
?
即对任意n?N，有a
2n
?a
n
?3b
n
，a
2n?1
?a
n
?3b
n?1
.< br>故数列{a
n
}中的每一项都可以表示为c
2
?3d
2
(c,d?Z)的形式.









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2222

4. 在锐角△ABC中，圆
?
为其外接圆，AD是高线且满足AD= BC，M是CD的中点，∠
ADC的内角平分线交AC于点N，点P在圆
?
上，且BP ∥AC.设DN交AM于点F，PF与圆
?
再次交于点Q，AC与△PNQ的外接圆再次交于点 E，求证：∠DQE=90?.

【证】过A作BC的平行线交DN于G，作GH?BC于H ，
设AM的延长线交圆?于J.
??AGD??CDN??ADN，?AG?AD
于是 BC?AD?AG?DH
又?M是CD的中点，?CM?DM，HM?BM
因此HM?MD?B M?MC?AM?MJ，即A、D、J、H四点共圆.
又由四边形ADHG是正方形，可知A、G、H、 J、D五点共圆.
从而DF?FG?AF?FJ?PF?FQ，即D、Q、G、P四点共圆
?? PQD??PGD.
?ACBP，?AP?BC?AG，CP?AB?CG.
即P、G关于AC 对称，于是?PNE??GNE.设PG?AC?K
故?DQE??PQE??PQD??PNE??P GD??GNE??PGD??NKG?90?.


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