高中数学湘教版必修二知识点

高中数学必修2知识点总结

第三章三角函数
一、角的概念和弧度制：
（1）在直角坐标系内讨论角：
角的顶点在原点，始边在
x
轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的
角。若角的终边在坐标 轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与
?
角终边相同的角的集合：

{
?
|
?
?360
0
k?
?
,k?Z}或{
?
|
?
?2k
?
?
?
,k?Z}

与
?
角终边在同一条直线上的角的集合： ；
与
?
角终边关于
x
轴对称的角的集合： ；
与
?
角终边关于
y
轴对称的角的集合： ；
与
?
角终边关于
y?x
轴对称的角的集合： ；
②一些特殊角集合的表示
终边在坐标轴上角的集合： ；
终边在一、三象限的平分线上角的集合： ；
终边在二、四象限的平分线上角的集合： ；
终边在四个象限的平分线上角的集合： ；
（3）区间角的表示：
①象限角：第一象限角 ；第三象限角： ；
第一、三象限角： ；
②写出图中所表示的区间角：


y y



O
x
O
x


（4）正确理解角：
“第一象限的角”= ；“锐角”= ；
“小于
90
o
的角”= ；
第1页 共4页（高二数学）

（5）由
?
的终边所在的象限， 来判断
??
2
,
3
所在的象限



（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一
已知角
?
的弧度数的绝对值
?
?
l
r
，其中
l< br>为以角
?
作为圆心角时所对圆弧的长，
r
为圆的半
径。注意钟 表指针所转过的角是负角。
（7）弧长公式： ；半径公式： ；
扇形面积公式： ；周长公式
二、任意角的三角函数：
（1）任意角的三角函数定义：
以角
?
的顶点为坐标原点，始边为
x
轴正半轴建立直角坐标系，在角
?
的终边上任取 一个
异于原点的点
P(x,y)
，点
P
到原点的距离记为
r
，
则
sin
?
?
；
cos
?
?
；
tan
?
?

如：角
?
的终边上一点
(a,?3a)
，则
cos
?
?2sin< br>?
?
。注意r>0
（2）在图中画出角
?
的正弦线、余弦线、正切线；
y y y
y
a a x
O
a
x
O
x
O
a
O

（3）特殊角的三角函数值：
?

0
?
???
6

4

3

2

?
3
?

2

sin
?

cos
?

tan
?


三、同角三角函数的关系与诱导公式：
第2页 共4页（高二数学）

（1）同角三角函数的关系

商数关系

平方关系
sin
?

sin
2
?
+ cos
2
?
=1，
cos
?
=tan
?

作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
（2）诱导公式：
2k
?
?
?
?
?
： ， ， ；
?
?
?
?
?
： ， ， ；
?
?
?
?
： ， ， ；
?
?
?
?
?
： ， ， ；
2
?
?
?
?
?
： ， ， ；
?
2
?
?
?
?
： ， ， ；
?
2
?
?
?
?
： ， ， ；
3
?
2
?
?
?
?
： ， ， ；
3
?
2
?
?
?
?
： ， ， ；
诱导公式可用概括为：
奇变偶不变，符号看象限
（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：
①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
②求任意角的三角函数值。
步骤：
任意负角的

任意正教的

0
o
~360
o
角的
三角函数 三角函数 三角函数
o
求值
0~90
o
角的
三角函数
如
tan
?
?m
，则
sin
?
?
，
cos
?
?
；
第3页 共4页（高二数学）


注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6 ，8，10）；（5，12，13）；
（8，15，17）；

三角函数图象与性质复习题
常考题型：
1、
y?3sin(2x?
?
4
)
的最小正周期是 、对称轴是 、单调递增区间
是 、单调递减区间是 ；振幅是 、相位
是 、初相是 。用五点法作出该函数的图象。并说明该函数怎样由
y?sinx
变化
而来。
2、求
y?3sin(2x?
?
4
),x?[?
?
2,
?
2
]
的单调递减区间。
3、比较大小
?
cos(?
?
6
?
8
),sin
7
,sin?
6
；
?
tan1,tan2,tan3

4、求
y?3sin(2x?
?
3
),x?[?
?
6
,
?
6
]
的最大值、最小值及对应的x的取值范围。
5、求y?3asin(2x?
?
3
),x?[?
?
6
,?
6
],a?0
的最值及对应的x的取值。
6、若
y?2as in(2x?
?
)?b,x?[0,
?
32
]
的最大值是< br>1
，最小值是
?5
，求
a，b
的值。
7、为了得到
y?3sin(2x?
?
)
的图象，只须将
y?3sin(2x?< br>?
63
)
的图象向 平移 个单位。
8、定义在R的函数
f(x)
，对任意
x?R
都有
f(x?2)[1?f(x)]?f(x)? 1
。（1）证明
f(x)
是
周期函数。（2）若
f(1)??2，求
f(2013)
。
第4页 共4页（高二数学）

9、若
y?Asin(
?
x?
?
)?B(A?0,
?
?0,
?
?
?
2
)
， 在其一个周期内的图象上有一个最高点
2、给定条件，能够求
y?sinx
，< br>y?cosx
，
y?tanx
的定义域、值域、单调区间；
3 、给定条件，能够求
y?Asin(
?
x?
?
)
中的
A,
?
,
?
。
4、掌握正弦余弦函数图象平移法则，区分先平移后伸缩与先伸缩后平移之间的差别。
5、结合图象，会求诸如
?
7
?
(,3)
和一个最低点
(,?5)
，求这个函数的解析式。
1212
1
?
5
?
,x?[,]
的值域
266
?
10、求
f(x)?2cosx?2asinx?b?
2
1 3
?sinx?
的取值范围。
22
6、会作出含有绝对值的正弦、余 弦、正切函数图象。如
y?sinx
，
y?sinx


函数
y?sinx

y?cosx

y?tanx


第五章 三角恒等变换
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?< br>sin
?
；⑵
cos
?
?
?
?
?< br>?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?< br>；
图象
⑶
sin
?
?
?
?
?< br>?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?< br>；⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑸
tan
?
?
?
?
?
?

定义域
值域
奇偶性
最小正
周期
对称轴
对称
中心
单调递
增区间
单调递
减区间
[?

R

[?1,1]

tan
?
?tan
?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）；
1?tan< br>?
tan
?
tan
?
?tan
?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
??
）．
1?tan
?
tan
?
R

[?1,1]

{x|x?
?
2
?k
?
,k?Z}

⑹
tan
?
?
?
?
?
?

R

奇函数
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
s in2
?
?2sin
?
cos
?
．
?1?sin2
?
?sin
?
?cos
?
?2sin
?
c os
?
?(sin
?
?cos
?
)

222
奇函数
2
?
；T＝
2
?
偶函数
?

2
?
；T＝
2
?
?

?
?
；T＝
?
无

⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

?
,1?cos< br>?
?2sin
2
x?
?
2
?k
?
, k?Z

x?k
?
,k?Z

?
升幂公式
1?cos
?
?2cos
2
k
?
,0),k?Z

2
2tan
?
⑶
tan2
?
?
． 2
??
1?tan
?
(??k
?
,?k
?),k?Z

(
22
?
(k
?
,0),k?Z

(?k
?
,0),k?Z
2
?

22
co s2
?
?11?cos2
?
2
，
sin
?
?
．
?
降幂公式
cos
2
?
?
22

?
[?2k
?
,?2k
?
],k?Z

2 2
2
?
?2k
?
,
?
2
3
??2k
?
],k?Z

[?
?
?2k
?
,2k
?
],k?Z

[2k
?
,2k
?
?
?
],k?Z

无
要求：1、能正确画出
y?sinx
，
y?cosx
，
y?tanx
的图象




第5页 共4页（高二数学） 第6页 共4页（高二数学）

3、
半角公式:
α1?cosαα1?cosα

cos??;sin??
2222

αα

α

1

?

cos

sin

1

?

cos

α

tan????
α

2

1

?

cos

1

?

cos

α

sin

α

?
（后两个不用判断符号，更加好用）
tan
?
?tan
?
?____________
；
1?tan
?
tan
?< br>?___________
；
2tan
?
?
；
1?tan
2
?
?
； tan20
o
?tan40
o
?3tan20
o
tan 40
o
?
；
4、辅助角公式
?sin
?
??cos
?
??
2
??
2
s in
?
?
?
?
?
，其中
tan
?
?
?
?
．
5、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换 能力，要学会创设条件，灵活
运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如 下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角< br>之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使
问题获解 ，对角的变形如：
①
2
?
是
?
的二倍；
4
?
是
2
?
的二倍；
?
是
?
2
的 二倍；
?
2
是
?
4
的二倍；
②
15< br>o
?45
o
?30
o
?60
o
?45
o
?
30
o
2
；问：
sin
?
12?
；
cos
?
12
?
；
③
?
?(
?
?
?
)?
?
；④< br>??
4
?
?
?
?
2
?(
4
?
?
)
；
⑤
2
?
?(
?
??
)?(
?
?
?
)?(
?
4
?
?
)?(
?
4
?
?
)
；等等
（2）函 数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是
基础，通常化切为 弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函 数值，例如常
数“1”的代换变形有：

1?sin
2
?
?cos
2
?
?tan
?
cot
?
?si n90
o
?tan45
o

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用 方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的
方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需
要升幂，如对无理式
1?cos< br>?
常用升幂化为有理式，常用升幂公式
有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：
1?tan
?
1?tan
?
?_______ ________
；
1?tan
?
1?tan
?
?___ ___________
；
tan
?
?tan
?
?___ _________
；
1?tan
?
tan
?
?_____ ______
；
第7页 共4页（高二数学）
sin
?
?cos
?
?
= ；
asin
?
?bcos
?
?
= ；（其中
tan
?
?
；）
1?cos
?
?
；
1?cos
?
?
；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化 弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有
理，特殊值与特殊角的三角函数互化 。
如：
sin50
o
(1?3tan10
o
)?
；
tan
?
?cot
?
?
。


















第8页 共4页（高二数学）

第四章 平面向量
1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．

2、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
；
②结合律：
a?b?c?a?b?c
；③
a?0?0?a?a
． < br>⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a ?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
3、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设
a?< br>?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
???
设
a?
?
x
1
,y
1
?< br>，
b?
?
x
2
,y
2
?
，其中b?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a
、
bb?0
共线．
??
6、平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同 一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的
任意向量
a
，有且只有一对实数< br>?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
．（不共线的向量
e1
、
e
2
作为这一
平面内所有向量的一组基底）

7、平面向量的数量积：
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0 ,0?
?
?180
?

?
．零向量与任一向量的数量积为< br>0
．
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
????
C

a

b

a?b?ab
； 当
a
与
b
反向时，
a?b??ab
；
a?a?a< br>2
?a
或
a?a?a
．③
a?b?ab
．
2
?

⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
?
a?b
?
?a ?
?
?
b
?
；③
?

a?b??C?????C

?
a?b
?
?c?a?c?b?c
．
⑷坐标运算：设两个 非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x1
x
2
?y
1
y
2
．
2
2 2
?
?
x
1
x
2
y,
1
?y2

?
．
4、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向 量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
若
a?
?
x,y
?
，则
a?x?y
，或
a?x
2
?y
2
． 设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y< br>2
?
，则
?
a?
?
a
；
a?b?x0
．
1
x
2
?y
1
y
2
?
设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?< br>x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；当
?
?0
时，
?
a?0
．
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
；③
?
a ?b?
?
a?
?
b
．
⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y?
?
?
?
x,
?
y
?
．
5 、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．
?
是
a
与< br>b
的夹角，则
??
cos
?
?

a?bab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
2
2
2< br>2
．
??
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