2017浙江高中数学联赛-高中数学课本的意义
高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
立体几何知识与方法测试(二)
一.选择题:
1.下面四个命题:①
若直线a与b异面,b与c异面,则直线a与c异面;②
若直线a与b相交,
b与c相交,则直线a与c相交;③ 若直线ab,bc,则直线ac;④
若直线ab,则a,b与c
所成的角相等。其中正确命题的个数是( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
2.空间四边形的两条对角线的位置关系是( )
(A)相交
(B)平行 (C)异面 (D)无法确定
3.已知直线l⊥平面α,直线m
?
平面β,有以下四个命题:①
αβ
?
l⊥m;② α⊥β
?
l
m;③
lm
?
α⊥β;④ l⊥m
?
αβ。其中正确的两个命题是(
)
(A)①② (B)③④ (C)②④ (D)①③
4.设正方体的全面积为24,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是( )
(A)
6
π (B)
3284
?
(C)
π
(D)π
333
5.设三棱锥P
-
ABC的顶点P在底面的射影O(在△A
BC内部)到三个侧面的距离相等,则O是
△ABC的( )
(A)外心
(B)垂心 (C)内心 (D)重心
6.若三个平面两两相交,有三条交线,则下列命题正确的是( )
(A)三条交线为异面直线 (B)三条交线两两平行
(C)三条交线交于一点
(D)三条交线两两平行或交于一点
7.菱形ABCD在平面α内,PC⊥α,则PA与BD的位置关系是( )
(A)平行 (B)相交但不垂直 (C)垂直相交 (D)异面且垂直
8.点P
是等腰三角形ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,PA=8,在△ABC中,BC=6,AB=AC=5
,
则点P到BC的距离是( )
(A)4
5
(B)
3
(C)3
3
(D)2
3
9.已知△ABC中,∠C=90°,直线PA⊥平面ABC,若AB=5,AC=2,则点B到平面PAC的
距离为
( )
(A)
13
(B)
21
(C)2
6
(D)5
10.如图,A
B是圆O的直径,C是圆周上异于A、B的一点,PA⊥圆O所在的平面,则△PAB,△
PAC,△A
BC,△PBC中,直角三角形的个数是( )
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
11.已知直线a,b和平面α,有以下四个命题:①
若aα,ab,则bα;② 若a
?
α,b∩α=A,
则a与b异面;③
若ab,b⊥α,则a⊥α;④ 若a⊥b,a⊥α,则bα。其中真命题的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
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12.有下列三个命题:① 有四个相邻侧面互相垂直的棱柱是直棱柱;②
各侧面都是正方形的四棱
柱是正方体;③
底面是正三角形,各侧面都是等腰三角形的三棱柱是正三棱柱。其中真命题的个数
是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)0
二.填空题: 13.在正方体ABCD
-
A
1
B
1
C
1D
1
中,若过A、C、B
1
三点的平面与底面A
1
B<
br>1
C
1
D
1
所在的平面相交于
直线l,则l与AC的
关系是 。
14.空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、
BC、CD、DA的中点,若AC=BD=a,且AC
与BD所成的角为60°,则四边形EFGH的面
积是 。
15.已知四个命题:①
一条直线和两条平行线中的一条垂直,则它和另一条也垂直;② 空间四点
A、B、C、D,若直线AB
和直线CD是异面直线,那么直线AC和直线BD也是异面直线;③
空间
四点若不在同一平面内,则其中任意三点不在同一直线上;④
两条平行线中的一条与一个平面平行,
则另一条也平行于这个平面。其中正确命题的序号是
。
16.已知三个命题:①
两个平面垂直,过其中一个平面内一点,作与它们交线垂直的直线,必垂直
于另一个平面;②
两个平面垂直,分别在两个平面内,且互相垂直的两条直线,一定分别与另一个
平面垂直;③
两个平面垂直,则分别在这两个平面内的两条直线互相垂直。其中假命题的序号
是
。
三.解答题:
17.正方体ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、F、G分别是棱DA、DC、DD
1
的中点,试找出经过正方体的
三个顶点且与平面EFG平行的平面,并证明你的结论。
18.如图,已知ABCD是矩形,E是以CD为直径的半圆周上一点
,且平
面CDE⊥平面ABCD,
求证:CE⊥平面ADE。
A
19.如图,正方体ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为3,点E在AA
1
上,点F在CC
1
上,且AE=FC
1
=1,
(1)求证:E、B、F、D
1
四点共面;
(2)若点G在BC上,BG=
求证:EM⊥平面BCC
1
B
1
.
20.正方形ABCD的边长为1,分别取BC、CD的中点E、
F,连接AE、E
F、AF,以AE、EF、FA为折痕,折叠这个
正方形,使B、C、D重合为一点P,得到一个四面体
P
-
AEF,
B
E
C
E
C
E
D
B
C
D
1
C
1
F
D
H
G
B
B
1
A
1
2
,点M在BB
1
上
,GM⊥BF,垂足为H,
3
E
M
A
A
D
F
A
P
F
马鸣风萧萧
(1)求证:AP⊥EF;
(2)求证:平面APE⊥平面APF。
马鸣风萧萧
立体几何知识与方法二测试参考答案
一.选择题:
题号
答案
1 2
C
3
D
4
D
5
C
6
D
7
D
8
A
9
B
10
D
11
B
12
D C
二.填空题:
13.平行 14.
3
2
a
15.①②③ 16.①②③
8
三.解答题:
17.证明:过A、C、D
1
的平面与平面EFG平行,
由E、F、G分别是棱DA、DC、DD
1
的中点,可得GEAD
1
,GFCD
1
,
又GE
?
平面EFG,GF
?
平面EFG,∴
AD
1
平面EFG,CD
1
平面EFG,
又AD
1
∩CD
1
=D
1
,∴
平面EFG平面ACD
1
.
18.证明:平面ABCD⊥平面CDE,ABCD为矩形,所以AD⊥平面CDE,
因为点E在直径为CD的半圆上,所以CE⊥ED,
D
1
所以CE⊥平面ADE.
19.(1)证明:如图,在DD
1
上取点N,使DN=1,连接EN,CN,
C
1
则AE=DN=1,CF=ND
1
=2,
N
F
因为AEDN,ND
1
CF,所以四边形ADNE是平行四边形,
D
从而EN
AD,FD
1
CN,又因为AD
BC
,所以EN
BC,
故四边形BCNE是平行四边形,由此推知CNBE,从而FD
1
BE,
所以E、B、F、D
1
四点共面;
(2)如图,GM⊥BF,又MB⊥BC,所以∠BGM=∠CFB,
BM=BG
·
tan∠BGM=BG
·
∠CFB=BG
·
C
G
A
1
B
1
E
M
H
B
A
BC23=
??1
,
CF32
因为AE
BM,所以ABME为
平行四边形,从而ABEM,又AB⊥平面BCC
1
B
1
,
所以EM⊥平面BCC
1
B
1
.
20.证明:(1)因为∠APE=∠APF=90°,PE∩PF=P。所以PA⊥平面PEF,
因为EF
?
平面PEF,所以PA⊥EF;
(2)因为∠APE=∠APF=90°,PA∩PF=P。所以PE⊥平面APF,
又PE
?
平面APE,所以平面APE⊥平面APF.
马鸣风萧萧