高中数学必修二第三章直线与方程知识点总结(优选.)

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高一数学总复习学案 必修2第三章：直线与方程
一、知识点
倾斜角与斜率
1. 当直线
l
与
x
轴相交时，我们把x
轴正方向与直线
l
向上方向之间所成的角叫做直线
l
的倾斜角 .当直线
l
与
x
轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线< br>l
的倾斜角
?
的
范围是
0?
?
?
?
.
2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即
k?tan
?
. 如 果知道直
线上两点
P(x
1
,y
1
),P(x
2< br>,y
2
)
，则有斜率公式
k?
y
2
?y1
. 特别地是，当
x
1
?x
2
，
y
1
?y
2
时，
x
2
?x
1
直线与
x
轴垂直，斜率
k
不存在；当
x
1
?x
2
，
y
1
?y
2
时，直线与
y
轴垂直，斜率
k
=0.
注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与
y
轴平行或者重合. 当α =90°
时，斜率
k
=0；当
0??
?
?90?
时 ，斜率
k?0
，随着α的增大，斜率
k
也增大；当
90??
?
?180?
时，斜率
k?0
，随着α的增大，斜率
k
也增 大. 这样，可以求解倾斜角α的
范围与斜率
k
取值范围的一些对应问题.
两条直线平行与垂直的判定
1. 对于两条不重合的直线
l
1
、
l
2
，其斜率分别为
k
1
、
k
2
，有：
（1）
l
1
l
2
?
k
1
?k
2
；（2）
l
1
?l
2
?
k
1
?k
2
??1
.
2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另 一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于
x
轴；….
直线的点斜式方程
1. 点斜式：直线
l
过点
P
0
(x
0
, y
0
)
,且斜率为
k
，其方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
.
2. 斜截式：直线
l
的斜率为k
，在
y
轴上截距为
b
，其方程为
y?kx?b
.
3. 点斜式和斜截式不能表示垂直
x
轴直线. 若直线
l
过 点
P
0
(x
0
,y
0
)
且与
x< br>轴垂直,此时它的
1 6

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倾斜角为90° ，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为
x?x
0
?0
，
或
x?x
0
.
4. 注意：
y?y
0
?k
与
y?y
0
?k(x?x
0
)
是不同的方程 ，前者表示的直线上缺少一点
x?x
0
P
0
(x
0
,y
0
)
，后者才是整条直线.
直线的两点式方程
1. 两点式 ：直线
l
经过两点
P
1
(x
1
,y
1),P
2
(x
2
,y
2
)
，其方程为
y?y
1
x?x
1
，
?
y
2
?y1
x
2
?x
1
2. 截距式：直线
l
在
x、y
轴上的截距分别为
a、b
，其方程为
xy
??
1< br>.
ab
3. 两点式不能表示垂直
x、y
轴直线；截距式不能表示垂 直
x、y
轴及过原点的直线.
4. 线段
P
1
P
2
中点坐标公式
(
直线的一般式方程
1. 一般式：
Ax?By?C?0
，注意
A、B
不同时为0. 直 线一般式方程
Ax?By?C?0(B?0)
化为斜截式方程
y??
x
1
?x
2
y
1
?y
2
,)
.
22
AC
AC
x?
，表示斜率为
?
，
y
轴 上截距为
?
BB
BB
的直线.
2. 与直线
l:Ax?B y?C?0
平行的直线，可设所求方程为
Ax?By?C
1
?0
；与 直线
Ax?By?C?0
垂直的直线，可设所求方程为
Bx?Ay?C
1?0
.
3. 已知直线
l
1
,l
2
的方程 分别是：
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1< br>?0
（
A
1
,B
1
不同时为0），
，则两条 直线的位置关系可以如下判别：
l
2
:A
2
x?B
2y?C
2
?0
（
A
2
,B
2
不同时为 0）
（1）
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
； （2）
l
1< br>l
2
?A
1
B
2
?A
2
B
1
?0,AC
12
?A
2
B
1
?0
； < br>（3）
l
1
与
l
2
重合
?A
1B
2
?A
2
B
1
?0,AC
12
?A
2
B
1
?0
； （4）
l
1
与
l
2
相交
?A
1
B
2
?A
2
B1
?0
.
如果
A
2
B
2
C
2
?0
时，则
l
1
l
2
?
交
?< br>A
1
B
1
?
.
A
2
B
2
A
1
B
1
C
1
ABC
??
；< br>l
1
与
l
2
重合
?
1
?
1
?
1
；
l
1
与
l
2
相
A
2
B
2
C
2
A
2
B
2
C
2
两条直线的交点坐标
2 6

精品word.
?
Ax?B
1
y?C
1
?0
1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组
?
1
. 若方程组有
A x?By?C?0
?
222
惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组 无解，则两条直线无公共点，
此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时 两条直线重合.
2. 方程
?
(A
1
x?B
1
y ?C
1
)?(A
2
x?B
2
y?C
2
)? 0
为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定
点就是
A
1
x?B1
y?C
1
?0
与
A
2
x?B
2y?C
2
?0
的交点.
两点间的距离
22
1. 平 面内两点
P
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，则两点间的距离为：
|PP
12
|?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)
.
特别地，当
P
1
,P
2< br>所在直线与
x
轴平行时，
|PP
1
,P
2
所 在直线与
y
轴平
12
|?|x
1
?x
2
|
；当
P
行时，
|PP
12
|?|y
1
?y
2
|
；
点到直线的距离及两平行线距离
1. 点
P(x
0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离 公式为
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
.
2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线
l
1< br>:Ax?By?C
1
?0
，
l
2
:Ax?By?C< br>2
?0
之间的距离公式
d?
|C
1
?C
2< br>|
A?B
22
，推导过程为：在直线
l
2
上任取一点
P(x
0
,y
0
)
，则
Ax
0
? By
0
?C
2
?0
，即
Ax
0
?By0
??C
2
. 这时点
P(x
0
,y
0
)
到直线
l
1
:Ax?By?C
1
?0
的距离为
d?
|Ax
0
?By
0
?C
1
|
A?B
22
?
|C
1
?C
2
|
A?B22

二、直线方程对应练习
一.选择题
1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ）
A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0
2. 过点
P(?1,3)
且垂直于直线
x?2y?3?0
的直线方程为（ ）
A.
2x?y?1?0
B.
2x?y?5?0

C.
x?2y?5?0
D.
x?2y?7?0

3. 已知过点
A(?2,m)
和
B (m,4)
的直线与直线
2x?y?1?0
平行，则
m
的值为
（ ）
3 6

精品word.
A.
0
B.
?8
C.
2
D.
10

4.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4= 0垂直，则直线的方程是（
）

A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0
5.设直线a x+by+c=0的倾斜角为
?
，切
sin
?
?cos
?< br>?0
则a,b满足 （ ）
A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=0
6. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=
A、 -3 B、-6 C、
?
3
D、
2
23

7.点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）
A 2 B
1
C 1 D
7

22
8. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是
A（-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）
9. （上海文，15）已知直线
l
1
:(k?3)x?(4?k)y?1?0,与l
2
:2(k?3)x?2y?3?0,
平
行，则
k
值是（ ）
A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2
10、若图中的直线L
1
、L
2
、L
3的斜率分别为K
1
、K
2
、K
3
则（
L
）


3

A、K
1
﹤K
2
﹤K
3

L
2

B、K
2
﹤K
1
﹤K
3

C、K
3
﹤K
2
﹤K
1

D、K
1
﹤K
3
﹤K
2


11、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）
A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0
o
L
1

x
4 6

精品word.
C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0
12. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )
A. ab＞0，bc＞0 B. ab＞0，bc＜0
C. ab＜0，bc＞0 D. ab＜0，bc＜0
13. 如果直线
l
经过两直线2
x
- 3
y
+ 1 = 0和3
x
-
y
- 2 = 0的交点，且与直线
y
=
x
垂直，则原点到直线
l
的距离是( )
A. 2 B. 1 C.
2
D. 2
2

14. 原点关于
x
- 2
y
+ 1 = 0的对称点的坐标为( )
2
?< br>4
?
?
4
?
24
??
42
??2
-
?
B.
?
-，
?
C.
?
，
?
D.
?
， -
?
A.
?
，
5
?
5
?
?< br>55
??
55
??
5
?
5
二、填空题
1. 点
P(1,?1)
到直线
x?y?1?0
的距离是____ ____________。
2.已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线 ，则a的值为________________。
3.经过两直线11x+3y－7=0和12x+ y－19=0的交点，且与A（3，－2），B（－1，6）等距
离的直线的方程是 。
4.（全国卷文16）若直线
m
被两平行线
l
1
:x? y?1?0与l
2
:x?y?3?0
所截得的线段的
长为
22
，则
m
的倾斜角可以是 ①
15
②
30
③
45
④
60
⑤
75

其中所有正确答案的序号是 .
三.解答题
1.已知两条 直线
l
1
:x?1?m
?
y?2?m,l
2
:2m x?4y??16
.
m
为何值时,
l
1
与l
2
:

（1）相交 （2）平行 （3）垂直

?
5 6

精品word.

2. 求经过直线
l
1
:2x?3y?5?0,l
2
:3 x?2y?3?0
的交点且平行于直线
2x?y?3?0
的直线方程.


3.求平行于直线
x?y?2?0,
且与它的距离为
22
的直线方程。

4.已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C （4，3），M是BC边上的中
点。（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求A B边的高所在直线方程。



5.求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方
程。


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赠人玫瑰，手留余香。


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