学而思高中数学讲义-浙江省全国高中数学联赛
让更多的孩子得到更好的教育
高中数学会考重点
一、集合与简易逻辑
1.必须弄清集合的元素是什么,是函数关系中自变量的取值?还是因变量的取值?还
是曲线上的点??
;
2.数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦
恩图
等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想
方法解决;
3
.一个语句是否为命题,关键要看能否判断真假,陈述句、反诘问句都是命题,而祁
使句、疑问句、感叹
句都不是命题;
4.判断命题的真假要以真值表为依据.原命题与其逆否命题是等价命题
,逆命题与其
否命题是等价命题
,一真俱真,一假俱假,当一个命题的真假不易判断时,可考虑
判断其等价命题的真假;
5.
判断命题充要条件的三种方法:(1)定义法;(2)利用集合间的包含关系判断,若
A?B
,
则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条
件;(3)等价法:即利用等价
关系
A?B?B?A
判断,对于条件或结论是不等关
系(或否定式)的命题,一般运用
等价法;
6.(1)含n个元素的集合的子集个数为2
n
,真子集(非空子集)个数
为2
n
-1;
(2)
A?B?A?B?A?A?B?B;
(3)
C
I
(A
?
B)
?
C
I
A
?
C
I
B,C
I
(A
?
B)
?
C
I
A
?
C
I
B;
二、函数: 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.
1.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法:若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a?g(x)?b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求
f(x)的定义域,相
当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;
2.函数的奇偶性
(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=
f(x)
;
(2)定义域含零的奇函数必过原点(可用于求参数);
(3)判断函数奇偶性可用定义的等
价形式:f(x)±f(-x)=0或
f(?x)
??1
(f(x)≠0);
f(x)
(4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;
(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相
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反的单调性;
3.函数图像(或方程曲线的对称性)
(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关
于对称中心(对称轴)的对称点
仍在图像上;
(2)证明图像C
1
与C2
的对称性,即证明C
1
上任意点关于对称中心(对称轴)的对
称点仍在
C
2
上,反之亦然;
(3)曲线C
1
:f(x,y)=0,关于y
=x+a(y=-x+a)的对称曲线C
2
的方程为f(y-a,x+a)=0(或
f
(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲线C
1
:f(x,y)=0关于点(a,
b)的对称曲线C
2
方程为:f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f
(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对
称;
(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=
a?b
对称;
2
4.函数的周期性
(1)y=f(x)对x∈R时,f(x
+a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x)
(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为
2a的周期函数;
(2)若y=f(x)是偶函
数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周
期函数;
(3)若y=
f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期
函数;
(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2
a?b
的周
期函数;
(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是
周期为2
a?b
的周
期函数;
(6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=
?
1
,则y=f(x)是周期为2
a
的
f(x)
周期函数;
5.方程k=f(x)有解
?
k∈D(D为f(x)的值域);
6.a?f(x)
?
a?[f(x)]
max,
;
a?f(x)
?
a?[f(x)]
min
;
7.(1)
log
a
b?log
a
n
b
(a>0,a≠1,b>0,n∈R
+
);
(2) l og
a
N=
n
log
b
N
(
a>0,a≠1,b>0,b≠1);
log
b
a
(3) l og
a
b的符号由口诀“同正异负”记忆;
(4) a
log a
N
= N ( a>0,a≠1,N>0 );
8.能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性.
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9.判断对应是否为映射时,抓住两点:(1)A中元素必须
都有象且唯一;(2)B中元
素不一定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
10.对于反函数,应掌握以下一些结论:(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)
奇函数的反函
数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)
周期函数不存在反函数;(5
)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5) y=f(x)
-1
与y=f(x)互为反
函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有f[f
-1
(x)]=x(x∈
B)
,f
-1
[f(x)]=x(x∈A).
11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;
二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题
用“两看法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对
位置关系;
12.恒成立问题的处理方法:(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布
列不等式(组)求解;
13.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数
的范围问题:
?
f(a)?0
?
f(a)?0
f(u)?g(x)u
?h(x)?0(或?0)(a?u?b)?
?
(或
?
)
;
?
f(b)?0
?
f(b)?0
14.掌握函数
y?
函
数
定
义
域
值
域
奇
偶
性
单
调
性
非奇非偶函数
当b-ac>0时:
分别在
(??,?c),(c,??)
上单调递减;
当b-ac<0时:
分别在
(??,?c),(c,??)
上单调递增;
ax?bb?acc
?a?(b?ac?0);y?x?(c?0)
的图象和性质;
x?cx?cx
ax?bb?aca
y??a?y?x?(a?0
)
x?cx?cx
(b – ac≠0)
(??,?c)?(c,??)
(??,a)?(a,??)
(??,0)?(0,??)
(??,?2a]?[2a,??)
奇函数
在
(??,?a],[a,??)
上
单调递增;
在
[?a,0),(0,a]
上单调
递增;
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图
象
三、数列
1.由S
n
求a
n
,
a
n
={
Y=a
y
y
o
X=-c
o
X
x
S
1
(n?1)
S
n
?S
n?1
(n?2,n?N)
*
注意验证a
1
是否包含在后面a
n
的公式中,
若不符合要单独列出
.一般已知条件中含a
n
与S
n
的关系的数列题均可考虑用上述公
式
;
2.等差数列
{a
n
}?a
n
?a
n?1<
br>?d(d为常数)?2a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2,n?N*)
?a
n
?an?b?s
n
?An<
br>2
?Bn
;
3.等比数列
{a
n
}?a
n
?a
n-1
?a
n?1
(n?2,n?N)?a
n
?a
1
?q
n-1
;
4.首项为正(或为负)的递减(
或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,
a
n
?0
?
?
a
n
?0
?
解决; 转化为解不等式
?
?
或
?
?
?
??
?
a
n?1
?0
?
?
a
n?1
?0
?
2
5.熟记等差、等比数列的定
义,通项公式,前n项和公式,在用等比数列前n项和公
式时,勿忘分类讨论思想;
6.等差数列中, a
m
=a
n
+ (n-m)d,
d?
a
m
?a
n
;
等比数列中,a
n
=a
m
q
n-m
;
q=
n?m
a
n
;
m?n
a
m
7.当m+n=p+q(m、n、p、q∈N)时,对等差数列{a
n
}有:a
m+a
n
=a
p
+a
q
;对等比
数列{a
n
}有:a
m
a
n
=a
p
a
q
;
8.若{a
n
}、{b
n
}是等差数列,则{ka
n<
br>+bb
n
}(k、b、a是非零常数)是等差数列;若{a
n
}、{b
n
}是等比数列,则{ka
n
}、{a
n
b
n
}等也是等比数列;
9.等差(或等比)数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如
a
1
+a
2
+a
3
,a
4
+a<
br>5
+a
6
,a
7
+a
8
+a
9…)仍是等差(或等比)数列;
10.对等差数列{a
n
},当项数为2n时,
S
项数为2n-1时,
S
偶
*
—S
奇
=n
d;
-S
偶
=a
中
(
n∈N*);
奇
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11.若一阶线性递归数列a
n
=kan
-
1
+b(k≠0,k≠1),则总可以将其改写变形成如下形
式:<
br>a
n
?
b
?k(a
n?1
?
b
)<
br>(n?2),于是可依据等比数列的定义求出其通项公式;
k?1k?1
四、三角函数
1.三角函数符号规律记忆口诀:一全正,二正弦,三是切,四余弦;
2.对于诱导公式,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括;
3.记住同角三角函数的基本关系,熟练掌握三角函数的定义、图像、性质;
①倒数关系:<
br>tan
?
②商数关系:
?cot
?
?1
s
in
?
cos
?
?tan
?
;?cot
?
.
cos
?
sin
?
2
③平方关系:
s
in
?
?cos
2
?
?1
4.熟知正弦、余弦、
正切的和、差、倍公式,正余弦定理,处理三角形内的三角函数
问题勿忘三内角和等于180
0
,一般用正余弦定理实施边角互化.
①
cos(
?
②
si
n(
?
③
tan(
?
?
?
)?cos
?<
br>cos
?
?sin
?
sin
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
tan
?
?tan
?
1
?
tan<
br>?
tan
?
④
sin2
?
?2sin
?cos
?
?
?
)?
⑤
cos2
?<
br>⑥
tan2
?
?cos
2
?
?sin2
?
?1?2sin
2
?
?2cos
2
??1
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
⑦
sin
2
?
2
1?cos2
??
1?cos2
?
,cos
2
?
222
1?cos
?<
br>sin
?
1?cos
?
??
1?cos
?
1
?cos
?
sin
?
⑧
tan
?
2
??
⑨.积化和差公式
sin
?
cos
?
?
1?
sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)
?
2
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cos
?
sin
?
?1
?
sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)
?
2
1
?
cos(
?<
br>?
?
)?cos(
?
?
?
)
?
<
br>2
1
?
cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)
?
2
sin
?
si
n
?
??
cos
?
cos
?
??
sin<
br>?
?sin
?
?2sin
⑩.和差化积公式
?
?<
br>?
2
cos
?
?
?
2
sin?
?sin
?
?2cos
?
?
?
2
s
in
?
?
?
2
2
2
cos
?<
br>?cos
?
?2cos
?
?
?
2
2
cos
?
?
?
cos
?
?cos
?
??2sin
11.万能公式
?
?
?
sin
?
?
?
sin<
br>?
2
2tan
?
?
2
1?tan
2
?
2
,
cos
?
2
1-tan
2
?<
br>1?tan
2
?
?
2
k
?
?
2,
tan
?
2
2tan
?
?
2
1?tan
2
?
2
?
2
5.正弦型函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的对称轴为
x?
??
?
对称中
(k?Z)
;
心为
(
k
?
?
?
,0)(k?Z)
;类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心;
?
)
?
注:图像变换易错点:
y?sin
?
x
?y?sin(
?
x?
?
)(平移
?
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6.(1)正弦平方差公式:sin
2
A-sin
2
B=sin(A
+B)sin(A-B);(2)三角形的内切圆半径
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r=
2S
?ABC
;(3)三角形
的外接圆直径2R=
a?b?c
abc
??;
sinAsinBsinC
五、平面向量
1.两个向量平行的充要条件,
设a=(x
1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
),
?
为实数.(1)向量式:a∥b(b≠
0)
?
a=
?
b;(2)坐标式:a∥b(b≠0)
?
x
1
y
2
-x
2
y
1
=0;
2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x
1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
),
(1)向量式:a⊥b(b≠0)
?
a
?
b=0;
(2)坐标式:
a⊥b
?
x
1
x
2
+y
1
y
2<
br>=0;
3.设a=(x
1
,y
1
),b=(x
2<
br>,y
2
),则a
?
b=
abcos
?
=x<
br>1
x
2
+y
1
y
2
;其几何意义是a
?
b等于a的长
度与b在a的方向上的投影的乘积;
4.设A(x
1,x
2
)、B(x
2
,y
2
),则S
⊿
AOB
=
5.平面向量数量积的坐标表示:
(1)若a=(x
1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
),则a
?
b=x
1
x
2
+y
1
y
2
;
AB
?
(2)若a=(x,y),则a
2
=a
?
a=x
2
+y
2
,
a?
1
x
1
y
2
?x
2
y
1
;
2
(x
1
?x
2)
2
?(y
1
?y
2
)
2
;
?
x
2
?y
2
;
六、不等式
1.掌握不等式性质,注意使用条件;
2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式
、简单的指数、对数不等式)的
解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式;勿忘数轴标根法,
零点分区间
法;
3.掌握用均值不等式求最值的方法,在使用a+b?
2ab
(a>0,b>0)时要符合“一正二
a
2
?b
2
a?b
2
a?b
2
定三相等”;注意均值不等式的一些变形,如
?();ab?()
;
222
七、直线和圆的方程
直线方程的五种形式:点斜式:
y
?y
0
?k(x?x
0
)
斜截式:
y?kx?b<
br>;
y?y
1
x?x
1
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
两点式:
y
2
?y
1
x
2
?x
1
截距式:
xy
??1
,一般式:
Ax?By?C?0(A
2
?B
2
?0)
ab
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圆的方程:
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标准式:
(x?a)
一般式:
x<
br>2
2
?(y?b)
2
?r
2
(r?0)
<
br>?y
2
?Dx?Ey?F?0(D
2
?E
2
?4F?
0)
?
x?a?rcos
?
(
?
为参数)
参数式:
?
?
y?b?rsin
?
1.设三
角形的三个顶点是A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)、C(x
3
,y
3
),则⊿ABC的重心G为
(x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
);
,
33
2.直线l
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
=0与l
2
: A<
br>2
x+B
2
y+C
2
=0垂直的充要条件是A
1A
2
+B
1
B
2
=0;
3.两条平行线Ax+By+C
1
=0与 Ax+By+C
2
=0的
距离是
d?
C
1
?C
2
;
A
2
?B
2
2
+Bxy+Cy
2
+Dx+Ey+F=0表示圆的
充要条件 :A=C≠0且B=0且D
2
+E
2
-4AF>0;
5
.过圆x
2
+y
2
=r
2
上的点M(x
0
,y
0
)的切线方程为:x
0
x+y
0
y=r
2<
br>;
6.以A(x
1
,y
2
)、B(x
2
,
y
2
)为直径的圆的方程是(x-x
1
)(x-x
2
)+(
y-y
1
)(y-y
2
)=0;
7.求解线性规划问题的步骤是:
(1)根据实际问题的约束条件列出不等式;(2)作出
可行域,写出目标函数;(3)确定目标函数的
最优位置,从而获得最优解;
八、圆锥曲线方程
22
1.椭圆焦半径公式:设P(
x
0
,y
0
)为椭圆
x
2
?
y
2
?1
(a>b>0)上任一点,焦点为
ab
F
1
(-c,0
),F
2
(c,0),则
PF
;
1
?a?ex
0
,PF
2
?a?ex
0
(e为离心率)
2
2
y
x
2.双曲线焦半径公式:设P(x
0
,y
0
)为双曲
线
??1
(a>0,b>0)上任一点,焦点
a
2
b
2为F
1
(-c,0),F
2
(c,0),则:
(1)当P点在
右支上时,
PF
1
?a?ex
0
,PF
2
??a?
ex
0
;
(2)当P点在左支上时,
PF
(e为离心率); 1
??a?ex
0
,PF
2
?a?ex
0
;<
br>22
22
另:双曲线
x
?
y
?1
(a>0,
b>0)的渐进线方程为
x
?
y
?0
;
a
2b
2
a
2
b
2
3.抛物线焦半径公式:设P(x
0
,y
0
)为抛物线y
2
=2px(p>0)上任意一点,F为焦
点,则
PF?x
0
?
p
p
;y
2
=2px
(p<0)上任意一点,F为焦点,则
PF??x
0
?
;
2
2
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4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题;
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b
x
2
y
2
的双曲线标准方程为;
x
?
2
?
?
(
?
为参数,
?
≠0)
2
a
ab
6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式,
一般地,若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB, A、B两点分别为A(x
1
,
5.共渐近线
y??
y
1
)、B(x
2
,y<
br>2
),则弦长
AB?1?k
2
?x
2
?x
1
?(1?k
2
)[(x
1
?x
2
)
2<
br>?4x
1
x
2
]
?1?
11
2<
br>?y?y?(1?)?[(y?y)?4y
1
y
2
]
. 2112
k
2
k
2
注:这里体现了解析几何“设而不求”的解题
思想;
2
7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为
2b
,焦准距为p=
b
,抛物线的通径为2p,焦
a
2
c
2
2
yx
准距为p;
双曲线
?
2
?1
(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为b;
2
ab
8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为Ax
2
+
Bx
2
=1;
9.抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点弦(过焦
点F的弦)为AB,A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y2
),则有如
2
下结论:(1)
AB
=x
1
+
x
2
+p;(2)y
1
y
2
=-p
2
,x
1
x
2
=
p
;
4
(3)
112
2P
??
.
(4)
AB?(
?
是直线AB的倾斜角)
2
FAFBp
s
in
?
22
10.过椭圆
x
2
?
y
2?1
(a>b>0)左焦点的焦点弦为AB,则
AB?2a?e(x
1
?
x
2
)
,
ab
过右焦点的弦
AB?2a?e(x
1
?x
2
)
;
2
y
0
11.对于y=2p
x(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为(,y
0
),以简化计算;
2p
2
12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法,设A(x
1
,y1
)、B(x
2
,y
2
)
22
b
2<
br>为椭圆
x
2
?
y
2
?1
(a>b>0)上不
同的两点,M(x
0
,y
0
)是AB的中点,则K
AB
K<
br>OM
=
?
2
;
a
ab
2
2
b
2
y
x
对于双曲线(a>0,b>0),类似可得:K
AB
.K
OM
=;对于y
2
=2px(p≠0)
??1
a2
a
2
b
2
2p
抛物线有K
AB
=
y
1
?y
2
13.求轨迹的常用方法:
(1)直接法:直
接通过建立x、y之间的关系,构成F(x,y)=0,是求轨迹的最基本
的方法;步骤为:建(建系)
设(设点)现(将动点M满足的等量关系列出)代(将
M点的坐标代入上述等量关系)化(将等式化简)
.最后要检验纯粹性.
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(2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥
曲线等,可先根据条件
列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可;
(3)代入法(相关点法或转移法):若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x
1
,y1
)的变化而
变化,并且Q(x
1
,y
1
)又在某已知
曲线上,则可先用x、y的代数式表示x
1
、y
1
,再将
x
1
、y
1
带入已知曲线得要求的轨迹方程;
(4)定义法:如果能够确定动
点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义
直接写出方程;
(5)参数法:当动点P
(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用
时,可考虑将x、y均用一中间变量(参
数)表示,得参数方程,再消去参数得普通
方程.
九、直线、平面、简单几何体
1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC,若∠AOB=
∠AOC,则点A在平面∠BOC
上的射影在∠BOC的平分线上;
2.
已知:直二面角M-AB-N中,AE
?
M,BF
?
N,∠EAB=<
br>?
1
,∠ABF=
?
2
,异面
直线AE与BF所成的
角为
?
,则
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2
;
3.立平斜公式:如图,AB和平面所成的角是
?
1
,AC在平面内,AC和AB的射影
AB成
?
2
,设∠B
AC=
?
3
,则cos
?
1
cos
?
2<
br>=cos
?
3
;
4.异面直线所成角的求法:
(1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;
(2)补形法
:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长
方体等,其目的在于容易发现两条
异面直线间的关系;
5.直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,
它的三条边分别是平面的垂线段、斜
线段及斜线段在平面上的射影.通常通过斜线上某个特殊点作出平面
的垂线段,垂足
和斜足的连线,是产生线面角的关键;
6.二面角的求法
(1)定
义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面内作棱的垂
线,得出平面角,用定义法
时,要认真观察图形的特性;
(2)三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂
线定理或逆
定理作出二面角的平面角;
(3)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,
过两垂线作平面与两个半平面
的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂
直;
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(4)射影法:利用面积射影公式S
射
=S
原
cos
?
,其中
?
为平面角的大小,此方法不必
在图形中画出平面角;
特别:对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,
然
后再选用上述方法(尤其要考虑射影法).
7.空间距离的求法
(1)两异面直
线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂
线,然后再进行计算;
(2)求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解;
(3)求点到平面的距离,一
是用垂面法,借助面面垂直的性质来作,因此,确定已
知面的垂面是关键;二.是用转化法,转化为线面
距.三是用等体积法.不作出公垂线,
转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解;
8.
正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为
?
,则
S
侧
?cos?
?S
底
;
9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的
角分别为
?
,
?
,
?
,
因此有
cos2
?
+cos
2
?
+cos
2
?
=1
; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为
?
,
?
,?
,
则有cos
2
?
+cos
2
?
+
cos
2
?
=2;
10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长;
11.欧拉公式:如果简单多面体
的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F-E=2;并且
棱数E=各顶点连着的棱数和的一半=
各面边数和的一半;
12.球的体积公式V=
?
R
3
,表面积公式
S?4
?
R
;掌握球面上两点A、B间的距离
求法:(1)计算线段
AB的长,(2)计算球心角∠AOB的弧度数;(3)用弧长公式计
算劣弧AB的长;
十、排列组合和概率
m
1.排列数公式:
A
n
=n(n-
1)(n-2)?(n-m+1)=
(n?m)!
(m?n,m、n∈N*),当m=n时为全
排
n
列
A
n
=n(n-1)(n-2)?3.2.1;
m
A
n
n?(n?1)???(n?m?1)
(m?n),
C
0
?C
n
?1
;
m
2.组合数公式:
C
n
??
nn
m!m?(m?1)?(m?2)???3?2?1
4
3
2
n!
3.组合数性质:
C
n
mn?mrr?1r
?C
n
;C
n
?C
n
?C
n?1
; nn?1nrrrr?1
4.常用性质:n.n!=(n+1)!-n!;即
nA
n
?A
n?1
?A
n
;C
r
?C
r?1<
br>?????C
n
?C
r?1
;
(1?r?n);
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rn?rr
5.二项式定理:(1)掌握二项展开式
的通项:
T
r?1
?C
n
ab(r?0,1,2,...,n);<
br>
(2)注意第r+1项二项式系数与第r+1系数的区别;
6.二项式系数具有下列性质:
(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等;
(2) 若n为偶数,中间一项(第
项(第
n
+1项)的二项式系数最大;若
n为奇数,中间两
2
n?1n?1
和+1项)的二项式系数最大;
22012n0213
(3)
C
n
?C
n
?C
n<
br>?????C
n
?2
n
;C
n
?C
n
?????C
n
?C
n
?????2
n?1
;
7.F(x)=(ax+b)
n
展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为[f(1)?f(?1)]
;
偶数项的系数和为
[f(1)?f(?1)]
;
8.概率:
(1)等可能事件的概率公式: P(A)=
n
;
m
1
2
1
2
(2)互斥事件分别发生的概率公式为:P(A+B)=P(A)+P(B);
(3)相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)=P(A)P(B);
k
(4
)独立重复试验概率公式
P
n
(k)
=
C
n
?p<
br>k
(1?p)
n?k
;
(5)如果事件A、B互斥,那么事
件A与
B
、
A
与
B
及事件
A
与
B
也都是互斥事件;
(6)如果事件A、B相互独立,那么事件A、B至少有一个不发生的概率是:
1-P(AB)=1-P(A)P(B);
(6)如果事件A、B相互独立,那么事件A、B至少有一个发生的概率是:
1-P(
A
?
B
)=1-P(
A
)P(
B
);
文科选修内容基本知识
十一、抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差
1.掌握抽样的二种方法:(1)简单
随机抽样(包括抽签符和随机数表法);(2)分层
抽样,常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情
形;
2.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,
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样本容量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图;
3.总体特征
数的估计:(1)学会用样本平均数
x?
1
(x
1
?x
2<
br>?????x
n
)?
1
?
x
i
去估计
nn
i?1
n
总体平均数;(2)学会用样本方差
S
2
?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)2
?????(x
n
?x)
2
]
n
2
1
n
1
n
22
(2)学会用修正的
?
?
(x
i
?x)?
?
(x
i
?nx
2
)
去估计总体方差
?
及总体标准差;
n
i?1
n
i?1
1
2
[(x
1
?x)
2
?(x
2<
br>?x)
2
?????(x
n
?x)
2
]
去估
计总体方差
?
,会
n?1
用
S*
去估计
?
;
十二、导数及应用
样本方差
S
*
?
2
1.导
数的定义:f(x)在点x
0
处的导数记作
y
?
x?x
0<
br>?f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
;
?x
2.根据导数的定义,求函数的导数步骤为:
(1)求函数的增量
?y?f(x??x)?f(x);
(2)求平均变化率
?yf(x??x)?f(x)
;
?
?x?x
(3)取极限,得导数
f
?
(x)?lim
?y
;
?x?0
?x
3.导数的几何意义:曲线y=f(x) 在点P(x
0
,f(x
0
))处的切线的斜率是
f
?
(x
0
)
.
相应
地,切线方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
);
4.常见函数的导数公式:
C?
?0(C为常数);(x)
?
?mx
mm-1
(m?Q);<
br>
5.导数的应用:(1)利用导数判断函数的单调性:设函数y=f(x)在某个区间内可导,
如果
f
?
(x)?0,
那么f(x)为增函数;如果
f?
(x)?0,
那么f(x)为减函数;如果在某个区
间内恒有
f
?
(x)?0,
那么f(x)为常数;
(2)求可导函数极值的步骤:①求导数<
br>f
?
(x)
;②求方程
f
?
(x)?0
的根
;③检验
f
?
(x)
在方程
f
?
(x)?0
根的左右的符号,如果左正右负,那么函数y=f(x)在这个根处取得
最大值;如果左负右正,那么
函数y=f(x)在这个根处取得最小值;
(3)求可导函数最大值与最小值的步骤:①求y=f(x
)在(a,b)内的极值;②将y=f(x)在
各极值点的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的
一个为最大值,最小的一个是最小
值.
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中学数学重要数学思想
一、 函数方程思想
函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知
数之间的关系,从而解决问
题的一种思维方式,是很重要的数学思想.
1.函数思想:把某变
化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来,并研究这些量
间的相互制约关系,最后解决问题,
这就是函数思想;
2.应用函数思想解题,确立变量之间的函数关系是一关键步骤,大体可分为下面两
个步骤:
(1)根据题意建立变量之间的函数关系式,把问题转化为相应的函数问题;(2)根据需要构造函数,利用函数的相关知识解决问题;(3)方程思想:在某变化过程中,往往需要
根据一些
要求,确定某些变量的值,这时常常列出这些变量的方程或(方程组),通过解
方程(或方程组)求出它
们,这就是方程思想;
3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念,它们之间相互渗透,很多方程
的问题需要
用函数的知识和方法解决,很多函数的问题也需要用方程的方法的支援,函数与方程之间的辩证关系,形成了函数方程思想.
二、 数形结合思想
数形结合是中学数学中四种重
要思想方法之一,对于所研究的代数问题,有时可研究其对
应几何的性质使问题得以解决(以形助数);
或者对于所研究的几何问题,可借助于对应
图形的数量关系使问题得以解决(以数助形),这种解决问题
的方法称之为数形结合.
1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思
路的规范性与
严密性,两者相辅相成,扬长避短.
2.恩格斯是这样来定义数学的:“数学是
研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.这
就是说:数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物
无不是数和形的和谐的统一.因此,
数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂.
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3.数形结合的本质是:几何图形的性质反映了数量关系,数量关系决定了几何图形的性质.
4.华罗庚先生曾指出:“数缺性时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万
事非.”数
形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形:或借助于数的精确性来
阐明形的某些属性,或者
借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.
5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中
,历年高考的解答题都有关于这个方面
的考查(即用代数方法研究几何问题).而以形为手段的数形结合
在高考客观题中体现.
6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领:
(1)
对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可;
(2) 对于研究函数、方程
或不等式(最值)的问题,可通过函数的图象求解(函数的零点,
顶点是关键点),作好知识的迁移与综
合运用;
(3) 对于以下类型的问题需要注意:
(1)(x?a)
2
?(
y?b)
2
;(2)
y?a
;(3)Ax?By;
(4)F(cos
?
,sin
?
);(5)a
2
?ab?b
2
;
可分
x?b
别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x
2+y
2
=1上的点
(cos
?
,sin
?
)<
br>及余弦
定理进行转化达到解题目的.
三、 分类讨论的数学思想
分类讨论是
一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究
的对象进行分类,然后对每
一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整
个问题的解答.
1.有关分类讨
论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归
纳为如下几种:
(1)涉及的数学概念是分类讨论的;
(2)运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的;
(3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性;
(4)数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值导致不同的结果的;
(5)较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决的.
2.分类讨论是
一种逻辑方法,在中学数学中有极广泛的应用.根据不同标准可以有不同的分
类方法,但分类必须从同一
标准出发,做到不重复,不遗漏 ,包含各种情况,同时要有
利于问题研究.
四、
化归与转化思想
所谓化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使
之
转化,进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题,将难
解
问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题.
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立体几何中常用的转化手段有
1.通过辅助平面转
化为平面问题,把已知元素和未知元素聚集在一个平面内,实现点线、
线线、线面、面面位置关系的转化
;
2.平移和射影,通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题,化未知为已知的目
的;
3.等积与割补;
4.类比和联想;
5.曲与直的转化;
6.体积比,面积比,长度比的转化;
7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间
互相转化的过程.解析几何把数学的主
要研究对象数量关系与几何图形联系起来,把代数与几何融合为一
体.
中学数学常用解题方法
1. 配方法 <
br>配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式,其基本形式是:
2
ax<
br>2
+bx+c=
a(x?
b
)
2
?
4ac?
b
(a?0)
.高考中常见的基本配方形式有:
2a4a
(1)
a
2
+b
2
= (a + b)
2
- 2a b = (a
-b)
2
+ 2 ab;
(2) a
2
+
b
2
+ ab =
(a?
1
b)
2
?(
3
b)
2
;
22
(3) a
2
+
b
2
+c
2
= (a+b + c)
2
- 2 ab –
2 a c – 2 bc;
(4) a
2
+ b
2
+
c
2
- a b – bc – a c =
(5)
x
2
?
1
[ ( a - b)
2
+ (b
- c)
2
+ (a - c)
2
];
2
11
2
?(x?)?2
;
2
xx
配方
法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论,求解与证明及
二次曲线的讨论.
2.待定系数法
㈠ 待定系数法是把具有某种确定性时的数学问题,通过引入一些待定的系数
,转化为方
程组来解决.待定系数法的主要理论依据是:
(1)多项式f(x)=g(x)的充要条件是:对于任意一个值a,都有f(a)=g(a);
(2)多项式f(x) ≡g(x)的充要条件是:两个多项式各同类项的系数对应相等;
㈡
运用待定系数法的步骤是:
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(1)确定所给问题含待定系数的解析式(或曲线方程等);
(2)根据恒等条件,列出一组含待定系数的方程;
(3)解方程或消去待定系数,从而使问题得到解决;
㈢
待定系数法主要适用于:求函数的解析式,求曲线的方程,因式分解等.
3.换元法
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量(或代数式),对新的变
量
求出结果之后,返回去求原变量的结果.换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来,
或
者把隐含的条件显示出来,或者把条件与结论联系起来,或者变为熟悉的问题.其理论根
据是等量代换.
高中数学中换元法主要有以下两类:
(1)整体换元:以“元”换“式”;
(2)三角换元 ,以“式”换“元”;
(3)此外,还有对称换元、均值换元、万能换元等;换元法
应用比较广泛.如解方程,解
不等式,证明不等式,求函数的值域,求数列的通项与和等,另外在解析几
何中也有广泛
的应用.运用换元法解题时要注意新元的约束条件和整体置换的策略.
4.向量法
向量法是运用向量知识解决问题的一种方法,解题常用下列知识:
(1)向量的几何表示,两个向量共线的充要条件;(2)平面向量基本定理及其理论;
(3)利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题;
(4)两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式;
5.分析法、综合法
(
1)分析法是从所求证的结果出发,逐步推出能使它成立的条件,直至已知的事实为止;
分析法是一种“
执果索因”的直接证法.
(2)综合法是从已经证明的结论、公式出发,逐步推出所要求证的结论.综
合法是一种“由
因导果”,叙述流畅的直接证法.
(3)分析法、 综合法是证明数学问题的
两大最基本的方法.分析法“执果索因”的分析方
法,思路清晰,容易找到解题路子,但书写格式要求较
高,不容易叙述清楚,所以分析法、
综合法常常交替使用.分析法、
综合法应用很广,几乎所有题都可以用这两个方法来解.
6.反证法
反证法是数学证明的一
种重要方法,因为命题p与它的否定非p的真假相反,所以要
证一个命题为真,只要证它的否定为假即可
.这种从证明矛盾命题(即命题的否定)为假进
而证明命题为真的证明方法叫做反证法.
㈠
反证法证明的一般步骤是:
(1)反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;
(2)归谬:从命题的条件和所作的结论出发,经过正确的推理论证,得出矛盾的结果;
(3)结论:有矛盾判定假设不正确,从而肯定的结论正确;
㈡
反证法的适用范围:(1)已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少时的命题;
第 17 页
共20页
让更多的孩子得到更好的教育
(2)结论的反面是比原结论更具体、更简单的命题,特别是
结论是否定形式(“不是”、“不
可能”、“不可得”)等的命题;(3)涉及各种无限结论的命题;(
4)以“最多(少)、若干
个”为结论的命题;(5)存在性命题;(6)唯一性命题;(7)某些定理
的逆定理;
(8)一般关系不明确或难于直接证明的不等式等.
㈢
反证法的逻辑依据是“矛盾律”和“排中律”.
7.另外:还有数学归纳法、同一法、整体代换法
高中数学学法指导
一、崭新的数学观:
1988—1991年,我国数学家群体两次云集南开大学,召开了世人
关注的“二十一
世纪中国数学展望学术讨论会”,国家自然科学基金会向大会的报告中明确指出:“今天
可
以说,数学是关于模式和秩序的科学”.
1. 什么是数学模式?
数学中
的所有定义、定理、公式、法则、原理和具体方法(如待定系数法,数学归纳
法等)都是数学模式.
2. 什么是数学秩序?
秩序就是有条理,不混乱.
数学秩序指的是
①数学理论是有数学模式组成的一个逻辑有序的系统结构,即数学是
一个有机的整体.②数学中每个问题
的解决,只能是从已知到目标的一系列逻辑推理、演算
的有序过程.
二、数学认知三角形:
第 18 页 共20页
让更多的孩子得到更好的教育
3.经验,思想,观念的获得
智力
参与
1.知识的内化 2.技能的形成
1. 数学知识的内化:知识的
内化是数学学习的起点.知识的内化要做到:了解知识的发生
过程,把握知识的结构特征,弄清知识适用
的条件,掌握知识的本质和功能.并且能了
解该知识点在这一章乃至在整个数学学科中的地位和作用.
2.
数学技能的形成:数学技能是顺利完成数学任务的一种活动方式或心智活动方式.技能
的形成要经历
---规范化---熟练化---自动化三个步骤.
3.
经验,思想,观念的获得:要获得经验思想观念,一要有强烈的“收获意识”,
二只有通过不断的反思.
4.
智力参与:在以上的三个环节中要积极主动地参与到活动中去,不断提高各环节的效
率.
5.
在认知三角形中,三个顶点和中心是相辅相成的一个整体.
三、数学学习四步通法:
1.
确认问题:要弄清楚问题的条件、目标和性质.
2.
探索发现:主动参与解决问题途径的探索,力争自己独立解决这个问题.
3.
交流对比:勇敢地参与交流吧;听十遍不如自己讲一遍.
4. 反思评价:在交流对比的过程中或过
程后,对别人的和自己的发现和体会进行反思、
评价,捕捉有用的观念和思想,找出其中的不足和问题,
是使认识深化所必需的.
特别说明的是:
反思
要抓住重点.
如对问题解决来说,要
反思
:
①解法能不能进一步简化;
②能不能找到更好的解法?
第 19 页 共20页
让更多的孩子得到更好的教育
③能不能讲问题推而广之.
大数学家希尔伯特在问题解决之后经常做这种反思,
让我们也来体验其中的奥秘吧!
高二数学组全体教师
预祝同学们在5月份的数学会考中取得优异成绩!
预祝同学们在2007年的数学高考中取得优异成绩,
实现金榜题名的梦想!
2006年4月
天津市2003年8月高中毕业会考数学试卷
第Ⅰ卷 (选择题 共40分)?
一、选择题:本大题共20个小题,每小题2分,共40分.在每小题给出的四个选项中,
只有
一项是符合题目要求的.
(1)已知全集
U?
?
?2,?1,0,1,2
?
,集合
A?
?
?2,?1,0
?
,集合
B?
?
0,1,2
?
,则(
C
U
A
)∪<
br>B
等于
(A)
?
?2,
(2)
sin
?1
?
(B)
?
1,2
?
(C)
?
0,1,2
?
(D)
?
?2,?1,1,2
?
5
?
的值等于
6
第 20 页 共20页
让更多的孩子得到更好的教育
(A)
?
1
1
33
(B)
?
(C) (D)
2
2
22
(3)函数
y?tan2x,
(A)
x
?
R且
x?
?
4
?
k
?
(k?
Z
)的最小正周期是
2
??
(B)
(C)
?
(D)
2
?
42
(4)函数
y?a
x
(
a
>1)的图象大致是
(5)
准线
方程
是
x??2
的抛物线的标准方程是
(A)
y?4x
(B)
y?8x
(C)
x?4y
(D)
x?8y
2222
x
2
?y
2
?1
的离心率
e
等于
(6)椭圆
4
(A)
13
35
(B)
(C) (D)
24
22
第 21 页 共20页
让更多的孩子得到更好的教育
(7)在下列方程所表示的曲线中,关于
x
轴、
y
轴都对称的是
(A)
x?y?0
(B)
x
2
?2x?y
2
?0
(C)
y
2
?4x
(D)
3x
2
?5y
2
?1
(8)已知
x
>0,则
x?
4
?3
的最小值为
x
(A)4 (B)7 (C) 8
(D)11
?
??
?
(9)若
a
=(4,2),
b
=(6,
m
),且
a
⊥
b
,则
m的值是
(A)-12 (B)-3 (C) 3
(D)12
(10)为了得到函数
y?3cos2x
,
x
∈R的图
象,只需把函数
y?3cos(2x?
R的图象上所有的点
?
5
)
,
x
∈
??
个单位长度
(B)向右平行移动个单位长度
55
?
?
(C)向左平行移动个单位长度
(D)向右平行移动个单位长度
1010
(A)向左平行移动
(11)函数
y?x
(
x
?0)的反函数是
(A)
y?
(C)
y?
2
1
x
(
x
?0) (B)
y?2x
(
x
?0)
2
x
(
x
?0
(D)
y??x
(
x
?0)
(12)函数
y?log
2
(x?3)
的定义域是
(A)
x
>3 (B)3<
x
?4
(C)
x
>4 (D)
x
?4
(13)从5名男生和3名女
生中选出3人参加某项活动,如果选出的3人中既有男生又有
女生,则不同的选法有
(A)30种 (B)45种 (C)56种 (D)90种
?
?
?
)
的值等于
(14)已知
tan
?
?3,
tan
?
?2,
则
tan(
(A)
1
1
(B)1 (C)
-1 (D)
?
7
5
第 22 页 共20页
让更多的孩子得到更好的教育
(15)下列函数中为奇函数的是
(A)
f(x)?x
3
?x
(B)
f(x)?2x?1
1?x
2
(C)
f(x)?x?2x
(D)
f(x)?
1?x
2
2
(16)若一个球的体积扩
大到原来的27倍,则球的表面积扩大到原来的
(A)3倍
(B)
33
倍 (C)9倍 (D)
(17)空间
两条直线
l
1
,
l
2
互相平行的一个充分条件是
(A)
l
1
,
l
2
都平行于同一个平面
(B)
l
1
,
l
2
与同一个平面所成的角相等
(C)
l
1
平行于
l
2
所在的平面
(D)
l
1
,
l
2
都垂直于同一个平面
27
倍
2
x?1
x
2
?1
(18)已知
a
=
2
,
b
=,若
x
>1,则下列结论正
确的是
x?1
x?1
(A)
b
<
a
<1
(B)
a
<
b
<1
(C)
b
<1<
a
(D)1<
a
<
b
(19)若两条直线
kx?y?2k?1?0
和
x?2y?4?0
的交点在第四象限,则
k
的取
值
范围是
1
2
111
(C)-<
k
<0
(D) - <
k
< -
626
1
(20)已知函数
f
(x)?(1?x)?ax
,其中
a
>0,若
f(x)
在0?
x
?1上的最小值记
a
(A)-6 <
k
< 2
(B)
k
>
为
g(a)
,则
g(a)
的最大值等于
(A)0 (B)1
(C)
a
(D)
第Ⅱ卷 (非选择题
共60分)?
第 23 页 共20页
1
a
让更多的孩子得到更好的教育
注意事项:
1.答题前将本页密封线内的项目和座位号填写清楚。
2.答卷须用蓝(黑)色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
得 分
评卷人
二、填空题:本大题共6个小题,每小题3分,共18分,
请将答
案填在题中横线上.
?
?
?
?
(21)已知
a?(2,3)
,
b?(?1,8)
,则2
a
-
b
的坐标为 .
(22)已知等比数列
?
a
n
?
中,
a
1
?8,
公比
q?
于
.
(23)在△
ABC
中,已知
b?8,c?3,A?60
?,则
a
的值等于 .
(24)若直线
(m
?1)x?y?4m?1
与直线
2x?3y?5
互相平行,则
m
的值
为 .
(25)若四面体
P?ABC
的棱长均为3,则点
P
到平面
ABC
的距离等于 .
(26)用0,1,2,3,4这五个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶数有
个
(用数字作答).
三、解答题:本大题共5个小题,共42分.解答应写出文字说明,演算步骤或推理过程.
得
分
评卷人
已知
cos
?
?
值.
评卷人
解不等式
(28) (本小题满分8分)
(27) (本小题满分8分) <
br>1
,则该数列的第5项
a
5
的值等
2
123
?
?
,
?
?(,2
?
)(
?
?)
, 试求(Ⅰ)
sin2
?
的值;(Ⅱ)
sin
的
1324
x
?1
>0.
x
2
?8x?12
第 24 页 共20页
让更多的孩子得到更好的教育
得 分
评卷人
(29) (本小题满分8分)
在等差数列
?
a
n
?<
br>中,
a
5
?10,
a
12
?31,
试求(Ⅰ)
a
1
与公差
d
;(Ⅱ)该数列的前18项的和
S
18
的值.
得 分
评卷人
(30) (本小题满分8分)
如图,在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中, 棱
AB?1,
E、F
分别为
AB、BC
的中点,
第 25 页 共20页
让更多的孩子得到更好的教育
(Ⅰ)求证:
EF?BD
1
;
(Ⅱ)求二面角
B
1
?EF?B
的平面角的正切值;
A
1
(Ⅲ)求三棱锥
B
1
?BEF
的体积.
得 分
评卷人
(31) (本小题满分10分)
D
1
B
1
C
1
D
F
A
E
B
C
已知点
F
1
、
F
2
分别为双
曲线
x
2
?y
2
?1
的两个焦点,
O
为坐
标原点,
(Ⅰ)求以
O
为圆心,以线段
F
1
F
2
为直径的圆
O
的方程;
(Ⅱ)若一条直线
l
与圆
O
相切,并与双曲线交于
A
、
B
两点,有定点
C
,其坐标为
(0,-2),当△
ABC
的面积为
10
时,求直线<
br>l
的方程.
天津市2004年6月高中毕业会考数学试卷
第 26 页
共20页
让更多的孩子得到更好的教育
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共20个小题,每小题2分,共40分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项
是符合题目要求的.
(1)设全集U={a,b,c,d,e,f },集合A={a,c,d
},B={b,d,e },
则A∪
(C
U
B)
等于
(A){a, c } (B){a,c,d }
(C){a,c,f } (D){a,c,d,f }
(2)
sin
4
?
的值等于
3
(A)
11
33
(B)-
(C) (D)-
22
22
(3)函数
y?cos2x
,
x?
R的最小正周期是
(A)
?
(B)
?
(C)2
?
(D)4
?
2
(4)函数
f(x)?
1
的定义域是
x?|x|
(A)(-∞,+∞)
(B)(-∞,0)∪(0,+∞)
(C)(-∞,0)
(D)(0,+∞)
(5)经过点P(2,1)且与直线
2x?3y?1?0
平行的直线的方程是
(A)
2x?3y?1?0
(B)
3x?2y?8?0
(C)
2x?3y?4?0
(D)
3x?2y?7?0
(6)抛物线
y?8x
的准线方程是
(A)
x??2
(B)
x?2
(C)
x??4
(D)
x?4
2
第 27
页 共20页
让更多的孩子得到更好的教育
x
2
y
2
??1
的焦距是 (7)双曲线
205
(A)
15
(B)2
15
(C)5 (D)10
(8)为了得到函数
y?2sin(x?
的图象上的所有点
?
)<
br>,
x?
R的图象,只需将函数
y?2sinx
,
x?
R
4
??
个单位长度 (B)向右平行移动个单位长度
44
??
(C)向左平行移动个单位长度 (D)向右平行移动个单位长度
22
(A)向左平行移动
(9)不等式
x?2y
?0表示的平面区域(阴影部分)是
yy
11
1
2
o
x
o
12
x
(A)
(B)
y
2
1
y
2
1
1
o<
br>x
o
1
x
(C)
(D)
(10)已知
a
=(2,3),
b
=(-1,0),则
4a?3b
的坐标为
第 28 页 共20页
让更多的孩子得到更好的教育
(A)(5,12) (B)(12,5)
(C)(4,9) (D)(9,4)
(11)函数
y?|sinx|
,
x?
R
(A)是奇函数 (B)是偶函数
(C)既不是奇函数也不是偶函数 (D)有无奇偶性不能确定
(12)若a>b,则下列不等式中一定成立的是
(A)
(13)若a?1
,
b?0.8
,
c?0.8
,则a、b、c的大小关系是
(A)b<c<a (B)a<b<c (C)c<b<a
(D)a<c<b
0.70.8
11b
?
(B)
?1
(C)
2
a
?2
b
(D)
lg(a?b)?0
aba
x
2
?1
(14)不等式
2
<0的解集是
x?4
(A){x|-1<x<1 }
(B){x|-2<x<2 }
(C){x|x<-2,或-1<x<1,或x>2 }
(D){x|-2<x<-1,或1<x<2 }
(15)若
?
、
?
、
?
表示平面,m、n表示直线,则下列命题为真命题的是
(A)若m<
br>?
?
,n
?
?
,m∥
?
,n∥
?<
br>,则
?
∥
?
(B)若
?
⊥
?,
?
⊥
?
,则
?
∥
?
(C
)若
?
∥
?
,m
?
?
,n
?
?<
br>,则m∥n
(D)若
?
∥
?
,m
?
?,则m∥
?
(16)如图,在正方体ABCD-
A
1
B
1
C
1
D
1
中,P为棱AB的
中点,则
A
1
P
与
BC
1
所在直线所成角的余弦值等于
A
1
D
1
B
1
C
1
(A)
41
105
(B) (C)
(D)
52
510
D
A
P
B
C
第 29 页 共20页
让更多的孩子得到更好的教育
(17)已知
sin
?
?
4?
2
,
cos
?
?
,且
?、??(0,)
,则
sin(
?
?
?
)
的值等于
52
2
(A)
49
1
72
2
(B) (C) (D)
50
50
10
10<
br>(18)已知|
a
|=3,|
b
|=4,且
(a?b)?(a
?3b)
=33,则
a
与
b
的夹角为
(A)150°
(B)120° (C)60° (D)30°
(19)如果将3,5,8
三个数各加上同一个常数,得到三个新的数组成一个等比数列,
那么这个等比数列的公比等于
(A)
23
(B)1 (C)
(D)2
32
(20)某天上午安排语文、数学、外语、体育四节课,其中体育课不排第一节
,那么
这天上午课表的不同排法有
(A)6种 (B)9种
(C)18种 (D)20种
第Ⅱ卷(非选择题 共60分)
得 分
评卷人
三、填空题:本大题共5个小题,每小题3分,共15分, 请将答
案填在题中横线上.
(21)已知一个球的表面积为4
?
cm
3
,则它的半径等于
________ cm.
(22)椭圆
16x?25y?400
的离心率e等于
_____________.
(23)在△ABC中,已知b=12,A=30°,B=120°,则a等于 __________
.
(24)计算
C
10
?C
10
的结果是
_______________(用数字作答).
(25)如果a>0,且a≠1,那么函数
f(x)?log
a
(x?
_________________________
________ .
三、解答题:本大题共5个小题,共45分.解答应写出文字说明,演算步骤或推理过程.
得
分
评卷人
已知
sin
?
?
第 30 页 共20页
78
22
x
2
?1)
的反函数是
(26)
(本小题满分8分)
??
5
,
??(,?)
.试求(Ⅰ)
sin2
?
的值; (Ⅱ)
tan(??)
的值.
24
5
让更多的孩子得到更好的教育
得 分
评卷人
(27) (本小题满分9分)
已知等差数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?2n?3
.
试求(Ⅰ)
a
1
与公差
d
;
(Ⅱ)该数列的前10项的和
S
10
的值.
得
分
评卷人
(28) (本小题满分9分)
22
已知圆C的方程为
x?y?6x?0
.
(Ⅰ)求圆C的半径及圆心坐标;
(Ⅱ)求经过点(0,6)且与圆C相切的直线l的方程.
第 31 页 共20页
让更多的孩子得到更好的教育
得 分
评卷人
(29) (本小题满分9分)
如图,在三棱锥P-ABC中,底面ABC为∠ACB=90°的直角三角形,
侧棱PA⊥底面ABC,且PA=AC=BC=1.
(Ⅰ) 求证:
BC
⊥侧面
PAC
;
(Ⅱ) 求二面角P-BC-A的大小;
(Ⅲ) 若E为侧棱PA的中点,求三棱锥E―ABC的体积.
P
E
A
得 分
评卷人
(30)
(本小题满分10分)
C
B
已知
f(x)
是偶函数且定义域为
[-1,1],它的图象与函数
g(x)
的图象关于直线
x=1对称,当x∈[2,
3]时,
g(x)?3a(x?2)?(x?2)
,其中a>1.
(Ⅰ)求
f(x)
的解析式;
(Ⅱ)求
f(x)
的单调区间;
(Ⅲ)当
f(x)
的最大值为5时,求a的值.
第 32 页 共20页
3
让更多的孩子得到更好的教育
天津市2003年8月高中毕业会考数学试题
参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共20个小题,每小题2分,满分40分.
(?)C??(?)C?(?
)??????????(?)??
(?)C?(?)D?(?)??(?)??
(??)C?
??(??)D?(??)???(??)?????
(??)C?(??)D???(??)??(?
?)D????
??二、填空题:本大题共6个小题,每小题3分,满分18分.
(21)(5,-2)
(22)
1
2
(24)
1
3
(25)
6
三、解答题:本大题共5个小题,满分42分.
(27)本小题满分8分.
解(Ⅰ)由
cos
?
?
12
13
,
?
?(
3
?
2
,2
?
)
, 得
sin
?
??1?cos
2
???
5
13
,
∴
s
in2
?
?2sin
?
cos
?
?2?(?
512
13
)?
13
??
120
169
.
(Ⅱ)
sin(
?
?
?
4
)?sin
?
cos
?
4
?cos
?
sin
?
4
?(?
52
1
3
)?
2
?
12
13
?
2
2
?<
br>72
26
.
(28)本小题满分8分.
解 原不等式化为
x
2
?7x?12
x
2
?
8x?12
?0,
即
(x?3)(x?4)
(x?2)(x?6)
?0
.
由数轴标根法,可得原不等式的解集为
第 33 页 共20页
(?)??
(??)D?
(??)???
(??)???
23)7
26)30
(
(
让更多的孩子得到更好的教育
?
xx?2,或3?x?4,或x?6
?
.
(29)本小题满分8分.
解 (Ⅰ) 根据等差数列
?
a
n?
的通项公式:
a
n
=
a
1
?(n?1)d<
br>,
得
?
?
a
1
?4d?10,
a?11d?31,
?
1
解得
a
1
= -2,
d
=3 .
(Ⅱ)
根据等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和公式:
S
n
?na
1
?
得
S
18
?18?(?2)?
(30)本小题满分8分.
(Ⅰ)证明
连结
AC、BD
,
在正方形
ABCD
中,有
EF
∥
AC,
AC?BD,
∴
EF?BD
.
又∵
D
1
D?
底面
ABCD
,
EF
?
平面
ABCD
,
∴
EF
?D
1
D
.
∵
BD
∩
D
1
D
=
D
,
且
BD
与
D
1
D
均在平面
D
1
DB
内,
∴
EF
⊥平面
D
1
DB
.
∵
BD
1
?
平面
D
1
DB
,
∴
EF
⊥
BD
1
.
(Ⅱ)解 设
EF
与
BD
交于点
G
,连结
B
1
G
,
∵
EF
⊥平面
D
1
DB
,
B
1
G
?
平面
D
1
DB<
br>,
n(n?1)
d
,
2
18?17
?3
=423 .
2
D
1
A
1
B
1
C
1
D
A
E
G
C
F
B
第 34 页 共20页
让更多的孩子得到更好的教育
∴
EF
⊥
B
1
G
.
∴∠
B
1GB
为二面角
B
1
?EF?B
的平面角.
由平面几何知识,得
BG?
2
,
又棱
B
1
B?1,
4
B
1
B
=
22
.
BG
在R
t△
B
1
BG
中,
tanB
1
GB?
(Ⅲ
) 解
V
B
1
?BEF
?
1
1
S?BEF
?B
1
B
?
.
24
3
(31)本小题满分10分.
解(Ⅰ)由双曲线的方程,知
a?b?1
, ∴
c?2
.
于是,双曲线的两个焦点的坐标分别为
F
,
F
,
(,0)(2,0)
1
?2
2
∴
以
O
为圆心,以线段
F
1
F
2
为直径的圆的方程为
x
2
?y
2
?2
.
(Ⅱ)根据题意,设直线
l
的方程为
y?kx?m,
建
立方程组
?
?
y?kx?m,
?
x?y?1.
22
22
消去
y
,得
(k?1)x?2kmx?m?1?0
.
若直线
l
与双曲线的交点为
A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)
,则
2
2km
m
2
?1
x
1
?x
2
??
2
,<
br>
x
1
?x
2
?
2
(k??1)
.
k?1
k?1
AB
?1?k
2<
br>x
1
?x
2
,
而
?
>
0,
x
1
?x
2
?
2m
2
?k
2
?1
k?1
2
第 35 页 共20页
让更多的孩子得到更好的教育
22
∴
AB
?1?k(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?
21?k
2
?m
2
?k
2
?1
k?1
2
.
?2)
∵
点
C(0,
到直线
l
的距离为
d?
∴
S
?ABC
?
m?2
1?k
2
,
1
AB?d
2
m?2
121?k
2
?m
2
?k
2
?1
??
?
2
2
2
k?1
1?k
?
m?2
m
2
?k
2
?1
.
2
k?1
又 ∵ 直线
l
是⊙
O
的切线,
∴
m
1?k
2
m
2
?1
.
?2
, 即
k?
2
2
∴
S
?AB
C
?
m?2
m
2
?1?1
2
m
2
m??1?1
?
2
2
2m
2
?8
.
m?2
又 已知
S
?ABC
?10
,有
2
2m
2
?8
?10
,
m?2
即
m?5m?4?0
.解得
m?4,
∵
直线
l
是⊙
O
的切线,有
m?
2
m?1
.
2
,∴
m?4
.
4
2
?1?7,
于是,
k?
即
k??7
.
2
∴ 直线
l
的方程为
y?7x?4
或
y??7x?4
.
第 36 页 共20页
让更多的孩子得到更好的教育
天津市2004年6月高中毕业会考数学试题
参考答案及评分标准
二、选择题:本大题共20个小题,每小题2分,满分40分.
(1) D
(6)
A
(11)B
(16)B
(2) D
(7) D
(12)C
(17)A
(3) B
(8) A
(13)C
(18)B
(4) C
(9) B
(14)D
(19)C
(5) A
(10)A
(15)D
(20)C
??二、填空题:本大题共5个小题,每小题3分,满分15分.
(21)1
(22)
3
5
(23)
43
(24)165
a
x
?a
?x
[0
,+∞)(2
5)当a>1时,
f(x)?
,x∈;
2
?1
a
x
?a
?x
当0<a<1时,
f(x)?
,x∈(-∞,
0]
2
?1
三、解答题:本大题共5个小题,满分45分.
(26)本小题满分8分.
解(Ⅰ)由
sin
?
?
?525
2
,
??(,?)
,得
cos
?
??1
?sin
?
??
,
2
55
4
525
?(?)
=
?
.
5
55
∴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
=
2?
第 37 页 共20页
让更多的孩子得到更好的教育
5
sin
?
1
?
5
??
,
(Ⅱ)∵
tan
?
?
cos
?
2
25
?
5
?1
tan?tan?1?(?)
?
42
?
1<
br>. ∴
tan(??)?
=
?1
43
1?tantan?1?
42
(27)本小题满分9分.
解(Ⅰ)由
a
n
?2n?3
,令n=1,得
a
1
?2?1?3?5
.
∵数列
?
a
n
?
为等差数列,
∴d
=
a
n
?a
n?1
?(2n?3)?[2(n?1)
?3]?2
.
(Ⅱ)由等差数列的前n项和公式
S
n
?na
1
?
S
10
?10?5?
n(n?1)
d
,得
2
10?9
?2?140
.
2
22
(28)本小题满分9分.
解(Ⅰ)将圆C的方程
x?y?6x?0
化为标准方程
(x?3)?y?3
,
∴圆C的半径为3,圆心坐标为(3,0).
(Ⅱ)由已知,直线l经过点(0,6),且与圆C相切,那么
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为
y?kx?6
.
∵直线l与圆C相切,
∴
222
|3k?6|
3
?3
.
解得
k??
.
4
k
2
?1
此时,直线l的方程为
y??
3
x?6
,即
3x?4y?24?0<
br>.
4
第 38 页 共20页
让更多的孩子得到更好的教育
当直线l的斜率不存在时,直线
x?0
满足条件.
综上,所求直线l的方程为
3x?4y?24?0
或
x?0
.
(29)本小题满分9分.
(Ⅰ)证明 由已知,在△ABC中,∠ACB=90°,
得BC⊥AC.
∵侧棱PA⊥底面ABC,BC
?
平面ABC,
∴BC⊥PA.
又PA
?
侧面PAC,AC
?
侧面PAC,且PA∩AC=A,
∴BC⊥侧面PAC.
(Ⅱ)解
由(Ⅰ)知BC⊥侧面PAC,而PC
?
侧面PAC,
∴BC⊥PC.
又BC⊥AC,
∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.
∵PA⊥平面ABC,AC
?
平面ABC,
∴PA⊥AC.
又PA=AC=1,
∴△PAC为等腰直角三角形.
∴∠PCA=45°.
∴二面角P-BC-A为45°.
(Ⅲ)解 ∵E为PA的中点,
∴三棱锥E―ABC的高 EA=
11
PA=.
22
111
又
S
?ABC
?AC?BC??1?1?
, 222
11111
∴
V
E?ABC
?S
?ABC
?EA????
.
332212
(30)本小题满分10分.
解(Ⅰ)设点P(x,y),x∈[-1,0]为
f(x)
图象上一点,
由
f(x)
与
g(x)
的图象关于直线x=1对称,得点P关于直线x=1的对
称点为
3
P
?
(2-x,y),2-x∈[2,3],该点在
g(
x)?3a(x?2)?(x?2)
的图象上,
第 39 页 共20页
让更多的孩子得到更好的教育
∴
g(2?x)?3a[(2?x)?2]?[(2?x)?2]
3
?3a(?x)?(?x)
3
?x
3
?3ax
.
即
f(x)?x?3ax
,x∈[-1,0].
当x∈[0,1]时,-x∈[-1,0].
∵
f(x)
是定义在[-1,1]上的偶函数,
3
3
∴
f(x)
=
f(?x)?(?x)?3a(?x)
=
?x?3ax
.
3
, x?[?1,0],
?
x
3
?3ax
故
f(x)
的解析式为
f(x)
=
?
3
<
br>, x?(0,1].
?
?x?3ax
(Ⅱ)任取
x
1,x
2
?(0,1
,且
x
1
<
x
2<
br>,
]
f(x
1
)?f(x
2
)?(?x
1
?3ax
1
)?(?x
2
?3ax
2
)
33
?(x
2
?x
1
)[(x
2
?x
1
x
2
?x
1
)?3a]
∵0<
x
1
<
x
2
?1,
a>1,
∴
x
2
-
x
1
>0,
(x
2
?x
1
x
2
?x
1
)?3
a
<(1+1+1)-3=0.
∴
f(x
1
)?f(x
2
)
.
∴
f(x)
在上为增函数.
( 0,1]
同理可得(或由偶函数的性质)
f(x)
在[-1,0]上为减函数.
故
f(x)
的单调区间是[-1,0],,
( 0,1]
22
22
( 0,1]
其中,在区间[-1,0]上是减函数,在区间上是增函数.
(Ⅲ)由
f(x)
是定义在[-1,1]上的偶函数及它的单调性,可知
第
40 页 共20页
让更多的孩子得到更好的教育
当
x??1
时,
f(x)
取得最大值5.
∴
3a?1?5
,即
a?2
.
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