高中物理奥林匹克竞赛解题方法 解物理竞赛题的数学技巧

解物理竞赛题的数学技巧
在中学生物理竞赛中，不难发现这样一类试题：题 目描述的物理情境并不陌生，所涉及
的物理知识也并不复杂，若能恰当地运用数学技巧求解，问题就可顺 利得到解决．然而，选
手在处理这类问题时，往往由于不能灵活运用数学技巧而前功尽弃．辅导教师在对 参赛选手
进行物理知识传授、物理方法渗透的同时，利用某些典型的物理问题去传授和强化他们的数学技巧，提高他们运用数学解决物理问题的能力是十分必要的．笔者通过实例剖析，就解物
理竞赛题 中的数学技巧作一简要探讨．
一、引入参数方程，简解未知量多于方程数的问题
例1（第15届全国中学生物理竞赛试题） 1ｍｏｌ理想气体缓慢的经历了一个循环
过程， 在ｐ－Ｖ图中这一过程是一个椭圆，如图1所示．已知此气体若处在与椭圆中心Ｏ′
点所对应的状态时， 其温度为Ｔ
０
＝300Ｋ，求在整个循环过程中气体的最高温度Ｔ
１
和最低< br>温度Ｔ
２
各是多少．

图1
分析与解 由题给条件，可列出两个相对独立的方程．即气体循环过程的椭圆方程和
理想气体的状态方程，即
， ①
ｐＶ＝ＲＴ． ②
①、②两方程中含三个未知量ｐ、Ｖ、Ｔ ，直接对①、②两式进行演算，要求出循环过程中
的最高温度Ｔ
１
或最低温度Ｔ
２
，是较为困难的．现根据①式引入含参数定义的方程为

②式则转化为
Ｔ＝（1／Ｒ）（ｐ
０
＋（ｐ
０
／2）ｓｉｎα）（Ｖ
０
＋（Ｖ
０
／2）ｃｏｓα），
即 Ｔ＝［1＋（1／2）（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）＋（1／4）ｓｉｎαｃｏｓα］Ｔ
０
， ③
（上式中Ｔ
０
＝ｐ
０
Ｖ
０
／Ｒ，为Ｏ′点对应 的温度）
因为 ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ｓｉｎ（（π／4）＋α），
２
ｓｉｎαｃｏｓα＝（（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）－1）／2， ④
而 －1≤ｓｉｎ（（π／4）＋α）≤1，

所以 －≤ｓｉｎα＋ｃｏｓα≤，
时，由④式知 当ｓｉｎα＋ｃｏｓα≤，取ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝
ｓｉｎαｃｏｓα＝1／2，
将上式代入③式得
Ｔ≤［1＋（1／2）×
即最高温度 Ｔ
１
＝549Ｋ．
当ｓｉｎα＋ｃｏｓα≥－，取ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝－时，由④式知
＋（1／4）×（1／2）］Ｔ
０
，
ｓｉｎαｃｏｓα＝1／2，
代入③式，得
Ｔ≥［1＋（1／2）（－＋（1／4）·（1／2））］Ｔ
０
，
即最低温度 Ｔ
２
＝125Ｋ．
二、实施近似处理，解决物理规律不明显的问题
例2 如图2所示，两个带电量均为Ｑ的正 点电荷，固定放置在ｘ轴上的Ａ、Ｂ两处，
点Ａ、Ｂ到原点的距离都等于ｒ，若在原点Ｏ放置另一带正电 的点电荷，其带电量为ｑ．当
限制点电荷ｑ在哪些方向上运动时，它在原点Ｏ处才是稳定的?

图2
分析与解 设限制点电荷ｑ在与ｘ轴成θ角的ｙ轴上运动．当它受扰动移动到Ｐ点，
即沿ｙ轴有微小的位移ｙ（
ｆ
Ｂ
．则ｑ在ｙ轴上的合力为
ｆ
ｙ
＝ｋ（Ｑｑ／
由余弦定理知
＝ｒ＋ｙ＋2ｒｙｃｏｓθ，
＝ｒ＋ｙ－2ｒｙｃｏｓθ．
又由三角形知，
ｃｏｓα＝（ｒｃｏｓθ＋ｙ）／
ｃｏｓβ＝（ｒｃｏｓθ－ｙ）／
，
，
２２３／２
２２
２２
＝ｙ）时，Ａ、Ｂ两处的点电荷对ｑ的库仑力分别为ｆ< br>Ａ
、
）ｃｏｓα－ｋ（Ｑｑ／）ｃｏｓβ，
故 ｆ
ｙ
＝ｋ Ｑｑ（ｒｃｏｓθ＋ｙ）／（ｒ＋ｙ－2ｒｙｃｏｓθ）－（ｋＱｑ（ｒ
２２３／２
ｃｏｓθ－ ｙ）／（ｒ＋ｙ－2ｒｙｃｏｓθ））．
上式已表示出ｆ
ｙ
与θ、ｙ间的定量关系． 可它们满足的规律并不明显．怎样将合力ｆ

ｙ
与方向角θ、位移ｙ之间的物理规律显现出来?由于ｙ很小，故ｙ的二次项可略去，得

ｆ
ｙ
＝ｋ（Ｑｑ／ｒ），
３－３／２
即 ｆ
ｙ
＝ｋ（Ｑｑ／ｒ）［（ｒｃｏｓθ＋ｙ）（1＋（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）－（ｒ
－３／２ｃｏｓθ－ｙ）（1－（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）］，
根据二项式展开式
Ｓ２
（ 1＋ｔ）＝1＋Ｓｔ＋（Ｓ（Ｓ－1）／2！）ｔ＋…＋（（Ｓ（Ｓ－1）…（Ｓ－ｎ
ｎ
＋1） ）／ｎ！）ｔ＋……，
（其中Ｓ为任意实数）
－３／２
有（1＋（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）＝1＋（－3／2）（（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）＋
２
（（－3／2）（（－3／2）－1）／2！）（（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）＋……，
－３／２
（1－（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）＝1＋（－3／2）（（－2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）
２
＋（（－3／2）（（－3／2）－1）／2！）（（－2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）＋……， < br>又由于ｙ＜＜ｒ，或（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ＜＜1，故（（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）的二次项及
二次 项以上高次项可略去，得
３
ｆ
ｙ
＝ｋ（Ｑｑ／ｒ）［（ｒｃｏｓθ＋ｙ）（ 1－（3ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）－（ｒｃｏ
ｓθ－ｙ）（1＋（3ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）］，
３２
＝－ｋ（2Ｑｑ／ｒ）（3ｃｏｓθ－1）ｙ．
２
由此可见，当（3ｃ ｏｓθ－1）＞0时，ｆ
ｙ
＜0，即合力方向指向原点，与位移方向
相反，即ｆ
ｙ
具有回复力的特征．因而点电荷ｑ是稳定的．
３

图3
根据 3ｃｏｓθ－1＞0，即ｃｏｓθ＞
－ａｒｃｃｏｓ（
或当ｃｏｓθ＜－
２
／ 3时，得
／3）， ／3）＜θ＜ａｒｃｃｏｓ（
／3时，得
／3）＜θ＜π＋ａｒｃｃｏｓ（／3）． π－ａｒｃｏｓ（
故当限制点电荷ｑ在如图3的阴影区域运动时，它在原点Ｏ处才是稳定的．
三、利用特殊值，求解一般性问题
特殊值是指物理量在某一特殊情况下的取值．物理量在一般 情况下的量值之间必然与特

殊值之间存在一定的联系．我们若能确定某一特殊 值，则往往可以借助数学技巧来求出一般
情况下该物理量的量值．
例3 一个空心的环形圆管 沿一条直径截成两部分，一半竖立在铅垂平面内，如图4所
示，管口连线在一水平线上．今向管内装入与 管壁相切的2ｍ个小滚珠，左、右侧顶部的滚
珠都与圆管截面相切．已知单个滚珠重Ｇ，并设系统中处处 无摩擦．求从左边起第ｎ个和第
（ｎ＋1）个滚珠之间的相互压力Ｑ
ｎ
．

图4
分析与解 研究一般性问题——分析第ｎ个滚珠的受力情况，此滚珠受四个力的作< br>用：重力Ｇ，管壁对它的弹力Ｔ
ｎ
，第（ｎ－1）个滚珠对它的压力Ｑ
ｎ－１< br>及第（ｎ＋1）个
滚珠对它的压力Ｑ
ｎ
．由于Ｔ
ｎ
的量值未知 ，且不为本题所求，故选取如图5所示的与Ｔ
ｎ
方
向共线的轴作为ｙ轴建立直角坐标系 ．

图5
由平衡条件知ｘ轴方向的合力为零，得
Ｑ
ｎ－１
ｃｏｓα＋Ｇｃｏｓβ－Ｑ
ｎ
ｃｏｓα＝0，
由几何知识，得α＝θ／2（其中θ＝π／2ｍ），
β＝（（ｎ－1）π／2ｍ）＋α，
图6

故Ｑ
ｎ
－Ｑ
ｎ－１
＝． ①
根据①式，如何求得Ｑ
ｎ
？对第1个滚珠进行受力分析，如图6所示，得到一特殊值，
即 Ｑ
１
＝， ②
故可对①式进行递推，得

Ｑ
２
－Ｑ
１
＝，
Ｑ
３
－Ｑ
２
＝

，
Ｑ
ｎ
－Ｑ
ｎ－１
＝．
将上面所列等式左、右两边分别相加，得
Ｑ
ｎ
－Ｑ
１
＝［ ｃｏｓ（3π／4ｍ）＋ｃｏｓ（5π／4ｍ）＋…＋ｃｏｓ（（2ｎ－1）π
／4ｍ）］·Ｇ／ｃｏｓ （π／4ｍ），
把②式代入，得
Ｑ
ｎ
＝［ｃｏｓ（（2ｋ－1）π／4 ｍ）］·Ｇ／ｃｏｓ（π／4ｍ）．
而 ｃｏｓ（（2ｋ－1）π／4ｍ）
＝（1／2ｓｉｎ（π／4ｍ））
／4ｍ）
2ｃｏｓ（（ｋπ／2ｍ）－（π／4ｍ ））ｓｉｎ（π
＝（1／2ｓｉｎ（π／4ｍ））
ｍ）］，
［ｓｉｎ（ｋπ／2ｍ）－ｓｉｎ（（ｋ－1）π／2
又 ［ｓｉｎ（ｋπ／2ｍ）－ｓｉｎ（（ｋ－1）π／2ｍ）］
＝［ｓｉｎ（π／2ｍ）－0］＋［ｓｉｎ（2π／2ｍ）－ｓｉｎ（π／2ｍ）］
＋［ｓｉｎ（3π／2ｍ）－ｓｉｎ（2π／2ｍ）］＋…
＋［ｓｉｎ（ｎπ／2ｍ）－ｓｉｎ（（ｎ－1）π／2ｍ）］＝ｓｉｎ（ｎπ／2ｍ），
故 Ｑ
ｎ
＝（ｓｉｎ（ｎπ／2ｍ）／ｓｉｎ（π／2ｍ））·Ｇ