数学奥林匹克高中训练题136

数学奥林匹克高中训练题（136）
中圈分类号：C424.79 文献标识码：A 文章编号：1005-6416（2010）12-0037-06
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1．在正六边形的中心及其六个顶点这七个点中任取< br>n
个点，若其中必有三个点构成正三角形的三个顶
点，则
n
的最小值等 于__________．
2．定义区间
[a，b]
?
a?b
?< br>的“长度”等于
b?a
．若定义域非空的函数
f
?
x
?
?ax
2
?bx?c
?
a?0
?
的定义域和值 域的长度相等，则
a?
__________．
3．在
△ABC
中，已知
?A?120?
，记向量
????????
BABC
，
?
?
???
??????
BAcosABCcosC
????????
CACB
． < br>?
?
???
?
?????
CAcosACBcosB
则
?
与
?
的夹角等于__________．
4．在三棱锥
V?ABC
中，已知底面
ABC
是以
?B
为直角的等腰直角三角形 ，平面
VAC?
平面
ABC
，
AC?4
，
VA?1 4
，二面角
V?AB?C
的正切值为
10
．则
VB
和底面
ABC
所成角的大小等于
3
__________（用角度或反三角函 数表示）．
x
2
y
2
5．已知椭圆
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
的左、右焦点分别为
F
1< br>、
F
2
，
P
为椭圆上不与左右顶点重合的任意
ab< br>一点，点
I
、
G
分别为
△PF
1
F
2
的内心、重心．当
IG
恒与
x
轴垂直时，椭圆的离心率是____ ______．
abc
的取值范围是__________．
??
bc? 1ca?1ab?1
7．将一颗骰子（各面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀正方体）抛掷三次． 那么，向上一面的三个
点数可构成周长能被3整除的三角形的三边长的概率是__________．
8．从l，2，?，
n
这
n
个数中任取两个不同的数相乘，所得乘积 的算术平均数等于__________．
二、解答题（共56分）
6．已知
a、 b、c?
?
0，1
?
．则
9．（16分）已知数列
?
a
n
?
满足
2na
n?1
?1
1
a< br>a
1
?
，
n?1
?
?
n≥2
?．
a
n
1?a
n
3
试求
?
n
?
a
n
?a
n?1
?
的值．
n?2
?
?
π
?
?
?
10．（20分）试求定义在
?
0，π
?
上的函数
f
?
x
?
?log
2 ?1
?
2sin
?
x?
?
?1
?
?log
4
?
?
?
?
cos
3
x?sin
2
x?cosx
的最大值．
sin
2
x
?
2?1
2sinx?cosx?1
11．（20分）在平面直角坐标系
xOy中，过点
M
?
m，0
??
m?0
?
作直线l
，与抛物线
y
2
?2px
?
p?0
?
交
于点
A
、
B
，过点
M
关于坐标原点的对称点< br>M′
作垂直于
x
轴的直线
l′
．

（ 1）记直线
AO
、
BO
与
l′
的交点分别为
C、
D
，试讨论直线
AD
、
BC
与
x
轴 的位置关系；
O?30?
，试求
?AFB
的大小． （2）记抛物线y
2
?2px
的焦点为
F
，若
m?p
，
?AM′
加试
一、（40分）已知四边形
ABCD
外切于
?O< br>，
△ACB
的内切圆
?O
1
与边
AB
、BC
的切点分别为
P
、
Q
，
△ACD
的内切圆
?O
2
与边
CD
、
DA
的切点分别为
R< br>、
S
．求证：三条直线
PQ
、
RS
、
AC< br>共点或平
行．
二、（40分）已知正实数
a
、
b
、
c
满足
a?b?c≥abc
．求证：在不等式
236236236
??≥6
，
??≥6
，
??≥6
中，至少有两个是成立的．
abcbcacab
三、（50分）将
n?n
的棋盘的部分结点（单位正方形 的顶点）染红，使得任意一个由单位正方形构成
的
k?k
?
1≤k≤n
?
的子棋盘的边界上至少有一个红点．记满足条件的红点数的最小值为
l
?
n
?
．试求
lim
n??
l
?
n
?
n
2
的值．
四、（50分）（1）若正整数
n
可以表示成
a
b
?
a、b?N、a、b≥2
?
的形式，则称
n
为“好数”．试求与2
的正整数次幂相邻的所有好数．
（2）试求不定方程
2x
?3
y
?5
z
?1
的所有非负整数解
?x，y，z
?
．
参考答案
第一试
一、1．5．
考虑如图1所示的正六边形
ABCDEF
，其中心为
O
．
A
B
C
图1
F
O
D
E

当
n?4
时，取
A
、
C
、
D
、
F
，其中，任意三个点都不能构成正三角形的三个顶点．
当
n?5
时，考虑如下两种情况：
（1）
O
在五个点中， 考虑三组点
(A，B)
、
(C，D)
、
(E，F)
，根据抽 屉原理，知必有一组点被取，
与中心
O
可构成正三角形的三个顶点．
（2）
O
不在五个点中，考虑两组点
?
A，C，E
?
、
?
B，D，F
?
，根据抽屉原理，知必有一组点被取，
可构成正三角形的三个顶 点．
综上，所求
n
的最小值是5．
2．-4．
设方程
ax
2
?bx?c?0
的两根分别为
x
1
、
x2
，且
x
1
?x
2
．则函数
f
?x
?
的定义域为
?
x
1
，x
2
?，其长度为

b
2
?4ac
．
x
2< br>?x
1
?
a
2
?
4ac?b
2
易知
f
?
x
?
的值域为
?
0，
4a
?
?
b
2
?4ac4ac?b
2
从而，，即
?
a
2
4a
a
2
??4a
．
由
a?0
，知
a??4
．
3．
60?
．
????????
注意到
?
?CA?
?
?BA?0
，即
????
????
?
?CA
，
?
?BA
．
?
?
．
?
?
从而，
?
与
?的夹角与
?A
相等或互补．
????????????????
BA? CBBC?CB
又
?
?
?
?
???

?< br>?????????????
BA?CBcosA?cosBBC?CBcosB?cosC11
．
?
cosB?cosCcosA
显然，
cos
?
?cosC??cosA?0
．
则
?
?
?
?0
．
因此，
?
与
?
的夹角等于
60?
．
??
4．
45?
．
如图2，作
VH?
平面
ABC
，
HD?AB
．则
AB?VD
．
V
H
C
D
B
图2
A

故
?VDH
为二面角
V?AB?C
的平面角，即
tan?VDH?
10
．
3
设
VH?10x
，< br>HD?3x
，
AH?32x
．
在
Rt△VAH
中，有
?
32x
?
?
?
2
10x
?
?
?
2
14
?
22
?x?
2
?VH?5
，
AH?3
．
2
在
△DBH
中，有
HB?
?
3x
?< br>2
?22?3x
??
?5
．

因此，
HB?VH
．
从而，
?VBH?45?，即
VB
与底面
ABC
所成角的大小等于
45?
．
1
5．．
3
设
PF
1
?n
，
P F
2
?m
．则
m?n?2a
．
根据垂心和内心的性质知
????
1
?????????
PG?PF
1
?PF
2
，
3
?????????
???
mPF
1
? nPF
2
PI?

m?n?2c
?????????
1mPF
1
?nPF
2
??
．
2a?c
??? ?????????
1
?
?
2c?n?2m
?
PF
1
?
?
2c?m?2n
?
PF
2
?
． 故
IG?
?
6
?
a?c
?
?
??
? ????????
m
2
?n
2
?
?
2c
?
2
而
PF
1
?PF
2
?
，因此，
2
???????????????????????
IG?F
1
F
2
?IG?PF
2
?IG?PF
1

?
1m2
?n
2
?4c
2
?
22
?
?
?
2c?m?2n
?
m?
?
2c?n?2m
?
n ?3
?
n?m
?
?

6
?
a?c
?
?
2
?
1
?
n?m
??
a?3c
?
．
3
????????
而由
IG?x
轴，知
IG?F
1
F
2
?0
，代入解得
n?m
（舍去）或
a?3c
．
?
因此，椭圆的离心率
e?
6．
?< br>0，2
?
．
显然，所求代数式的最小值为
0
，当且仅当
a?b?c?0
时取到．
当
a?b?c?
0时，
a?b?c≤1?b?c≤2
?
1?bc
?
．
c1
?
．
a3
于是，
同理，
a2a
．
≤
bc?1a?b?c
b2bc2c
，．
≤≤
ca?1a?b?cab?1a?b?c
以上三式相加即得
abc
??≤2
．
bc?1ca?1ab?1
当
a、b、 c
中一个等于0，另外两个等于1时，上式等号成立．
7．
11
．
72

设投掷这三颗骰子所得点数分别为
a、b、c
?
a≤b ≤c
?
．则条件等价于
a?b?c
，且
3
?
a?b?c
?
．
若所构成的三角形是正三角形，则共有6种情形．
若所构成的三角形是等腰三角形（非等边） ，则易证
a?b?c
?
mod3
?
．从而，
?
a ，b，c
?
?
?
1，4，4
?
，
?
2，5 ，5
?
，
?
3，6，6
?
．
此时，共有9种情形．
若所构成的三角形是任意三角形（非等腰），则
a?b?c< br>．从而，
a?c?b≥1
．进而，
4≤c≤6
．故
?
a，b，c
?
?
?
2，3，4
?
，
?
3 ，4，5
?
，
?
4，5，6
?
．
此时，共有
3A
3
3
?18
种情形．
因此，所求的概率等于
8．
6?9?1811
．
?
3
672
．
12
所得乘积的算术平均数等于
?
n?1
??
3n?2
?
?
?
n
?
2
n
2
?
?
n?1
??
3n?2
?11
．
ij?
?
?
?
i
?
?
?
i
?
?
?
2
12
C
n
1≤i ?j≤n
n
?
n?1
?
?
?
?
i?1?
i?1
?
?
二、9．由题设得
11
??2n?1
．
a
n
a
n?1
n< br>?
1111
?
则
??
?
?
?
?
a
n
a
1
i?2
?
a
i
a
i?1
?
?3?
?
?
2i?1
?
?n?
n?2
?
．
i?2
n
从而，
a
n
?
?
?
n
?
n?2
?
?
?
．
故
?
n
?
a
n
?a
n?1
?

n?2
?
?1
??
11
?
?
n
?
?
?

nn?2n?1n?3
?????
?< br>n?2
?
?
?
?
?
?
1n
?
11
?
?
?
?
?
?
?
?
n?3
?
n?2
n?2
n?2
2
?
n?1?
11
?
31
?
?
?
?
?
?
?
?

n?22n?3n?1
??
n?2n?2
?
?
1
?
1
?
?
11
??
1
?
?
?
??
?
?
?
??

n? 2n?32n?1n?3
??
n?2
?
n?2
?
?