江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(201)(无答案)

江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（201）（无
答案）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.设
x、y?R
，集合
A?
?
?
x,y
?
x
2
?3xy? 4y
2
?
?
?
7?
?
，
B?
?< br>(x,y)kx?y?2
?
(k?0)
。当
2
?
AI B
只有一个元素时，
k
= 。
2.设
a、b、 c为?ABC
的三边长，且
b?ccos
2
AA
?8,(b?c)s in?15.
则
a
= 。
22
2
7
3.设s为方程
x?1
的非实数根，则
s(s?1)(s?s?1)(s?s ?1)
= 。
4.定义异面棱长相等的四面体为等腰四面体。设等腰四 面体DBMN的外接球半径为R，
?BMN
的外接圆半径为r，已知
DB?MN?a, DM?BN?b,DN?BM?c
,则
是 。
10
a
i
2
a
i
2
5.设
a
i
?R( i?1,2,…,10)
且
?
2
的取值范围是 。 < br>?1
，则
?
2
i?1
a
i
?1
i? 1
a
i
?1
10
r
的取值范围
R
6.已知 抛物线
y?4x
上两点
A
?
x
1
,y
1< br>?
与B
?
x
2
,y
2
?
切线互相垂 直，则切线交点的轨迹方程
为 。
7.设正整数数列
?
a
n
?
单调递增，满足
a
n?2
?3a
n?1
?a
n
,a
6
?280
，则
a7
= 。
8.对集合
?
1,2,…,242
?
的
k
元子集
T
，满足
T
的任意两个元素（可以相 同）之和均不为3的
整数次幂，则
k
的最大值为 。

二、解答题（共56分）
9.（16分）证明：



1
?n(
n
2?1)(n?Z
?
)

?< br>k?0
n?k
n?1

uuur
m
2
? n
2
uuurr
x
2
y
2
2mn
uuu< br>OA?
2
OB
,10.（20分）设A、B、P为椭圆
2
?< br>2
?1
上三点，满足
OP?
2
abm?n
2
m?n
2
其中，
m?n?0
。
（1）求线段AB中点的轨迹C的方程
x
2
y
2
（2）过 曲线C上任一点Q作曲线C的切线，与椭圆
2
?
2
?1
交于E、F两 点，证明：QE=QF.
ab









11. （20分）设有
m
个互异的正偶数与
n
个互异的正奇数之和为2020，求
20m?15n
的最大
值。

加试
一、（40分）如图1，设D为
?ABC
的边BC上任意一点，EF为
?ACD
的内切圆
eP与?ABD< br>的内切圆
eQ
的外公切线，EF与AD交于点K，
?ABC
的内切圆< br>eI与AC切于点M
，与AB
切于点N，证明：
?MKN+






二、（40分）设
x
k
??3(k?1,2,…,n)
，证明：
n
?
n
?
n
?
2
?
3

x?(k?1)?x?2k?1?k
???
kk
??
??
?
k?1
??
k?1
?
k?1
22
1
?BA C?180
0

2





三 、（50分）设
a、b、c、d、x、y、z、w
为互不相等的正整数，满足下列三式： a+b+c+d=x+y+z+w,
a
2
+b
2
+c
2
+d
2
=x
2
+y
2
+z
2
+w
2
,
证明：满足题设条件的方程有无穷多组正整数解。
a
3
+b
3
+c
3
+d
3
=x
3
+y
3
+z
3
+w
3
,

四、（50分）设< br>n
为正整数，记平面点集
S?(x,y)x、y?
?
0,1,…,n< br>?
,x?y?0
。问：平面
内最少要有多少条直线，它们的并集才能包含S，但 不含点（0，0）？
??