江西省上饶县中学2017_2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(184)(无答案)

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江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题
（184）（无答案）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1. 已知定义在复数
f( z)?(4?i)z?pz?q
集上的函数（
p、q
为复数）.若
f(1)< br>与
f(i)
均
为实数，则
p?q
的最小值为.
2
2. 已知函数
f(x)asinx?bcosx(a、b?Z)
，且满足
xf(x)?0?xf(f(x))?0
.则
????
a
的最大值为 .
3. 已知三棱锥
S?ABC
的底面是以
AB
为斜边的等腰直角 三角形，且
SA?SB?SC?AB?2
.则三棱锥
S?ABC
外接球表面积 为.
?
x3
?
2
4. 记
F(x,y)?(x?y)?< br>?
?
?
(y?0)
.则
F(x,y)
的最小值为.
?
3y
?
5. 设任意实数
a?b?c?d?0
.要使

2
log
a
2014?log
c
2014?log
d
2014?mlog
d< br>2014
恒成立，则
m
的最小值 为.
bbca
6. 设< br>f(x)
是定义在
R
上的函数，对任意的
x?R
，均有
f(x?3)?f(x)?3,f(x?2)?f(x)?2
.设
g(x)?f(x)?x< br>.若
f(4)?2014
则
f(2014)?
.
7. 若非 负整数
m、n
在求和时恰进位一次（十进制下），则称有序数对
(m,n)
为 “好的”.那
么，所有和为2014的好的有序数对的个数为.
222222
8. 已知非负实数
u、v、w
满足
u?v?w?2
.则
uv?vw?wu
的取值范围是.


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二、解答题（共56分）
n
9.（16分）设数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?n(1?2)(n?1,2,)
.试求通项的表达式.



10.（20分）如图1，已知
A(?1,0),B(1,0)
，
Q、G
分别为
?ABC
的外心、重心，
QG
‖
AB
.
（1）求点
C
的轨迹
E
的方程.
（2）设（1）中的 轨迹
E
与
y
轴的两个交点为
A
1
、A
2< br>（
A
1
位于
A
2
下方），动点
M、N
均
在轨迹
E
上，且满足
A
1
M?A
1
N
，试问直线
A
1
N
与
A
1
M
的交 点
P
是否恒在某条定直线
l
上？
若是，求出直线
l
的方程；若不是，请说明理由.








11.（20
?
.求三元函数分）设
x、、
均取正实数， 且
x?y?z1
yz
2
3x
2
?x3y?y3
2< br>z?z
f(x,y,?z)??
的最小值，并给出证明.
1?x
2
1?y
2
1?z
2

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加 试
一、（40分）如图2，在
?ABC
中，
AB?AC
，
H
为
?ABC
的垂心，
M
为边
BC
的中点，
点
S
在边
BC
上且满足
?BHM??CHS
，点
A
在直线
HS
上的投影为
P
.证明：
?MPS
的< br>外接圆与
?ABC
的外接圆相切.











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nA
n
?2(n?1)
2k
(n?1,2,)
.证明：当
n?1
时，二、（40分）设
k?Z
，定义：
A
1
?1,A
n?1
?
n?2
A
n
为整数，且
A
n为奇数当且仅当
n?1
或
2(mod4)
.











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三、（50 分）已知
x、y、z
?
1,2
?
.证明：
并指出等号成立的 条件.












?
11111811
?
????6
?
??
?
，
xyzx?y?zy?zz?xx?y
??

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四、(5 0分)证明：存在由2014个正整数组成的集合
S
，具有下面性质：若集合
S
的子集
A
满
足对任意
a、a??A,a?a?
，均有
a? a??S
，则
A?152
.

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