高中数学奥林匹克竞赛训练题(203)(无答案)

环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而 泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？ 太守自谓也。

高中数学奥林匹克竞赛训练题（203）（无答案）



第一试

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.平 面上m个点无三点共线，其凸包为n边形，适当连线可得一个由
三角形组成的网格区域，记其中不重叠的 三角形个数为 。
f(m,n),则f(2016,30)?

2.任取平面区域D：内一点，定点满足，则的最大值为 。
?
x? y?1
?
?
2x?y??1,
A(x,y)B(a,b)
OAOB? 1
a?b

?
x?2y?1
?
3.设抛物线C：的焦点为F ，其准线与轴的交点为Q，过点F作直线与
抛物线C交于A、B两点，且。
则 .
y
2
?2px(p?0)
x
?QBF?90
0
A F?BF?

4.如图1，在正方体中，点E、F、G分别为线段上的动点，给出以下四
'
个命题：
ABCD?A
'
B
'
C
'
D
'
BB
'
、AB、AC

①对任意点E，存在点F，使得;
D
'
F?CE

②对任意点F，存在点E，使得
CE?D
'
F

③对任意点E，存在点G，使得
D
'
G?CE

④对任意点G，存在点E，使得，
CE?D
'
G

从中任选两个命题，其中恰有一真一假的概率P= 。

2
?
?
5.任取，均有
?
、
?
?
?
0，< br>??

?
3
?
至于负者歌于途，行者休于树，前者呼，后者应 ，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈 者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢也。

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环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者， 琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。 作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？太守自谓也。

4cos
2
?
?2cos
?
cos
?
?4cos
2
?
?3cos
?
?3cos
?
?k?0
，则的最小值
为 。
k

6.不等式的解集为 。
x
6< br>?3x
5
?5x
4
?3x
3
?2x
2
?1?0

7.实数满足，且.则的取值范围是 。
x、 y、z
x?y?z?1
x
2
?y
2
?z
2
?3
xyz

8.在平面区域内任取个点，均能将这个个点分成A、B两组，使得A组
所有的横坐标之和不大于6，而B组所有点的纵坐标之和不大于6，则
正整数的最大值为 。
M?
?
?
(x,y)
?
?
?
?
?
0?y?2?x,
?
?
kkk

?
0?x?2
?
二、解答题（共56分）

9.（16分） 求M的最小值，使得函数对区间的任一分割均满足。
f(x)?x?2x?1
?
0,4
?
0?x
0
?x
1
?…?x
n?1
?x< br>n
?4
?
f(x
i
)?f(x
i?1
)?M

2
i?1
n
10.（20分）如图2，椭圆的左、右顶点分别为A 、B，在椭圆C 上任
取异于A、B的点P，直线PA、PB分别与直线交于点M、N，直线MB与x
2
y
2
椭圆C交于点Q.
C:??1
x?3

43
（1）求的值；
FMFN

（2）证明：A、Q三点共线。

11.（20分）设，且，定义数列：。
?
2a
n
,a
n
?18;
a
1
?Z
?
a
1
?18
?
a
n
?
a
n?1
?
?
(n?1,2,…)

2a?36,a?18
n
?
n
求集合中元素个数的最大值。
M=
?
a
n
n ?Z
?
?

加试

至于负者歌于途，行者休于树，前者呼， 后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然 而前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢也。

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