推荐2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(217)(无答案)

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题
（217）（无 答案）
第一试
一、填空题
1.若函数
p(x)?2xlnx?x
2
?ax?3(x?0)
的最小值不小于0，则实数
a
的最大值为
2.已知单位向量
a、b
满足
a?b
，向量
c
满足
c?a?c?2b?6
。则
c?a
的取值范围是
3.已知三棱椎P-ABC棱长PA=1，PB=2，PC=3，且
PA?PB,PB?PC, PC?PA
,则此三棱椎
外接球的球面上动点Q到面ABC距离的最大值为
x
2
x
2
y
2
2
?y?1
上的任 意一点P的直线
y?kx?m
与椭圆
??1
交于A、4.设过椭圆B两点，< br>4164
x
2
y
2
??1
交于点Q，则
S< br>?ABQ
:S
?ABO
的值为 射线PO与椭圆
164
5.已知
sin
?
?1,则tan
?
的取值范围是
3cos
?
?
x
2
?2y
2
?2z
2
?w
2
?43
?
222
6.关于
x、y、z、 w
的方程组
?
y?z?w?29
?
5z
2
?3w< br>2
?4xy?12yz?6zx?95
?
①
②
的解集为
③
7.从集合
?
1，2,…,2017
?
的非空子集中随机 取出一个，其元素之和恰为奇数的概率是
2222
bc?cd?daa?c< br>8.已知
a、b、c、d?R
，且
a?b?c?d?1
，则
a b??bd4
的最大值
为 。





二、解答题
9.证明：函数
f(x)?x
x?2?(x?2)
x
?2x(x?1)(x?2)?2
在区间
?
0, ??
?
内只有唯一的整数

零点。





10.设数列
?
a
n
?
满足对一切正 整数
n
，恒有
1?
式。



?
Ca?2cos
m
nm
m?1
n
n
2
n
?
，求数列
?
a
n
?
的通项公
4
x
2
y
2
?
1
?
??1
内的点
p
?
1,
?
作一条不过原点的直线，11.过椭圆与椭圆交于A、B两点，求
S
?OAB
63
2
??
的最大值。






加试
一、已知A、B、C为平面上不共线的任意三点，点O 在
?ABC
内，且满足
?AOB??BOC??COA?120
0
, 求





OA?OB?OC
的最大值。
AB?BC?CA