【精品】高中数学奥林匹克竞赛训练题(199)(无答案)

每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄 作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦 将有感于斯文。

【精品】高中数学奥林匹克竞赛训练题（199）（无答案）



第一试

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.三元函数的最小值为
f(x,y,z)?x
2
?2y
2
?3z
2
?2xy?4yz?2zx?6x?10y?12z

2.设复数，，其中，。当取到最小值时， 。
z
1
?( 6?a)?(4?b)iz
2
?(3?2a)?(2?3b)iz
3
?(3? a)?(3?2b)i
a、b?R
z
1
?z
2
?z
3
3a?4b?

3.设过原点的直线与函数的图像有且仅有三个交点，为交点横坐标 中
(1?a
2
)sin2a
?

的最大者，则 。
l
y?sinx(x?0)
a
2a
4.已知为空间直角坐标系内一 定点，过作一平面与三坐标轴的正半轴
分别交于三点，则所有这样的四面体的体积V的最小值为 。
P(1,4,5)O?xyz
P
A、B、CO?ABC

5.设为满足的点构成的区域，则区域的面积为 （表示不超过实数
?
x?0 ,
?
(x,y)
?
?
x
?
x

的 最大整数）。
?
?
y?0,
?
x?y?x?y?5
????
?
6.形如的函数图像类似于汉字“囧”，称其为“囧函数”，并把其与
轴的交点关于 原点的对称点称为“囧点”。以囧点为圆心凡是与囧函
数有公共点的圆，称为“囧圆”。当时，所有的囧 圆中面积的最小值

世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱 于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临 之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！
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每 览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视今，亦 犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦将有感于斯文。< br>
为 。
y?
b
(a、b?0)
y
a?b?1

x?a< br>7.已知20块质量为整数克的砝码可称出1，1，…，2014克的物品，
砝码只能放在天平一 端，则最大砝码质量的最小值为 克。

8.六名男生和名女生随机站成一排，每名 男生均至少与另一名男生相
邻，至少有四名男生站在一起的概率为，若则的最小值
为 。
a
p
P?
二、解答题（共56分）

9.（16分）已知 .求的最小值。
a、b?0,a?b?1
y?
?
?
a?
?< br>1
??
1
?
b?
???

2015a
??
2015b
?
1
,
a
< br>100
10.（20分）第一个月有一对大兔，每月繁殖出3只雄兔、2只雌兔，
小雌兔 隔月长大后也同样繁殖出3只雄兔、2只雌兔。问：第个月后共
有多少只兔子？
n(n?Z?
)

11.（20分）设为椭圆上任一点，为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆的
x
2
y
2
另一个交点分别为。证明：为定值。
P
2
?
2
?1(a?b?0)

ab
加试

一 、（40分）如图1，凸四边形ABCD的对角线交于点M,P、Q分别为的
重心，R、S分别为的垂心 。证明：.
?AMD、?CMB?DMC、?MAB
PQ?RS

二、（40 分）给定任正数和正整数。求最大下数，使得只要正数满足，
则必有
k(k?2)n(n?3)
?
a
1
,a
2
,…a
n
(a
1< br>?a
2
??a
n
)
?
?
111
?< br>???
?
?
?
a
1
?a
2
?ka< br>3

a
n
??
a
1
a
2
三 、（50分）求方程的所有正整数解，其中，为奇素数，。
P
m
?P
n
?1?k
2
p
n?m?3n

世有伯乐，然后有千里马。千里马常 有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能 尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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