高中数学奥林匹克竞赛训练题(188)(无答案)

环滁皆山也。其西南诸峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而 泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？ 太守自谓也。

高中数学奥林匹克竞赛训练题（188）（无答案）



第一试

一、
填空题（每小题8分，共64分）

1.
已知函数.设为任意锐角三角形的三个内角.则
1?2x?x
2
f(x)?
(1?x)(1?x
2
)
.
?
、
?
、
?
f(tan
?
)?f(tan
?
)?f(ta n
?
)?f(cot
?
)?f(cot
?
)?f(cot< br>?
)?

2.
计算：.
sin
3
200
?sin
3
100
0
?sin
3
1400
?

设，且.则的最小值 为.
a、b?R
a?b?1
f(a,b)?31?2a
2
?240?9b
2

顶点到面的距离为.
3.
4.
已知四面体的四个面的面积分别为 ，
21、28、37
D
?ABC
h
h?

则.
ABCD
?DBC、?DCA、?DAB、?ABC
12、
5.
已知向量为平面内两个互相垂直的单位向量，且.则 的最大
值为.
a、b
(3a?c)(4b?c)?0
c

6.
若曲线的内接的重心为其焦点.则 .
FA?FB?FC?

已知数列满足.则数列的通项公式
na
n
?2(n?1)
2
为.
?
a
n
?
a
1
?1,a
n?1?
?
a
n
?

n?2
222
7.

8.
集合，对于正整数，集合的任一元子集中必有一个数为另外 个
至于 负者歌于途，行者休于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉 为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射者中，弈者胜，觥筹交错，起 坐而喧哗者，众宾欢也。

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环滁皆山也。其西南诸 峰，林壑尤美，望之蔚然而深秀者，琅琊也。山行六七里，渐闻水声潺潺而泻出于两峰之间者，酿泉也。峰回路转 ，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者谁？山之僧智仙也。名之者谁？太守自谓也。

数乘 积的约数.则的最小可能值为.
S?
?
1,2,,100
?
m
S
m
m?1
m

二、解答题（共56分）

?< br>a?b?c?d?3,
2222
9.（16分）设实数满足
a、b、c、d?

?
a?b?c?d?3,
?
abc?bcd?cda?da b?1.
?
证明：.
a(1?a)
3
?b(1?b)
3?c(1?c)
3
?d(1?d)
3

10.（20分）设，且.
a、b、c?0abc?1

2a
22b
2
2c
2
9
证明：.
????1

(1?a?ab)
2
(1?b?bc)
2
(1?c?ca)
2(1?a?ab)(1?b?bc)(1?c?ca)
11.（20分）设为椭圆长轴的两顶点，为 椭圆上任意一点，过作椭圆的
切线，与过点的切线分别交于点分别为左、右焦点.证
明：.A、B
x
2
y
2
??1(a?b?0)
a
2< br>b
2
PP
CD
A、B
C、D、M、N
?CMD??C ND?90
0

加 试

一、（40分）在中，设，垂足为分 别为的内心，与交于点，记的面积为.
证
明：.
?ABC
?C?90
0
,CD?AB
D、P、Q
?ADC、?BDC
PQ
CD
K
?ABCS
111
??

CK
2
CD
2
S
二、（40分）设.证明：
.< br>a
i
、b
i
?R(i?1,2,
n
2
n,n)(n?Z?)
?
a
i
b
i
?(
?
a)(
?
b)?(
?
a
i
)(
?
bi
)

n
i?1i?1i?1i?1i?1
2
i
2
i
至于负者歌于途，行者休于树，前者呼，后者应，伛偻提携，往来而不绝者，滁人游也。 临溪而渔，溪深而鱼肥。酿泉为酒，泉香而酒洌；山肴野蔌，杂然而前陈者，太守宴也。宴酣之乐，非丝非竹，射 者中，弈者胜，觥筹交错，起坐而喧哗者，众宾欢也。
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