高中数学新课标新精编难度-高中数学必修四知识体系图
数学奥林匹克高中训练题(04)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
100
1.(训练题09)由
(3x?
3
2)
展开所得的
x
的多项式中,系数为有理数的共有(B
)项.
(A) 50 (B) 17 (C) 16 (D)
15
2.(训练题09)已知
z
满足
z?5?12i?3
.则
z
的最大值是(D)
(A) 3 (B) 10
(C)20 (D)16
3.(训练题09)正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为
a
,
E
为
CD
的中点,
F
为
AA
1
的
中点,
过
E,F,B
1
的截面面积是(C)
(A) <
br>555
2
29
2
1129
2
729
2
a
(B)
a
(C)
a
(D)
a
1924488
x
4.(训练题09)方程
sin
?
. <
br>?
?cos
x
?
?1(0?
?
?)
的解的个
数是(B)
2
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)
大于2
5.(训练题09)设
a
是正整数,
a?100
,并且<
br>a?23
能被24整除.那么,这样的
a
的个数为
(B).
(A) 4 (B) 5 (C) 9 (D) 10
6.(训练题09)从
1,2,
是(D).
666556
(A)
C
49
(B)
C
44
(C)
C
49
?C
44
(D)
C
49
?C
44
3
,49
中取出六个
不同的数,其中至少有两个是相邻的,所有的取法种数
二、填空题(本题满分54分,每小题9分) <
br>1.(训练题09)已知
z
1
,z
2
在复平面上对应点分别为
P,Q
,且
z
2
?4,4z
1
?2z
1<
br>z
2
?z
2
?0
.则
22
P,Q
与
原点
O
所成的
?OPQ
面积等于___
23
_____.
2.(训练题09)设四面体
ABCD
的体积为
V,E
为棱长
AD
的中点,
F
在
AB
的延长线上,且
BF?AB
,过
C,E,F
三点的平面交
BD
于
G
.则四面体
CDGE
的体积为___
V
_____.
3
3.(训练题09)
设
x,y,z?0
且
x?y?z?1
.则
149
??
的最小值为___36_____.
xyz
4.(训练题09)函数
f(x)?x
2
?a
在区间
?1?x?1
内的最大值
M(a)
的
最小值是
- 1 -
____
1
____.
2
)
.则
n?1
5.(训练题09)对于正整数
m
,它的个位数码用
f(m)
表示,记
a
n
?f(2?1)(n?1,2,
a
1994
?
___
__7___.
6.(训练题09)
n(n?3)
条直线中恰有
p(p?2
)
条互相平行,而且
n
条直线中没有3条相交于
同一点,则这条直线将平面分
割成的块数是___
1
2
(n?p
2
?n?p?2)
___
__.
2
第二试
一、(训练题09)(本题满分25分)已知圆的方程
为
x?y?4
.试在坐标平面上求两点
22
A(s,t),B(m,n),使下列两条件满足:
(1)
圆上任意一点到
A
点的距离与到
B
点的距离之比为定值
k
;
(2)
s?m,t?n
,且
m,n
均为自然数.(
(2,
2),(1,1)
)
二、(训练题09)(本题满分25分)求满足条件的实系数多项式
f(x)
;
(1)
对于任意的实数
a
,有
f(a?1)?f(a)?f(1)
;
(2) 存在某一实数
k
1
?0
,使
f(k
1)?k
2
,f(k
2
)?k
3
,
为
f
(x)
的次数.(
f(x)?x
)
三、(训练题09)(本题满
分35分)正整数
n
的所有约数之和用
f(n)
表示,(比如
,f(
k
n?1
)?k
n
,f(k
n
)?k
1
,
其中
n
f(4)?1?2?4?7
).试答下列各问:
(1) 证明:如果
m
和
n
互质,那么
f(mn)?f(m)f(n)
;
(2) 当
a
是
n
的约数
(a?n)
,且
f(n)?n?a
,试证
n
是质数,其次,如果
l
是正整数,
2
l
?1
是质数,试证
l
也是质数;
(3) 设
n?2m
(
k
为正整数,
m
为奇数),且
f(n)?2n
.试证存在质数
p
使得
- 2 -
k
n?2
p?1
(2
p
?1)
.
四、(
训练题09)(本题满分35分)数列
1,1,3,3,3,3,
22
,3
1
992
,3
1992
是由两个1,两个3,两个
3
2
,…,
两个
3
1992
按从小到大顺序排列,数列各项的和记为
S
,对于给
定的自然数
n
,若能
从数列中选取一些不同位置的项,使得这些项之和恰等于
n
,便称为一种选项方案,和数为
n
的所有选项方案的种数记为
f(n).试求:
f(1)?f(2)?
值.(
f(1)?f(2)?
?f(s)
的
?f(s)?4
1993
?1
)
- 3
-