高中数学分式与根式-高中数学韩信点兵例题
数学奥林匹克高中训练题(26)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
x
2
?y
2
x?y
x?y
1.(训练题59)已知
x,y
是两个不等的正数,则
A?
,
B??xy
,
?
2
22
C?xy?
2
11
?
xy
的大小顺序是(C).
(A)
A?B?C
(B)
A?C?B
(C)
B?A?C
(D)
B?C?A
2.(训
练题59)函数
y?f(x)
与
y?g(x)
有相同的定义域,对定义域中任
何
x
,有
f(x)?f(?x)?0
,
g(x)g(?x)?1,且当
x?0
时,
g(x)?1
,则
F(x)?
2f(
x)
?f(x)
是
g(x)?1
(B).
(A)奇函数
(B)偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶
函数
3.(训练题59)已知
a,b
为非零常数,若
M?asin
??bcos
?
,
b
N?a
2
?b
2
sin(
?
?arctan)
,则对任意的
?
(C).
a
(A)
M?N
(B)
M?N
(C)仅当
a?0
时,
M?N
(D)仅当
b?0
时
M?N
4.(训练题59)如图1,在棱长为
a
的正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1D
1
中,点E、F分别是面
BB
1
C
1
C和
D
1
C
1
ABCD
的中心,则异面直线
EF
与
A
1
C
1
的距离为(C).
(A)
A
1
B
1
E
D
C
B
236
a
a
(C)
a
(D)
a
(B)
234
2
A
5.(训练题59)已知周期数列
{x
n
}
满足
x
n
?x
n?1
?x
n?2(n?3)
,若
x
1
?1,x
2
?a?0
,则
当该
数列的周期最小时,数列的前2002项的和是(B).
(A)2002
(B)1335 (C)1949 (D)1428
x
2
y
2
6.(训练题59)设点
F
1
,
F
2
分别为椭圆
2
?
2
?1
的左右两焦点,
l
为右准线,若在椭圆上存在
ab
e
点
M
,使
M
F
1
,MF
2
,点
M
到
l
的距离
d
成等比数列,则椭圆离心率的取值范围是(A).
- 1 -
(A)
[2?1,1)
(B)
(0,2?1]
(C)
[
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
22
,1]
(D)
(0.]
22
1.(训练题59)已知复数
z
1<
br>,z
2
,满足
z
1
?1,z
2
?2,3z<
br>1
?z
2
?2?3i
,则
2z
1
?z
2
?
3?3i或?
9133
?i
.
7
7
22
2.(训练题59)已知
x?0,x?(y?4)?4
,设
w
?
x2?3xy?2y2
,则
w
的取值范围是
x2?y2
2?w?
5
.
2
o
3.(训练题5
9)已知在三棱锥
S?ABC
中,底面三角形每个顶点处的三个面角和均为
180,底
面三角形三边分别是
3
、
2
和
5
,则该三
棱锥的体积是
6
.
3
4.(训练题59)设<
br>f
1
(x)?
f(0)?1
2
,定义
f
n?
1
(x)?f
1
[f
n
(x)]
,且
a
n
?
n
,则
a
100
?
f(0)?2
1?x
n
?
1
.
2
101
x
2
?ky
2
?1
,5.(训练题59)已知焦点在
x
轴上的椭圆点
A,B
是过原点的直线与椭圆的两个交
2
点
,若数
k
使得在椭圆上还存在另一点
C
,使
?ABC
为正三
角形,则对所有这样的
k
,
?ABC
的面积最大值是
23
.
3
?
xy
?
??1
6.(训练题59)已知方程组
?
ab
,有且仅有整数解,则满足题意的实数对(a,b)
的个
22
?
?
x?y?50
数是 60 .
三、(训练题59)(本题满分20分)已知
a
i
?R
,且
a
i
?a
i?1
,i?1,2,
?
,n?1
,求证
:
a
1
a
2
??
a
1
?a
2<
br>a
2
?a
3
?
a
n
n
?
.
a
n
?a
1
2
四、(训练题59)(本题满分20分)给定
空间不共面的
n
个点
(n?4)
.试问:是否一定存在这样一
- 2 -
个平面,仅过这
n
个点的其中三个?并请证明你的结论.
五、(训练题59
)(本题满分20分)如果在一条平面曲线上存在四点,使得这四点构成的图形是一
x
2
y
2
x
2
y
2
个菱形,则称该曲线存在内接菱形.现已知
双曲线
c
1
:
2
?
2
?1
,双曲线
c
2
:
2
?
2
?1
,
abba
其中
a?b,a?0,b?0
.证明:在双曲线
c
1
与
c<
br>2
中有且仅有一条存在内接菱形.
第二试
一、(训练题59)(本题满分
50分)如图2,点
P,Q
是
?ABC
的外接圆上(异于
A,B,C
)的两点,
点
P
关于直线
BC,CA,AB
的对称点分别是
U,V,W
,连线
QU,QV,QW
分别与直线
(1)
U,
V,W
三点共线;(2)
D,E,F
三点共线.
BC,CA,AB
交于
D,E,F
,求证:
二、(训练题59)(本题满分50分)已知
x<
br>i
?0(i?1,2,
n
W
A
U
B
F
Q
D
P
E
V
,n),n?2
,且
?
x
i
2
?2
i?1
n
k
x
k
x
j
?1
,
?
j
1?k?j?n试求
?
x
的最大值和最小值.
i
i?1
三、(训练题
59)(本题满分50分)已知
(a
1
,a
2
,,a
n)
是自然数
1,2,,n
的一个排列,且满足:对
任意
1?i?
n?1
,均有
a
i
?i?a
i?1
?i?1
.(1
)若记
x
i
为数
i(1?i?n)
在排列中所处位置的序
号
(如排列
(1,3,4,2)
中,
x
1
?1,x
2
?4,x
3
?2,x
4
?3
).求证:对每一个满足题意的排列(a
1
,a
2
,
A
(n)
.
,a
n
)
,均有
x
i
?i?x
i?1
?i?1
(1?i?n?1)
成立.(2)试求满足题意的排列的个数
- 3 -