新版高中数学人教A版选修4-5创新应用教学案：第四讲章末小结与测评

每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄 作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦 将有感于斯文。







新版高中数学人教A版选修4-5创新应用教学案：第四
讲章末小结与测评



设数列{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n＝1，2，3，…

(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出数列{an}的一个
通项公式．

(2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有①an≥n＋2；

世有伯乐，然后有 千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不 以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能 喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊 事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦将有感于斯文。

②＋＋…＋≤.

[解] (1)由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3；

由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4；

由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5.

由此猜想：an＝n＋1(n∈N＋)．

(2)①用数学归纳法证明：

当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立；

假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥k＋2，

那么当n＝k＋1时，ak＋1＝a－kak＋1＝ak(ak－k)＋1

≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1≥k＋3＝(k＋1)＋2，

也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.

综上可得，对于所有n≥1，有an≥n＋2.

②由an＋1＝an(an－n)＋1及①，对k≥2，有

ak＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1

＝2ak－1＋1≥2·(2ak－2＋1)＋1＝22ak－2＋2＋1

≥23a k－3＋22＋2＋1≥…∴ak≥2k－1a1＋2k－2＋…＋2＋1＝
2k－1a1＋2k－1－ 1

＝2k－1(a1＋1)－1，

于是1＋ak≥2k－1(a1＋1)，≤·，k≥2.

∴＋＋…＋
≤＋

1
＋
an
1
1
?
1
＋
1
＋
…
＋
1
?
?
222
?

2n
－
1
?
1
＋
a1
?
世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈 死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马 ！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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