高中数学选修4-5同步练习题库：绝对值不等式(简答题：容易)

绝对值不等式（简答题：容易）

1、设不等式的解集为，，.
（1）试比较与的大小；
（2）设表示数集中的最大数，且

2、已知函数
（I）当时，解不等式.
（II）若不等式恒成立，求实数的取值范围


3、已知函数.
(1)若，解不等式：；
(2)若恒成立，求的取值范围.


4、已知函数.
（1）若，使得成立，求的范围；
（2）求不等式的解集.


5、已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求实数的取值范围．

6、选修4-5：不等式选讲
已知函数.
共 44 页，第 1 页

，求的范围.

（1）当
（2）若存在
时, 解不等式
,使得
；
成立, 求实数的取值范围.


7、选修4-5：不等式选讲
（1）如果关于的不等式
（2）若均为正数，求证：.

的解集不是空集，求实数的取值范围；

8、选修4-5：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）当时，求不等式
，不等式
．
的解集；
恒成立，求的取值范围．

（Ⅱ）对于任意实数

9、选修4-5：不等式选讲
已知
（1）求
（2）求
，，函数
的值；
的最小值．

的最小值为 ．

10、选修4-5：不等式选讲
已知
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求
，，函数
的值；
的最小值．

的最小值为4．

11、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）当时,证明：.

，记的解集为.

共 44 页，第 2 页

12、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）当时,证明：.

，记的解集为.

13、选修4-5：不等式选讲
已知使不等式
；
恒成立，求的最小值．

成立．
（1）求满足条件的实数的集合
（2）若，对，不等式

14、选修4-5：不等式选讲
已知使不等式
；
恒成立，求的最小值．

成立．
（1）求满足条件的实数的集合
（2）若，对，不等式

15、选修4-5：不等式选讲
设函数
（1）当
（2）若
时，求不等式
（），
的解集；
．
恒成立，求实数的取值范围．


16、选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）若
（2）如果
，解不等式
，
．
；
，求的取值范围．


17、选修4-5：不等式选讲
设函数．
共 44 页，第 3 页

（Ⅰ）求
（Ⅱ）求不等式
的最小值；
的解集．


18、选修4-5：不等式选讲．
已知函数
（Ⅰ）求的值；
，，的解集为．
（Ⅱ）若，成立，求实数的取值范围．


19、设函数
（1）若
（2）若
，解不等式
.
;
有最小值，求实数 a的取值范围.


20、选修4-5：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）解不等式：
（Ⅱ）若，求证：
.
；
.


21、已知函数
（1）若
（2）求
，
，求的取值范围；
的最大值．

（）．

22、不等式选讲
已知函数
（1）求不等式
（2）若存在
.
的解集；
，使得，求实数的取值范围.

共 44 页，第 4 页

23、选修4—5：不等式选讲
已知函数
（1）当时，求不等式

的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围.


24、选修4-5：不等式选讲
已知
（1）当
（2）当
，
，解关于的不等式
时恒有
．
；
，求实数的取值范围．


25、已知函数
(1) 若
(2)若
，解不等式：
恒成立，求的取值范围.

.
；

26、已知函数
（1）求不等式；
.
（2）若函数
围.

的最小值,且,求的取值范

27、选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）求不等式
.
的解集；
（2）已知且，求证：.

共 44 页，第 5 页

28、 已知函数
（1）当
（2）若
时，解不等式
．
；
，求的取值范围．


29、设数列
（Ⅰ）证明：
满足
，
，．
；
（Ⅱ）若，，证明：，．


30、选修4-5：不等式选讲
已知函数.
的解集；
.当时，，求的取值范围.

（Ⅰ）当a=2时，求不等式
（Ⅱ）设函数

31、已知函数
（1）求不等式
（2）若关于的表达式
的解集；
的解集，求实数的取值范围.

.

32、已知函数
（1 ）当
（2）若
时，求不等式
的解集包含
．
的解集；
，求实数的取值范围．


共 44 页，第 6 页

33、设函数
（I）当时,解不等式
,其中
；
．
（II）若对于任意实数,恒有成立,求的取值范围．


34、设函数．
（Ⅰ）当时，求不等式
，不等式
的解集；
的解集为空集，求实数的取值范围．

（Ⅱ）若对任意

35、已知函数
（1）若
（2）求
，求实数的取值范围；
的最大值.

.

36、已知
（1）求
（2）当
；
时,证明：
,不等式的解集为．


37、（2015?商丘三模）已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若存在x
0
∈R，使得f（x
0
）+2a
2
＜4a，求实数a的取值范围．


38、选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）解不等式：
（2）当时，
，
；
恒成立，求实数的取值范围．

．

共 44 页，第 7 页

39、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（1）已知实数满足，证明：；
（2）已知，求证：－≥＋－2．


40、（本小题满分10分） 已知命题
要条件，求的取值范围．


41、（满分10分）设函数,其中．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集;
（Ⅱ）若不等式的解集为,求的值．


42、（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）若的解集为，求实数的值；
（2）当且时，解关于的不等式


43、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若存在实数，使得，求实数的取值范围．


44、（本小题满分10分）已知关于的不等式
（1）当时，求不等式解集；
（2）若不等式有解，求的范围.


共 44 页，第 8 页

若非是的充分不必

45、已知函数f（x）=|x﹣4|﹣t，t∈ R，且关于x的不等式f（x+2）≤2的解集为[﹣1，5]．
（1）求t值；
（2）a，b，c均为正实数，且a+b+c=t，求证：++≥1．


46、（本题满分10分）选修4-5: 不等式选讲
设函数
（Ⅰ）解不等式
（Ⅱ）若，使得
；
，求实数的取值范围.

.

47、（本题满分15分）已知定义域为
（1）解不等式
（2）对任意
；
，总有，求实数的取值范围．

的奇函数．

48、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设关于x的不等式lg（|x＋3|＋|x－7|）＞a．
（1）当a＝1时，解这个不等式；
（2）当a为何值时，这个不等式的解集为R．


共 44 页，第 9 页

参考答案
1、（1）；（2）


2、（Ⅰ） （Ⅱ）.


3、(1).(2)或.


4、（1）（2）


5、（1）；（2）．


6、（1）；（2）．


7、(1) ；（2）见解析.


8、（Ⅰ）;（Ⅱ）.


9、（1）;（2）.


10、（1）;（2）.


11、（Ⅰ）;（Ⅱ）证明过程见解析

12、（Ⅰ）;（Ⅱ）证明过程见解析


13、（1）；（2）.


14、（1）；（2）.


15、（1）；（2）．


16、（Ⅰ）（Ⅱ）


17、（Ⅰ）3（Ⅱ）


18、（I）；（II）.


19、（1）；（2）.


20、（I）；（II）证明见解析.


21、（1）（2）

22、(1) 或；(2) .


23、（1）；（2）．


24、（1）；（2）．


25、(1).(2)或.


26、（1）；（2）


27、（1）；（2）证明见解析.


28、（1）；（2）.


29、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．


30、（Ⅰ）；（Ⅱ）．


31、（1）；（2）或.

32、（1）；（2）．


33、（I）；（II）.


34、（Ⅰ）；（Ⅱ）．


35、（1）（2）


36、（1） ；（2）见试题解析


37、（1）{x|x＜﹣，或x＞3}．（2）﹣＜a＜．


38、（1）；（2）．


39、（1）详见解析；（2）详见解析


40、


41、（1）（2）


42、（1）（2）

43、（Ⅰ）不等式的解集为；（Ⅱ）.


44、（1）；（2）.


45、（1）；（2）详见解析.


46、（1），（2），


47、（1）；（2）．


48、（1）{x|x＜－3或x＞7}．（2）当且仅当a＜1时，对任何x∈R都成立．


【解析】
1、试题分析：（1）解不等式可得，即范围已知，然后比较和的大小可用作差法；（2）很显然由，知，同样，对，
，时取等号，因此可以想象有，当然也可以由定义 得
，把它们结合起来，相乘有
试题解析：（1）

，
．

（2）

考点：解绝对值不等式，比较大小，新定义．



2、试题分析： （1）根据零点分区间法，去掉绝对值解不等式；（2）根据绝对值不等式的性质得
，因此将问题转化为
试题解析：
恒成立，借此不等式即可。
（Ⅰ）由得，，或，或
解得：
所以原不等式的解集为
（Ⅱ）由不等式的性质得：
要使不等式
当
恒成 立，则
，

.
时，不等式恒成立；
当时，解不等式得。
综上 。
所以实数的取值范围为.


3、试题分析：（1）当时，不等式
， 解得
立，则只需满足
以问题转化为
为
，所以不等式的解集为
，两边平 方得
；（2）若恒成
，所，根据绝对值三角不等式：
，于是可以求出a的取值范围.

试题解析：(1)当
解得：
(2)
只需：
解得：或
.
时，
.
，若恒成立，
，
，所以原不等式解集为
.


4、试题分析：（1）本问考查不等式 有解问题，若
，可以转化为分段函数求
，使得成立，则转化为
最小值；
，不等 式的解
的最小值，也可以根据绝对值三角不等式求
，，（2）本问考查绝对值不等式的解法，分 区间进行讨论，分别求出
集，然后取并集即可.
试题解析：（I）
当
（II ）即
当
当
当
时，
时，即

≥
所以
由（I）可知，
的解集为空集；
即
，
，
∴


；
；
综上，原不等式的解集为
考点：1.不等式有解问题；2.绝对值不等式的解法.


5、试题分析：问题（1）是一个解含绝对值的不等式问题，一般可通过对绝对值的“零点” 进行分段讨论的
方法求不等式的解集，最后再取其并集；对于问题（2），可将问题等价转化为
成立，通过构造极端不等式恒成立，最终求出实数的取值范围．
试题解析：（1）当时，，即，
在上恒

即
解得或
或
，所以解集为
在
在
或
．
上恒成立，即
．
，
（2）原命题等价于
即
在上恒成立，
上恒成立，即
考点：1、含绝对值不等式的解法；2、极端不等式恒成立问题.
【思 路点晴】本题是一个含绝对值不等式的解法以及极端不等式恒成立问题的综合性问题，属于中档题.解
决 本题的基本思路是，对于问题（1），由于是一个解含绝对值的不等式问题，一般可通过对绝对值的“零
点”进行分段讨论的方法求不等式的解集，最后再取其并集；对于问题（2），可将问题等价转化为
在上 恒成立，再通过构造极端不等式恒成立，最终求出实数的取值范围．


6、试题分析：（1）当
得
的取值范围．
试题解析：（1）当时，由得，两边平方整理得，
，从而令
时，得，从而两边平方即 可求得不等式的解集；（2）由题意，
，进而用零点分段法求得的最小值，由此求得实数
解得或 ,原不等式解集为.
（2）由得,令,则,
故，从而所求实数的取值范围为.
考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题．


7、试题分析：（1）
的最小值即可.
(2) 即，利用指数函数的性质分和讨论即可
的解集不是空集即的最小值，求

试题解析：(1) 令
使不等式
（2）由
时，数时
均为正数，则要证
，可得
，当且仅当
的解集不是空集，有
， 只需证
，当时，
，可知
.
，整理得
，可得
成立.

，故要
，由于当
，可知均为正
时等号成立，从而

8、试题分析：（1）将
不等式的解集.
由，，即可求出
代入，去掉绝对值 符号，即可求出
（2）根据题意得
的取值范围.
试题解析:（Ⅰ）
当
∴不等式
（Ⅱ）不等式
时，由
的解集为
或，得
．
对任意的实数
恒成立，即
∵

∴又，所以．


，．
恒成立，等价于对任意的实数，



9、试题分析：（1）根据不等式的性质求出
最小值；
（2）根据（1）得到的关系 式，代入原式并整理，得到原式，当且仅当
最小值为，由已知的最小值，即可求出的
时，得到最 小值.
试题解析:（1）因为，
所以，当且仅当
，
时，等号成立，又，

所以
（2）由（1）知
，所以的最小值为
，
,
当且仅当时，的最小值为．

,所以．

10、试题分析：（1）根据不等式的性质求出
的最小值；
（2）根据（1）得到的 关系式，代入原式并整理，得到原式，当且仅当
最小值为，由已知的最小值，即可求出
时，得到 最小值.
试题解析:（1）因为，
所以
所以
（2）由（1）知
，当 且仅当
，所以的最小值为
，
,
当且仅当时，的最小值为．

，
时，等号成立，又
,所以．
，

11、试题分析：（Ⅰ）利用零点分段法去掉绝对值，解不等式即可;
（Ⅱ）当
试题解析：
（Ⅰ）由已知，得
当
当
故
（ Ⅱ）当
于是
时，由
时，由
的解集为
时， ，
，
，
，解得，
，解得
.
，此时.
时，，只需要证明的最大值小于等于即可.
，显然不成立，

函数
，故
在上是增函数，
.


12、试题分析：（Ⅰ）利用零点分段法去掉绝对值，解不等式即可;
（Ⅱ）当
试题解析：
（Ⅰ）由已知，得
当
当
故
（ Ⅱ）当
于是
函数
，故
在上是增函数，
.

时，由
时，由
的解集为
时， ，
，
，
，解得，
，解得
.
，此时.
时，，只需要证明的最大值小于等于即可.
，显然不成立，

13、试题分析：（1）令，利用零点分段法去绝对值，求得函数
，即
时取等号. < br>，故
，同；（2）利用基本不等式和（1）的结论，有
理根据基本不等式有
试题 解析：
，
（1）令
由于使不等式成立，有
，则，
．．．．．．．．．．．5分
， （2）由（1）知，
从而，当且仅当时取等号，
当且仅当再根据基本不等式时取等号，

所以的最小值6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
考点：不等式选讲.


14、试题分析：（1）令，利用零点分段法去绝对值，求得函数
，即
时取等号. < br>，故
，同；（2）利用基本不等式和（1）的结论，有
理根据基本不等式有
试题 解析：
，
（1）令
由于使不等式成立，有
，则，
．．．．．．．．．．．5分
， （2）由（1）知，
从而，当且仅当时取等号，
当且仅当再根据基本不等式
所以
时取等号，
的最小值6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
考点：不等式选讲.


15、试题分析：（1）当
大小关系讨论；（2）
时，不等式
恒成 立等价于
，只要
试题解析：
（1）当时，
的最小值大于等于即可．
等价于对
恒成立，令
与
无解；
解得；

解得．
综上，不等式的解集为
（2）
令
．
，转化为
，
，
因为，所以
在下易得，令，得．
考点：1、函数基本性质；2、恒成立问题；3、含有绝对值的不等式．


16、试题分析：（Ⅰ）根据绝对值定义，将不等式化为三个不等式组，最后求它们解集的交集（Ⅱ）不等
式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题：
， 再解不等式
试题解析：（1）当时，
即得的取值范围．
，由，得．
，先根 据绝对值三角不等式得最小值
当
当
时，不等式可化为
时，不等式可化为
，即，其解集为
；
；
，不可能成立，其解集为
当时，不等式可化为，即，其解集为．
综上得的解集为．
（2）若，的最小值为；

若
所以
，
，，的取值范围是
的最小值为．
．
考点：绝对值定义，绝对值三角不等式
【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法， 一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何
意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形 结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成
立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归 思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．


17、试题分析：（Ⅰ）根据绝对值定 义得分别求各段最小值，
比较三段最小值的最小值即为所求（Ⅱ）根据绝对值定义将所求不等式转化为三 个不等式组的并，分别求
出各组不等式解集，最后求它们的并集
试题解析：（Ⅰ）
所以：当
综上，
（Ⅱ）
时，；当时，

；当时，．
的最小值是3．
，
令
①解得：，
②解得：，
③解得：．
综上，不等式的解集为：．

考点：利用绝对值定义求函数最值及解不等式
【名师点睛】含绝对 值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何
意义求解．法一是运 用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成
立交汇、渗透，解题 时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．


18 、试题分析：（I），解集为，即；（II）原不等式等价
于价于不等式，利用零点分段法去绝对值，求 得右边函数的最大值为，
所以根据存在性问题有
试题解析：
（I）
，
故．
或
，所以
，又
，由此解得.
，
的解集为．
（II）等价于不等式，
，
故，则有，即，解得或
即实数的取值范围
考点：不等式选讲．



19、试题分析：（1）
简
时，，分类讨论，去掉绝对值，求得的范围；（ 2）化
的解析式，根据一次函数的单调性与一次项系数符号的关系，求得的范围.
,即， 试题解析：（1）

解得：，所以解集为： .
（2）
即：.
，有最小值的充要条件为：，
考点：（1）绝对值不等式的解法；（2）函数的最值及其几何意义.


2 0、试题分析：（I）化简原不等式为，利用零点分段法去绝对值，求解的不等式的解集
为；（II）化 简
成立.
，即
试题解析：
（Ⅰ）由题意，得
因此只须解不等式
，
当
当
时，原不等式等价于
时，原不等式等价于
，即
，即；
；
当时，原不等式等价于，即.
综上，原不等式的解集为
（Ⅱ）由题意得
.
所以
考点：不等式选讲.

成立.
.

21、试题分析：（1）解含绝对值不等式的一般方法为，根据绝 对值定义，转化为不等式组，分别求解，
最后求并集：当
所以的取值范围是
时，，；当 时，，，
．（2）求含绝对值函数最值，先根据绝对值定义，转化为分段函数，分段求最
时， 值，最后比较最值大小得函数最值：当
；当时，，所以当
时，
试题解析：（1）当由
整理得
当
由
时，
，得
，得
取到最大值为时，

，
，
，所以
，
；
，
整理得
综上的取值范围是
（2）由（1）知，
，所以
．
，由，得，
的最大值必在上取到，
所以，
所以当时，取到最大值为
考点：解含绝对值不等式，含绝对值函数最值
【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本 方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何
意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运 用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成
立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转 化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．


22、试题分析：(1)分段将 绝对值符号去掉，解不等式即可；（2）若存在
，即
可.
有解，求出
，使得
的最小值，解不等式即

试题解析：（1）函数
.
，令，求得，或
故不等式
（2）若存在
的解集为
，使得
或.
，即有解.
由（1）可得的最小值为，故，
求得.
考点：1.含绝对值不等式的解法；2.函数与不等式.


23、试题分析 ：（1）解绝对值不等式，可用零点分区间法分类求解；（2）不等式可化为
，即
试题解析：（ 1）当
，由其解集包含
时，不等式可化为
，可得不等关系，从而得的范围．

①当时，不等式为，解得，故；
②当时，不等式为，解得，故；
③当时，不等式为，解得，故；
综上原不等式的解集为
（2）因为
不等式可化为
解得
的解集包含
，
，

由已知得，
解得
所以的取值范围是
考点：绝对值不等式．

.

24、试 题分析：（1）首先将
先求得当
试题解析：（1）
时函数
时，
化为< br>解之得：或
．
．
或
又，
．


分别代入
的解析式，然后根据
，．
的解析式中，然后利用零点分段法求解；（2）首
求解即可．
所求不等式解集为：< br>（2），
综上，实数的取值范围为：
考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立 问题．


25、试题分析：（1）当时，不等式
，解得
则只需满足
问题转化为
试题解析：(1)当
解得：
(2)
为
，所以不等 式的解集为
，两边平方得
；（2）若恒成立，
，所以，根据绝对值三角不等式：
，于是可以求出a的取值范围.
时，
.
，若恒成立，
，
，所以原不等式解集为

只需：
解得：或
.
.


26、试题分析：（1 ）,于是,解得；（2）根据绝对值不等式，有
，即，再利用基本不等式求得
的取值范围为试题解析：
.
（1）由知,于是,解得,故不等式的解集为
.
（2）由条件得,当且仅当时,其最小值,
即,又,
所以,
故的取值范围为,此时.
考点：不等式选讲．


27、试题分析：（1）借助题设条件分类求解；（2）借助题设条件运用基本不等式推证.
试题解析:
（1）依题意得：
当
当
当
时，
时，< br>时，
，∴
，即
，∴
，
，满足题意，
，∴
，无解，
，

综上所述，不等式的解集为.
（2）因为，所以，
则
所以
，即，


考点：绝对值不等式的有关知识及运用．


28、试 题分析：（1）当时，分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后找交集即可；（2）由
，得，再根据基 本不等式，进而得的取值范
围为.
试题解析：（1）当时，
由的单调性及，得的解集为．
（2）由，得，
由
（当且仅当或
，得
时等号成立）
，得．
故的取值范围为．
考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式求最值.

29、试题分析：（Ⅰ）先利用三角不等式得，变形为 ，再用累加法可得
，进而可证；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，进而可得
，再利用的任意性可证．
试题解析：（Ⅰ）由得，故，，
所以
因此
（Ⅱ）任取
．
，由（Ⅰ）知，对于任意，
，
，
故．
从而对于任意
由的任意性得
，均有
． ①
．
否则，存在，有，取正整数且，
则
综上，对于任意，均有．
，与①式矛盾．
【考点】数列，累加法，推理与证明．
【思路点睛】（Ⅰ）先利用 三角不等式及变形得，再用累加法可得，进而
可证
性可证．

；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论及已知条件可得，再利用的任意

30、试题分析：（Ⅰ）利用等价不等式
根据条件可先将问题转化求解
义建立关于的不 等式求解即可．
试题解析：（Ⅰ）当
解不等式
因此，
（Ⅱ）当
时，
，得
的解集为
时，
.
.
，
. ，进而通过解不等式可求得；（Ⅱ）
的最小值，此最值可利用三角不等式求得，再根据恒成立的意< br>当
所以当
当
当
时等号成立，
时，
时，①等价于
时，①等价于
.
等价于
，无解.
，解得.
. ①
所以的取值范围是
【考点】绝对值不等式的解法、三角不等式的应用
【易错警示】对 于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对
时，等号成立，对
时右边等号成立．

，当且仅当且
，当且仅当
时左边等号成立，当且仅当

31、试题分 析：（1）由绝对值的定义可分类讨论去绝对值，再分别解不等式即可；（2）由题意可得
的值域为，要 ，需，解得实数的取值范围是或.
试题解析：（1）由题意得：，
则不等式
解得：
∴不等式
或
等价于
，
的解集
或，
.

（2）∵
∴
∴
要
∴
，需
或，
或.
的值域为，
的解集
，即
.
或，
，
∴实数的取值范围是
考点：含绝对值不等式的解法.


32、试题 分析：问题（1）是一个解含绝对值的不等式问题，一般可通过对绝对值的“零点”进行分段讨论的
方法 求不等式的解集，最后再取其并集；对于问题（2），可将问题等价转化为
成立，通过构造极端不等式恒 成立，最终求出实数的取值范围．
试题解析：（1）当时，，即，
在上恒
即
解得或
或
，所以解集为
在
在
或
．
上恒成立，即
．
，
（2）原命题等价于
即
在上恒成立，
上恒成立，即
考点：1、含绝对值不等式的解法；2、极端不等式恒成立问题.
【思 路点晴】本题是一个含绝对值不等式的解法以及极端不等式恒成立问题的综合性问题，属于中档题.解
决 本题的基本思路是，对于问题（1），由于是一个解含绝对值的不等式问题，一般可通过对绝对值的“零
点”进行分段讨论的方法求不等式的解集，最后再取其并集；对于问题（2），可将问题等价转化为
在上 恒成立，再通过构造极端不等式恒成立，最终求出实数的取值范围．


33、试题分析：（I）采用零点分区间法求解；（II）先求出
求解.
试题解析：（Ⅰ）
当时,
时,
,得
就是
,不成立；

的最大值为,把问题转化为

当
当时,
时,
,即
的解集是
,得,所以
,恒成立,所以
.
,
的最大值为.
成立等价于
,得
,
；
,不成立.

.
；
.
综上可知,不等式
(Ⅱ) 因为
所以
对于任意实数,恒有
当
当
时,
时,
综上,所求的取值范围是
考点：.绝对值不等式的解法；不等式恒 成立问题


34、试题分析：（Ⅰ）先代入得，写出分段函数，再求解
，再 利用绝对值不等式可得
，进而可得
的最大值，进而实数的取值范围；(II)先由已知条件得< br>利用基本不等式可得实数的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）解：当时，等价于．
①当时，不等式化为，无解；
②当时，不等式化为，解得；
③当时，不等式化为，解得．
综上所述，不等式
（Ⅱ）因为不等式
以下给 出两种思路求
思路1：因为
的解集为．
． 的解集为空集，所以
的最大值.
，

当时，
．

当

时，

．
当时，
．
所以
思路2：因为


，
当且仅当
所以
因为对任意
所以
以下给出三种思路求
思路1：令
所以
，
．
时取等号．
．
，不等式
．
的最大值.
的解集为空集，
．


当且仅当
所以
所以的取值范围为
，即
．

时等号成立．

思路2：令，
因为，所以可设 ，
则，
当且仅当时等号成立．
．
，
所以的取值范围为
思路3：令
因为
问题转化为在
求
，设则
的条件下，
．
的最大值．
， 利用数形结合的方法容易求得的最大值为
此时．
． 所以的取值范围为

考点：1、绝对值不等式；2、恒成立问题；3、基本不等式．


35、试题分析：（1）通过和比较大小去掉绝对值，分类讨论解不等式；（2）二次函数求最值.
试题解析：
由
当时，
当
得

时，
整理得所以

由得

的最大值必在
整理得所以又，得
综上，实数的取值范围
由知上取到

当时取到最大值.
考点：1.分段函数；2二次函数求最值.


36、试题分析：（1）用零点分区间法求解,再取并集；（2）两边平方,用分析法证明.
试题解析：：（1）①当
②当
③当
时,解得
时,解得
时,解得
；
．
．
．
．
,．
； < br>综上,不等式的解集
（2）要证明原不等式成立,则需证明：
只需证明
∵
∴
,∴,
,即需证明
．∴
,所以原不等式成立．
考点：.绝对值不等式的解法；不等式的证明.


37、试题分析：（1） 把f（x）用分段函数来表示，令f（x）=0，求得x的值，可得不等式f（x）＞0的
解集．
（2）由（1）可得f（x）的最小值为f（），再根据f（）＜4a﹣2a
2
，求得a的范围．
解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=
故不等式 f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．
，令f（x）=0，求得x=﹣，或 x=3，

（2）若存在x
0
∈R，使得f（x
0
）+2a
2
＜4a，即f（x
0
）＜4a﹣2a
2
有解，
由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3?﹣1=﹣，故﹣＜4a﹣2a
2
，
求得﹣＜a＜．
考点：绝对值三角不等式．


38、试题分析：（1）理解绝对值的几何意义，
题，常用到以下两个结论：（1）
；
（3）
，
试题解析：（1）由
所以不等式的解集是
设
得．
，
的应用；（4）掌握一般不等式的解法：
．
，解得，
或
表示的是数轴的上点到原点离；（2）对于恒成立的问
，（2）恒成立恒成立
则， 所以．
所以对应任意，不等式恒成立，得，得，
所以最后的取值范围是．
考点：1、含绝对值不等式的解法；2、恒成立的问题．


39、试题分析：（1）法一
． ∴，即
，∴，，∴，
， 整理化简可得
，即可证明结果．法二：利用分析证明法亦可证明结果．（2）利用分析证明法亦

可证明结果．
试题解析：（1）证明：证法一
∴
∴
即
证法二：要证
只需证
只需证
只需证
，∴，

即
，∴
．
成立．[来源:学科网]
，． ∴
，∴
，∴
，

．
，∴
，即
，
，，
，
∴要证明的不等式成立．
（2）证明：要证，
只需证，
只需证，
即证，
只需证，
即证，此式显然成立． ∴原不等式成立．
考点：1．绝对值不等式；2．分析证明．


40、试题分析：用集合A、B分别表示命题非p和q，则非
合运算求参数范围．
试题解析：
是的充分不必要条件即为AB，然后由集

而，即．
考点：用集合的观点理解充分性、必要性，并由此求参数范围．


41、试题分析：第一问把a的值代入得到不等式，解绝对值不等式得解集
第二问 对不等式按x与a的大小关系进行讨论得到两组不等式或
，求的解集
试题解析：（Ⅰ）当
由此可得
故不等式
（Ⅱ）由得
或
时，
． 3分
的解集为

与
可化为
相等得到．
． 1分
． 4分
此不等式化为不等式组
或 6分
即 或 8分
因为，所以不等式组的解集为， 9分
由题设可得，故． 10分
考点：绝对值不等式的解法，利用分类讨论求解还绝对值不等式．


42、试题分析：（1）理解绝对值的几何意义，
题，常用到以下两个结论：（1）
表示的是 数轴的上点到原点离．（2）对于恒成立的问
，（2）

（3）
，
试题解析：（1）因为所以
的应用．（4）掌握一般不等式的解法：
．

（2）
当
时等价于
所以舍去
当
当成立
成立
所以，原不等式解集是
考点：（1）解绝对值不等式（2）恒成立问题．


43、试题分析：（Ⅰ）由绝对值的意义将原不等式转化为三个不等式解集的并集然后求解；
（Ⅱ）根据绝对值的几何意义： ，从而原不等式化为.
试题解析：（Ⅰ）① 当时，，所以
② 当
③ 当时，
时，
，所以
，所以为

5分 综合①②③不等式的解集为
（Ⅱ）即
由绝对值的几何意义，只需 10分
考点：1、绝对值的几何意义；2、含绝对值的不等式的解法.

44、试题分析：（1）当时，原不等式即为，分三类情况进行讨论：，和，分别求出其满足的解集，再作并集即为所求不等式的解集；（2）要使不等式有解，即
，于是问 题转化为求，令，分三种
情况，和，分别求出其最小值并作交集，最后得出结果即可.
试题解析：（1）由题意可得：，当时，，即
；
当
式解集为
（2）令
时，，即；当时，，即 该不等
.
，有题意可知：
又 ，即，.
考点：1、含绝对值不等式的解法；2、对数不等式的解法；


45、试题分析：（1）首先解不等式，根据题设列方程解出的值.
（2）要证，只要证：，即证
试题解析：解：（1）由f（x+2）≤2得|x﹣4|﹣t≤2，
∴当t+2≥0时，解得﹣t≤x≤t+4，
又∵不等式f（x+2）≤2的解集为[﹣1，5]，
∴﹣t=﹣1且t+4=5，∴t=1．
（2）∵a，b，c均为正实数，且a+b+c=1，
∴+++（a+b+c）=（）+（+c）+（+a）≥2+2+2=2（a+b+c）=2

∴++≥1．
考点：1、含绝对值的不等式的解法；2、基本不等式.


46、试题分析 ：首先利用零点分区间讨论去掉绝对值符号，化为分段形式，在每一个前提下去解不等式，
每一步的解都 要和前提条件找交集得出每一步的解，最后把每一步最后结果找并集得出不等式的解；根据
第一步所化出 的分段函数求出函数

，解出实数
试题解析：（Ⅰ）当
，
的取值范围.
时，，，即
的最小值，若，使得成立，只
解得，又，∴；当时，
，
，即，解得，又，∴；当时，
，
∴.
，即，解得，又，
综上，不等式的解集为.
（Ⅱ），∴.∵，使得
，∴，整理得：，解得：
，

因此的取值范围是.
考点：不等式；


47、试题分析：（1）先根据奇偶性求出
，总有
试题解析：
值，再去掉绝对值符号 转化为分段函数解不等式；（2）对任意
，即
是定义域为R的奇函数，；即
即可；．
；
（1）由，得
；
，即，
即不等式的解集为
（2）
所以在
，则
上单调递增，
．
在上单调递增
，即，
考点：1．函数的奇偶性；2．分段函数；3．函数的单调性．


48、试题分析：（1）当a＝1时，原不等式变为|x＋3|＋|x－7|＞10，
当x≥7时x+x-4＞10得：x＞7
当-3＜x＜7时，x+4-x＞10不成立
当x≤-3时-x+4-x＞10得：x＜-3
所以不等式的解集为{x|x＜－3或x＞7}． （4分）
（2）∵|x＋3|＋|x－ 7|≥|x＋3－（x－7）|＝10对任意x∈R都成立，∴lg（|x＋3|＋|x－7|）≥lg10＝1 对任何
x∈R都成立，即lg（|x＋3|＋|x－7|）＞a，当且仅当a＜1时，对任何x∈R都成 立． （12分）
考点：本题考查绝对值不等式，恒成立的问题
点评：解决本题的关键 是（1）解绝对值不等式利用零点分段的方法；（2）解决恒成立问题，可将问题转
化为研究函数f（x ）的最值