高中数学 模块综合测试 北师大版选修4-4

模块综合测试
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每 小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1．下列有关坐标系的说法，错误的是( )
A．在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆
B．在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小
C．任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程
D．同一条曲线可以有不同的参数方程
解析： 直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系 中，伸缩变形可以改变图形的形
状，但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭圆 ；而平移变换不改
变图形和大小而只改变图形的位置；对于参数方程，有些比较复杂的是不能化成普通方 程的，
同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程．
答案： C
11< br>2．把函数
y
＝sin2
x
的图象经过________变化，可以得 到函数
y
＝sin
x
的图象．( )
24
1
A．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍
2
B．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍
11
C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标缩短为原来的倍
22
1
D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的
2
解析： 本题主要考查直角坐标系的伸缩变换，根据变换的方法和步骤可知，把函数
y
11
＝sin2
x
的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得
y
＝sin
x
的图象，再把纵坐标缩短为原来的
22
11
，得到y
＝sin
x
的图象．
24
答案： D
3．极坐标方程ρ－ρ(2＋sinθ)＋2sinθ＝0表示的图形是( )
A．一个圆与一条直线
C．两个圆
B．一个圆
D．两条直线
2
解析： 所给方程可以化为(ρ－2)(ρ－sinθ)＝0，即ρ＝2或ρ＝sinθ.化 成直角坐
标方程分别为
x
＋
y
＝4和
x
＋
y
－
y
＝0，可知分别表示两个圆．
答案： C
4．在极坐标系 中，如果一个圆方程是ρ＝4cosθ＋6sinθ，那么过圆心且与极轴平行的
2222

直线方程是( )
A．ρsinθ＝3
C．ρcosθ＝2
答案： A
?
?
x
＝2＋sinθ
5．将参数方程
?
2
?
?
y
＝sinθ
2
B．ρsinθ＝－3
D．ρcosθ＝－2

(θ为参数)化为普通方程为( )
B．
y
＝
x
＋2
D．
y
＝
x
＋2(0≤
y
≤1)
A．
y
＝
x
－2
C．
y
＝
x
－2(2≤
x
≤3)
?
?
x
＝2＋sinθ
解析： 由
?
2
?
y
＝sinθ
?
2

知
x
＝2＋
y
(2≤
x
≤3)
所以
y
＝
x
－2 (2≤
x
≤3)．
答案： C
6．经过点
M
(1,5)且倾斜角为
( )
1
x
＝1＋
t
?
2
?
A．
?
3
y
＝5－
t
?
?
2
1
x
＝1－< br>t
?
2
?
C．
?
3
y
＝5－
t
?
?
2
π
的直线，以定点
M
到动点
P
的位移
t
为参数的参数方程是
3



1
x
＝1－
t
?
2
?
B．
?
3< br>y
＝5＋
t
?
?
2
1
x
＝1＋t
?
2
?
D．
?
3
y
＝5＋
t
?
?
2

π
x
＝1＋
t
·c os
?
?
3
解析： 根据直线参数方程的定义，易得
?
π< br>y
＝5＋
t
·sin
?
?
3
1
x< br>＝1＋
t
?
2
?
即
?
3
y
＝5＋
t
?
?
2
答案： D
7．
x
＋
y
＝1经过伸缩变换
?
A．4

22





，

.
?
x
′＝2
x
?
?
?
y′＝3
x

，后所得图形的焦距( )
B．213
- 2 -

C．25
解析： 变换后方程变为：＋＝1，
49
故
c
＝
a
－
b
＝9－4＝5，
c
＝5，
所以焦距为25.
答案： C
?
?
x
＝2－
t
sin30°
8．已知直线
?
?
y
＝－1＋
tsin30°
?
222
D．6
x
2
y
2

(
t
为参数)与圆
x
＋
y
＝8相交于
B
、
C
两点，则|
BC< br>|
22
的值为( )
A．27
C．72
?
?
x
＝2－
t
sin30°
解析：
?
?
?
y
＝－1＋
t
sin30°
B．30
D．
30

2

?
12
?
x< br>＝2－
t
＝2－
t
′
?
22
?
12
y
＝－1＋
t
＝－1＋
t
?
?
22
222

(
t
′为参数)．
代入
x
＋
y
＝8，得
t
′－32
t
′－3＝0，
∴|
BC
|＝|
t
′
1
－
t
′
2
|＝＝2
2
t
′
1
＋
t
′
2
2< br>－4
t
′
1
t
′
2

＋4×3＝30，故选B．
答案： B
?
π
??
ππ< br>?
9．已知
P
点的柱坐标是
?
2，，1
?
， 点
Q
的球面坐标为
?
1，，
?
，根据空间坐标系中
424
????
两点
A
(
x
1
，
y
1
，
z
1
)，
B
(
x
2
，y
2
，
z
2
)之间的距离公式|
AB
|＝可知
P
、
Q
之间的距离为( )
A．3
C．5
B．2
D．
2

2
x
1
－
x< br>2
2
＋
y
1
－
y
2
2
＋< br>z
1
－
z
2
2
，
解析： 首先根据柱坐标和 空间直角坐标之间的关系，把
P
点的柱坐标转化为空间直角
坐标(2，2，1)，再根 据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把
Q
点的球坐标转化为空间
直角坐标
?
2
??
2
，，0
?
，代入两点之间的距离公式即可得到距离 为2.
2
?
2
?
答案： B

- 3 -

1
10．如果直线ρ＝与直线
l
关于极轴对称，则 直线
l
的极坐标方程是( )
cosθ－2sinθ
1
A．ρ＝
cosθ＋2sinθ
1
C．ρ＝
2cosθ＋sinθ
1
B．ρ＝
2sinθ－conθ
1
D．ρ＝
2cosθ－sinθ
1
解析： 由ρ＝知ρcosθ＋2ρsinθ＝1，
cosθ＋2sinθ
∴
x
＋2
y
＝1.
答案： C
11．圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程是( )
A．
?
?
x
＝
?
?
?
y
＝
?
x
＝
?
?
?
y
＝
φ＋4sinφ
φ－4cosφ< br>θ＋θsinθ
θ－θcosθ
φ－sinφ
－cosφ
θ－sinθ
－cosθ
，
，
，
B．
?
，


(φ为参数)
(θ为参数)
?
?
x
＝
C．?
?
?
y
＝
?
?
x
＝
D．< br>?
?
y
＝
?


(φ为参数)
(θ为参数)
解析： 圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程为
?
?
x
＝
?
?
y
＝
?
φ＋φsinφ
φ－φcosφ
答案： A
，
φ为参数


12．如图 ，在平面直角坐标系中，Ω是一个与
x
轴的正半轴、
y
轴的正半轴分别相切于
点
C
、
D
的定圆所围成的区域(含边界)，
A
、< br>B
、
C
、
D
是该圆的四等分点．若点
P
(< br>x
，
y
)、点
P
′(
x
′，
y′)满足
x
≤
x
′，且
y
≥
y
′，则 称
P
优于
P
′.如果Ω中的点
Q
满足：不存在Ω中的其他点
优于
Q
，那么所有这样的点
Q
组成的集合是劣弧( )

A．
AB

C．
CD

解析： ∵
x
≤
x
′且
y
≥
y
′，

- 4 -
B．
BC

D．
DA

∴点
P
(
x
，
y
)在点
P
′(
x
′，
y
′)的左上方．
∵Ω中不存在优于
Q
的点，
∴点
Q
组成的集合是劣弧
AD
，故选D．
答案： D
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确答案填在题中横线上)
π?
2
?
13．已知直线的极坐标方程为ρsin
?
θ＋
?
＝，则极点到该直线的距离是________
4
?
2
?
解析： 对于求一点到一条直线的距离问题，我们联想到的 是直角坐标系中的距离公式，
因此应首选把极坐标平面内的问题化为直角坐标问题的解决方法，这需把极 点、直线的方程
π
??
化为直角坐标系内的点的坐标、直线的方程．极点的直角坐标为
O
(0,0)，ρsin
?
θ＋
?
＝
4
? ?
ρ
?
2
2
?
2
?
sinθ＋cosθ< br>?
＝，
2
?
2
?
2
∴ρsinθ＋ρco sθ＝1，化为直角坐标方程为
x
＋
y
－1＝0.
∴点
O
(0,0)到直线
x
＋
y
－1＝0的距离为
d
＝< br>1
2
＝
2
，
2
π
?
22
?
即极点到直线ρsin
?
θ＋
?
＝的距离为.
4
?
22
?
答案：
2

2
?< br>x
＝
t
cosα，
?
?
?
y
＝t
sinα
14．直线
?

(
t
为参数)与圆
?
?
x
＝4＋2cosφ，
?
?
?
y＝2sinφ

(φ为参数)相切，则此直
线的倾斜角α＝________.
21
22
解析： 直线：
y
＝
x
·tanα，圆： (
x
－4)＋
y
＝4，如图，sinα＝＝，
42

π5
∴α＝或π.
66
答案：
π5
或π.
6 6
?
x
＝
t
，
?
15．已知直线
l
的参数方程
?
?
?
y
＝1＋2
t

(< br>t
为参数)，若以原点
O
为极点，
x
轴的正半轴
π< br>??
为极轴，建立极坐标系，圆
C
的极坐标方程为ρ＝22sin
?< br>θ＋
?
.则圆的直角坐标方程为
4
??

- 5 -

__________，直线
l
和圆
C
的 位置关系为__________(填相交、相切、相离)．
π
??
解析： (1) 消去参数
t
，得直线
l
的普通方程为
y
＝2
x＋1.ρ＝22sin
?
θ＋
?
即ρ＝
4
??
2(sinθ＋cosθ)，两边同乘以ρ得ρ＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，消去参数θ，得⊙
C
的直
角坐标方程为(
x
－1)＋(
y
－1)＝2.
|2－1＋1|25
(2)圆心
C
到直线
l
的距离
d＝＝<2，
22
5
2＋1
所以直线
l
和⊙
C
相交．
答案： (
x
－1)＋(
y
－1)＝2；相交
?
?
x
＝
t
＋3，
16．在平面直角坐标系
xOy
中 ，直线
l
的参数方程为
?
?
y
＝3－
t
?
?
?
x
＝2cosθ
参数方程为
?
?
y< br>＝2sinθ＋2
?
22
22
2

(参数
t
∈R)，圆
C
的

(参数θ∈[0,2π ])，则圆
C
的圆心坐标为______，圆心到直线
l
的距离为_____ _.
解析： 直线和圆的方程分别是
x
＋
y
－6＝0，
x
＋(
y
－2)＝2，所以圆心为(0,2)，其到
|0＋2－6|
直 线的距离为
d
＝＝22.
1＋1
答案： (0,2) 22
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)(1)化ρ＝cosθ－2sinθ.为直角坐标形式并说明曲线的形状；
(2)化曲线
F
的直角坐标方程：
x
＋
y
－5
x< br>＋
y
－5
x
＝0为极坐标方程．
解析： (1)ρ＝cosθ－2sinθ两边同乘以ρ得
ρ＝ρcosθ－2ρsinθ
∴
x
＋
y
＝
x
－2
y

即
x
＋
y
－
x
＋2
y
＝0 22
22
2
2222
222
?
5
?
2
?
1
?
22
即
?
x
－
?
＋(
y
＋1)＝
??

?
2
?
?
2
?
5
?
1
?
表示的是以
?
，－1
?
为圆心，半径为的圆．
2
?
2
?
(2)由
x
＝ρcosθ，
y
＝ρsinθ得
x
2
＋
y2
－5
x
2
＋
y
2
－5
x
＝ 0的极坐标方程为：
ρ－5ρ－5ρcosθ＝0.
2
?
π
?< br>18．(12分)在极坐标系中，已知圆
C
的圆心
C
?
3，< br>?
，半径为1.
Q
点在圆周上运动，
O
9
??
为极点．

- 6 -

(1)求圆
C
的极坐标方程；
OQ
2
(2 )若
P
在直线
OQ
上运动，且满足＝，求动点
P
的轨迹方程 ．
QP
3
解析： (1)设
M
(ρ，θ)为圆
C
上任意一点，
π
??
如图，在△
OCM
中，|
OC
|＝3，|
OM
|＝ρ，|
CM
|＝1，∠
COM
＝
?
θ－
?
，
6
??

根据余弦定理，
π
??
22
得 1＝ρ＋9－2·ρ·3·cos
?
θ－
?
，化简整理，得ρ－6·
6
??
π
??
ρcos
?
θ－
?
＋8＝ 0为圆
C
的轨迹方程．
6
??
(2)设
Q
(ρ< br>1
，θ
1
)，
π
??
2
则有ρ
1
－6·ρ
1
cos
?
θ
1
－
?
＋ 8＝0①
6
??
设
P
(ρ，θ)，则
OQ
∶QP
＝ρ
1
∶(ρ－ρ
1
)
2
＝2∶3?ρ
1
＝ρ，
5
2
?
?ρ
1
＝ρ，
5
又θ
1
＝θ，即
?
?< br>?
θ
1
＝θ，


4
2
2π
代入①得ρ－6·ρcos(θ－)＋8＝0，
2556
5π
??
2
整理得ρ－15ρcos
?
θ－
?＋50＝0为
P
点的轨迹方程．
6
??
12
2
19．(12分)已知椭圆
C
的极坐标方程为ρ＝，点
F
1
，F
2
为其左，右焦
22
3cosθ＋4sinθ
2
?< br>x
＝2＋
t
，
?
2
点，直线
l
的参 数方程为
?
2
y
＝
t
?
?
2

(
t
为参数，
t
∈R)．
(1)求直线
l
和曲线
C
的普通方程；
(2)求点
F
1
，
F
2
到直线
l
的距离之和．
解析： (1)直线
l
的普通方程为
y
＝
x
－2；

- 7 -

曲线
C
的普通方程为＋＝1.
43
(2)∵
F
1
(－1,0)，
F
2
(1,0)，
∴点
F
1到直线
l
的距离
d
1
＝
|－1－0－2|32
＝.
2
2
x
2
y
2
|1－0－2|2
点
F
2
到直线
l
的距离
d
2
＝＝，
2
2
∴
d
1
＋
d
2
＝22. < br>4
2
20．(12分)已知直线
l
过点
P
(2,0) ，斜率为，直线
l
与抛物线
y
＝2
x
相交于
A，
B
两点，
3
设线段
AB
的中点为
M
.
(1)求
P
、
M
两点间的距离；
(2)求
M
点的坐标；
(3)求线段
AB
的长|
AB
|.
4
解析： (1)∵直线
l
过点
P
(2,0)，斜率为，
3
434
设倾斜角为α，tanα＝，cosα＝，sinα＝，
355< br>?
?
∴直线
l
的参数方程为
?
4
y
＝
?
?
5
t
x
＝2＋
t
3
5
(
t
为参数)，
∵直线
l
与抛物线相交，把直线< br>l
的参数方程代入抛物线方程
y
＝2
x
，整理得8
t
－15
t
1525
－50＝0，设这个方程的两个根为
t
1
、
t
2
，则
t
1
＋
t
2
＝，
t
1
·
t
2
＝－.
84
由
M
为线段
AB
的中点，根据
t
的几何意义，
得|
PM
|＝
?
22
?
t
1
＋
t
2< br>?
＝
15
.
?
?
2
?
16
15
(2)由(1)知，中点
M
所对参数为
t
M
＝， < br>16
31541
x
＝2＋×＝
?
?
51616
代入直线的参数方程，
M
点的坐标为
?
4153
y
＝?
?
5
×
16
＝
4

，
?
413
?
即
M
?
，
?
.
?
164
?
(3)由参数
t
的几何意义，

- 8 -

|
AB
|＝|
t
2
－
t
1
|＝
t
2
＋
t
1
2
－4
t
1
t
2
＝
2
5
73.
8
21．(12分)如图，自双曲线
x
－
y
＝1上一动点
Q< br>引直线
l
：
x
＋
y
＝2的垂线，垂足为
N< br>，
求线段
QN
中点
P
的轨迹方程．
解析： 设点
Q
的坐标为(secφ，tanφ)，(φ为参数)．
∵
QN
⊥
l
，
∴可设直线
QN
的方程为
x
－
y
＝λ

①
2
将点
Q
的坐标代入①得：λ＝secφ－tanφ
所以线段
QN
的方程为
x
－
y
＝secφ－tnaφ

又直线
l
的方程为
x
＋
y
＝2.

②
③
2＋secφ－tanφ
由②③解得点
N
的横坐标
x
N
＝
2
设线段
QN
中点
P
的 坐标为(
x
，
y
)，
则
x
＝
x
N
＋
x
Q
2＋3secφ－tanφ
2
＝
4
， ④
4×④－②得
3
x
＋
y
－2＝2secφ.
4×④－3×②得
⑤
x
＋3
y
－2＝2tanφ.
⑤－⑥化简即得所求的轨迹方程为
2
x
－2
y
－2
x
＋2
y
－1＝0.
22
22
⑥
22．( 14分)已知椭圆的中心在原点，焦点在
y
轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线
l< br>的
?
?
x
＝
t
，
参数方程为
??
y
＝
m
＋2
t
?

(
t< br>为参数)．当
m
为何值时，直线
l
被椭圆截得的弦长为6？
?
?
x
＝
t
，
解析： 椭圆方程为＋
x< br>＝1，化直线参数方程
?
4
?
y
＝
m
＋2< br>t
?
y
2
2


5
?
x< br>＝
t
′
?
5
为
?
25
y
＝
m
＋
t
′
?
?
5
代入椭圆方程得

(
t
′为参数)．
25
?
5
?
(
m
＋
t
′)
2
＋4
?
t
′< br>?
2
＝4?8
t
′
2
＋45
mt
′ ＋5
m
2
－20＝0
5
?
5
?
当Δ＝8 0
m
－160
m
＋640＝640－80
m
>0，
即－22<
m
<22.

- 9 -
222

方程有两不等实根
t
′
1
，
t
′
2
，
则弦长为|
t
′
1
－
t
′
2
|＝
2
t
′
1
＋
t
′
2
2
640－80m
－4
t
′
1< br>t
′
2
＝
8
2
640－80m
依题意知＝
8
解得
m
＝±
45
5
.
＝6，
- 10 -