高中数学必修4第一章三角函数完整教案-高中数学参数方程直线的参数
评估验收卷(三)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、
选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目
要求的)
?
2
4
??
2
1
?
1.设xy
>0,则
?
x
+
2
??
y
+2
?
的最小值为( )
yx
????
A.-9 B.9
C.10 D.0
2
??
?
12
?
2
???
?
1
?
2
x
·+·
y
?
=9. 解析:
?
x
2
+
?
??
?
y??
x
?
+
y
?
≥
?
??
?
?
??
??
?
xy
?
答案:B
2.学校要开运动会,需要买价格不同的奖品40件、50件、20件,现在选择商店中为5
元、
3 元、2 元的奖品,则至少要花( )
A.300 元 B.360 元
C.320 元 D.340 元
解析:由排序原理,反序和最小.
所以最小值为50×2+40×3+20×5=320(元).
答案:C
3.设<
br>a
1
,
a
2
,
a
3
是数1,2,3
的任一排列,
b
1
,
b
2
,
b
3
是数4,5,6的任一排列,则
a
1
b
1
+
a
2<
br>b
2
+
a
3
b
3
的取值范围是( )
A.[28,32]
C.[32,44]
B.[28,44]
D.[44,56]
22
解析:1,2,3与4,5,6反序和是28.顺序和是3
2,故
a
1
b
1
+
a
2
b
2+
a
3
b
3
最小是反序和
28,最大是顺序和32.选
A.
答案:A
4.设
a
,
b
,
c
均小
于0,且
a
+
b
+
c
=3,则
ab
+bc
+
ca
的最小值为( )
A.0 B.1
3
C.3
222
222
D.
3
3
解析:由排序不等式
a
+
b
+
c
≥
ab<
br>+
bc
+
ac
,所以
ab
+
bc
+
ca
≤3.
答案:C
14
5.设
α
,
β
均为锐角,则+
2
的最小值为( )
22
sin
α<
br>cos
α
sin2
β
A.22
C.1
B.2
D.9
- 1 -
4
?1
?
=
?
1+
2
?
, 解析:(sin
α
+cos
α
)
?
2
+
22
????
sin
α
cos
α
sin2
β
??
sin 2
β
?
22
2
因为
β
为锐角,
所以当sin 2
β
=1时取最小值3=9.
答案:D
6.若<
br>x
+2
y
+4
z
=1,则
x
+
y<
br>+
z
的最小值是( )
A.21
C.16
22
222
2
B.
D.
1
21
1
16
2
解析:因为1=
x
+2<
br>y
+4
z
≤
x
+
y
+
z
·
1+4+16,
所以
x
+
y
+
z
≥
22
2
1
,
21
1
222
故
x
+
y
+
z
的最小值为.
21
答案:B
7.函数
f
(
x
)=1-cos 2
x
+cos
x
,则
f
(
x
)的最大值是( )
A.3
C.1
2
B.2
D.2
解析:
f
(
x
)=2·sin
x
+cos
x
.
又(2·sin
x
+cos
x
)≤(2+1)(sin
x
+cos
x
)=3,所以
f
(
x
)的最大值为3.
答案:A
8.已知
x
1
+
x
2
+
x
3
=1,
y
1
+
y
2
+
y<
br>3
=2,则
x
1
y
1
+
x
2
y
2
+
x
3
y
3
的最大值是( )
A.2 B.3 C.2 D.3
解析:因为
x
1
+
x
2
+
x
3
=1,
y
1
+
y<
br>2
+
y
3
=2,
所以(
x
1
y<
br>1
+
x
2
y
2
+
x
3
y<
br>3
)≤(
x
1
+
x
2
+
x
3
)(
y
1
+
y
2
+
y
3
)=1×2=2,
所以
x
1
y
1
+
x
2
y
2
+
x
3
y
3
≤2.
当===
答案:C
123
yz
9.已知
x
,y
,
z
>0,且++=1,则
x
++的最小值是( )
xyz
23
A.5 B.6 C.8 D.9
2222222
222222
222222
2222
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
2
时,取“=”
,故选C.
2
yz
?
123
??
yz
?
解析:
x
++=
?
++
??
x
++
?≥
23
?
xyz
??
23
?
- 1 -
2
?
1
?
·
x
+
?
x
?
yz
?
2
y
·
y
2+
3
·
z
?
3
?
?
z
=9.
所以
?
x
++
?
=9.故应选D.
?
23
?
min
答案:D
10.设
a
1
,
a
2
,
a
3
为正数,则
a
1<
br>a
2
a
2
a
3
a
3
a
1<
br>++与
a
1
+
a
2
+
a
3
大小为( )
a
3
a
1
a
2
A.> B.≥
C.< D.≤
111
解析:不妨设
a
1
≥
a
2
≥
a
3
>0,于是≤≤,
a
2
a
3≤
a
3
a
1
≤
a
1
a
2,
a
1
a
2
a
3
由排序不等式:顺序和≥乱序和,得
a
1
a
2
a
3
a
1
a
2
a
3
111
++≥·
a
2
a
3
+
·
a
3
a
1
+·
a
1
a
2
=
a
3
+
a
1
+
a
2
. a
3
a
2
a
1
a
2
a
3a
1
即
a
1
a
2
a
2
a3
a
3
a
1
++≥
a
1
+
a
2
+
a
3
.
a
3
a
1
a
2
答案:B
11.设
a
1
,
a
2
,…,
a
n
为正实数,P
=
a
1
+
a
2
+…+
a
n
n
,
Q
=,则
P
,
Q
间的大
n<
br>111
++…+
a
1
a
2
a
n
小关
系为( )
A.
P
>
Q
C.
P
<
Q
B.
P
≥
Q
D.
P
≤
Q
1
??
11
解析:
因为(
a
1
+
a
2
+…+
a
n
)
?
++…+
?
≥
?
a
1
a
2<
br>a
n
?
(1+1+…+1)
,n
个=
n
,
所以
22
a
1
+
a
2
+…+
a<
br>n
n
≥,故
P
≥
Q
.
n
111<
br>++…+
a
1
a
2
a
n
答案:B
12.设
c
1
,
c
2
,…,
c
n
是
a
1
,
a
2
,…,
a
n
的某一
排列(
a
1
,
a
2
,…,
a
n
均
为正数),则++…
+的最小值是( )
A.
n
C.
n
解析:不妨设0≤
a
1
≤
a
2
≤…≤
a
n
,
1
B.
a
1
a
2
c
1
c
2
a
n
c
n
n
D.2
n
- 1 -
111111111
则≥≥…≥,,,…,是,,…,的一个排列.
a
1<
br>a
2
a
n
c
1
c
2
c
n<
br>a
1
a
2
a
n
再利用排序不等式的反序和≤乱序和求
解,
所以++…+≥++…+=
n
,
当且仅当
a
1=
a
2
=…=
a
n
时等号成立.故选A.
答案:A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
11
?
222
?
1
13.已知
a
,
b
,
c
为非零实数,则(
a
+
b
+
c<
br>)
?
2
+
2
+
2
?
的最小值为__
______.
a
1
a
2
c
1
c
2a
n
a
1
a
2
c
n
a
1a
2
a
n
a
n
?
abc
?
1
1
?
222
?
1
解析:由(
a
+
b
+
c
)
?
2
+
2
+
2
?
≥
?
abc
?
?
a
·
1
+
b
·
1
+
c
·
1
?
=9,
?
abc
?
??
所以所求最小值为9.
答案:9
14.设
a
,
b
>0,若
a
+
b
=5,
则
a
+2
b
的最大值为________.
解析:(1+2)(<
br>a
+
b
)≥(
a
+2
b
),即25≥(a
+2
b
).
所以(
a
+2
b
)
max
=5.
答案:5
15.已知
x
,
y
,
z
∈(0
,+∞),
x
+
y
+
z
=9,则
x
+y
+
z
的最大值是________.
解析:(
x
+
y
+
z
)≤(1+1+1)·(
x
+
y
+
z
)=3×9=27.所以
x
+
y
+
z
≤
33.
答案:33
16.如图所示,矩形
OPAQ
中,
a1
≤
a
2
,
b
1
≤
b
2,则阴影部分的矩形的面积之和
S
阴影
与空白
部分的矩形的面积之和S
的大小关系是________.
2222
222222
22
2
解析:由题图可知,阴影部
分的面积
S
顺序和≥逆序和可知
S
阴影
≥
S
.
答案:
S
阴影
≥
S
三、解答题(本大题共6小题
,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
17.(本小题满分10
分)设
a
=(1,0,-2),
b
=(
x
,
y,
z
),若
x
+
y
+
z
=16,求<
br>a
·
b
222
阴影
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
,且空白面积
S
=
a
1
b
2
+
a
2
b
1
,根据<
br> - 1 -
的最大值.
解:因为
a
=
(1,0,-2),
b
=(
x
,
y
,
z
)
,
所以
a
·
b
=
x
-2
z
.
由柯西不等式[1+0+(-2)](
x
+
y
+
z
)≥(
x
+0-2
z
)
?5×16≥(
x
-2z
)?-45≤
x
2222222
-2
z
≤45?-4
5≤
a
·
b
≤45,
故
a
·
b
的最大值为45.
18.(本小题满分12分)
已知0<
a
≤
b
≤
c
,求证
证明:因为0<
a
≤
b
≤
c
,
所以0<
a
+
b
≤
c
+
a
≤
b
+
c
,
所以
111
≥≥>0,
a
+
bc
+
ab
+
c
222
c
2
a
+
ba
+cb
+
ca
+
bb
+
cc
+
a
+
b
2
+
a
2
≥
a
2
+
b
2
+
c
2
.
又0<
a
≤
b
≤
c
,
所以
c<
br>2
a
+
ba
+
cb
+
c
+
b
2
+
a
2
是顺序和,
a
2
a
+
bb
+
cc
+
a
+
b
2
+
c
2
是乱序和,
由排序原理可知顺序和大于等于乱序和,
即不等式c
2
a
+
ba
+
cb
+
ca
+
bb
+
cc
+
a
+
b
2
+a
2
≥
a
2
+
b
2
+
c2
成立.
19.(本小题满分12分)已知
x
,
y
,
z
∈(0,+∞),
x
+
y
+
z
=3.
111
(1)求++的最小值;
xyz
(2)证明:3≤
x
+
y
+
z
<9.
3
222
(1)解:因为x
+
y
+
z
≥3
xyz
>0,
1
xyz
113
++≥>0,
3
xyz
111<
br>?
111
?
所以(
x
+
y
+
z)
?
++
?
≥9,即++≥3,
?
xyz
?
xyz
111
当且仅当
x
=
y
=
z
=1时,++取得最小值3.
xyz
(2)证明:
x
+
y
+
z
= 222
x
2
+
y
2
+
z
2
+
(
x
2
+
y
2
)+(
y
2
+z
2
)+(
z
2
+
x
2
)
3
≥
x
2
+
y
2
+
z
2
+2(
xy
+
yz
+
zx
)(
x
+
y
+
z
)
2
3
222222
=
3
2
=3.
又
x
+
y
+
z
-9=
x
+
y
+
z
-(
x
+
y
+z
)=-2(
xy
+
yz
+
zx
)<0,
- 1 -
所以3≤
x
+
y
+
z
<9.
20.(本
小题满分12分)设不等式|
x
-2|>1的解集与关于
x
的不等式
x
-
ax
+
b
>0的解
集相同.
(1)求
a
,
b
的值;
(2)求函数
f
(
x
)=
ax
-3+
b
5-
x
的最大值,
以及取得最大值时
x
的值.
解:(1)不等式|
x
-2|>1的解
集为{
x
|
x
<1或
x
>3},
所以,不等式<
br>x
-
ax
+
b
>0的解集为{
x
|
x
<1或
x
>3},
所以
a
=4,
b
=3.
(2)函数的定义域为[3,5]
,显然有
f
(
x
)>0,由柯西不等式可得:
2
2
222
f
(
x
)=4
x
-3+35-
x
≤4
2
+3
2
·
(
x
-3)+(5-
x
)=52,
当且仅当45-
x
=3
x
-3时等号成立,
107
即
x
=时,函数取得最大值52.
25
21.(本
小题满分12分)已知函数
f
(
x
)=
k
-|
x<
br>-3|,
k
∈R,且
f
(
x
+3)≥0的解集为[-
1,
1].
(1)求
k
的值;
(2)若
a
,<
br>b
,
c
是正实数,且
1
22
ka
+
11
+=1.求证:
a
+2
b
+3
c
≥9. 2
kb
3
kc
(1)解:因为
f
(
x
)=
k
-|
x
-3|,
所以
f
(
x+3)≥0等价于|
x
|≤
k
,
由|
x
|≤
k
有解,得
k
≥0,且解集为[-
k
,
k
].
因为
f
(
x
+3)≥0的解集为[-1,1].
因此
k
=1.
111
(2)证明:由(1)知++=1,因为a
,
b
,
c
为正实数.
a
2
b3
c
?
111
??
a
2
b
??
a
3
c
??
2
b
3
c
?
所以<
br>a
+2
b
+3
c
=(
a
+2
b+3
c
)
?
++
?
=3+
?
+
?
+
?
+
?
+
?
+
?
≥3+<
br>?
a
2
b
3
c
??
2
ba
??
3
ca
??
3
c
2
b
?
2<
br>a
2
b
·+2
2
ba
a
3
c
·+2
3
ca
2
b
3
c
·=9,
3<
br>c
2
b
当且仅当
a
=2
b
=3
c<
br>时等号成立.
因此
a
+2
b
+3
c
≥9.
x
2
x
2
12
22.(本小题满分12分)设
x<
br>1
,
x
2
,…,
x
n
∈R
+
,且
x
1
+
x
2
+…+
x
n
=
1,求证:+
1+
x
1
1+
x
2
- 1 -
x
2
1
n
+…+≥.
1+x
n
n
+1
证明:因为
x
1
+
x2
+…+
x
n
=1,
所以
n
+1=(1+<
br>x
1
)+(1+
x
2
)+…+(1+
x
n<
br>).
?
x
1
+
x
2
+…+
xn
?
(
n
+1)= 又
?
1+
x
n<
br>?
?
1+
x
1
1+
x
2
?
?
x
1
+
x
2
+…+
x
n
?[(1+
x
)+(1+
x
)+…+(1+
x
)]≥(<
br>x
+
x
+…+
x
)
2
=1,
?<
br>12
n
12
n
?
222
222
?
1
+
x
1
1+
x
2
1+
x
n
?当且仅当
x
1
1
=
x
2
=…=
xn
=
n
时,等号成立.
所以
x
2
x
2
x
2
12
1
1+
x
++…+
n
≥.
1
1+
x
2
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