高中数学球知识点-高中数学总是70多分
学而通 黄冈教育
教师: 赵映雄
学生:
坐标系与参数方程 知识点
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
?
x
?
?
?
x
设点P(x,y)是平面直角坐标系
中的任意一点,在变换
?
:
?
?
y
?
?
?
y
(
?
?0)
(
?
?0)
的作用下,点<
br>P(x,y)对应到点
P
?
(x
?
,y
?
)
,称
?
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点
O<
br>,叫做极点,自极点
O
引一条射线
Ox
,
叫做极轴;再选定一
个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方
向),这样就建立了一个极坐标
系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴
为
几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极
坐标系和平面
直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M是平面内一点,极点
O
与
点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为
?
;以极轴
Ox
为始边,
射线
OM
为终边的角
?xOM
叫做点M的极角,记为
?
.有
序数对
(
?
,
?
)
叫做点M的极坐标,
记作
M(
?
,
?
)
.
一般地,不作特殊说明时,我们认为
?
?0,
?
可取任意实数.
特别地,当点
M
在极点时,它的极坐标为(0,
极坐标有无数种表示. <
br>如果规定
?
?0,0?
?
?2
?
,那么除极点外,平
面内的点可用唯一的极坐标
(
?
,
?
)
表示;同时,
极坐标
(
?
,
?
)
表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴
作为极轴,并在两种坐标系中取
相同的长度单位,如图所示:
?
)(
?
∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的
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教师: 赵映雄 学生:
(2)互化公式:设
M
是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是
(
x,y)
,极坐标是
(
?
,
?
)
(
??0
),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点
M
直角坐标
(x,y)
极坐标
(
?
,
?
)
互化公式
?
x?
?
cos
?
?
y?
?<
br>sin
?
?
?
2
?x
2
?y
2
y
tan
?
?(x?0)
x
在一般情况下
,由
tan
?
确定角时,可根据点
M
所在的象限最小正角.
4.常见曲线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程
圆心在极点,半径
为
r
的圆
圆心为
(r,0)
,半径
为
r
的圆
圆心为
(r,
?
?r(0?
?
?2
?
)
?
?
2rcos
?
(?
?
2
?
?
?
?
2
)
?
2
)
,半
?
2rsin
?
(0?
?
?
?
)
径为
r
的圆
(1)
过极点,倾斜角为
?
?
?
(
?
?R)或
?
?
?
?
?
(
?
?R)
(2)
?
?
?
(<
br>?
?0)和
?
?
?
?
?
(
?
?0)
?
的直线
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教师: 赵映雄 学生:
过点
(a,0)
,与极轴
垂直的直线
?
cos
?
?a(?
?
2
?
?
?
?
2)
过点
(a,
?
2
)
,与极
?sin
?
?a(0?
?
?
?
)
轴平行的直线
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即
(
?
,
?
),(
?
,2
?
?
?
),(?
?
,
?
?
?
),(?
?
,?
?
?
?
),
都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的
唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足
极坐标方程即
可.例如对于极坐标方程
?
?
?
,
点
M(
??,)
可以表示为
44
?????
5
?
??
(,
?2
?
)或(,?2
?
)或(-,)
等多种形式,其中,只有
(,)
的极坐标满足方
44
444444
程
?
?
?
.
二、参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,
如果曲线上任意一点的坐标
x,y
都是某个变数
t
的函数
?
x?f(t)
①,并且对于
t
的每一个允许值,由方程组①所确定的点
M(x
,y)
都在这条曲线上,
?
?
y?g(t)
那么方程①就叫做这条曲
线的参数方程,联系变数
x,y
的变数
t
叫做参变数,简称参数,相对
于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从
参数方
程得到普通方程.
(2)如果知道变数
x,y
中的一个与参数
t
的
关系,例如
x?f(t)
,把它代入普通方程,求
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教师: 赵映雄 学生:
出另一个变数与参数的关系
y?g(t)
,那么
?
?
x?f(t)
就是曲线的参数方程,在参数方程与
?
y?g(t)
普通方程的互化中,必须
使
x,y
的取值范围保持一致.
注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定
唯一。应用参数方程解轨迹问题,
关键在于适当地设参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参
数方程的形式也不同。
3.圆的参数
如图所示,设圆
O
的半径为
r
,点
M
从初始位置
M
0
出发,按逆时针方向在圆
O
上作匀速
圆周运动,设
M(x,y)
,则
?
?
x
?rcos
?
(
?
为参数)
。
y?rsin
?<
br>?
这就是圆心在原点
O
,半径为
r
的圆的参数方程,其中?
的几何意义是
OM
0
转过的角度。
圆心为
(a,b
)
,半径为
r
的圆的普通方程是
(x?a)?(y?b)?r
, <
br>222
?
x?a?rcos
?
它的参数方程为:
?
(
?
为参数)
。
y?b?rsin
?
?
4.椭圆的参数方程
x
2
y
2
以坐标原点
O
为中心,焦点在
x
轴上的椭圆的标准方程
为
2
?
2
?1(a?b?0),
其参数方
ab
?<
br>x?acos
?
程为
?
(
?
为参数)
,其中
参数
?
称为离心角;焦点在
y
轴上的椭圆的标准方程是
y?bsin
?
?
?
x?bcos
?
y
2
x
2
??1(a?b?0),
其参数方程为
(
?
为参数),
其中
参数
?
仍为离心角,通
?
22
ab
?
y?asin
?
常规定参数
?
的范围为
?
∈[0,2
?
)。
注:椭圆的参数方程中,参数
?
的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和
这一点的
旋转角
?
区分开来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在
0
到
2
?
的范
围内),在其他任何一点,两个角的数值都不
相等。但当
0?
?
?
?
2
时,相应地也有
0??
?
?
2
,在其他象限内类似。
5.双曲线的参数方程 x
2
y
2
以坐标原点
O
为中心,焦点在
x轴上的双曲线的标准议程为
2
?
2
?1(a?0,b?0),
其
参
ab
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数方程为
?
?
x?a
sec
?
?
3
?
.
(
?
为参数
)
,其中
?
?[0,2
?
)且
?
?,
?<
br>?
22
?
y?btan
?
y
2
x
2
焦点在
y
轴上的双曲线的标准方程是
2
?
2
?1(
a?0,b?0),
其参数方程为
ab
?
x?bcot
?
(
?
为参数,其中
?
?(0,2
?
)e且
?
?
?
.
以上参数
?
都是双曲线上任意一点的
?
y?
acsc
?
?
离心角。
6.抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点
,开口向右的抛物线
y?2px(p?0)
的参数方程为
2
?
x?2
pt
2
(t为参数).
?
?
y?2pt
7.直线的参数方程
经过点
M
0
(x
0
,y
0
)
,倾斜角为
?
(
?
?
?
2
)
的直线
l
的普通方程是
y?y
0
?tan
?
(x?x
0
),
而过
?x?x
0
?tcos
?
M
0
(x
0
,
y
0
)
,倾斜角为
?
的直线
l
的参数方程为
?
(t为参数)
。
?
y?y
0
?tsin
?<
br>注:直线参数方程中参数的几何意义:过定点
M
0
(x
0
,y
0
)
,倾斜角为
?
的直线
l
的参数方程
?
x?x
0
?tcos
?
(t为参数)
,其中
t表示直线
l
上以定点
M
0
为起点,任一点
M(x,y)
为为
?
y?y?tsin
?
0
?
终点的有向线段<
br>M
0
M
的数量,当点
M
在
M
0
上方
时,
t
>0;当点
M
在
M
0
下方时,
t<
br><
0;当点
M
与
M
0
重合时,
t
=
0。我们也可以把参数
t
理解为以
M
0
为原点,直线
l向上的方
向为正方向的数轴上的点
M
的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的单位
长度相同。
选修4-4
数学选修4-4 坐标系与参数方程
[基础训练A组]
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [综合训练B组]
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [提高训练C组]
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数学选修4-4 坐标系与参数方程
[基础训练A组]
一、选择题
1.若直线的参数方程为
?
?
x?1?2t
(
t为参数)
,则直线的斜率为( )
?
y?2?3t
2
2
B.
?
3
3
3
3
C. D.
?
2
2
A.
2.下列在曲线
?
?
x?sin2
?
(?
为参数)
上的点是( )
?
y?cos
?
?
sin
?
31
42
A.
(,?2)
B.
(?,)
C.
(2,3)
D.
(1,3)
2
?
?
x?2?sin
?
(
?
为参数)<
br>化为普通方程为( ) 3.将参数方程
?
2
y?sin
??
?
1
2
A.
y?x?2
B.
y?x?2
C.
y?x?2(2?x?3)
D.
y?x?2(0?y?1)
4.化极坐标方程
?
cos?
?
?
?0
为直角坐标方程为( )
A.
x?y?0或y?1
B.
x?1
C.
x?y?0或x?1
D.
y?1
5.点
M<
br>的直角坐标是
(?1,3)
,则点
M
的极坐标为( )
A.
(2,
2222
2
?
?
2
?
?)
B.
(2,?)
C.
(2,)
D.
(2,2k
?
?),(k?Z)
3
333
6.极坐标方程
?
cos
?
?2sin2
?
表示的曲线为(
)
A.一条射线和一个圆 B.两条直线 C.一条直线和一个圆 D.一个圆
二、填空题
?
x?3?4t
1.直线?
(t为参数)
的斜率为______________________。
y?4?5t
?
学而通
黄冈教育
教师: 赵映雄 学生:
t?t
?<
br>?
x?e?e
2.参数方程
?
(t为参数)
的普通方程为__
________________。
t?t
?
?
y?2(e?e)
3.已知直线
l
1
:
?
?
x?1?3t
(t为参
数)
与直线
l
2
:2x?4y?5
相交于点
B
,又
点
A(1,2)
,
?
y?2?4t
则
AB?
_______________。 1
?
x?2?t
?
?
2
(t为参数)
被圆x
2
?y
2
?4
截得的弦长为______________。
4.直线
?
?
y??1?
1
t
?
?2
5.
直线
xcos
?
?ysin
?
?0
的极坐标方程为____
________________。
三、解答题
1.已知点
P(x,y)
是圆
x?y?2y
上的动点,
(1)求
2x?y
的取值范围;
(2)若
x?y?a?0
恒成立,求实数
a
的取值范围。
22
2.求直线
l
1
:
?
?
?
x?1?t
(t为参数)
和直线
l
2
:x?y?23?0<
br>的交点
P
的坐标,及点
P
?
?
y??5?3t
与
Q(1,?5)
的距离。
x
2
y
2
??1
上找一点,使这一点到直线x?2y?12?0
的距离的最小值。 3.在椭圆
1612
数学选修4-4 坐标系与参数方程
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教师: 赵映雄 学生:
[综合训练B组]
一、选择题
1.直线
l
的参数方程为
?
?
x?a?t
则点
P
1
与
P(a,b)
(t为参数)
,
l
上的点
P
1
对应的参数是
t1
,
?
y?b?t
之间的距离是( )
A.
t
1
B.
2t
1
C.
2t
2
1
D.
2
t
1
?
2.参数方程为
?
?
x?t?
1
t
(t为参
数)
表示的曲线是( )
?
?
y?2
A.一条直线
B.两条直线 C.一条射线 D.两条射线
?
?
x?1?
13.直线
?
?
2
t
3
(t为参数)
和圆
x
2
?y
2
?16
交于
A,B
两点,
?
?
?
y??33?
2
t
则
AB
的中点坐
标为( )
A.
(3,?3)
B.
(?3,3)
C.
(3,?3)
D.
(3,?3)
4.圆
?<
br>?5cos
?
?53sin
?
的圆心坐标是( )
A.
(?5,?
4
?
3
)
B.
(?5,
?
?
5
?
3
)
C.
(5,
3
)
D.
(?5,
3
)
5.与参数方程为
?
?
?
x?t
(t为参数)
等价
的普通方程为( )
?
?
y?21?t
A.
x
2<
br>?
y
2
4
?1
B.
x?
y
2
2
4
?1(0?x?1)
<
br>C.
x
2
?
y
2
y
2
4
?
1(0?y?2)
D.
x
2
?
4
?1(0?x?1,0?y?2)
6.直线
?
?
x??2?t
?
y?1?t
(t为参数)<
br>被圆
(x?3)
2
?(y?1)
2
?25
所截得的弦
长为(
A.
98
B.
40
1
4
C.
82
D.
93?43
)
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教师: 赵映雄 学生:
二、填空题
1
?
x
?1?
?
1.曲线的参数方程是
?
则它的普通方程为___________
_______。
t
(t为参数,t?0)
,
?
y?1?t
2
?
?
x?3?at
2.直线
?
(t为参数)
过
定点_____________。
y??1?4t
?
3.点
P(x,y)
是椭圆
2x?3y?12
上的一个动点,则
x?2y
的最大值为__
_________。
4.曲线的极坐标方程为
?
?tan
?
?<
br>22
22
1
,则曲线的直角坐标方程为________________。
cos
?
5.设
y?tx(t为参数)
则圆
x?y?4y?
0
的参数方程为__________________________。
三、解答题
1.参数方程
?
?
x?cos<
br>?
(sin
?
?cos
?
)
(
?
为
参数)
表示什么曲线?
?
y?sin
?
(sin
?
?cos
?
)
x
2
y
2
??1
上,求点
P
到直线
3x?4y?24
的最大距离和最小距离。
2.点
P
在椭圆
169
3.已知直线
l
经过点
P(1,1)
,倾斜角
?
?
(1)写出直线
l的参数方程。
(2)设
l
与圆
x?y?4
相交与两点
A,B
,求点
P
到
A
,B
两点的距离之积。
22
?
6
,
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教师: 赵映雄 学生:
数学选修4-4
坐标系与参数方程.
[提高训练C组]
一、选择题
1.把方程
xy?1
化为以
t
参数的参数方程是( ) 1
?
?
x?sint
?
x?cost
?
x?t
ant
?
x?t
2
???
A.
?
B.
C. D.
111
???
1
y?y?y?
?
y?t
?
2
???
sintcosttant
???
?<
br>2.曲线
?
?
x??2?5t
(t为参数)
与坐标轴的交点是
( )
?
y?1?2t
2
5
1
2
1152
5
C.
(0,?4)、(8,0)
D.
(0,)、(8,0)
9
3.直线
?
A.
A.
(0,)、(,0)
B.
(0,)、(,0)
?
x?1?2t
(t为参数)被圆
x
2
?y
2
?9
截得的弦长为( )
?
y?2?t
1212
B.
5
55
9
9
5
D.
10
C.
5
5
?
x?4t
2
(t为参数)
上, 4.若
点
P(3,m)
在以点
F
为焦点的抛物线
?
?
y?
4t
则
PF
等于( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
5.极坐标方程
?
cos2
?
?0
表示的曲线为(
)
A.极点 B.极轴
C.一条直线 D.两条相交直线
6.在极坐标系中与圆
?
?4sin
?
相切的一条直线的方程为(
)
A.
?
cos
?
?2
B.
?
sin
?
?2
C.
?
?4sin(
?
?
?
)
D.
?
?4sin(
?
?)
33
?
学而通 黄冈教育
教师: 赵映雄 学生:
二、填空题
?
x?2pt
2
1.已知曲线
?<
br>(t为参数,p为正常数)
上的两点
M,N
对应的参数分别为
t
1
和t
2,
,
y?2pt
?
且t
1
?t
2
?0
,那么
MN
=_______________。
?
?
x??2?2t
(t为参数)
上与点
A(?2,3)
的
距离等于
2
的点的坐标是_______。 2.直线
?
?
?
y?3?2t
3.圆的参数方程为
?
?
x?3sin
?
?
4cos
?
(
?
为参数)
,则此圆的半径为___________
____。
?
y?4sin
?
?3cos
?
4.极坐标方
程分别为
?
?cos
?
与
?
?sin
?
的
两个圆的圆心距为_____________。
?
x?tcos
?
?x?4?2cos
?
5.直线
?
与圆
?
相切,则
?
?
_______________。
y?tsin
?
y?2sin
?
?
?
三、解答题
1
t?t
?
x?(e?e)cos
?
?
?
2
1.分别在下列两种情况下,把参数方程
?
化为普通方程:
?
y
?
1
(e
t
?e
?t
)sin
?
?
?2
(1)
?
为参数,
t
为常数;(2)
t
为参
数,
?
为常数;
2.过点
P(
10
,0)
作倾斜角为
?
的直线与曲线
x
2
?12y
2
?1
交于点
M,N
,
2
求
PM?PN
的值及相应的
?
的值。
学而通 黄冈教育
教师: 赵映雄 学生:
新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A组]
一、选择题
1.D
k?
y?2?3t3
???
x?12t2
2
2.B 转化为普通方程:
y?1?x
,当x??
31
时,
y?
42
3.C
转化为普通方程:
y?x?2
,但是
x?[2,3],y?[0,1]
4.C
?
(
?
cos
?
?1)?0,
?
?x
2
?y
2
?0,或
?
cos
?
?x?1
2
?
),(k?Z)
都是极坐标
3
2
5.C
(2,2k
?
?
6.C <
br>?
cos
?
?4sin
?
cos
?
,cos
?
?0,或
?
?4sin
?
,即
?
?4<
br>?
sin
?
则
?
?k
?
?
二、填空题
1.
?
?2
,
或
x
2
?y
2
?4y
5y?4?5t5
k????
4x?34t4
y<
br>?
t
t?t
?
x??2e
x?e?e
22
?
yy
xy
??
2
??(x?)x(??)
4
??1,(x?2)
?
y
2.
?
t?t
y
22
416
?
?e?e
?
x??2e?t
?2
?
?2
3.
?
x?1?3t
5155
将
?
代入
2x?4y?5
得
t?
,
则
B(,0
,而
)
A(1,2
,得
)
AB?
22
22
?
y?2?4t
12
,弦长的一半为
?
2
2
4.
14
直线为
x?y?1?0
,圆
心到直线的距离
d?
2
2
?(
5.
?
?
2
2
14
,得弦长为
14
)?
22
s?
?in0,?
?
cos
?
?(
,取
?
?
?
?
?
2
?
?
?
c
os
?
co
?
s?
?
si
?
n
?
2
三、解答题
?
x?cos
?
1.解:(1)设圆的参数方程为
?
, <
br>y?1?sin
?
?
2x?y?2cos
?
?sin
?
?1?5sin(
?
?
?
)?1
学而通 黄冈教育
教师:
赵映雄 学生:
??5?1?2x?y?5?1
(2)
x?y?a?cos
?
?sin
?
?1?a?0
?a??(co
?
s?
?a??2?
1
s
?
in?)??12
?
s?in(?
4?
)1
?
?
x?1?t
2.解:将
?
代入x?y?23?0
得
t?23
,
?
?
y??5?3t
得
P(1?23,1)
,而
Q(1,?5)
,得
PQ?(2
3)
2
?6
2
?43
4cos
?
?43
sin
?
?12
?
?
x?4cos
?
3.解:设椭
圆的参数方程为
?
,
d?
5
?
?
y?23sin
?
?
45
co
?
s?
5
3s
?
in??345
5
2c
?
o?s(
3
?
?
)3
当
cos
?
(?
?
3<
br>?)
时,
1
d
min
?
45
,此时所求点为
(2?
。
,3)
5
新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [综合训练B组]
一、选择题
1.C
距离为
t
1
?t
1
?
22
2t
1
2.D
y?2
表示一条平行于
x
轴的直线,而
x?2
,或x??2
,所以表示两条射线
3.D
(1?
1
2
3
2
t?t
t)?(?33?t)?16
,得
t
2
?8t?8?0
,
t
1
?t
2
?8,
12
?4
22
2
1
?
x?1??4
?
?<
br>2
??
x?3
中点为
?
?
?
?
y??3
?
y??33?
3
?4
?
?
?2
4.A
圆心为
(,?
5
2
53
)
2
y
2
y
2
22
?1?t?1?x,x??1,而t?0,0?1?t?1,得0
?y?2
5.D
x?t,
44
2
学而通 黄冈教育
教师: 赵映雄 学生:
?
2
x??2?2t?
?
?
x??2?t
?
2<
br>,把直线
?
x??2?t
代入 6.C
?
?
?
?
y?1?t
?
?
y?1?t
?
y?1?2t?<
br>2
?
?2
(x?3)
2
?(y?1)
2
?2
5
得
(?5?t)
2
?(2?t)
2
?25,t
2
?7t?2?0
t
1
?t
2
?(t
1<
br>?t
2
)
2
?4t
1
t
2
?41<
br>,弦长为
2t
1
?t
2
?82
二、填空题
1.
y?
x(x?2)
11
(x?1)
1?x?,t?,
而
y?1?t
2
,
2
(x?1
)
t1?x
即
y?1?(
1
2
x(x?2)
)?(
x?1)
2
1?x(x?1)
2.
(3,?1)
y?14
a
都成立,则
x?3,且y??1
a?4x?1
2?
对于任何
0
?
,
?(y?1)
x?3a
x2
y
2
?
s,2
?
si
,
n
)
??1
,设
P(6co
3.
22
椭圆为
64
x?2y?6cos
?
?4sin
?
?22sin(<
br>?
?
?
)?22
4.
x?y
2
?
?tan
?
?
1si
?
n
2
?,
?
cos
?
?
2
co
?
sco?
s
s
?
in
2
?
,
2
c?
o
?
s
?
即
?
s
x
i
2
n
?y
,
4t
?
x?
?
4t
?
1?t
2
22
x?(tx)?4tx?0
5.
?
,当时,;当时,;
x?
y?0
x?0x?0
2
2
1?t
4t
?
y?
?
1?t
2
?
4t
?
x?
?
4t
2
?
1?t
2
而
y?tx
,即
y?
,得
?
2
1?t<
br>2
?
y?
4t
?
1?t
2
?
三、解
答题
y
2
11
y
2
,cos
?
?
1.解:显然
?tan
?
,则
2
?1?
y2
xcos
2
?
x
?1
x
2
n
x?cos
?
?si
?
2
1
c<
br>?
o?s
2
s
?
in?2
2
?
co
?s?
1
2
2ta
?
n
2
1?ta
?n
?
2
?
cos
学而通 黄冈教育
教师: 赵映雄 学生:
yy
?1
11y
2
y
xx
即
x????,x(1
?)??1
222
2
yyy
2xx
1?
2
1?
2
1?
2
xxx
2
y
2
y
??1
,即
x
2
?y
2
?x?y?0
得
x?
xx
2.解:设
P(4cos
?
,3sin
?
)
,则
d?
12cos
?
?12sin
?
?24<
br>
5
122cos(
?
?)?24
4
即
d?
,
5
当
cos(
?
?
当
cos(
?
?
?
?
4
)??1
时,
d
max?
)?1
时,
d
min
?
4
12
(2
?2)
;
5
12
?(2?2)
。
5
?
?
?
3
x?1?tcos
x?1?t
?
?
?
?
6
2
3.解:(1)直线的参数方程为
?
,即
??
y?1?
1
t
?
y?1?tsin
?
??
6
?
?2
?
3
x?1?t
?
?22
2
(2)把直线
?
代入
x?y?4
?
y?1?
1
t
?
?2
得
(1?
3
2
1
t)?(1?t)
2
?4,t
2
?(3?1
)t?2?0
22
t
1
t
2
??2
,则
点
P
到
A,B
两点的距离之积为
2
新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修4-4 坐标系与参数方程
[提高训练C组]
一、选择题
1.D
xy?1
,
x<
br>取非零实数,而A,B,C中的
x
的范围有各自的限制
211
,而<
br>y?1?2t
,即
y?
,得与
y
轴的交点为
(0,)
;
555
111
当
y?0
时,
t
?
,而
x??2?5t
,即
x?
,得与
x
轴的交点
为
(,0
)
222
2.B
当
x?0
时,
t?
学而通 黄冈教育
教师: 赵映雄 学生:
?
x?1?5t?
?
x?1?2t
?
?
3.B
?
?
?
?
y?2?t
?
y?1?5t?
?
?
2
?
x?1?2t
5
,把直线
?
代入
1
?
y?2?t
5
x
2
?y
2
?
9
得
(1?2t)
2
?(2?t)
2
?9,5t
2
?8t?4?0
81612
12
t
1
?t
2
?(t
1
?t
2
)
2
?4t
1
t
2
?(?)
2
??
,弦长为
5t
1
?
t
2
?5
555
5
4.C 抛物线为
y?4
x
,准线为
x??1
,
PF
为
P(3,m)
到准线
x??1
的距离,即为
4
5.D
2
?cos2
?
?0,cos2
?
?0,
?
?k
?
?
2
?
4
,为两条相交直线
2
6.A ?
?4sin
?
的普通方程为
x?(y?2)?4
,
?
cos
?
?2
的普通方程为
x?2
圆
x?(y?2)?4
与直线
x?2
显然相切
二、填空题
1.
4pt
1
显然线段
MN
垂直于抛物线的对称轴。
即
x
轴,
MN?2p
1
t?
2
t?2
2.
(?3,4)
,或
(?1,2)
(?2t)?(2t)?(2),t?
2222
22
p2
1
t
12
,t??
22
3.
5
由<
br>?
n?4c
?
os
2
?
x?3si
?
2
得
x?y?25
n?3c
?
os
?
y?4si
?
4.
5.
2
11
)(0,
)
圆心分别为
(,0
和
2
22
?
5
?
?
,圆为
(x?4)
2
?y
2
?4,作出图形,相切时, ,或
直线为
y?xtan
6
6
?
5
?
易知倾斜角为,或
6
6
三、解答题
1.解:(1)当
t?0
时,
y
?0,x?cos
?
,即
x?1,且y?0
;
当
t?0
时,
cos
?
?
x
1
t?t(e?e)
2
x
2
?
,s
?
in?
y
1
t?t
(e?e)
2
?1
而
x?y?1
,即
22
y
2
1
t?t2
(
e?e)
4
1
t
(e?e
?t
)
2
4
p>
学而通 黄冈教育
教师:
赵映雄 学生:
(2)当
?
?k
?
,k
?Z
时,
y?0
,
x??
1
t?t
(e?e),即
x?1,且y?0
;
2
?
1
t?t
当<
br>?
?k
?
?,k?Z
时,
x?0
,
y??(
e?e)
,即
x?0
;
22
2x2x2y
?
t?
t
?
t
e?e?2e??
??
k
?
??
c
os
?
cos
?
sin
?
当
?
?
,即
?
,k?Z
时,得
?
2
?
e
t?e
?t
?
2y
?
2e
?t
?
2x<
br>?
2y
??
sin
?
cos
?
sin
?
??
得
2e?2e
t?t
?(
2x2y2x2y
?)(?)
cos
?
sin
?
cos
?
sin
?
x
2
y
2
?
2
?1
。
即
2
cos
?
sin
?
?
10
?tcos
?
?
x?
2.解:设直线为
?
(t为参数)
,代入
曲线并整理得
2
?
y?tsin
?
?
(1?sin
2
?
)t
2
?(10cos
?
)t?
3
?0
2
3
2
则
PM?PN?t
1
t2
?
2
1?sin
?
?
3
?
2
所以当
sin
?
?1
时,即
?
?
,<
br>PM?PN
的最小值为,此时
?
?
。
242