人教版选修4-5教案

选修4_5 不等式选讲
课 题： 第01课时 不等式的基本性质
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
不等关系 是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：
“远者小而近者大” 、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日
常生活中息息相关的问题， 如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯
挂在写字台上方怎样的高度最亮？ ”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，
制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子 的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等
关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能 得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重
要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等 式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式
等）和它们的证明，数学归纳法和它 的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表 现出不
等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从
引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为 数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加
m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
分析：起初的糖水浓度为
么证呢?
二、不等式的基本性质：
1、实数的运算性质与大小顺序的关系：
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：
b
b?m
b?m
b
，加入m克糖 后的糖水浓度为，只要证>即可。 怎
a
a?m
a?m
a

得出结论：要比较两个实数的大 小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：
①、如果a>b，那么bb。(对称性)
②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>c
?
a>c。
③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>b
?
a+c>b+c。
推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d

?
a+c>b+d．
④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac⑤、如果a>b >0，那么
a
n
?b
n

(n
?
N，且n>1)
⑥、如果a>b >0，那么
n
a?
n
b

(n
?
N，且n>1)。
三、典型例题：
例1、已知a>b，cb-d．
例2已知a>b>0，c<0，求证：
四、练习：
五、作业：
cc
?
。

ab

选修4_5 不等式选讲
课 题： 第02课时 含有绝对值的不等式的解法
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
在初中课程的学习中，我们已经对 不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础
上，本节讨论含有绝对值的不等式。
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下
面分别就 这两类问题展开探讨。
1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去 掉绝对值符号，
化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义.
请同学们回忆一下绝对值的意义。
?
x，如果x?0
?
在数 轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即
x?
?
0，如果x?0
。
?
?x，如果x?0
?
2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。
第一种类型。 设a为正数。根据绝对值的意义，不等式
x?a
的解集是
{x|?a?x?a}
，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－ a，a），
如图所示。

?a
图1-1
a

如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。
第二种类型。 设a为正数。根据绝对值的意义，不等式
x?a
的解集是
{
x|
x?a
或
x??a
}
它的几何意义就是数轴上到原 点的距离大于a的点的集合是两个开区间
(??,?a),(a,?)
的并集。
如图1 -2所示。
–
a

a

图1-2
同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。
二、典型例题：
例1、解不等式
3x?1?x?2
。
例2、解不等式
3x?1?2?x
。
方法1：分域讨论
★方法2 ：依题意，
3x?1?2?x
或
3x?1?x?2
，（为什么可以这么解？）
例3、解不等式
2x?1?3x?2?5
。
例4、解不等式
x?2?x?1?5
。
解 本题可以按照例3的方法解， 但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点x
到1，2的距离的和大于等于5。因为1，2 的距离为1，所以x在2的右边，与2的距离大于等于
2（＝（5－1）
?2)
；或者 x在1的左边，与1的距离大于等于2。这就是说，
x?4
或
x??1.

例5、不等式
x?1?x?3
>
a
，对一切实数
x
都成立，求实数
a
的取值范围。
三、小结：
四、练习：解不等式
1、
22x?1?1.
2、
41?3x?1?0

3、
3?2x?x?4
. 4、
x?1?2?x
.
5、
x
2
?2x?4?1
6、
x
2
?1?x?2
.
7、
x?x?2?4
8、
x?1?x?3?6.

9、
x?x?1?2
10、
x?x?4?2.

五、作业：

选修4_5 不等式选讲
课 题： 第03课时 含有绝对值的不等式的证明
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
证明一个含有绝对值的不等式成立 ，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关
于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1）
a?b?a?b
（2）
a?b?a?b

（3）
a?b?a?b
（4）
a
b
?
a
(b?0)

b
请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？
实际 上，性质
a?b?a?b
和
a
b
?
a
(b?0)< br>可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而
b
绝对值的差的性质可以利用和的性质 导出。因此，只要能够证明
a?b?a?b
对于任意实数都成
立即可。我们将在下面的 例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题：设
a
为实数，
a
和
a
哪个大？
显然
a?a
，当且仅当
a?0
时 等号成立（即在
a?0
时，等号成立。在
a?0
时，等号不成立）。
同样，
a??a.
当且仅当
a?0
时，等号成立。
含有绝对值的不 等式的证明中，常常利用
a??a
、
a??a
及绝对值的和的性质。
二、典型例题：
例1、证明 （1）
a?b?a?b
， （2）
a?b?a?b
。
证明（1）如果
a?b?0,
那么
a?b?a?b.
所以
a?b?a?b?a?b.

如果
a?b? 0,
那么
a?b??(a?b).
所以
a?b??a?(?b)??(a?b )?a?b

（2）根据（1）的结果，有
a?b??b?a?b?b
，就 是，
a?b?b?a
。
所以，
a?b?a?b
。
例2、证明
a?b?a?b?a?b
。

例3、证明
a?b?a?c?b?c
。
思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？
（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a ，b，c，则线段
AB?AC?CB.
当且仅当C在A，
B之间时，等号成立。这就是 上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部
分。）
探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式
a?b?a?b
的几何解释？
含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的
结果来证明 。
例4、已知
x?a?
cc
,y?b?
，求证
(x?y)?(a?b)?c.

22
证明 (x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b) ?x?a?y?b （1）
?x?a?
cc
,y?b?
，
22
cc
??c
（2）
22
∴
x?a?y?b?
由（1），（2）得：
(x?y) ?(a?b)?c

例5、已知
x?
aa
,y?.
求证：
2x?3y?a
。
46
aaaa
,y?
，∴
2x?,3y?
，
4622
aa
??a
。
22
证明
?x?
由例1及上式，
2x?3y?2x?3y?
注意： 在推理比较简单时 ，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等
号方向相同的不等式。
三、小结：
四、练习：
1、已知
A?a?
cc
,B?b ?.
求证：
(A?B)?(a?b)?c
。
22
cc
,y?b?.求证：
2x?3y?2a?3b?c
。
46
2、已知x?a?

五、作业：

选修4_5 不等式选讲
课 题： 第07课时 不等式的证明方法之一：比较法
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：
二、典型例题：
例1、设
a?b
，求证：
a
2
? 3b
2
?2b(a?b)
。
例2、若实数
x?1
，求证：
3(1?x?x)?(1?x?x).

证明：采用差值比较法：
=
3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x

=
2(x?x?x?1)

=
2(x?1)(x?x?1)

=
2(x?1)[(x?)?].

2
22
43
2422< br>242423
1
2
2
3
4
∴
2(x?1)[(x?)?]?0,

2
1
2
2
3
4
3(1?x?x)?(1?x?x).
∴
2422
讨论：若题设中去掉
x?1
这一限制条件，要求证的结论如何变换？
abba
例3、已知
a,b?R,
求证
ab?ab.

?
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于
a,b
对称，不妨设
a?b?0.
< br>?a?b?0
?ab?ab?ab(a
abbabba?b
?b
a?b
)?0
，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设
a?b?0,

a
a
b
b
a
a
??1,a?b?0,

?
ba
?()
a?b
?1.
故原不等式得证。
b
ab
b

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较 法证明不等式的步骤是：作差
（或作商）、变形、判断符号。
例4、甲、乙两人同时同地沿同 一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度
m
行走，另一半时间以速度
n
行< br>走；乙有一半路程以速度
m
行走，另一半路程以速度
n
行走。如果m?n
，问甲、乙两人谁先到达指定地点。
分析：设从出发地点至指定地点的路程是S
，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为
t
1
,t
2。要回答题
目中的问题，只要比较
t
1
,t
2
的大小就 可以了。
解：设从出发地点至指定地点的路程是
S
，甲、乙两人走完这段路程所用的 时间分别为
t
1
,t
2
，根据题意有
t
1
t
SS2SS(m?n)
m?
1
n?S
，，
t
2< br>?
，
??t
2
，可得
t
1
?
22
m?n
2m2n2mn
S(m?n)
2
2SS(m?n)
S [4mn?(m?n)
2
]
???
从而
t
1
?t< br>2
?
，
?
2(m?n)mn2(m?n)mn
m?n2mn
其中
S,m,n
都是正数，且
m?n
。于是
t
1< br>?t
2
?0
，即
t
1
?t
2
。
从而知甲比乙首先到达指定地点。
讨论：如果
m?n
，甲、乙两人谁先到达指定地点？
例5、设
f( x)?2x
2
?1,pq?0,p?q?1.
求证；对任意实数
a,b
，恒有

pf(a)?qf(b)?f(pa?qb).
（1）
证明 考虑（1）式两边的差。
＝
p(2a
2
?1)? q(2b
2
?1)?[2(pa?qb)
2
?1]

＝2p(1?p)a
2
?2q(1?q)b
2
?4pqab?p?q?1.
（2）
即（1）成立。
三、小结：
四、练习：
五、作业：
1．比较下面各题中两个代数式值的大小：
（1）
x
与
x?x?1
；（2）
x?x?1
与
(x?1)
.
2．已知
a?1.
求证：（1）
a?2a?1;
（2）
2
222
2
2a
?1.

2
1?a
.
3．若
a?b?c?0
，求证
abc ?(abc)
4．比较a
4
-b
4
与4a
3
(a- b)的大小．
abc
a?b?c
3

解： a
4
-b
4
- 4a
3
(a-b)=(a-b)(a+b)(a
2
+b
2
) -4a
3
(a-b)= (a-b)(a
3
+ a
2
b+ab
2
+b
3
-4a
3
)
= (a-b)[(a
2
b-a
3
)+(ab
3
- a
3
)+(b
3
-a
3
)]= - (a-b)
2
(3a
3
+2ab+b
2
)
2
?
?
b
?
2b
2
?
?
= - (a-b)
?
?
?
3a?
?
?
3
?
?0
(当且仅当d＝b时取等号)
3
?
??
?
?
?
2
∴a
4
-b
4
?
4a
3
(a-b)。
5．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小．
6．已知x≠0，比较(x
2
+1)
2
与x
4
+x
2
+1的大小．
7．如果x>0，比较
?
?
x?1
与
??
2
x?1
的大小．
?
2
8．已知a≠0，比较
a
2
?2a?1a
2
?2a?1
与
?
a
2
?a?1< br>??
a
2
?a?1
?
的大小．
9．设x
?
1，比较x
3
与x
2
-x+1的大小．
说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”
的常用方法。
???

选修4_5 不等式选讲
课 题： 第08课时 不等式的证明方法之二：综合法与分析法
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不 等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上
存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习 ，以便于对比研究两种思路方法的特点。
所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的 不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，
则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的 或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执
果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援 人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而
张三自己找路，直至回到驻地，这是“分 析法”。
以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的，
A
2
?B
2
?2AB
是常常要用到的一个重要不等式。
二、典型例题：
例1、
a,b
都是正数。求证：
ab
??2.

b a
证明：由重要不等式
A
2
?B
2
?2AB
可得
本例的证明是综合法。
例2、设
a?0,b?0
，求证
a
3
?b
3
?a
2
b?ab
2
.

证法一 分析法
要证
a
3
?b
3
?a
2
b?ab
2
成立.
只需证
(a?b)(a
2
? ab?b
2
)?ab(a?b)
成立，
又因
a?b?0
，
只需证
a
2
?ab?b
2
?ab
成立，
又需证
a
2
?2ab?b
2
?0
成立，
即需证
(a?b)
2
?0
成立.
而
(a?b)
2
?0
显然成立. 由此命题得证。
证法二 综合法
注意到
a?0,b?0
，即
a?b?0
，

由上式即 得
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?ab(a?b)
，
从而
a
3
?b
3
? a
2
b?ab
2
成立。
议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？
例3、已知a，b，m都 是正数，并且
a?b.
求证：
a?ma
?.
（1）
b?mb
证法一 要证（1），只需证
b(a?m)?a(b?m)
（2）
要证（2），只需证
bm?am
（3）
要证（3），只需证
b?a
（4）
已知（4）成立，所以（1）成立。
上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。
证法二 因为
b?a,m
是正数，所以
bm?am

两边同时加上
ab
得
b(a?m)?a(b?m)

两边同时除以正数
b(b?m)
得（1）。
读一读：如果用
P?Q
或
Q?P
表示命题P可以推出命题Q（命题Q可以由命题P推出），
那么采用 分析法的证法一就是 （1）
?(2)?(3)?(4).

而采用综合法的证法二就是
(4)?(3)?(2)?(1).

如 果命题P可以推出命题Q，命题Q也可以推出命题P，即同时有
P?Q,Q?P
，那么我们就说命题P与命题Q等价，并记为
P?Q.
在例2中，由于
b,m,b?m
都是正数，实际上
例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横 截面是圆的
水管比横截面是正方形的水管流量大。
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决 于水管横截面面积的大小。设截面的周长为
L
，则
L
L
?
L
??
L
?
周长为
L
的圆的半径为，截面积为
???
；周长为
L
的正方形为，截面积为
??
。所以本
2
?
4
?
4
?
?
2
?
?
2
2
?
L
??
L
?
题只需证明
?
? ?
?
??
。
?
2
?
??
4
?< br>22

?
L
?
证明：设截面的周长为
L
，则截面是圆的水管的截面面积为
?
??
，截面是正方形的水管的
?
2
?
?
?
L
??
L
??
L
?截面面积为
??
。只需证明：
?
??
?
??
。
?
4
?
?
2
?
??
4
?
2
2
22
?
L
2
L
2
为了证明上式成立， 只需证明
2
?
。
16
4
?
两边同乘以正数
4
11
，得：
?
。
2
?
4
L
因此，只需证明
4?
?
。 ?
L
??
L
?
上式显然成立，所以
?
???
??
。
?
2
?
??
4
?
这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的
水管比横 截面是正方形的水管流量大。
例5、证明：
a
2
?b
2
? c
2
?ab?bc?ca
。
证法一 因为
a
2
?b
2
?2ab
（2）

b
2
?c
2
?2bc
（3）

c
2
?a
2
?2ca
（4）
所以三式相加得
2(a
2
?b
2
?c
2< br>)?2(ab?bc?ca)
（5）
两边同时除以2即得（1）。
证法二 因为
a
2
?b
2
?c
2
?(ab?bc?ca)?
所以（1）成立。
例6、证明：
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
) ?(ac?bd)
2
.
（1）
证明 （1 ）
?
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
?0
（2）
111
(a?b)
2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
?0,

222
22
?
a
2
c
2
?b
2
c
2
?a
2
d
2
?b
2
d2
?(a
2
c
2
?2abcd?b
2
d
2
)?0
（3）
?

b
2
c
2?a
2
d
2
?2abcd?0
（4）
?

(bc?ad)
2
?0
（5）
（5）显然成立。因此（1）成立。
例7、已知
a,b,c
都是正 数，求证
a
3
?b
3
?c
3
?3abc.
并指出等号在什么时候成立？

分析：本题可以考虑利用因式分解公式
着手。
证明：
a
3
?b
3
?c
3
?3abc

=
(a?b?c)(a
2
?b
2
?c
2
?ab?b c?ca)

1
=
(a?b?c)[(a?b)
2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
].

2
由于
a,b,c
都是正数，所以
a?b?c?0.
而
(a?b)2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
?0
，
可 知
a
3
?b
3
?c
3
?3abc?0

即
a
3
?b
3
?c
3
?3abc
（等号在
a?b?c
时成立）
探究：如果将不等式
a
3< br>?b
3
?c
3
?3abc
中的
a
3
,b
3
,c
3
分别用
a,b,c
来代替，并在两边同除以3 ，
会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：

(1?a?b)( 1?b?c)(1?c?a)?27
，其中
a,b,c
是互不相等的正数，且
abc?1
.
三、小结：
解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式 的两边同时加上（或减去）一个数
或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个 正的代数式，得到的不等式
都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常 常用到的技巧。
四、练习：
1、已知
x?0,
求证：
x?
1
?2.

x
114
??.

xyx?y
2、已知
x?0,y ?0,x?y,
求证
3、已知
a?b?0,
求证
a?b?a?b.< br>
4、已知
a?0,b?0.
求证：
（1）
(a?b)(a
?1
?b
?1
)?4.

（2）
(a?b)(a
2
?b
2
)(a
3
?b
3
)?8a
3
b
3
.

5、已知
a,b,c,d
都是正数。求证：
（1）
a?b?c?da?b?c?d
4
?ab?cd; （2）?abcd.
24

6、已知
a,b,c
都是互不相等 的正数，求证
(a?b?c)(ab?bc?ca)?9abc.

选修4_5 不等式选讲
课 题： 第09课时 不等式的证明方法之三：反证法
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过 一系列的逻
辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑 采用
间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，
或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。
反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直
接证明命题 “若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑
推理，而得到矛盾 ，从而断定原来的结论是正确的。
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。
二、典型例题： 例1、已知
a?b?0
，求证：
n
a?
n
b
（
n?N
且
n?1
）
例1、设
a
3
?b< br>3
?2
，求证
a?b?2.

证明：假设
a?b?2
，则有
a?2?b
，从而
因为
6(b?1)
2
?2?2
，所以
a
3
?b3
?2
，这与题设条件
a
3
?b
3
?2
矛盾，所以，原不
等式
a?b?2
成立。
例2、设二次函数
f (x)?x
2
?px?q
，求证：
f(1),f(2),f(3)
中 至少有一个不小于
1
.
2

证明：假设
f(1),f (2),f(3)
都小于
1
，则
2

f(1)?2f(2)?f(3)?2.
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有

f( 1)?2f(2)?f(3)?f(1)?2f(2)?f(3)
?(1?p?q)?2(4?2p?q )?(9?3p?q)?2
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
注意：诸如本例中的问题，当要 证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用
反证法进行。
议一议：一般来说 ，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果
与已知公理、定义、定理或已 知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述
两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有 什么特点？
例3、设0 <
a
,
b
,
c
< 1，求证：(1 ?
a
)
b
, (1 ?
b
)
c
, (1 ?
c
)
a
,不可能同时大于
111
, (1 ?
b
)
c
>, (1 ?
c
)
a
>,
444
1
①
64
2
1

4
证：设(1 ?
a
)
b
>
则三式相乘：
ab
< (1 ?
a
)
b
?(1 ?
b
)
c
?(1 ?
c
)
a
<
1
?
(1?a)?a
?
又∵0 <
a
,
b
,
c
< 1 ∴
0?(1?a)a?
?

?
?
24
??
同理：
(1?b)b?
11
,
(1?c)c?

44
1
与①矛盾
64
以上三式相乘： (1 ?
a
)
a
?(1 ?
b
)
b
?(1 ?
c
)
c
≤
∴原式成立
例4、已知
a
+
b
+
c
> 0，
ab
+
bc
+
ca
> 0，
abc
> 0，求证：
a
,
b
,
c
> 0
证：设
a
< 0, ∵
abc
> 0, ∴
bc
< 0
又由
a
+
b
+
c
> 0, 则
b
+
c
= ?
a
> 0
∴
ab
+
bc
+
ca
=
a
(
b
+
c
) +
bc
< 0 与题设矛盾
又：若
a
= 0，则与
abc
> 0矛盾， ∴必有
a
> 0

同理可证：
b
> 0,
c
> 0
三、小结：
四、练习：
1、利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且
a?b
，则
a?ma
?.

b?mb
2、设0 <
a
,
b
,
c
< 2，求证：(2 ?
a
)
c
, (2 ?
b
)
a
, (2 ?
c
)
b
,不可能同时大于1
3、若
x
,
y
> 0，且
x
+
y
>2，则
1?y
1?x
和中至少有一个小于2。
y
x
提示：反设
五、作业：
1?x
1?y
≥2，≥2 ∵
x
,
y
> 0，可得
x
+
y
≤2 与
x
+
y
>2矛盾。
y
x
选修4_5 不等式选讲
课 题： 第10课时 不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
所谓放缩法，即是把要证的不等式 一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，
再应用不等量大、小的传递性，从而使不等 式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方
法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。
下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。
二、典型例题：
例1、若
n
是自然数，求证
1111
??????2.
< br>1
2
2
2
3
2
n
2
证明：
?
1111
???,k?2,3,4,?,n.

k
2
k(k?1)k?1k
1111111
?)
=
?(?)?(?)???(
11223n?1n

=
2?
1
?2.

n
注意：实际上，我们在证明
1 111
??????2
的过程中，已经得到一个更强的结论
2222
123n
11111
，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。
??????2?n
1
2
2
2
3
2
n
2
111 1
例2、求证：
1???????3.

11?21?2?31?2?3?? ?n
证明：由
111
??
k?1
,
（
k
是 大于2的自然数）
1?2?3???k1?2?2???2
2
1111
得
1??

????
11?21?2?31?2?3???n
例3、若
a
,
b
,
c
,
d
?
R
+
，求证：
1?
abcd
????2

a?b?db?c?ac?d?bd?a?c
证：记
m
=
abcd

???
a?b?db?c?ac?d?bd?a?c
∵
a
,
b
,
c
,
d
?
R
+

∴
m?
abcd
????1

a?b?c?da?b?c?ac?d?a?bd?a?b?c
∴1 < m < 2 即原式成立。
例4、当
n
> 2 时，求证：
log
n
(n?1)log
n
(n?1)?1

证：∵
n
> 2 ∴
log
n
(n?1)?0,log
n
(n?1)?0
< br>?
log
n
(n
2
?1)
?
?
lo g
n
(n?1)?log
n
(n?1)
?
?
? ∴
log
n
(n?1)log
n
(n?1)?
?< br>?

?
22
??
??
2
2
∴
n
> 2时,
log
n
(n?1)log
n
(n?1)?1

三、小结：
四、练习：
1、设
n
为大于1的自然数，求证
11111
??????.

n?1n?2n?32n2
1352n?11
)?.
2、设
n为自然数，求证
(2?)(2?)(2?)?(2?
nnnnn!
选修4_5 不等式选讲

课 题： 第11课时 几个着名的不等式之一：柯西不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
除了前面 已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等
着名不等式。这些不 等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。
1、什么是柯西不等式：
定理1：（柯西不等式的代数形式）设
a,b,c,d
均为实数，则
(a< br>2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd )
2
，
其中等号当且仅当
ad?bc
时成立。
证明：
几何意义：设
?< br>，
?
为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（
a,b< br>），
B（
c,d
），那么它们的数量积为
?
?
??ac?bd
，
而
|
?
|?a
2
?b
2
，
|
?
|?c
2
?d
2
，
所以柯西不等式的几何意义就是：
|
?
|?|
?
|?|
?< br>?
?
|
，
其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
2、定理2：（柯西 不等式的向量形式）设
?
，
?
为平面上的两个向量，则
|
?
|?|
?
|?|
?
?
?
|
，
其中 等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
3、定理3：（三角形不等式）设
x
1
,y
1
,x
2
,y
2
,x< br>3
,y
3
为任意实数，则：
分析：
思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？
4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设
n
为大于1的自然数，
a
i
,b
i
（
i?
1，2，…，
n
）
为任意实数，则：
?
a
i
i?1
n
2
其中等号当且仅当
?
b
i
?(
?
a
i
b
i
)
2
，
2
i?1i ?1
nn
b
b
1
b
2
????
n
时成立（当
a
i
?0
时，
a
1
a
2
a
n
约定
b
i
?0
，
i?
1，2，…，
n
）。

证明：构造二次函数：
f(x)?(a
1< br>x?b
1
)
2
?(a
2
x?b
2
)
2
???(a
n
x?b
n
)
2

即构造了一个二次函数：
f(x)?(
?
a
i
)x?2(
?
a
i
b
i
)x?
?
b
i

2
2
2
i?1i?1i?1
nnn
由于对任意实数
x，
f(x)?0
恒成立，则其
??0
，
即：
??4(
?
a
i
b
i
)?4(
?
a
i)(
?
b
i
)?0
，
2
22
i?1 i?1i?1
nnn
即：
(
?
a
i
b
i< br>)?(
?
a
i
)(
?
b
i
)
，
2
22
i?1i?1i?1
nnn
等号当且仅当
a< br>1
x?b
1
?a
2
x?b
2
???a
n
x?b
n
?0
，
即等号当且仅当
b
b
1
b
2
????
n
时成立（当
a
i
?0
时，约定
b
i
?0
，
i?
1，2，…，
n
）。
a
1
a
2
a
n
如果
ai
（
1?i?n
）全为0，结论显然成立。
柯西不等式有两个很好的变式：
2
(
?
a
i
)< br>2
a
i
?
变式1 设
a
i
?R,bi?0(i?1,2,?,n),
?
，等号成立当且仅当
i?1
b
i
?
b
i
n
2
a
i
(
?
a
i
)
变式2 设ai
，b
i
同号且不为0（i=1，2，…，n），则：
?
?，等号成立当且仅当
i?1
b
i
?
a
i
bi
n
b
1
?b
2
???b
n
。
二、典型例题：
例1、已知
a
2
?b
2
?1，
x
2
?y
2
?1
，求证：
|ax?by|? 1
。
例2、设
a,b,c,d?R
，求证：
a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?(a?c)
2
?( b?d)
2
。
例3、设
?
,
?
,
?为平面上的向量，则
|
?
?
?
|?|
?
??
|?|
?
?
?
|
。
例4、已知
a ,b,c
均为正数，且
a?b?c?1
，求证：
方法1：
方法2：（应用柯西不等式）
1
n
例5：已知
a
1
，
a
2
，…，
a
n
为实数，求证：
?
a
i
?(
?
a
i
)
2
。
n
i?1i?1
2
n
111
???9
。
abc
分析：

1
推论：在
n
个实数
a
1
，
a
2
，…，
a
n
的和为定值为S 时，它们的平方和不小于
S
2
，当且仅当
n
1
a
1
?a
2
???a
n
时，平方和取最小值
S
2
。
n
三、小结：
四、练习：
n
1、设
x
1
，x
2
，…，x
n
>0
, 则
?
i?1
?
x
i
1?x
i
n
?
?
i?1
n
x
i

n?1
n
x
i
?1
求证:
?
x
i
?2
?
x
i
x
j
． 2、设
x
i
?R
（i=1，2，…，n）且
?
1?x
i?1i?1 1?i?j?n
i
3、设
a
为实常数,试求函数
f(x)?sinx(a?cosx)
(
x∈R
)的最大值．
4、求函数
f(x)?a?sinx?bc osx
在
(0,)
上的最大值,其中
a，b
为正常数．
2
五、作业：
1、已知：
a
2
?b
2
? 1
，
m
2
?n
2
?2
,证明：
?2?am ?bn?2
。
?

．
选修4_5 不等式选讲
课 题： 第13课时 几个着名的不等式之三：平均不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
1、定理1：如果
a,b?R
，那么
a
2
?b
2
?2ab
（当且仅 当
a?b
时取“=”）
证明：
a
2
?b
2
?2ab?(a?b)
2

1．指出定理适用范围：
a,b?R

强调取“=”的条件
a?b
。
2、定理2：如果
a,b
是 正数，那么
a?b
?ab
（当且仅当
a?b
时取“=”）
2
证明：∵
(a)
2
?(b)
2
?2ab
∴
a?b?2ab

即：
a?ba?b
?ab
当且仅当
a?b
时
?ab

22
注意：1．这个定理适用的范围：
a?R
?
；
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3、定理3：如果
a,b, c?R
?
，那么
a
3
?b
3
?c
3
?3abc
（当且仅当
a?b?c
时取“=”）
证明：∵
a
3
?b
3
?c
3
?3abc?(a?b)
3< br>?c
3
?3a
2
b?3ab
2
?3abc

∵
a,b,c?R
?
∴上式≥0 从而
a
3
?b
3
?c
3
?3abc

指出：这里
a,b,c?R
?
∵
a?b?c?0
就不能保证。
推论：如果
a,b,c?R
?
，那么
a?b?c
3
?abc
。（当且仅当
a?b?c时取“=”）
3
证明：
(
3
a)
3
?(
3
b)
3
?(
3
c)
3
?3
3
a?
3
b?
3
c

4、算术—几何平均不等式：

①．如果
a
1
,a
2
,?,a
n< br>?R
?
,n?1且n?N
?
则：
n
a
1< br>?a
2
???a
n
叫做这n个正数的算术平均数，
n
a
1
a
2
?a
n
叫做这n个正数的几何平均数；
②．基本不等式：
a
1
?a
2
???a
n
≥
n
a
1
a
2
?a
n
（
n?N
*
,a
i
?R
?
,1?i?n
）
n
这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
③．
a?b
?ab
的几何解释：
2
以
a?b
为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’?AB 则
CD
2
?CA?CB?ab
，
从而
CD?ab
，而半径
二、典型例题：
例1、已知
a, b,c
为两两不相等的实数，求证：
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca
。
证：∵
a
2
?b
2
?2ab

b
2
?c
2
?2bc

c
2
?a
2
?2ca

以上三式相加：
2 (a
2
?b
2
?c
2
)?2ab?2bc?2ca

∴
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca

例2、设
a,b,c
为正数，求证：
(ab?a?b?1)(ab ?ac?bc?c
2
)?16abc
。
例3、设
a
1，
a
2
，
a
3
，…，
a
n
为 正数，证明：
a?b
?CD?ab
。
2
a
1
?a
2
???a
n
n
。
?
111
n
????
a
1
a
2
a
n
例4、若
x,y?R
，设
Q(x,y)?
H(x,y)?
2
1?
?
xy
?
x?y
x
2
?y
2

A(x,y)?

G(x,y)?xy

2
2
求证：
Q(x,y)?A(x,y)?G(x,y)?H(x,y)

加权平均；算术平均；几何平均；调和平均
x?y
2
x
2
?y2
?2xyx
2
?y
2
?x
2
?y
2
x
2
?y
)???
证：∵
(

2442< br>x
2
?y
2
x?y
∴即：
Q(x,y)?A(x,y )
（俗称幂平均不等式）
?
22

由平均不等式
A(x,y)?G(x,y)

H(x,y)?
2xy2xy
??xy?G(x,y)
即：
G(x, y)?H(x,y)

x?y
2xy
综上所述：
Q(x,y)?A( x,y)?G(x,y)?H(x,y)

三、小结：
四、练习：
五、作业：
1125
1、若
a?b?1,a,b?R
?
求证
(a?)
2
?(b?)
2
?

ab2
11
证：由幂平均不等式：
(a?)
2
?(b?)
2
?ab
(a?
11
?b?)
2
ab

2

选修4_5 不等式选讲
课 题： 第15课时 利用柯西不等式求最大（小）值
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
1、柯西不等式：
?
a
i
i?1n
2
?
b
i?1
n
2
i
?(
?
a
i
b
i
)
2
。
i?1
n
二、典型例题：
例1、把一条长是m的绳子截成三段，各围成一个 正方形。怎样截法才能使这三个正方形的面
积和最小？
例2、如图，等腰直角三角形AOB的 直角边为1，在这个三角形内任意取一点P，过P分别引
三边的平行线，与各边围成以P点为顶点的三个 三角形（图中阴影部分），求这三个三角形面积和
的最小值，以及取到最小值时点P的位置。
分析：
三、小结：
四、练习：
五、作业：

选修4_5 不等式选讲
课 题： 第16课时 数学归纳法与不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n
0
)时成立，这
是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋ 1时命题也成立，这是递推的依
据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k ＋1步的推证，要有目标
意识。
二、典型例题：
例1、证明：
1
3
?2
3
?3
3
???n
3
?(1?2?3??? n)
2
。
例2、设
x??1
，
n?N
*
，证明贝努利不等式：
(1?x)
n
?1?nx
。
a
n
?b
n
a?b
n
?()
。 例3、设
a,b
为正数，
n?N
，证明：
22
*
例4、设数 列{a
n
}的前n项和为S
n
，若对于所有的自然数n，都有S
n< br>＝
n(a
1
?a
n
)
，证明{a
n
}
2
是等差数列。 （94年全国文）
例5、已知数列
8·1
1 ·3
22
，得，…，
8·n
(2n?1)
2
·(2n?1)
2
，…。S
n
为其前n项和，求S
1
、S
2
、S
3
、
S
4
，推测S
n
公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）
解：计算得S
1
＝
8
，S
2
＝
24
，S
3
＝
48
，S
4
＝
80
， 猜测 S
n
＝
(2n?1)
9
254981
2
(2n?1 )
2
?1
(n∈N)
【注】 从试验、观察出发，用不完全归纳法作出 归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，
这是探索性问题的证法，数列中经常用到。 （试值 → 猜想 → 证明）
【另解】 用裂项相消法求和
例6、设a
n
＝
1×2
＋
2×3
＋…＋
n(n?1)
(n∈N),证明：1
n(n＋1)n
<
1
(n＋1)
2
。
22
三、小结：
四、练习：

五、作业：
1、设f(log
a
x)＝
a(x
2
?1)
, ①.求f(x)的定义域； ②.在y＝f(x)的图像上是否存在两个不
x(a?1)
2< br>同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。 ③.求证：f(n)>n (n>1且n∈N)。
2、已知数列{a
n
}满足a
1
＝1，a< br>n
＝a
n?1
cosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。①．求
a
2
和a
3
； ②.猜测a
n
，并用数学归纳法证明你的猜测。
3、用数学归纳法证明等式：cos
x
·cos
2
x
2
2
·cos
x
2
3
·…·cos
x
2
n
＝
sinx
x< br>(81年全国高考)
4、用数学归纳法证明：6
2n?1
＋1 (n∈N)能被7整除。
2
n
·sin
2
n