高中数学排列计算公式-人民教育版高中数学知识点总结
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.3
三个正数的算术—几何平均不等式
A级 基础巩固
一、选择题
11.已知
x
∈R
+
,有不等式:
x
+≥2
3<
br>xx
4
x
·=2,
x
+
2
=++
2
≥3··
2
=3,….
xx
22
x
22
x
14
xx
4
x
启发我们可能推广结论为:
x
+n
≥
n
+1(
n
∈N
+
),则
a的值为( )
A.
n
C.
n
2
a
x
n
B.2
D.2
n
+1
n
解析:
须
n
=
a
.
答案:A
2.若<
br>a
>
b
>0,则
a
+
1
的最小值为( )
b
(
a
-
b
)
n
,要使和式的积为定值,
则必
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:因为
a
+
3<
br>11
=(
a
-
b
)+
b
+≥
b<
br>(
a
-
b
)
b
(
a
-
b<
br>)
1
=3,当且仅当
a
=2,
b
=1时取等号, <
br>b
(
a
-
b
)
3(
a
-
b
)·
b
·
所以
a
+
1
的最小值为3.
b
(
a
-
b
)
答案:D
3.设
x
,
y
,
z
∈R,且
x
+
y
+<
br>z
=6,则lg
x
+lg
x
+lg
z
的取值范围是( )
A.(-∞,lg 6]
C.[lg
6,+∞)
B.(-∞,3lg 2]
D.[3lg 2,+∞)
+
解析:因为lg
x
+lg
y
+lg
z
=lg(
xyz
),
- 1 -
3
而
xyz
≤
?
?
x
+
y
+
z
?
=2
3
,
?
?
3
?
3
所以lg
x
+lg
y
+lg
z
≤lg 2=3lg
2,当且仅当
x
=
y
=
z
=2时,取等号.
答案:B
4.已知
x
+2
y
+3
z
=6
,则2
x
+4
y
+8
z
的最小值为( )
A.3
3
6 B.22 C.12 D.12
3
5
3
解析:2
x
+4
y
+8
z
=2
x
+2
2
y
+2
3
z
≥32
6
=12.
当且仅当
x
=2
y
=3
z
=2时等号成立.
答案:C
5.设
x
,
y
,
z
>0,且<
br>x
+3
y
+4
z
=6,则
x
2
y<
br>3
z
的最大值为(
A.2 B.7
C.8 D.1 解析:因为6=
x
+3
y
+4
z
=
xx
6
2
+
2
+
y
+
y
+
y
+4
z
≥6
x
2
y
3
z
,
所
以
x
2
y
3
z
≤1,当
x
2
=<
br>y
=4
z
时,取“=”,
即
x
=2,
y<
br>=1,
z
=
1
4
时,
x
2
y
3
z
取得最大值1.
答案:D
二、填空题
6.已知正数a
,
b
满足
ab
2
=1,则
a
+b
的最小值是________.
解析:因为
a
,
b
是
正数,
ab
2
=1,
所以
a
+
b
=a
+
bb
3
ab
2
3
3
2
+
2
≥3
4
=
2
2.
3
故
a
+
b
的最小值是
3
2
2,
3
?
2
?
ab
=1,
?
?
a=
1
当且仅当
?
2
2,
时取到最小值.
?<
br>b
即
?
a
=
2
,
?
?
?<
br>3
b
=2
3
答案:
32
2
7.函
数
f
(
x
)=
x
(5-2
x
)
2
?
?
5
?
0<
x
<
2
?
?
?
的最大值是________.
)
- 1 -
1
解析:
f
(
x
)=
×4
x
(5-2
x
)(5-2
x
)≤
4
1
?
4
x
+5-2
x
+5-2
x
?
250
??
=
27
,
3
4
??
5当且仅当4
x
=5-2
x
,即
x
=时,等号成立. <
br>6
5
?
250
2
?
故函数
f
(x
)=
x
(5-2
x
)
?
0<
x<
?
的最大值为.
2
?
27
?
答案:
250
27
11
;②≥27;
27
abc
3
8.已知
a
>0,
b
>0,
c
>0,且
a
+
b
+
c
=1,对于下列不等式:①
abc
≤
1
222
③
a
+
b
+
c
≥.
3
其中正确的不等式序号是________.
解析:因为
a
,
b
,
c
∈(0,+∞),
3
所以1=
a
+
b
+
c
≥3
abc,
11
?
1
?
0<
abc
≤
??<
br>=,≥27,
?
3
?
27
abc
从而①正确,②也正确.
又
a
+
b
+
c
=1,
所以
a<
br>+
b
+
c
+2(
ab
+
bc
+ca
)=1,
1
222222
因此1≤3(
a
+b
+
c
),即
a
+
b
+
c
≥
,③正确.
3
答案:①②③
三、解答题
9.
θ
为锐角,求
y
=sin
θ
·cos
θ
的最大值.
2
222
3
1
1
?
2
?
4
2222222
解:
y
=si
n
θ
cos
θ
cos
θ
=·2sin
θ
(
1-sin
θ
)(1-sin
θ
)≤
??
=.
2
2
?
3
?
27
当且仅当2sin
θ
=1-sin<
br>θ
,即sin
θ
=
23
所以
y
max
=.
9
22
3
3
时取等号.
3
?
111?
10.已知
a
,
b
,
c
均为正数,证明:<
br>a
+
b
+
c
+
?
++
?
≥
63,并确定
a
,
b
,
c
为
?
abc?
222
2
何值时,等号成立.
- 1 -
2
证明:因为
a
,
b
,
c
均为正数,由算术—几何平均不等式,得
a
+
b
+
c≥3(
abc
)
3
,①
222
1111
++≥3(
abc
)-.
abc
3
2
?
111
?
所以
?
++
?
≥
9(
abc
)-.②
3
?
abc
?
2
?
111
?
故
a
+
b
+
c
+
?
++
?
≥3(
abc
)
3
+9(
ab
c
)-.
3
?
abc
?
222
2
22
2
2
又3(
abc
)
3
+9(
ab
c
)-≥227=63,③
3
所以原不等式成立.
当且仅当
a
=
b
=
c
时,①式和②式等号成立.
2
2
当且仅当3(
abc
)
3
=9(
ab
c
)-时,③式等号成立.
3
4
即当且仅当
a
=
b
=
c
=3时,原式等号成立.
B级 能力提升
1.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为
V
,则下列总成立的是( )
A.
V
≥π
1
C.
V
≥π
8
B.
V
≤π
1
D.
V
≤π
8
6-4
r
6-4
r
2
解析:设圆柱半径为
r,则圆柱的高
h
=,所以圆柱的体积为
V
=π
r
·h
=π
r
2
·
22
=π
r
(3-2<
br>r
)≤
2
?
r
+
r
+3-2
r
?
=π.
π
??
3
??
当且仅当
r
=3-2
r
,即
r
=1时取等号.
答案:B
2.若
a
>2,
b
>3,则
a
+
b
+
1
的最小值为______.
(
a
-2)(
b
-3)
3
解析:因为
a<
br>>2,
b
>3,所以
a
-2>0,
b
-3>0, <
br>则
a
+
b
+
3
5≥3
11
=(a
-2)+(
b
-3)++
(
a
-2)(
b<
br>-3)(
a
-2)(
b
-3)
1
(
a
-2)×(
b
-3)×+5=8.
(
a
-2)(
b
-3)
- 1 -
1
当且仅当
a
-2=
b
-3=,
即
a
=3,
b
=4时等号成立.
(
a
-2)(
b
-3)
答案:8
3.如图(1)
所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿
虚线折起,做成一个无盖的正
六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器容积的最大值.
图(1)
图(2)
解:设正六棱柱容器底面边长为
x
(0<
x
<1)
,高为
h
,
由图可有2
h
+3
x
=3,
所以
h
=
3
(1-
x
),
2
++1-
x
?
3
3
2
33
2
3<
br>xx
?
V
=
S
底
·
h
=6×
x
·
h
=
x
··(1-
x
)=9×××(1-<
br>x
)≤9×
22
=
??
42222
3
??<
br>1
.
3
?
xx
?
x
2
当且仅当=
1-
x
,即
x
=时,等号成立.
23
21
所以当底面边长为时,正六棱柱容器容积最大值为.
33
- 1 -