2018年高中数学第二章几个重要的不等式2-2排序不等式活页作业10北师大版选修4_5

一、选择题
1．已知
a
，
b
，
c
都是正数，则
a
＋
b
＋
c
与
ab
＋
bc
＋
ca
的大小关系是( )
A．
a
＋
b
＋
c
>
ab
＋
bc
＋
ca
B．
a
＋
b
＋
c
≥
ab
＋
bc
＋
ca

C．
a
＋
b
＋c
<
ab
＋
bc
＋
ca
D．
a
＋
b
＋
c
≤
ab
＋
bc
＋
ca

解析：取两组数
a
，
b
，
c
和
a
，
b
，
c
.不妨设
a
≥
b
≥< br>c
，所以
a
≥
b
≥
c
.根据排序不等
式，得
a
·
a
＋
b
·
b
＋
c< br>·
c
≥
222
222222
333222333222333222333222
333222
a
2
b
＋
b< br>2
c
＋
c
2
a
，当且仅当
a
＝b
＝
c
时取等号．
答案：B
2．一组实数为
a1
，
a
2
，
a
3
，设
c
1< br>，
c
2
，
c
3
是另一组数
b
1，
b
2
，
b
3
的任意一个排列，则
a
1
c
1
＋
a
2
c
2
＋
a
3
c
3
的( )
A．最大值为
a
1
b
1
＋
a
2
b
2
＋
a
3
b
3
，最小值为
a
1
b
3
＋
a
2
b
2
＋
a
3
b
1

B．最大值为
a
1
b
2
＋
a
2
b
3
＋
a
3
b
1
，最小值为
a
1
b
3
＋< br>a
2
b
1
＋
a
3
b
2
< br>C．最大值与最小值相等，为
a
1
b
1
＋
a
2
b
2
＋
a
3
b
3

D．以上答案都不对
解析：
a
1
，
a
2
，
a
3
与
b
1
，
b
2
，
b
3
的大小顺序不知，无法确定其最值．
答案：D
3．设
a1
，
a
2
，…，
a
n
都是正数，
b< br>1
，
b
2
，…，
b
n
是
a
1
，
a
2
，…，
a
n
的任一排列，
P＝
a
1
b
1
＋
a
2
b
2＋…＋
a
n
b
n
，
Q
＝
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
，则
P
与Q
的大小关系是( )
A．
P
＝
Q

C．
P
<
Q

解析：设
a
1
≥
a
2
≥…≥
a
n
>0，
则
a
1
≥
a
2
≥…≥
a
n
，
a
n
≥
a
n
－1
≥…≥
a
1
.
由排序不等 式，得
a
1
b
1
＋
a
2
b
2＋…＋
a
n
b
n
≥
a
1
a
1
＋
a
2
a
2
＋…＋
a
n
a
n
＝
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n< br>.
∴
P
≥
Q
，当且仅当
a
1
＝< br>a
2
＝…＝
a
n
>0时等号成立．
答案：D 4．设
a
1
，
a
2
，
a
3
为 正数，
E
＝
A．
E
<
F

C．
E
≤
F

2－12－12－12－12－12－1< br>222－1－1－1
2－12－1
2－1
B．
P
>
Q

D．
P
≥
Q

a
1
a
2
a
2
a
3
a
1
a
3
＋＋，F
＝
a
1
＋
a
2
＋
a
3，则
E
，
F
的大小关系是( )
a
3
a< br>1
a
2
B．
E
≥
F

D．
E
>
F

111
解析：不妨设
a1
≥
a
2
≥
a
3
>0，于是≤≤，
a
2
a
3
≤
a
3
a
1
≤
a
1
a
2
.由顺序和≥乱序和，得
a
1
a
2
a
3

a
1
a
2
a
2a
3
a
1
a
3
a
1
a
2a
1
a
3
a
2
a
3
＋＋＝＋＋≥ < br>a
3
a
1
a
2
a
3
a
2< br>a
1
1
a
3
11
·
a
1
a
3
＋·
a
2
a
3
＋·
a
1
a
2
＝
a
1
＋
a
3
＋
a
2
.
a
2
a
1
答案：B
二、填空题
5．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s，
每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.
解析：等候的最短时间为3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41(s)．
答案：41 6．设0<
x
1
<
x
2,
0<
y
1< br><
y
2
，且
x
1
＋
x
2
＝
y
1
＋
y
2
＝1，则下列代数式中值最大的是______ __.
13
①
x
1
y
1
＋
x
2
y
2
；②
x
1
y
2
＋
y
1
x
2
；③；④.
24
解析：由排序不等式，知
x
1
y
1
＋
x
2
y
2
>
x
1
y
2
＋
x
2
y
1
.易知当
x
2
和
y
2
无限接近于1时，
x
1
y
1
＋
x
2
y
2
无限接近于1.故
x
1< br>y
1
＋
x
2
y
2
的值最大．故选①.
答案：①
三、解答题
7．设
a
1
，
a
2
，…，
a
n
为1,2，…，
n
的一个排列．
1 2
n
－1
a
1
a
2
a
n
－1求证：＋＋…＋≤＋＋…＋.
23
na
2
a
3
an
证明：设
b
1
，
b
2
，…，
bn
－1
是
a
1
，
a
2
，…，
a
n
－1
的一个排列，且
b
1
<
b
2<…<
b
n
－1
，
c
1
，
c
2
，…，
c
n
－1
为
a
2
，
a< br>3
，…，
a
n
的一个排列，且
c
1
<
c
2
<…<
c
n
－1
，于是>>…>，
c
1
c
2
c
n
－1
由乱序和≥逆序和，得
111
a
1
a
2
a
n
－1
b1
b
2
b
n
－1
＋＋…＋≥＋＋…＋.
a< br>2
a
3
a
n
c
1
c
2
c< br>n
－1
∵
b
1
≥1，
b
2
≥2，… ，
b
n
－1
≥
n
－1，
c
1
≤ 2，
c
2
≤3，…，
c
n
－1
≤
n
，
∴＋＋…＋
b
1
b
2
c
1
c
2
b
n
－1
12
n
－1
≥＋＋…＋.
c
n
－1
23
n
12
n
－1
a
1
a
2
a
n
－1
∴＋＋…＋≤＋＋…＋.
23na
2
a
3
a
n
8．已知0<
a
1< br>≤
a
2
≤…≤
a
n
.
a
2
a
2
a
2
a
2
12
n
－1
n< br>求证：＋＋…＋＋≥
a
1
＋
a
2
＋…＋
a< br>n
.
a
2
a
3
a
n
a
1
证明：∵0<
a
1
≤
a
2
≤…≤
a
n
，
111
222
∴
a
1
≤
a
2
≤…≤
a
n
，≥≥…≥.
a
1
a
2
a
n

由乱序和≥逆序和，知
a
2
a
＋
a
2
＋…＋
a
2
12
n
－1
＋
a
2
n
≥
a
2
1
a
2
1
2
1
·＋
2
·＋…＋
a
n
·
2
a
3
a
n
a
1
a
1
a
2
1
a
＝
a
1
＋
a
2
＋…＋a
n
.
n

一、选择题
1．锐角三角形中，设P
＝
a
＋
b
＋
c
2
，
Q＝
a
cos
C
＋
b
cos
B
＋
c
cos
A
，则
P
，
Q
的关系为(
A．
P
≥
Q
B．
P
＝
Q

C．
P
≤
Q
D．不能确定
解析：不妨设
A< br>≥
B
≥
C
，则
a
≥
b
≥
c
，cos
A
≤cos
B
≤
cos
C．由排序不等式，有
Q
＝
a
cos
C
＋
b
cos
B
＋
c
cos
A
≥
a
cos
B
＋
b
cos
C
＋
c
cos
A
＝
R
(2sin
A
cos
B
＋
2sin
B
cos
C
＋2sin
C
cos
A
)≥
R
[sin(
A
＋
B
)＋
sin(
B
＋
C
)＋sin(
A
＋
C
) ]＝
R
(sin
C
＋sin
A
＋
sin < br>B
)＝
a
＋
b
＋
c
2
＝
P
.
答案：C
2．(1＋1)
?
?
?
1＋
1
4
?
?
?
…
?
?
1
?
1＋
3
n
－2
?
?
?
…
?
?< br>1
?
1＋
61
?
?
?
的取值范围是( )
A．(21，＋∞) B．(61，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(3
n
－2，＋∞)
解析：令
A
＝(1＋1)
??
11
?
1＋
4
?
?
?
…
?
?
?
1＋
3
n
－2
?
?
?
＝
2
1
×
5
4
×
8
7
·…·
3
n
－1
3
n
－2
，
B
＝
3
2
×
6
5
×
9
8
·…·
3< br>n
3
n
－1
，
C
＝
4
3
×
7
6
×
103
n
＋1
9
·…·
3
n
.
由于
2
1
>
3
2
>
4
3
，
5
4
>
6
5
>
7
6
，
8
7
>
9
8
>
10
9，…，
3
n
－1
3
n
－2
>
3
n
3
n
－1
>
3
n
＋1
3
n< br>>0，
所以
A
>
B
>
C
>0.所以
A
3
>
ABC．

由题意，知3
n
－2＝61.所以
n
＝21.
因为
ABC
＝3
n
＋1＝64，所以
A
>4.
答案：C
)