高中数学公开课的教学设计-浙江高中数学要学哪几本书
旗开得胜
学业分层测评(十三)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.设
f
(
x
)是定
义在正整数集上的函数,且
f
(
x
)满足:当
f
(
k
)≥
k
2
成立时,总
可推出
f
(
k+1)≥(
k
+1)
2
成立.那么下列命题总成立的是( )
A.若
f
(3)≥9成立,则当
k
≥1时,均有
f
(k
)≥
k
2
成立
B.若
f
(5)≥25成立
,则当
k
≤5时,均有
f
(
k
)≥
k
2<
br>成立
C.若
f
(7)<49成立,则当
k
≥8时,均有f
(
k
)<
k
2
成立
D.若
f(4)=25成立,则当
k
≥4时,均有
f
(
k
)≥<
br>k
2
成立
【解析】 根据题中条件可知:由
f
(
k
)≥
k
2
,必能推得
f
(
k
+1)≥(<
br>k
+1)
2
,但
反之不成立,因为D中
f
(4)=2
5>4
2
,故可推得
k
≥4时,
f
(
k
)
≥
k
2
,故只有D正
确.
【答案】 D
2.用数学归纳
法证明“对于任意
x
>0和正整数
n
,都有
x
n
+
x
n
-2
+
x
n
-4
+…+
1<
br>+
1
+≥
n
+1”时,需验证的使命题成立的最小正整数值
n
0
应为
1
x
n
-4
x
n
-2x
n
( )
A.
n
0
=1
C.
n
0
=1,2
B.
n
0
=2
D.以上答案均不正确
1
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1
【解析】
需验证:
n
0
=1时,
x
+≥1+1成立.
x
【答案】 A
3.利用数学归纳法证明不等式1+++…+
n
<
f
(
n
)(
n
≥2,
n
∈N
+<
br>)的
232-1
过程,由
n
=
k
到
n
=
k
+1时,左边增加了( )
【导学号:32750070】
A.1项 B.
k
项 C.2
k
-1
项
D.2
k
项
【解析】 1+++…+
k
+1
-1+++…
+
k
=
k
+
k
+
232-1232-122+1<
br>1
2
k
+2
+…+,
2
k
+1
-
1
1
11111111
111
∴共增加2
k
项.
【答案】 D
4.若不等式
1
+
1
+…+>对大于1的一
切自然数
n
都成立,则
2
n
24
1
m
n<
br>+1
n
+2
自然数
m
的最大值为( )
A.12
C.14
【解析】
令
f
(
n
)=
11
B.13
D.不存在
++…+,
n
+1
n
+22
n
1
易知<
br>f
(
n
)是单调递增的,
∴
f
(
n
)的最小值为
f
(2)=+=.
3412
1
117
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依题意>,∴
m
<14.因此取
m
=13.
1224
7
m
【答案】 B
13
5.用数学归纳法证明不
等式++…+<(
n
≥2,
n
∈N
+
)的过
n+1
n
+22
n
14
程中,由
n
=
k
递推到
n
=
k
+1时不等式左边( )
A.增加了一项
1
2
1
1
111
k
+1
B.增加了两项,
2
k
+12
k
+2
k
+1
1
C.增加了B中两项但减少了一项
D.以上各种情况均不对
【解析】 ∵
n
=
k
时,左边=
1111
1
k
+1
k
+2
+
1
+…+,
n
=
k
+1时,左边=
2
k
1
k
+2
k
+3
++…++,
2
k
2
k
+12
k
+2<
br>1
,
1
2
k
+2
,少了一项
1
.
+
1
∴增加了两项
2
k
+1
k
+1
【答案】 C
二、填空题
6.用数学归纳法证明“2
n
+1
≥
n
2
+
n
+2(
n
∈N
+
)”时
,第一步的验证为
________.
【解析】
当
n
=1时,2
1+1
≥1
2
+1+2,即4≥4成立.
1
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