高中数学人教A版选修4-5评估验收卷：第二讲 证明不等式的基本方法 Word版含答案

评估验收卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目 要求的)
1．设
t
＝
a
＋2
b
，
S＝
a
＋
b
＋1，则下列
t
与
S
的大小 关系中正确的是( )
A．
t
＞
S
B．
t
≥
S
C．
t
＜
S
D．
t
≤
S

解析：
t
－
S
＝< br>a
＋2
b
－(
a
＋
b
＋1)＝－(
b
－2
b
＋1)＝－(
b
－1)≤0.故应选D.
答案：D
2．已知
a
，
b
，
c
，
d
都是正数，且
bc
＞
ad
，则，
A. B.
222
2
aa
＋
ca
＋2
cc
，，中最大的是( )
bb
＋
db
＋2
dd
a
b
a
＋
ca
＋2
cc
C. D.
b
＋
db＋2
dd
解析：因为
a
，
b
，
c
，< br>d
均是正数且
bc
＞
ad
，
所以有＞.①
又－
ca
db
ca
＋
cc
（
b
＋
d
）－（
a
＋
c
）
dbc
－
ad
＝＝＞0，
db
＋
dd
（
b
＋
d
）< br>d
（
b
＋
d
）
ca
＋
c
， ②
db
＋
d
所以＞
ca
＋2
cc
（b
＋2
d
）－（
a
＋2
c
）·
dbc
－
ad
－＝＝＞0，
db
＋2
dd
（
b
＋2
d
）
d
（
b
＋2
d
）
所以＞
ca
＋2
c
.③
db
＋2
d
c
d
由①②③知最大．
答案：D < br>3．已知
a
＝6＋7，
b
＝5＋8，
c
＝5，则a
，
b
，
c
的大小关系排列为( )
A．
a
＞
b
＞
c

C．
b
＞
a
＞
c

2
B．
a
＞
c
＞
b

D．
c
＞
a
＞
b

22
解析：由 已知得
a
＝6＋7＋242＝13＋242；
b
＝8＋5＋410＝13＋2 40；
c
＝25＝13
＋12＝13＋236，因为236＜240＜242.所以< br>a
＞
b
＞
c
.
答案：A
11
4．若＜＜0，则下列结论不正确的是( )
ab
2
A．
a
＜
b


2
B．
ab
＜
b

- 1 -
2

C.
b
a
＋
a
b
＞2 D．|
a
|＋|
b
|＞|
a
＋
b
| 解析：因为
1
a
＜
1
b
＜0，所以
1
a
－
1
b
＜0，
a
＜0且
b
＜0.所以< br>b
－
a
ab
＜0，所以
b
＜
a
＜0 .
由此断定A，B，C正确，故选D.
答案：D
5．已知
x
＞
y
＞
z
，且
x
＋
y
＋
z
＝1，则下列不等式中恒成立的是( )
A．
xy
＞
yz
B．
xz
＞
yz

C．
x
|
y
|＞
z
|
y
| D．
xy
＞
xz

解析：法一(特殊值法) 令
x
＝2，
y
＝0，
z
＝－1，可排除A、B、C，故选D.
法二 3
z
＜
x
＋
y
＋
z
＜3
x
，所以
x
＞
1
3
＞
z
，
由
x< br>＞0，
y
＞
z
，得
xy
＞
xz
.
答案：D
6．要使
3
a
－
3
b
＜
3
a
－
b
成立，
a
，
b
应满足的条件是 ( )
A．
ab
＜0且
a
＞
b

B．
ab
＞0且
a
＞
b

C．
ab
＜0且
a
＜
b

D．
a b
＞0且
a
＞
b
或
ab
＜0且
a
＜
b

解析：
3
a
－
3
b
＜3
a
－
b
?(
3
a
－
3
b< br>)
3
＜
a
－
b
?3
3
ab
2
＜3
3
a
2
b
?
ab
(
a
－
b
)＞0.
当
ab
＞0时，
a
＞
b
；当
ab
＜0时，
a
＜
b
.
答案：D
7．否定“自然数
a
，
b
，
c
中恰有一个为偶数”时，正确假设为( )
A．
a
，
b
，
c
都是奇数
B．
a
，
b
，
c
都是偶数
C．
a
，
b
，
c
中至少有两个偶数
D．
a
，
b
，
c
中至少有两个偶数或都是奇数
答案：D
8．对于
x
∈[0，1]的任意值，不等式
ax
＋2
b
＞0恒成立，则代数式
a
＋3
b
的值(
A．恒为正值 B．恒为非负值
C．恒为负值 D．不确定
解析：依题意 2
b
＞0，所以
b
＞0，且
a
＋2
b
＞0 .
所以
a
＋2
b
＋
b
＞0，即
a
＋3
b
恒为正值．
答案：A

)
- 1 -

9．使不等式3＋8＞1＋
a
成立的正整数
a
的最大值为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
解析：用分析法可证
a
＝ 12时不等式成立，
a
＝13时不等式不成立．故应选C.
答案：C
1< br>?
b
－2
1
?
10．已知
x
＝
a< br>＋(
a
＞2)，
y
＝
??
(
b
＜0 )，则
x
，
y
之间的大小关系是( )
a
－2
?
2
?
A．
x
＞
y

C．
x
＝
y

解析：因为
x
＝
a
－2＋
2
2
B．
x
＜
y

D．不能确定
1
＋2≥2＋2＝4(
a
＞2)．
a
－2
又
b
－2＞－2(
b
＜0)，
1
?
b
－2
?
1
?
－2
?
即
y
＝
??
＜
??
＝4，所以
x
＞
y.
?
2
??
2
?
答案：A
11．
M
＝
1111
＋＋＋…＋与1的大小关系是( )
1×22×33×4
n
（
n
＋1）
B．
M
＜1
D．不确定
2
A．
M
＞1
C．
M
＝1

解析：
M
＝＋＋＋…＋＝1－＋ －＋－＋…＋－＝1－
1×22×33×4
n
（
n
＋1）22334
nn
＋1
1
＜1.
n
＋1
答案：B
1 2．在△
ABC
中，
A
，
B
，
C
分别为< br>a
，
b
，
c
所对的角，且
a
，
b< br>，
c
成等差数列，则角
B
适
合的条件是( )
π
A．0＜
B
≤
4
π
C．0＜
B
≤
2
B．0＜
B
≤
D.
π

3
π
＜
B
＜π
2
解析：由
a
，
b
，
c
成等差数列，得2
b
＝
a
＋
c
，
（
a
＋
c
）
a
＋
c－
2222222
4
a
＋
c
－
b
3（
a
＋
c
）－2
ac
3（
a
＋
c< br>）11
所以cos
B
＝＝＝＝－≥.
2
ac
2< br>ac
8
ac
8
ac
42
22
2
当且 仅当
a
＝
b
＝
c
时，等号成立．
1
所以cos
B
的最小值为.
2
- 1 -

?
又
y
＝cos
B
在
?
0，
?
答案：B
π
?
π
上是减函数，所以0＜
B
≤.
?
2
?
3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线 上)
13．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的假设是________．
解析：“三角形中最多只有一个内角是钝角”的对立事件是“三角形中内角有2个钝角
或3个全 是钝角”．故应填三角形中至少有两个内角是钝角．
答案：三角形中至少有两个内角是钝角
14．用分析法证明：若
a
，
b
，
m
都是正数，且
a
＜
b
，则
因为
b
＋
m
＞0，
b
＞0，
所以要证原不等式成立，只需证明
a
＋
ma
＞.完成下列证明过程．
b
＋
mbb
(
a
＋
m
)＞
a
(
b
＋< br>m
)，
即只需证明________．
因为
m
＞0，所以只需证明
b
＞
a
，
由已知显然成立，所以原不等式成立．
解析：
b
(
a
＋< br>m
)＞
a
(
b
＋
m
)与
bm
＞
am
等价，因此欲证
b
(
a
＋
m
)＞
a
(
b
＋
m
)成立，只需证明
bm
＞am
即可．
答案：
bm
＞
am

15．已知 数列{
a
n
}的通项公式
a
n
＝
系是______ __．
解析：
a
n
＋1
－
a
n
＝
an
，其中
a
，
b
均为正数，那么
a
n
与
a
n
＋1
的大小关
bn
＋1
a
（
n
＋1）
ana
－＝.
b
（
n
＋1）＋1bn
＋1（
bn
＋
b
＋1）（
bn
＋1）因为
a
＞0，
b
＞0，
n
＞0，
n
∈ N
＋
，
所以
a
n
＋1
－
a
n< br>＞0，因此
a
n
＋1
＞
a
n
.
答案：
a
n
＋1
＞
a
n

16． 已知
a
，
b
，
c
，
d
大于0，且
S
＝
值范围是________．
解析：由放缩法，得
abcd
＋ ＋＋，则
S
的取
a
＋
b
＋
cb
＋
c
＋
dc
＋
d
＋
aa
＋
b
＋d
aa
＜；
a
＋
b
＋
c
＋
da
＋
b
＋
ca
＋
c
＜
a
bb< br>＜；
a
＋
b
＋
c
＋
db
＋
c
＋
dd
＋
b
＜
＜
b
ccc
＜ ；
a
＋
b
＋
c
＋
dc
＋
d＋
ac
＋
a
- 1 -

dd
＜.
a
＋
b
＋
c
＋
dd< br>＋
a
＋
bd
＋
b
＜
以上四个不等式相加，得 1＜
S
＜2.
答案：(1，2)
三、解答题(本大题共6小题，共70分 ．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
17．(本小题满分10分)已知< br>a
，
b
，
c
∈(0，＋∞)，比较
a
＋b
与
ab
＋
a
＋
b
－1的大小．
1
222222
解：因为(
a
＋
b
)－(
ab
＋
a
＋
b
－1)＝
a
＋
b
－
a b
－
a
－
b
＋1＝(2
a
＋2
b
－2
ab
－2
a
－2
b
＋
2
11
2222222
2)＝[(
a
－2
ab
＋
b
)＋(
a
－2
a
＋1)＋(
b
－2
b
＋1)]＝ [(
a
－
b
)＋(
a
－1)＋(
b
－1) ]≥0，
22
所以
a
＋
b
≥
ab
＋a
＋
b
－1.
18．(本小题满分12分)实数
a
，
b
，
c
，
d
满足
a
＋
b
＝
c
＋
d
＝1，
ac
＋
bd
＞1，求证：
a
，
b
，
22
22
d
c
，
d
中至少有一个是负数．
证明：假设
a
，
b
，
c
，
d
都是非负数，
即
a
≥0，
b
≥0 ，
c
≥0，
d
≥0，
则1＝(
a
＋
b< br>)(
c
＋
d
)＝(
ac
＋
bd
)＋ (
ad
＋
bc
)≥
ac
＋
bd
，
这与已知中
ac
＋
bd
＞1矛盾，所以原假设错误，
所以
a
，
b
，
c
，
d
中至少有一个是负数．
19．(本小题满分12分)若实数
x
，
y
，
m
满 足|
x
－
m
|＜|
y
－
m
|，则称
x
比
y
接近
m
.对任意
两个不相等的正数
a，
b
，证明：
ab
＋
ab
比
a
＋b
接近2
abab
.
证明：因为
a
＞0，
b
＞0，且
a
≠
b
，
所以
ab
＋
ab
＞2
abab
，
a
＋
b
＞2
abab
.
所以
ab
＋
ab
－2
abab
＞0，
22
2233
2233
a
3
＋
b
3
－2
abab
＞0.
所以|
ab
＋
ab
－2< br>abab
|－|
a
＋
b
－2
abab
|
＝
ab
＋
ab
－2
abab
－
a
－
b
＋2
abab

＝
ab
＋
ab
－
a
－
b

＝
a
(
b
－
a
)＋
b
(
a
－
b
)
＝(
a
－
b
)(
b
－
a
)
＝－(
a
－
b
)(
a
＋
b
)
＜0，
所以|
ab
＋
ab
－2
abab
|＜|< br>a
＋
b
－2
abab
|，
所以
ab
＋
ab
比
a
＋
b
接近2
abab
.
- 1 -
2233
2233
2
22
22
22 33
2233
2233

1|
a
|
20．(本小题满分12分)设
a
＋
b
＝2，
b
＞0，当＋ 取得最小值时，求
a
的值．
2|
a
|
b
1|a
|
a
＋
b
|
a
|
解：由于
a
＋
b
＝2，所以＋＝＋＝
2|
a
|
b
4|
a
|
b
ab
|
a
|
＋＋，
4|
a
|4|
a
|
b
由于
b
＞0，|a
|＞0，所以
b
|
a
|
＋≥2
b
|
a
|1|
a
|
·＝1，因此当
a
＞0时，＋的4|
a
|
b
4|
a
|
b
2|
a
|
最小值是
1
4
＋1＝
5
4
；
当
a
＜0时，
1
2|
a
|
＋
|
a
|13
b
的最小值是－
4
＋1＝
4
.
故
1
2|
a
|
＋
|
a
|
?
b
的最小值为
3
4
，此时
?
b
?
4|< br>a
|
＝
|
a
|
b
，

?
?
a
＜0
即
a
＝－2.
21．(本小 题满分12分)设
a
，
b
，
c
是不全相等的正实数．
求证：lg
a
＋
bb
＋
c
2
＋lg
2
＋lg
c
＋
a
2
＞lg
a
＋lg
b
＋lg
c
.
证明：法一：要证lg
a
＋
b
2
＋lg
b
＋
cc
＋
a
2
＋lg
2
＞lg
a
＋lg
b
＋lg
c
， < br>只需证：lg
?
?
a
＋
b
?
2
·< br>b
＋
c
2
·
c
＋
a
2
?< br>?
?
＞lg(
abc
)，
只需证：
a
＋< br>b
·
b
＋
cc
＋
a
22
·
2
＞
abc
，
因为
a
＋
b
2
≥
ab
＞0，
b
＋
c
2
≥
bc
＞0 ，
c
＋
a
2
≥
ca
＞0，
所以
a
＋
bb
＋
cc
＋
a
2
·
2·
2
≥
abc
＞0成立．
因为
a
，
b
，
c
为不全相等的正数，
所以上式中等号不成立．
所以原不等式成立．
法二：因为
a
，< br>b
，
c
∈{R
＋
}，
所以
a
＋< br>b
2
≥
ab
＞0，
b
＋
c
2
≥
bc
＞0，
c
＋
a
2
≥
ca
＞0.
又因为
a
，
b
，
c
为不全相等的实数，所 以
a
＋
b
·
b
＋
c
·
c
＋
a
222
＞
abc
.
所以lg
?
?< br>a
＋
b
?
2
·
b
＋
c
2< br>·
c
＋
a
2
?
?
?
＞lg(
abc
)，

b
- 1 -

即lg
a
＋
b
2
＋lg
b
＋
c
2
＋lg
c
＋
a
2
＞lg
a
＋lg
b
＋lg
c
.
22．(本小题满分12分)等差数列{
a
n
}各项均为正整数，
a
1
＝3，前
n
项和为< br>S
n
.等比数列
{
b
n
}中，
b
1
＝1，且
b
2
S
2
＝64，{
ba
n}是公比为64的等比数列．
(1)求
a
n
与
b
n
；
11113
(2)证明：＋＋＋…＋＜.
S
1
S
2
S
3
S
n
4
(1)解：设{
a
n
}的公 差为
d
(
d
∈N)，{
b
n
}的公比为
q
，
则
a
n
＝3＋(
n
－1)
d
，
b
n
＝
q
3＋
nd
－1
n
－1
.
ba
n
＋1
q
d
?
?
＝3＋（
n
－1）
d
－1
＝
q
＝64， ①
依题意
?
ba
n
q

?
?
S< br>2
b
2
＝（6＋
d
）
q
＝64. ②
16
由①知，
q
＝64
d
＝2
d
.③
由②知，
q
为正有理数．所以
d
为6的因子1，2，3，6中之一， 因此由②③知
d
＝2，
q
＝8，
故
a
n
＝3＋2(
n
－1)＝2
n
＋1，
b
n
＝8
n
－1
.
(2)证明：
S
n
＝3＋5＋7＋…＋(2< br>n
＋1)＝
n
(
n
＋2)，
1
则＝
S
n
1
?
11
?
1
＝
?
－?
.
n
（
n
＋2）2
?
nn
＋2< br>?
1111
所以＋＋＋…＋＝
S
1
S
2
S
3
S
n
11
?
1
?
11111
1 －＋－＋－＋…＋－
＝
?
nn
＋2
?
2
?
32435
?
11
?
1331
?
1
1＋－－??
＜×＝
2
?
2
n
＋1
n
＋2< br>?
224


- 1 -