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邴原少孤,数岁时,过书舍而泣。师曰:“童子何泣?”原曰:“孤者易伤,贫者易感。夫书者,
凡得学者,有亲也。一则愿其不孤,二则羡其得学,中心伤感,故泣耳。”师恻然曰:“欲书可耳!”原曰:“无
钱资。”师曰:“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间,诵《孝经》《论语》。
第四
讲 数学归纳法证明不等式
达标检测
时间:120分钟 满分:150分
一、
选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目
要求的)
1.用数学归纳法证明“对任意
x
>0和正整数
n
,都有
x
+
x
nn
-2
+
x
n
-4+…+
1
x
n
-4
+
1
x
n
-2
1
+
n
≥
n
x
+1”时,需要验证的使命题成
立的最小正整数值
n
0
应为( )
A.
n
0
=1
C.
n
0
=1,2
1
解析:当
n
0
=1时,
x
+≥2成立,故选A.
B.
n
0
=2
D.以上答案均不正确
x
答案:A
2.从一楼到二楼的楼梯共有
n
级台阶,每步只能跨上
1级或2级,走完这
n
级台阶共有
f
(
n
)
种走法
,则下面的猜想正确的是( )
A.
f
(
n
)=
f(
n
-1)+
f
(
n
-2)(
n
≥3
)
B.
f
(
n
)=2
f
(
n
-
1)(
n
≥2)
C.
f
(
n
)=2
f<
br>(
n
-1)-1(
n
≥2)
D.
f
(
n
)=
f
(
n
-1)
f
(
n
-2)(
n
≥3)
?
?
n
,
n
=1,2,
解析:分别取
n
=1,2,3,4验证,得
f
(
n
)=
?
?
fn
-+
f
?
n
-,
n
≥3.
答案:A
3.设凸
n
边形有
f
(
n
)条对角线,则凸
n
+1
边形的对角形的条数
f
(
n
+1)为( )
A.
f
(
n
)+
n
+1
C.
f
(
n
)+
n
-1
B.
f
(
n
)+
n
D.
f
(
n
)+
n
-2
解析:凸
n
+1边形的对角线的条数等于凸
n
边形的对角线的条数,加上多的那个点向其他<
br>点引的对角线的条数(
n
-2)条,再加上原来有一边成为对角线,共有
f(
n
)+
n
-1条对角线,
故选C.
答案:C 4.用数学归纳法证明“
n
+(
n
+1)+(
n
+2)
,
n
∈N
+
能被9整除”,利用归纳假设证
n
=
k
+1,只需展开( )
A.(
k
+3)
C.(
k
+1)
33
3
3
333
B.(
k
+2)
D.(
k
+1)+(
k
+2)
3
33
3
解析:
n
=
k
时,式子为
k
+(
k
+1)+(
k
+2),
1
邴原少孤,数岁时
,过书舍而泣。师曰:“童子何泣?”原曰:“孤者易伤,贫者易感。夫书者,凡得学者,有亲也。一则愿其不孤
,二则羡其得学,中心伤感,故泣耳。”师恻然曰:“欲书可耳!”原曰:“无钱资。”师曰:“童子苟有志吾徒
相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间,诵《孝经》《论语》。
n
=
k
+1
时,式子为(
k
+1)
3
+(
k
+2)
3
+(
k
+3)
3
,
故只需展开(
k
+3).
答案:A
5.下列说法中正确的是( )
A.若一个命题当
n
=1,2时为真,则此命题为真命题
B.若一个命题当
n
=
k
时成立且推得
n
=
k
+1时也成立
,则这个命题为真命题
C.若一个命题当
n
=1,2时为真,则当
n
=3时这个命题也为真
D.若一个命题当
n
=1时为真,
n
=
k
时为真能
推得
n
=
k
+1时亦为真,则此命题为真命题
解析:由完全归纳法
可知,只有当
n
的初始取值成立且由
n
=
k
成立能推得n
=
k
+1时也成
立时,才可以证明结论正确,二者缺一不可.A,B,
C项均不全面.
答案:D
6.平面内原有
k
条直线,它们的交点个数记为
f
(
k
),则增加一条直线
l
后,它们的交点个
数
最多为( )
A.
f
(
k
)+1
C.
f
(
k
)+
k
+1
B.
f
(
k
)+
k
D.
k
·
f
(
k
)
3
解析:第
k
+1条直线与前
k
条直线都相交且有不同交点时,交点个数最多,此时应比
原先
增加
k
个交点.
答案:B
7.用数学归纳法证明3
4
n
+1
+5
2
n
+1
(
n
∈N
+
)能被8整除时,若
n
=
k
时,命题成立,欲证当
n
+5
2(
k
+1)+1
=
k
+1时命题成立,
对于3
A.56×3
B.3×3
C.3
4
k
+1
4
4
k
+1
4(
k
+1)+1
可变形为( ) <
br>+25(3
2
4
k
+1
+5
2
k
+
1
)
4
k
+1
+5×5
2
k
+1
2
k
+5
4
k
+1
2
k
+
1
D.25(3+5)
2(
k
+1)+1
解析:由3
=5
6×3
4(
k
+1)+1
+5=81×3
).
4
k
+1
+25×5
2
k
+1
+25×3
4
k
+1
-25×3
4
k
+1
4
k
+1
+25(3
4
k
+1
+5
2
k
+1
答案:A
8.数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
=
n
·
a
n
(
n
≥2),而
a
1
=1通过计算
a
2
,
a
3
,
a
4
,猜想
a
n
等于( )
A.
C.
4
n
+
1
2-1
n
2
2
B.
n
2
n
+
1
D.
2
n<
br>-1
12
解析:由
a
2
=
S
2
-<
br>S
1
=4
a
2
-1得
a
2
==
32×3
2