人教课标版高中数学选修4-5：《绝对值不等式》章末回顾-新版

第一讲绝对值不等式回顾
一、思维导图
不等式基本性质
重要不等式
绝
对
值
不
等
式
二.例题
19
例1 已知
x?0,y?0，??1
，求
x?y
的最小值.
xy
【知识点】基本不等式
1919y9x
【解答过程】因为
x? 0,y?0，??1
，所以
x?y?(x?y)?1?(x?y)(?)?10??

xyxyxy
?10?29?16
，当且仅当
【思路点拨】在用基本不等式求 最值时，“正数”“相等”等条件往往容易从题设中获得或验
证，而“定值”则需要一定的技巧和方法. 常用的方法有“加－项、减－项”“配系数”“拆
项法”“1的代换”等.
【答案】16
例2 解不等式
|x?1|?|2?x|?3?x
.
【知识点】含绝对值不等式的解法
【数学思想】零点分段法
【解答过程】解：令< br>|x?1|?0
，得
x?1
；令
|2?x|?0
，得
x?2
.
这样，1，2的对应点把数轴分成了三个部分.

均值不等式
二元均值不等式
（基本不等式）



三元均值不等式


绝对值三角不等式
绝对值不等式
含绝对值不等式的解法

y9x
，即
x?4,y?12
时，等号成立.
?
xy

(1)当
x?1
时，
x?1?0
，
2 ?x?0
，
所以原不等式变为
1?x?2?x?3?x
，解得
x? 0
.所以
x?0
.
(2)当
1?x?2
时，
x? 1?0
，
2?x?0
，
所以原不等式变为
x?1?2?x?3?x
，解得
x??2
.所以无解.
(3)当
x?2
时，
x?1?0
，
2?x?0
，
所以原不等式变为
x?1?x?2?3?x
，解得
x?6
.所以x?6
.
综上所示，原不等式的解集为
(??,0)(6,??)
.
【思路点拨】绝对值三角不等式指的是
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|.这是一类特殊的不等式，它
反映的是实数和与差的绝对值与绝对值的和差之间的关系，常用于解决 最值问题、不等式恒成
立问题及不等式的证明.
【答案】
(??,0)(6,??)

例3 已知关于
x
的 不等式
|x?1|?|2?x|?ax?2
解集为
R
，求实数
a的取值范围.
【知识点】含绝对值不等式的解法；恒成立问题
【数学思想】数形结合法
?
3?2x,x?1
?
【解答过程】
y?|x?1|?|2?x|?
?
1,1?x?2
，
y?ax?2
表示过
(0,?2)的直线，由题意可知
?
2x?3,x?2
?
y?|x?1|?|2?x|
的图像在直线
y?ax?2
的上方，如图

3
由图可知，
a?[?2,)
.
2
【思路点拨】在应用零 点分段法分类讨论时，要注意做到分类标准统一，分类方法既不重复又
不遗漏，在应用平方法时，要注意 同解变形.

3
【答案】
a?[?2,)

2
三、检测题
（一）选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题 给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求
ab
1.已知
c
2< br>>
c
2
，则下列不等式一定成立的是（ ）
11
11
A.a
2
>b
2
a>lg b C.
b
>
a
D.
()
b
?()
a

33
【知识点】不等式的性质
ab
【解答过程】由
c
2< br>>
c
2
，得a>b（c≠0），显然，当a，b异号或其中一个为0时，A，B ，C不
正确.
【思路点拨】利用不等式的性质验证
【答案】D
2.下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A.a＞b＋1 B.a＞b－1 C.a
2
＞b
2
D.a
3
＞b
3

【知识点】不等式性质、充分、必要条件
【解答过程】由a＞b＋1，得a＞b＋1＞b，即a＞b，而由a＞b不能得出a＞b＋1，因此，使
a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1，选A.
【思路点拨】根据不等式性质推导和充分、必要条件定义求解
【答案】A
3.若a＞b，x＞y，下列不等式不正确的是（ ）
A.a＋x＞b＋y
C.|a|x＞|a|y
【知识点】不等式性质
【解答过程】对于A，两式相加可得a＋x＞b＋y，A正确；
对于B，a＞b?－a＜－b，与y＜x相加得y－a＜x－b，B正确；
对于D，∵a－b＞0，∴（a－b）x＞（a－b）y，D正确；
对于C，当a＝0时，不等式不正确，故选C.
【思路点拨】利用不等式的性质代入验证
【答案】C
B.y－a＜x－b
D.（a－b）x＞（a－b）y

4.关于x的不等式5x
2
－a≤0的非负整数解是0，1，2，3，则实数a的取 值范围是（ ）
A.45≤a<80 B.5045
【知识点】解不等式
【解答过程】由5x－a≤0，得－
45≤a<80.
【思路点拨】熟练掌握常规不等式的解法
【答案】A
5.若a，b为非零实数，那么不等式恒成立的是（ ）
a＋b
ba
a?b
2
A.|a＋b|>|a－b| B.
2
≥ab C.
()
≥ab D.
a
＋
b
≥2
2
【知识点】均值不等式
【解题过程】a，b为非零实数时，A，B，D均不一定成立.
而
(
a?b
2
a?b
2
)
－ab＝
()
≥0恒成立.
22
2
a
5
≤x≤
a
5
，而正整数解是1，2， 3，则3≤
a
5
<4，解得
【思路点拨】利用不等式的基本性质，两式相减与 0的大小关系比较
【答案】C
6.在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是（ ）
41
A.y＝x＋
x
B.y＝lg x＋
lg x

C.y＝x
2
＋1＋
11
D.y＝sin x＋（02
sin x
x＋1
【知识点】均值不等式
4
【解题过程】y＝x＋
x
≥24＝4，A错；当0当x
2
＋1＝
1
时，x＝0，
x
2
＋1
1
≥2此时等号取不到，C错；
x
2
＋1
∴y＝x
2
＋1＋
1
y＝sin x＋
sin x
≥2，此时sin x＝1，D正确.
【思路点拨】利用均值不等式的性质，注意“一正，二定，三取等”的验证
【答案】D

7.不等式|2x－log
2
x|＜|2x|＋|log
2
x|的解为（ ）
A.1＜x＜2 B.0＜x＜1 C.x＞1 D.x＞2
【知识点】解绝对值不等式、对数函数
log
2
x＞0，
?
2x·
【解题过程】由题意知
?
∴l og
2
x＞0，解得x＞1，故选C.
x＞0，
?
【思路点拨】熟练掌握常规不等式的解法
【答案】C
8.若a＞0，b＞0，且函数f（x）＝4x
3
－ax
2
－2bx＋2在x ＝1处有极值，则ab的最大值等于
（ ）
A.2 B.3 C.6 D.9
【知识点】函数极值、均值不等式
【解题思想】f′（x ）＝12x
2
－2ax－2b，由f（x）在x＝1处有极值，得f′（1）＝12－2a－2 b＝
0，∴a＋b＝6.又a＞0，b＞0，∴ab≤
(
a?b
2
)
＝9，当且仅当a＝b＝3时取到等号，故选D.
2

【思路点拨】根据极值的重要结论求解
【答案】D
9.设a>b>c，n∈N，且
11n
＋
≥
恒成立，则n的最大值是（ ）
a－bb－ca－c
A.2 B.3 C.4 D.6
【知识点】均值不等式
【解题过程】∵
a－ ca－ca－b＋b－ca－b＋b－cb－ca－bb－c
＋＝＋＝2＋＋
≥4，当且仅当< br>＝
a－bb－ca－bb－ca－bb－ca－b
a－b
11411n
时，取等号，∴＋
≥
，而＋
≥
恒成立，得n≤4.
b－ca－bb－ca－ca－bb－ca－c
【思路点拨】通过配凑，再利用均值不等式
【答案】C
1
10.若02
，则x
2
（1－2x）有（ ）
1
A.最小值为
27

1
C.最小值为
3

【知识点】均值不等式
1
B.最大值为
27

1
D.最大值为
3

【解题过程】x
2
（1－2x）＝x·x（1－2x）≤
(< br>1
x?x?1?2x
3
1
)
＝
27
.当且仅 当x＝
3
时，等号成立.
3
【思路点拨】通过分解使得能利用均值不等式求解
【答案】B
11.关 于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a
2
＋a＋1的解集是空集，则a的取值范围是（ ）
A.（0，1） B.（－1，0） C.（1，2） D.（－∞，－1）
【知识点】解绝对值不等式
【数学思想】化归与转化的思想
【解题过程】|x－1|＋|x－2|的最小值为1，故只需a
2
＋a＋1<1，∴－1【思路点拨】转化为最值问题，再解不等式
【答案】B
12.已知a
1
>a
2
>a
3
>0，则使得（1－a
i
x）< br>2
<1（i＝1，2，3）都成立的x的取值范围是（ ）
A.
(0,
1212
)
B.
(0,)
C.
(0,)
D.
(0,)

a
1
a
1
a
3
a
3
【知识点】解不等式
【数学思想】化归与转化的思想
2
【解题 过程】由（1－a
i
x）
2
<1，得0i
x<2.又a
i
>0，∴0a
对a
i
（i＝1，2，3）恒成立， 则x
i
2222
2
小于
a
的最小值.又a
1
>a
2
>a
3
，∴
a
的最小值为
a
，则 x<
a
.因此x的取值范围为
(0,)
，选B.
ii11
a
1
【思路点拨】先解不等式，再转化为最值问题
【答案】B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上
13.不等式|2x－1|－|x－2|<0的解集为________.
【知识点】解绝对值不等式
【解题过程】|2x－1|－|x－2|<0，即|2x－1|< |x－2|，两边平方并整理得，x
2
<1，解得－1故解集为{x|－1 【思路点拨】利用常规解不等式的解法求解
【答案】{x|－114.设x＞0，y＞0，且xy－（x＋y）＝1，则x＋y的取值范围为__________.
【知识点】均值不等式

【解题过程】因为xy－（x＋y）＝1，且xy≤
x＋y
4
2
，所以1＝xy－（x＋y）≤
x＋y
4
2
－（x
a
2
＋y）.设x＋y＝a，则
4
－a－1≥0 （a＞0），则a≥2＋22，即x＋y≥22＋2，故x＋y的取值范
围为[22＋2，＋∞）.
【思路点拨】利用均值不等式的性质，注意“一正，二定，三取等”的验证
【答案】[22＋2，＋∞）
1a
15.不等式
(x?y)(?)
≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_________.
xy
【知识点】均值不等式的应用
yxa
1a
【解题过程】
(x?y)(?)
＝1＋a＋
x
＋
y
≥1＋a＋2a，∴1＋a＋ 2a≥9，即a＋2a－8≥0，
xy
故a≥4.
【思路点拨】利用均值不等式的性质，注意“一正，二定，三取等”的验证
【答案】4
16.设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为________.
【知识点】绝对值不等式的应用
【数学思想】数形结合
【解题过程】如图，先画出 不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域，易知当直线x＋2y＝u经过点B，
D时分别对应u的最大 值和最小值，所以u
max
＝2，u
min
＝－2.

【思路点拨】将不等式转化为平面区域，利用数形结合的思想求解
【答案】 2 －2
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.（本小题满分10分）
解不等式x＋|2x－1|＜3.
【知识点】解绝对值不等式
【数学思想】分类讨论
【解题过程】法一：原不等式可化为

?
2x－1≥0，
?< br>x－
?
x＋
?
2x－1＜0，
141
或
?< br>解得
2
≤x＜
3
或－2＜x＜
2
.
＜3x－＜3.
?
x－

4
所以原不等式的解集是
{x|?2?x?}
.
3
4法二：由于|2x－1|＜3－x，∴x－3＜2x－1＜3－x，解得x＞－2且x＜
3
.
4
∴原不等式的解集是
{x|?2?x?}
.
3
【思路点拨】利用分类讨论的思想求解
4
【答案】
{x|?2?x?}

3
18.（本小题满分12分）
11
已知函数
f(x)?|x?| ?|x?|
，M为不等式f（x）＜2的解集.
22
（1）求M；（2）证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.
【知识点】解绝对值不等式、不等式证明
【数学思想】分类讨论的思想
?
?
11
【解题过程】（1）f（x）＝
?
1，－
2
＜x＜< br>2
，
1
?
2x，x≥
?
2
.
11< br>当－
2
＜x＜
2
时，f（x）＜2；
1
当x≥
2
时，由f（x）＜2得2x＜2，解得x＜1.
所以f（x）＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}.
1
－2x，x≤－
2
，


1
当x≤－
2
时，由f（x）＜2得－2x＜2，解得x＞－1；
（2）证明：由（1）知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而（a＋b）
2
－（1＋ab）
2
＝a
2
＋b
2
－a
2
b
2
－1＝（a
2
－1）（1－b
2
）＜0.
因此|a＋b|＜|1＋ab|.
【思路点拨】利用分类讨论的思想转化为一般不等式的求解

【答案】（1）M＝{x|－1＜x＜1}；（2）见解析
19.（本小题满分12分）
115
已知实数x，y满足：|x＋y|<
3
，|2x－y|<
6
，求证：|y|<
18
.
【知识点】绝对值不等式
【解题过程】因为3|y|＝|3y|＝|2（x＋y）－（2x－ y）|≤2|x＋y|＋|2x－y|，
112155
由题设知|x＋y|<
3，|2x－y|<
6
，从而3|y|<
3
＋
6
＝
6
，所以|y|<
18
.
【思路点拨】利用绝对值的三角不等式
【答案】见解析
20.（本小题满分12分）
已知a和b是任意非零实数.
|2a＋b|＋|2a－b|
（1）求的最小值；
|a|
（2）若不等式| 2a＋b|＋|2a－b|≥|a|（|2＋x|＋|2－x|）恒成立，求实数x的取值范围.
【知识点】绝对值不等式
【解题过程】（1）∵|2a＋b|＋|2a－b|≥|2a＋b＋ 2a－b|＝4|a|对于任意非零实数a和b恒成立，
当且仅当（2a＋b）（2a－b）≥0时取等号，
∴
|2a＋b|＋|2a－b|
的最小值等于4.
|a|
|2a＋b|＋|2a－b|
恒成立，
|a|
（2）∵|2 ＋x|＋|2－x|≤
故|2＋x|＋|2－x|不大于
|2a＋b|＋|2a－b|
的最小值.
|a|
|2a＋b|＋|2a－b|
由（1）可知的最小值等于4.
|a|
实数x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解，
解不等式得－2≤x≤2，
∴x的取值范围是[－2，2].
【思路点拨】利用绝对值的三角不等式求解
【答案】（1）最小值等于4；（2）[－2，2]
21.（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3.
（1）当a＝－2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
a1
（2）设a＞－1 时，且当x∈
[?,)
时，f（x）≤g（x），求a的取值范围.
22
【知识点】绝对值不等式、恒成立问题
【数学思想】分类与整合思想
【解题过程】

（1）当a＝－2时，不等式f（x）＜g（x）化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
?
?
1
则y＝
?
－x－2，
2
≤x≤1，
?
?
3x－6，x＞1 ，
＜x＜2}.
1
－5x，x＜
2
，


其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈（0，2）时，y＜0，所以原不等式的解集是{x|0
a1
（2）当x∈
[?,)
时，f（x）＝1＋a，
22
不等式f（x）≤g（x）化为1＋a≤x＋3，
a4
a1
所 以x≥a－2对x∈
[?,)
都成立，故－
2
≥a－2，即a≤
3< br>.
22
4
从而a的取值范围是
(?1,]
.
3
【思路点拨】利用分类讨论的思想转化为一般不等式的求解
4
【答案】（1）{x|0＜x＜2}；（2）
(?1,]
.
3
22.（本小题满分12分）
某小区要建一座八边形的休闲小区，如图1所示，它 的主体造型的平面图是由两个相同的矩
形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字形地域. 计划在正方形MNPQ上建一座花

坛，造价为每平方米4 200元，并在四周的四个相 同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，
造价为每平方米210元，再在四个空角上铺草坪，造价为 每平方米80元.

图1
（1）设总造价为S元，AD长为x米，试求S关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，S取得最小值？并求出这个最小值.
【知识点】均值不等式
2
200－x
【解题过程】（1）设DQ＝y米，又AD＝x米，故x
2
＋4 xy＝200，即y＝
4x
.
200?x
2
2
依题意，得S＝4 200x＋210×4xy＋80×2y＝4 200x＋210（200－x）＋160
()

4x
2222
200－x
400 000
＝38 000＋4 00 0x＋
x
2
.依题意x>0，且y＝
4x
>0，∴02
2
故所求函数为S＝38 000＋4 000x
2
＋
（2）因为x>0，所以S≥38 000＋2
400 000
x
2
，x∈（0，102）.
400 000400 000
4 000x
2
·
x
2
＝118 000，当且仅当4 000x
2
＝
x
2
，
即x＝10时取等号.∴当x＝10∈（0，102）时，S
min
＝118 000元.故AD＝10米时，S有最
小值118 000元.
【思路点拨】将实际问题转抽象为数学问题，利用均值不等式求最值
【答案】（1）S＝38 000＋4 000x
2
＋
000元
400 000
x
2
，x∈（0，102）（2）当x＝10∈时，S
min
＝118