2016湖北省高中数学竞赛-高中数学必修5在高几讲
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.2 绝对值不等式
1.2.2 绝对不等式的解法
A级 基础巩固
一、选择题
1.不等式|x-2|>x-2的解集是( )
A.(-∞,2)
B.(-∞,+∞)
C.(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)
解析:原不等式同解于x-2<0,即x<2.
答案:A
2.不等式|x|·(1-2x)>0的解集是( )
A.
?
?
?
-∞,
1
?
2
?
?
B.(-∞,0)∪<
br>?
?
1
?
?
0,
2
?
?
C.
?
?
1
?
?
2
,+∞
??
D.
?
?
?
0,
1
?
2?
?
解析:原不等式等价于
?
?
?
x≠0,
1
?
?
1-2x>0
,解得x<
2
且x≠0, <
br>即x∈(-∞,0)∪
?
?
?
0,
1
?
2<
br>?
?
.
答案:B
3.(2017·天津卷)设θ∈R,则“
?
?
π
?
θ
-
?
π
12
??
<
12
”是“sin
( )
1
<
1
2
”
θ
的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
?
πππ
π
?
π
??
解析:因为
θ
-
<,所以-<θ-<,
121212
12
?
12
?
即0<θ<
π
.
6
π
1
显然0<θ<时,sin
θ
<成立.
62
π
1
但sin
θ
<时,由周期函数的性质知0<θ<不一定成立.
26
?
π?
π
1
故
?
θ
-
?
<是sin
θ
<的充分而不必要条件.
2
12
?
12
?
故选A.
答案:A
4.若不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a的取值为
( )
A.8
C.-4
B.2
D.-8
解析:原不等式化为-6<ax+2<6,即-8<ax<4.
又因为-1<x<2,所以验证选项易知a=-4适合.
答案:C
5.当|x-2
|<a时,不等式|x
2
-4|<1成立,则正数a的取值范
围是( )
A.a>5-2
C.a≥5-2
B.0<a≤5-2
D.以上都不正确
2
解析:由|x-2|<a,得-a+2<x<a+2,
由|x
2
-4|<1,得3<x<5或-5<x<-3.
?
?
a+2≤5,
所以
?
即0<a≤5-2,
?
?
-a+2≥3,
?
?
a+2≤-3,
或
?
无解.
?
?
-a+2≥-5,
答案:B
二、填空题
6.若关于x的不等式|x+2|+|x-1|范围是_________
_______.
解析:|x+2|+|x-1|≥|(x+2)-(x-1)|=3,所以a≤3.
答案:(-∞,3]
4
7.若不等式|x+1|+|x-3|≥a+对任意的实数x
恒成立,则实
a
数a的取值范围是________.
解析:当a<0时,显然成立;
4
因为|x+1|+|x-3|的最小值为4,所以a+≤4.所以a=2,
a
综上可知a∈(-∞,0)∪{2}.
答案:(-∞,0)∪{2}
8
.设函数f(x)=|2x-1|+x+3,若f(x)≤5,则x的取值范围是
__________
______.
解析:f(x)≤5?|2x-1|+x-2≤0,
?
?
2x-1≥0,
1
①
?
解得≤x≤1. 2
?
2x-1+x-2≤0,
?
?
?
2x-1<0,<
br>1
?
②解得-1≤x<.
2
?
-2x+1+x-2≤0,
?
3
综上可得-1≤x≤1.
答案:[-1,1]
三、解答题
9.已知函数f(x)=|x-a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;
(2)在(1
)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,
求实数m的取值范围.
解:(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},
?
?
a-3=-1,
所以
?
,解得a=2.
?<
br>?
a+3=5,
(2)由(1)知a=2,此时f(x)=|x-2|,设g(x)=f
(x)+f(x+5)=|x
-2x-1,x<-3,
?
?
-2|+|x+3
|,于是g(x)=
?
5,-3≤x≤2,
?
?
2x+1
,x>2.
利用g(x)的单调性,易知g(x)的最小值为5.
因此,若g(x)=f(x
)+f(x+5)≥m对x∈R恒成立,则m≤g(x)
min
.
即实数m的取值范围是(-∞,5].
10.(2016·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设g(x)=|2x-1|,当x
∈R时,f(x)+g(x)≥3,求实数a的取
值范围.
解:(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.
解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.
(2)当x∈R时,
4
f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|2x-1|≥|2
x-a+1-2x|+a=|1-a|+
a.
所以f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①
当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解;
当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).
B级 能力提升
1.不等式|x+3|-|x-1|≤a
2
-3a对任意实
数x恒成立,则实数
a的取值范围为( )
A.(-∞,-1]∪[4,+∞)
B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.[1,2]
D.(-∞,1]∪[2,+∞)
解析:由绝对值的几何意义得|x+3|-|x-1|的最
大值为4,所以
a
2
-3a≥4恒成立,即a≥4或a≤-1.
答案:A
2.若关于x的不等式|x+1|≥kx恒成立,则实数k的取值范围
是________.
解析:作出y=|x+1|与y=kx的图象,如图,当k<0时,直线
一定经过第二、第四象
限,从图看出明显不恒成立;当k=0时,直
线为x轴,符合题意;当k>0时,要使|x+1|≥kx
恒成立,只需 k
≤1.
5
综上可知,实数k的取值范围为[0,1].
答案:[0,1]
3.已知不等式|x+2|-|x+3|>m,分别求出满足以下条件的m的
取值范围.
(1)若不等式有解;
(2)若不等式解集为R;
(3)若不等式解集为?.
解:法一 因为|x+2|-|x+3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)
与两定点A(-
2),B(-3)距离的差.
即|x+2|-|x+3|=|PA|-|PB|.
由图象知
(|PA|-|PB|)
max
=1,(|PA|-|PB|)
min
=-1
.
即-1≤|x+2|-|x+3|≤1.
(1)若不等式有解,m只要比|x+2|-|
x+3|的最大值小即可,即
m<1,m的取值范围为(-∞,1).
(2)若不等式的解集
为R,即不等式恒成立,m要比|x+2|-|x+
3|的最小值还小,即m<-1,m的取值范围为(
-∞,-1).
(3)若不等式的解集为?,m只要不小于|x+2|-|x+3|的最大值即
可,即m≥1,m的取值范围为[1,+∞).
法二 由|x+2|-|x+3|≤|(x+2)-
(x+3)|=1,|x+3|-|x+2|≤|(x
+3)-(x+2)|=1,可得-1≤|x+2
|-|x+3|≤1.
(1)若不等式有解,则m∈(-∞,1).
(2)若不等式解集为R,则m∈(-∞,-1).
(3)若不等式解集为?,则m∈[1,+∞).
6