人教版高中数学选修4-5测试题全套及答案

最新人教版高中数学选修4-5测试题全套及答案
第一讲 不等式和绝对值不等式
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合
题目要求的)
?
3
?
1．设集合A＝{x |y＝log
2
(4－2x－x)}，B＝
?
x
?
x＋1< br>≥1
?
?
?
2

?
?
?
，则A∩B等于( )
?
?
A．{x|－1B．{x|－3C．{x|－1D．{x|－1－5解析： 不等式4－2x－x
2
>0可转化为
x
2
＋2x－4<0，解得－1－5∵A＝{x|－1－5x－2
3
不等式≥1可转化为≤0，
x＋1x＋1
解得－1∴A∩B＝{x|－1答案： A
2．不等式
?
?
x＋1
?
<1的解集为( )
?
?
x－1
?
B．{x|0D．{x|x<0}
A．{x|01}
C．{x|－1解析： 方法一：特值法：显然x＝－1是不等式的解，故选D.
方法二：不等式等价于|x＋1|<|x－1|，
即(x＋1)
2
<(x－1)
2
，解得x<0，故选D.
答案： D
3．设a，b是正实数，以下不等式
2ab
①ab>，②a>|a－b|－b，
a＋b
③a
2
＋b
2
>4ab－3b
2
，④ab＋
恒成立的序号为( )
A．①③
C．②③
解析：

2
>2
ab
B．①④
D．②④
2ab2ab2ab2
≤＝ab，即ab ≥，故①不正确，排除A、B；∵ab＋≥22>2，即④正确．
ab
a＋b
2ab
a＋b
1

答案： D
11
4．已知a>0，b>0，则＋＋2ab的最小值是( )
ab
A．2
C．4
B．22
D．5
112
解析： ∵a>b，b>0，∴＋≥，当且仅当a＝b时取等号，
ab
ab
112
∴＋＋2ab≥＋2ab≥2
ab
ab
当且仅当a＝b ＝1且
答案： C
5．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )
A．|a＋b|＋|a－b|＞2
B．|a＋b|＋|a－b|＜2
C．|a＋b|＋|a－b|＝2
D．不可能比较大小
解析： 当(a＋b)(a－b)≥0时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2，
当(a＋b)(a－b)＜0时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.
答案： B 11
6．设x，y?R，a>1，b>1.若a
x
＝b
y
＝3， a＋b＝23，则＋的最大值为( )
xy
A．2
C．1
3
B.
2
1
D.
2
2
·2ab＝4.
ab
211
＝2ab时成立，能取等号，故＋＋2ab的最小值为4，故选C.
ab
ab
解析： ∵a
x
＝b
y
＝3，∴x＝lo g
a
3，y＝log
b
3，
1111
∴＋＝＋＝log
3
a＋log
3
b
x ylog
a
3log
b
3
?a＋b?
2
＝log< br>3
ab≤log
3
＝log
3
3＝1，故选C.
4
答案： C
7．0A．| log
1
＋
a
(1－a)|＋|log
(1
－
a)
(1＋a)|>2
B．|log
1
＋
a
(1－a)|<| log
(1
－
a)
(1＋a)|
C．|log
(1
＋
a)
(1－a)＋log
(1
－
a)
(1＋a)|<| log
(1
＋
a)
(1－a)|＋|log
(1
－
a)
(1＋a)|
D．|log
(1
＋
a)
(1－a)－ log
(1
－
a)
(1＋a)|>|log
(1
＋
a)
(1－a)|－|log
(1
－
a)
(1＋a)|

2

1
解析： 令a＝，代入可排除B、C、D.
2
答案： A
8．若实数a，b满足a＋b＝2，则3
a
＋3
b
的最小值是( )
A．18
C．23
＋
B．6
4
D.3
解析： 3
a
＋3
b
≥23
a
·3
b＝23
ab
＝23
2
＝6.
答案： B
9．已知|a|≠|b|，m＝
A．m＞n
C．m＝n
解析： ∵|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，
|a|－|b||a|－|b|
∴m＝≤＝1，
|a－b||a|－|b|
|a|＋|b||a|＋|b|
n＝≥＝1，∴m≤1≤n.
|a＋b||a|＋|b|
答案： D
10．某工厂年产值第二年比第一年增长的百 分率为p
1
，第三年比第二年增长的百分率为p
2
，第四年比
第三年 增长的百分率为p
3
，则年平均增长率p的最大值为( )
3
A.p
1
p
2
p
3

p
1
p
2
p
3
C.
3
解析： ∵(1＋p)
3
＝(1＋p
1
)(1＋p
2
)(1＋p3
)，
1＋p
1
＋1＋p
2
＋1＋p
33
∴1＋p＝?1＋p
1
??1＋p
2
??1＋p
3< br>?≤，
3
p
1
＋p
2
＋p
3
∴p≤.
3
答案： B
11．若a，b，c>0，且a
2
＋2ab＋2ac ＋4bc＝12，则a＋b＋c的最小值是( )
A．23
C．2
解析： a
2
＋2ab＋2ac＋4bc
＝a(a＋2c)＋2b(a＋2c)
＝(a＋2c)(a＋2b)
B．3
D.3
p
1
＋p
2
＋p
3
B.
3
?1 ＋p
1
??1＋p
2
??1＋p
3
?
D．2
3
|a|－|b||a|＋|b|
，n＝，则m，n之间的大小关系是( )
|a－b||a＋b|
B．m＜n
D．m≤n

3

≤
?
?a＋2c?＋?a＋2b?
?
2< br>2
??
，
∴(a＋b＋c)
2
≥12，又a，b，c>0，
∴a＋b＋c≥23.
答案： A
1＋cos 2x＋8sin
2
x
π
12．当02sin 2x
A．2
C．4
B．23
D．43
2cos
2
x＋8 sin
2
x1＋4tan
2
x
解析： 方法一：f(x)＝＝
2sin xcos xtan x
1
＝4tan x＋≥4.
tan x
1
这里tan x>0，且tan x＝时取等号．
2
1＋cos 2x＋8sin
2
x5－3cos 2x
方法二：f(x)＝＝(0<2x<π)．
sin 2xsin 2x
5－3cos 2x
令μ＝，有μsin 2x＋3cos 2x＝5.
sin 2x
μ
2
＋9sin(2x＋φ)＝5,
∴sin(2x＋φ)＝
5
.
μ
2
＋9
5
??
∴
?
2
?
≤1，得μ
2
≥16.
?
μ
＋9
?
∴μ≥4或μ≤－4.又μ>0.
答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
α－β
ππ
13．已知－≤α＜β≤，则的取值范围是________．
222
ππ
解析： 利用不等式的性质进行求解．由－≤α＜β≤可得．
22
π
α－β
答案： －≤＜0.
22
14．设集合S＝ {x||x－2|>3}，T＝{x|a解析: ∵|x－2|>3，
∴x－2>3或x－2<－3，
∴x>5或x<－1，
即S＝{x|x>5或x<－1}．
又∵T＝{x|a
4

?
?
a<－1
∴画数轴可知a需满足
?
，
?
a＋8>5
?

∴－3
答案： －3?x＋5??x＋2?
15．设x>－1，求函数y＝的最小值为________．
x＋1
解析： ∵x>－1，∴x＋1>0，
?x＋5??x＋2?[?x＋1?＋4][?x＋1?＋1]
y＝＝
x＋1x＋1
＝(x＋1)＋5＋
4
≥2·
x＋1
4
?x＋1?·＋5＝ 9.
x＋1
4
当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立．
x＋1
∴y的最小值是9.
答案： 9
16．某商品进货价每件50元， 据市场调查，当销售价格(每件x元)在5010
5
＝，若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为____________元．
?x－40?
2
解析： 设销售价格定为每件x元(5010
5
?x－50?
y＝(x－50)·P＝，
?x－40?
2
设x－50＝t，则010
5
t10
5
t
∴y＝＝
?t＋10?
2
t
2
＋20t＋100
10
5
10
5
＝≤＝2 500.
100
20＋20
t＋＋20
t
当且仅当t＝ 10，即x＝60时，y
max
＝2 500.
答案： 60
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) x
17．(12分)已知30＜x＜42,16＜y＜24，求x＋y，x－2y，的取值范围．
y
解析： ∵30＜x＜42,16＜y＜24，
∴46＜x＋y＜66.
∵16＜y＜24，
∴－48＜－2y＜－32，
∴－18＜x－2y＜10.

5

∵30＜x＜42，
∴
111
＜＜.
24y16
5x21
∴＜＜.
4y8
ab
18．(12分)已知a，b，x，y?R
＋
，x，y为变量，a ，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小
xy
值为18，求a，b.
解析： ∵x＋y＝(x＋y)
?
ab
?
x
＋
y< br>?
?

＝a＋b＋
bx
y
＋
ay
x
≥a＋b＋2ab
＝(a＋b)
2
，
当且仅当
bxay
y
＝
x
时取等号．
又(x＋y)
min
＝(a＋b)
2
＝18，
即a＋b＋2ab＝18
又a＋b＝10
由①②可得
?
?
?
a＝2
?
或
?
?
?
a＝8
?
b＝8

?
?
b＝2

.
19．(12分)解不等式|x＋1|＋|x|<2.
解析： 方法一：利用分类讨论的思想方法．
当x≤－1时，－x－1－x<2，解得－
3
2
当－1当x≥0时，x＋1＋x<2，解得0≤x<
1
2
.
因此，原不等 式的解集为
?
?
?
x|－
31
?
2
2
?
?
.
方法二：利用方程和函数的思想方法．

令f(x)＝|x＋1|＋|x|－2
?
2x－1?x≥0?，
＝
?
?
－1?－1≤x<0?，
?

?
－2x－3?x<－1?.

作函数f(x)的图象(如图)，


6
①
②

31
知当f(x)<0时，－22
故原不等式的解集为
31
??
?
x|－?
.
22
??
方法三：利用数形结合的思想方法．
由绝对值的几何意义知，|x ＋1|表示数轴上点P(x)到点A(－1)的距离，|x|表示数轴上点P(x)到点O(0)
的距离 ．
由条件知，这两个距离之和小于2.
作数轴(如图)，知原不等式的解集为
31
??
?
x|－?
.
22
??

方法四：利用等价转化的思想方法．
原不等式? 0≤|x＋1|＜2－|x|，
∴(x＋1)
2
＜(2－|x|)
2
，且|x|＜2，
即0≤4|x|＜3－2x，且|x|＜2.
∴16x
2
＜(3－2x)
2
，且－2＜x＜2.
31
解得－＜x＜.故原不等式的解集为
22
?
?
31< br>?
?
x
－＜x＜
?
.
2
??
?
2

4
20．(12分)求函数y＝3x＋
2
(x>0)的最值．
x
解析： 由已知x>0，
43x3x4
∴y＝3x＋
2
＝＋＋
2

x22x
≥3
3
3x3x4
3
··
2
＝39，
2 2x
3
3x3x429
当且仅当＝＝
2
，即x＝时，取等号． 22x3
3
294
3
∴当x＝时，函数y＝3x＋
2
的 最小值为39.
3x
21．(12分)在某交通拥挤地段，交通部门规定，在此地段内的车距 d(m)正比于车速v(kmh)的平方与
车身长s(m)的积，且最小车距不得少于半个车身长，假定 车身长均为s(m)，且车速为50 kmh时车距恰为
车身长s，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此地段的车流量Q最大？
解析： 由题意，知车身长s为常量，车距d为变量．且

7

11
d＝kv
2
s，把v＝50，d＝s代入，得k＝，把d＝s代入
2 5002
1
2
d＝
v
s，得v＝252.所以
2 500
?
d＝
?
1
?
2 500
v< br>s?v>25
2
1
s?02
2?.

2
则车流量
?
1 000v
?
Q＝＝
d＋s
?
1 000v
?v>25
v
?
?
s?1＋
2 500
?
1 000v
50 0002
Q
1
＝＝.
33s
s
2
当v>252时，
Q
2
＝
1 000v
1 000
＝
2
v
?

v
?
?
1
?
s
1＋
2 500
s
v
＋
2 500
??
??
1 000v
?03
s
2
2?.


当0≤
1 00025 000
＝.
s
1
v
s·2
v
·
2 500
v
125 000
当且仅当
v
＝，即v＝50时，等号成立． 即当v＝50时，Q取得最大值Q
2
＝.因为Q
2
>Q
1
，
2 500s
所以车速规定为50kmh时，该地段的车流量Q最大．
?
f?x? ?x>0?
?
22．(14分)已知函数f(x)＝ax
2
－4(a为非零实数)，设函数F(x)＝
?
.
?
－f?x??x<0?
?

(1)若f(－2)＝0，求F(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，解不等式1≤|F(x)|≤2；
(3)设mn<0，m＋n>0，试判断F(m)＋F(n)能否大于0?
解析： (1)∵f(－2)＝0，∴4a＋4＝0，
得a＝－1，∴f(x)＝－x
2
＋4，
2
?
?
－x＋4 ?x>0?
F(x)＝
?
2
.
?
x－4 ?x<0?
?

(2)∵|F(－x)|＝|F(x)|，
∴|F(x)|是偶函数，
故可以先求x>0的情况．

8

当x>0时，由|F(2)|＝0，
故当0解不等式1≤－x
2
＋4≤2，得2≤x≤3；
x>2时，解不等式1≤x
2
－4≤2，得5≤x≤6；
综合上述可知原不等式的解集为
{x|2≤x≤3或5≤x≤6或－3≤x≤－2或－6≤x≤－5}．
(3)∵f(x)＝ax
2
＋4，
2
?
?
ax＋4 ?x>0?
∴F(x)＝
?
，
2
?
－ax－4 ?x<0?
?

∵mn<0，不妨设m>0，则n<0.
又m＋n>0，∴m>－n>0，∴m
2
>n
2
，
∴F(m)＋F(n)＝am
2
＋4－an
2
－4
＝a(m
2
－n
2
)，
所以：当a>0时，F(m)＋F(n)能大于0，
当a<0时，F(m)＋F(n)不能大于0.
第二讲 证明不等式的基本方法
一 、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题 目要求的)
ab
1．已知
2
>
2
，则下列不等式一定成立的是( )
cc
A．a
2
>b
2

11
C.>
bc
B．lg a>lg b
1
?
b
?
1
?
a
D.
?
?
3
?
>
?
3
?

ab
解析： 从已知不等式入手：
2
>
2
?a>b(c≠0)，其中a，b可异号或其中一个为0，由此否定A、B、cc
C，应选D.
答案： D
11
2．若<<0，则下列结论不正确的是( )
ab
A．a
2
2

ba
C.＋>2
ab
B．ab2

D．|a|＋|b|>|a＋b|
11
b－a
?
?
?
?
－<0
<0
11解析： 因为<<0?
?
ab
?
?
ab
?bab
?
?
?
a<0且b<0
?
a<0，b<0由此判定A、B、C正确，应选D.
答案： D

9

3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x
3
＋a x＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x
3
＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x
3
＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x
3
＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x
3
＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析： 反证法证明问题时， 反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方
程x
2
＋ax＋ b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x
2
＋ax＋b＝0没有实根．故应选A.
答案： A
4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析： 至少有一个不大于60度是指三个内角有一个或者两个或者三个小于或等于60°.所以，反设
应该是它的对立情况，即假设三内角都大于60度．
答案： B
5．设x>0，y>0，x＋y＝1，x＋y的最大值是( )
A．1
C.
2

2
B.2
D.
3

2
解析： ∵x>0，y>0，∴1＝x＋y≥2xy，
1
∴≥xy，
2
1
∴x＋y≤2?x＋y?＝2(当且仅当x＝y＝时取“＝”)．
2
答案： B
6．用分析法证明：欲使①A>B，只需②CA．充分条件
C．充要条件
B．必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析： 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②?①，所以①是②的必要条件．
答案： B
7．已知0A．log
2
a>0
C．log
2
a＋log
2
b<－2
1
－
B．2
ab
<
2
1
＋
D．2
ba
<
2
ab
12
解析： 方法一：特值法令a＝，b＝代入可得．
33

10

方法二：因为0所以02
a<0.
1
－
－1ab
<1，
2
ba
ba
＋
又因为＋>2所以2
ab
>4， < br>ab
而ab<
?
a＋b
?
2
1
?
2
?
＝
4
，
所以log
2
a＋log
2
b<－2成立．
答案： C
11
8．a>0，b>0，则“a>b”是“a－>b－”成立的( )
ab
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
a－b1
11
1＋
?
. 解析： a－－b＋＝a－b＋＝(a－b)
?
?
ab
?
abab< br>∵a>0，b>0，
1
11
1＋
?
>0?a－>b－. ∴ a>b?(a－b)
?
?
ab
?
ab
11
可得“a >b”是“a－>b－”成立的充要条件．
ab
答案： C
9．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是( )
11
?
A． (a＋b)
?
?
a
＋
b
?
≥4
C．a
2
＋b
2
＋2≥2a＋2b
11
?
解析： 因为(a＋b)
?
2
?
a
＋
b
?
≥2ab·
B．a
3
＋b
3
≥2a b
2

D.|a－b|≥a－b
1
＝4，所以A正确．
ab
a
3
＋b
3
≥2ab
2
?(a－b)(a2
＋ab－b
2
)≥0，但a，b大小不确定，所以B错误．
(a2
＋b
2
＋2)－(2a＋2b)＝(a－1)
2
＋(b－1)
2
≥0，所以C正确．
|a－b|≥a－b?|a－b|＋b≥a?b?a－b?≥0，所以D正确．
答案： B
a
2
b
2
10．设a，b?R
＋
，且a≠b，P＝ ＋，Q＝a＋b，则( )
ba
A．P>Q
C．PB．P≥Q
D．P≤Q

11

a
3
＋b
3
－ab?a＋b??a＋b??a
2
＋b
2
－2ab?? a＋b??a－b?
2
a
2
b
2
解析： P－Q＝＋－(a＋b)＝＝＝.
baababab
∵a，b都是正实数，且a≠b，
?a＋b??a－b?
2
∴>0，∴P>Q.
ab
答案： A < br>11．若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝e
x
，则有( )
A．f(2)C．f(2)B．g(0)D．g(0)解析： 因为函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数．
所以f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)＝e
x
，
－


①
② f(x)－g(x)＝e
x
，
①②联立，解之得

e
x
－e
x
e
x< br>＋e
x
f(x)＝，g(x)＝－代入数值比较可得．
22
－－
答案： D
1a
12．“a＝”是“对任意的正数x,2x＋≥1”的( )
8x
A．充分不必要条件
C．充要条件
a
解析： 因为2x＋≥2
x
1
当a＝时22a＝1.
8
a
但当a＝2时，22a＝4，当然有2x＋≥1所以是充分不必要条件．
x
答案： A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13．设a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a，b，c的大小顺序是__________．
解析： 用分析法比较，a>b?3＋5>2＋6?8＋215>8＋212，同理可比较得b>c.
答案： a>b>c
14．已知三个不等式：
cd
(1)ab>0；(2)－<－；(3)bc>ad.
ab
以其中两个作为条件，余下一个作为结论，为________．
解析： 运用不等式性质进行推理，从较复杂的分式不等式(2)切入，去寻觅它与(1)的联系．
cdcdcd
－<－
?
>
?
－>0
ababab
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
a
2x·＝22a，
x

12

?
bc－ad
>0?ab·(bc－ad)>0.
ab
答案： (1)、(3)?(2)；(1)、(2)?(3)；(2)、(3)?(1)
1
15．若f (n)＝n
2
＋1－n，g(n)＝n－n
2
－1，φ(n)＝，则f(n) ，g(n)，φ(n)的大小顺序为________．
2n
解析： 因为f(n)＝n2
＋1－n＝
g(n)＝n－n
2
－1＝
1
.
2
n－1＋n
1
，
n
2
＋1＋n
又因为 n
2
－1＋n<2n2
＋1＋n，
所以f(n)<φ(n)答案： g(n)>φ(n)>f(n)
16．完成反证法整体的全过程．
题目：设a
1
，a
2
， ?，a
7
是1,2,3，??，7的一个排列，
求证：乘积p＝(a
1－1)(a
2
－2)?(a
7
－7)为偶数．
证明：反设p为奇数，则________均为奇数．
因奇数个奇数的和还是奇数，所以有
奇数＝________.
＝________.
＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
解析： 反设p为奇数，则(a
1
－1)，(a
2
－2)，?，(a
7
－7)均为奇数．
因为数个奇数的和还是奇数，所以有
奇数＝(a
1
－1)＋(a
2
－2)＋?＋(a
7
－7)
＝(a
1
＋a
2＋?＋a
7
)－(1＋2＋3＋?＋7)＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
答案： (a
1
－1)，(a
2
－2)，?，(a
7
－7)
(a
1
－1)＋(a
2
－2)＋?＋(a
7
－7)
(a
1
＋a
2
＋?＋a
7
)－(1＋2＋3＋?＋ 7)
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) < br>17．(12分)若a2
b＋b
2
c＋c
2
a2
c＋b
2
a＋c
2
b.
证明： ∵a∴a－b<0，b－c<0，a－c<0，
于是：a2
b＋b
2
c＋c
2
a－(a
2
c＋b
2
a＋c
2
b)
＝(a
2
b－a
2
c )＋(b
2
c－b
2
a)＋(c
2
a－c
2
b)
＝a
2
(b－c)＋b
2
(c－a)＋c
2
(a－b)
＝a
2
(b－c)－b
2
(b－c)＋c
2
(a－b)－b
2
(a－b)

13
①




②
③

＝(b－c)( a
2
－b
2
)＋(a－b)(c
2
－b
2
)
＝(b－c)(a－b)(a＋b)＋(a－b)(c－b)(c＋b)
＝(b－c)(a－b)[a＋b－(c＋b)]
＝(b－c)(a－b)(a－c)<0，
∴a
2
b＋b
2
c＋c
2
a2＋bc
2
＋ca
2
.
18．(12分)已知a，b，c?R
＋
，且a＋b＋c＝1.
1
??
1
??
1
?
求证：
?
?
a
－ 1
??
b
－1
??
c
－1
?
≥8.
证明： ∵a，b，c∈R
＋
，a＋b＋c＝1，
1－ab＋c
bc2bc1
∴－1＝＝＝＋≥，
aaaaaa
12ac12ab
同理－1≥，－1≥.
bbcc
由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
1
??
1< br>??
1
?
2bc2ac2ab
∴
?
?
a－1
??
b
－1
??
c
－1
?
≥a
·
b
·
c
＝8.
1
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
3
19．(12分)求证：3＋8>1＋10.
证明： 用分析法证明
8＋3>1＋10
?8＋3＋224>1＋10＋210
?224>210
?24>10.
最后一个不等式是成立的，故原不等式成立．
1＋y1＋x
20．(12分)若x，y>0，且x＋y>2，则和中至少有一个小于2.
xy
1＋y1＋x
证明： 反设≥2且≥2，
xy
∵x，y>0，
∴1＋y≥2x,1＋x≥2y两边相加，则
2＋(x＋y)≥2(x＋y)，可得x＋y≤2，与x＋y>2矛盾，
∴
1＋y1＋x
和中至少有一个小于2.
xy
21．(12分)已 知a，b，c，d都是实数，且a
2
＋b
2
＝1，c
2
＋d
2
＝1，求证|ac＋bd|≤1.
证明： 证法一(综合法) 因为a，b，c，d都是实数，所以
a
2
＋c
2
b
2＋d
2
|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤＋
22

14

a
2
＋b
2
＋c
2
＋d
2
＝.
2
又因为a
2
＋b
2
＝1，c
2
＋d2
＝1.
所以|ac＋bd|≤1.
证法二(比较法) 显然有
|ac＋bd|≤1?－1≤ac＋bd≤1.
先证明ac＋bd≥－1.
∵ac＋bd－(－1)
11
＝ac＋bd＋＋
22
a
2
＋b
2
c
2
＋d
2
＝ac＋bd＋＋
22
?a＋c?
2
＋?b＋d?
2
＝≥0.
2
∴ac＋bd≥－1.
再证明ac＋bd≤1.
11
∵1－(ac＋bd)＝＋－(ac＋bd)
22
a
2
＋b
2
c
2
＋d
2
＝＋－ac－bd
22
?a－c?
2
＋?b－d?
2
＝≥0，
2
∴ac＋bd≤1.
综上得|ac＋bd|≤1.
证法三(分析法) 要证|ac＋bd|≤1.
只需证明(ac＋bd)
2
≤1.
即只需证明 a
2
c
2
＋2abcd＋b
2
d
2
≤1. ①
由于a
2
＋b
2
＝1，c
2
＋d
2< br>＝1，因此①式等价于
a
2
c
2
＋2abcd＋b
2
d
2
≤(a
2
＋b
2
)(c
2
＋d
2
)
将②式展开、化简，得(ad－bc)
2
≥0.




②
③
因为a，b，c，d都是实数，所以③式成立，即①式成立，原命题得证．
22．(14分) 数列{a
n
}为等差数列，a
n
为正整数，其前n项和为S
n
，数列{b
n
}为等比数列，且a
1
＝3，b
1
＝1，数 列{ba
n
}是公比为64的等比数列，b
2
S
2
＝64.
(1)求a
n
，b
n
；
1113
(2)求证：＋＋?＋<.
S
1
S
2
S
n
4
解析： (1)设{a
n
}的公差为d，{b
n
}的公比为q，则d为正整数，
a
n
＝3＋(n－1)d，b
n
＝q
n1
，
－

15

ba
n
＋1q
?
?
ba
＝
3
＋
?n
－
1?d
＝q
d
＝64＝2
6
，
q
n
依题意有
?< br>①
?
?
S
2
b
2
＝?6＋d?q＝64，
由(6＋d)q＝64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一，
解①得d＝2，q＝8.
故a
n
＝3＋2(n－1)＝2n＋1，b
n
＝8
n1
.
－
3
＋
nd

(2)证明：∵S
n
＝3＋5＋?＋(2n＋1)＝n(n＋2)．
1111111
∴＋＋?＋＝＋＋＋?＋
S
1
S
2
S
n
1×32×43×5n?n＋2?
1111111
1
＝
?
1－
3
＋
2
－
4
＋
3
－5
＋?＋
n
－
n＋2
?

2
??111
13
＝
?
1＋
2
－
n＋1
－< br>n＋2
?
<.
2
??
4


第三讲 柯西不等式与排序不等式

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的)
1．若a，b?R，且a
2
＋b
2
＝10，则a＋b的取值范围是( )
A．[－25，25]
C．[－10，10]
解析： 由(a
2
＋b
2
)(1＋1)≥(a＋b)
2
，
所以a＋b∈[－25，25]，故选A.
答案： A
22222
2．若 x
1
＋x
2
2
＋?＋x
n
＝1，y
1＋y
2
＋?＋y
n
＝1，则x
1
y
1
＋x
2
y
2
＋?＋x
n
y
n
的最大值是( )
B．[－210，210]
D．[－5，5]
A．2
C．3
B．1
3
D.
3

3
22222
解析： 由(x
1
y
1
＋x
2
y
2
＋?＋x
n
y
n
)
2
≤(x
1
＋x
2
2
＋?＋x
n
)(y
1
＋y
2
＋?＋y
n< br>)＝1，故选B.
答案： B
3．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、 50件、20件，现在选择商店中单价为5元、3元、
2元的奖品，则至少要花( )
A．300元
C．320元

B．360元
D．340元
16
解析： 由排序原理知，反序和最小为320，故选C.

答案： C
111
4．已知a，b，c为非零实数，则(a
2
＋b
2
＋c
2
)
?
?
a
2
＋
b
2
＋
c
2
?
?
的最小值为( )
A．7 B．9
C．12 D．18
解析： 由(a
2
＋b
2
＋c
2
)
?
111
?
a
2＋
b
2
＋
c
2
?
?

≥?
111
?
a·
a
＋b·
b
＋c·
c
?
?
2

＝(1＋1＋1)
2
＝9，
∴所求最小值为9，故选B.
答案： B
5．设a，b，c≥0，a
2< br>＋b
2
＋c
2
＝3，则ab＋bc＋ca的最大值为( )
A．0 B．1
3
C．3 D.
3
3

解析： 由排序不等式a
2
＋b
2
＋c
2
≥ab＋bc＋ac，
所以ab＋bc＋ca≤3.故应选C.
答案： C
6．表达式x1－y
2
＋y1－x
2
的最大值是( )
A．2 B．1
C.2 D.
3
2

解析： 因为x1－y
2
＋y1－x
2
≤
?x
2
＋1－x
2
??1－y
2
＋y
2
?＝1，故选B.
答案： B
7．已知不等式(x＋y)
?
11
?
x
＋
y< br>?
?
≥a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的最大值为(
A．2 B．4
C.2 D．16
解析： 由(x＋y)
?
1
?
x
＋
1
y
?
?
≥(1＋1)
2
＝4，
因 此不等式(x＋y)(x＋y)
?
11
?
x
＋
y
?
?
≥a对任意正实数x，y恒成立，
即a≤4，故应选B.
答案： B
8．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则a＋b＋2c的最大值是( )
A.5 B.3
17
)

C．23 D.
3

2
解析： 1＝a＋b＋4c＝(a)
2
＋(b)
2
＋(2c)
2
< br>1
＝[(a)
2
＋(b)
2
＋(2c)
2
] ·(1
2
＋1
2
＋1
2
)
3
1
≥(a＋b＋2c)
2
·，
3
∴(a＋b＋2c)
2
≤3，即所求为3.
答案： B
9．若a>b>c>d，x＝(a＋b)(c＋d)，y＝(a＋c)(b＋d)，
z＝(a＋d)(b＋c)，则x，y，z的大小顺序为( )
A．xC．x解析： 因a>d且b>c，
则(a＋b)(c＋d)<(a＋c)(b＋d)，
得xb且c>d，
则(a＋c)(b＋d)<(a＋d)(b＋c)，
得y答案： C
10．若0＜a
1
＜a
2,
0＜b
1
＜b2
且a
1
＋a
2
＝b
1
＋b
2
＝1，则下列代数式中值最大的是( )
A．a
1
b
1
＋a
2
b
2

C．a
1
b
2
＋a
2
b
1

B．a
1
a
2
＋b
1
b
2

1
D.
2
B．yD．z解析： 利 用特值法，令a
1
＝0.4，a
2
＝0.6，b
1
＝0.3 ，b
2
＝0.7计算后作答；或根据排序原理，顺序和
最大．
答案： A
16
11．已知a，b，c，d均为实数，且a＋b＋c＋d＝4，a
2
＋b
2
＋c
2
＋d
2
＝，则a的最大值为( )
3
A．16
C．4
B．10
D．2
解析： 构造平面π：x＋y＋z＋(a－4)＝0，
16
球O：x
2
＋y
2
＋z
2
＝－a
2
，
3
则点(b，c，d)必为平面π与球O的公共点，
|a－4|
从而≤
3
16
－a
2
，
3
即a
2
－2a≤0，解得0≤a≤2，
故实数a的最大值是2.

18

答案： D
12．x，y，z是非负实 数，9x
2
＋12y
2
＋5z
2
＝9，则函数u＝3x＋6 y＋5z的最大值是( )
A．9
C．14
解析： u
2
＝(3x＋6y＋5z)
2

≤[(3x)
2
＋(23y)
2
＋(5z)
2
]·[1
2
＋(3)
2
＋(5)
2
]
＝9×9＝81，∴u≤9.
答案： A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
11 1
13．已知a，b，c都是正数，且4a＋9b＋c＝3，则＋＋的最小值是________．
abc
4ac
解析： 由4a＋9b＋c＝3，∴＋3b＋＝1，
33
111
∴＋＋
abc
4c4c4c
a＋3b＋a＋3 b＋a＋3b＋
333333
＝＋＋
abc
43bc4ac14a3b
＝＋＋＋3＋＋＋＋＋
3a3a3b3b 33cc
5
3b4a
??
c4a
??
c3b
?＋
＋
＋
＋
＋
＝3＋＋
?
3
?
a3b
??
3a3c
??
3bc
?
54
≥3＋＋ 4＋＋2＝12.
33
答案： 12
a
2
b
2
14．已知a，b是给定的正数，则
2
＋
2
的最小值是________．
sin
α
cos
α
a
2
b
2
解析 ： ＋
sin
2
α
cos
2
α
ab
?< br>2
2
＋
2
≥(a＋b). ＝(sin
α＋cosα)
?
?
sin
α
cos
α
?
22
22B．10
D．15
答案： (a＋b)
2

15．已知点P 是边长为23的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x，y，z，则x，y，z所满足
的关系式为 ________，x
2
＋y
2
＋z
2
的最小值是____ ____．
解析： 利用三角形面积相等，得
13
×23(x＋y＋z)＝×(23)
2
，
24
即x＋y＋z＝3；
由(1＋1＋1)(x
2
＋y
2
＋z
2
)≥(x＋y＋z)
2
＝9，
则x
2
＋y
2
＋z
2
≥3.

19

答案： x＋y＋z＝3 3
16．若不等式|a －1|≥x＋2y＋2z，对满足x
2
＋y
2
＋z
2
＝1的 一切实数x，y，z恒成立，则实数a的取值
范围是________．
解析： 由柯西不等 式可得(1
2
＋2
2
＋2
2
)(x
2
＋y
2
＋z
2
)≥(x＋2y＋2z)
2
，所以x＋2y＋2z 的最大值为3，故
有|a－1|≥3，
∴a≥4或a≤－2.
答案： a≥4或a≤－2
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知a
2
＋b
2
＝1，x
2
＋y2
＝1.求证：ax＋by≤1.
证明： ∵a
2
＋b
2
＝1，x
2
＋y
2
＝1.
又由柯西不等式知
∴1＝(a
2
＋b
2
)(x
2
＋y
2
)≥(ax＋by)
2

∴1≥(ax＋by)
2
，
∴1≥|ax＋by|≥ax＋by，
∴所以不等式得证．
18．(12分)设x
2
＋2y
2
＝1，求μ＝x＋2y的最值．
解析： 由|x＋2y|＝|1·x＋2·2y|≤1＋2·x
2
＋2y
2
＝3.
x2y3
当且仅当＝，即x＝y＝±时取等号．
13
2
所以，当x ＝y＝
当x＝y＝－
3
时，μ
max
＝3.
3
3
时，μ
min
＝－3.
3
19．(12分) 设a≥b＞0，求证：3a
3
＋2b
3
≥3a
2
b＋2ab
2
.
证明： ∵a≥b＞0，
∴a≥a≥a≥b≥b＞0，a
2
≥a
2
≥a
2
≥b
2
≥b
2
＞0 ，
由顺序和≥乱序和，得
a
3
＋a
3
＋a
3< br>＋b
3
＋b
3
≥a
2
b＋a
2
b＋ a
2
a＋ab
2
＋ab
2
.
又a
2b＋a
2
b＋a
2
a＋ab
2
＋ab
2
≥3a
2
b＋2ab
2
.
则3a
3
＋2b3
≥3a
2
b＋2ab
2
.
20．(12分)已知x ，y，z?R，且x＋y＋z＝3，求x
2
＋y
2
＋z
2
的 最小值．
解析： 方法一：注意到x，y，z∈R，且x＋y＋z＝3为定值，
利用柯西不 等式得到(x
2
＋y
2
＋z
2
)(1
2
＋ 1
2
＋1
2
)≥(x·1＋y·1＋z·1)
2
＝9， < br>从而x
2
＋y
2
＋z
2
≥3，当且仅当x＝y＝z＝ 1时取“＝”号，
所以x
2
＋y
2
＋z
2
的最小值为3.
方法二：可考虑利用基本不等式“a
2
＋b
2
≥2ab”进行求解，

20

由x
2
＋y
2
＋z
2
＝(x＋y＋z)
2
－(2xy＋2xz＋2yz)
≥9－ (x
2
＋y
2
＋x
2
＋z
2
＋y
2
＋z
2
)，
从而求得x
2
＋y
2
＋z
2
≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时取“＝”号，
所以x
2
＋y
2
＋z
2
的最小值为3.
21．(12分)设a，b，c为正数，且不全相等，求证：
2229
＋＋＞.
a＋bb＋cc＋aa＋b＋c
证明： 构造两组数a＋b，b＋c，c＋a；
111
，，，则由柯西不等式得
a＋bb＋cc＋a
111
(a＋ b＋b＋c＋c＋a)
?
a＋b
＋
b＋c
＋
c＋a
?
≥(1＋1＋1)
2
，
??
111
??
＋＋< br>即2(a＋b＋c)
a＋bb＋cc＋a
≥9.
??
2229
于是＋＋≥.
a＋bb＋cc＋aa＋b＋c
2229
于是＋＋≥.
a＋bb＋cc＋aa＋b＋c
由柯西不等式知，
①中有等号成立?
a＋bb＋cc＋a
＝＝
111
a＋bb＋cc＋a
①
?a＋b＝b＋c＝c＋a
?a＝b＝c.
因题设a，b，c不全相等，故①中等号不成立，于是
2229
＋＋＞.
a ＋bb＋cc＋aa＋b＋c
x
2
x
2
x
2
112n
22．(14分)设x
1
，x
2
，?，x
n?R
＋
，且x
1
＋x
2
＋?＋x
n
＝ 1，求证：＋＋?＋≥.
1＋x
1
1＋x
2
1＋x
n
n＋1
证明： 因为x
1
＋x
2
＋?＋x
n
＝1，
所以n＋1＝ (1＋x
1
)＋(1＋x
2
)＋?＋(1＋x
n
)． x
1
x
2
x
n
又
?
1＋x
＋
1＋x
＋??＋
1＋x
?
(n＋1)
?
12n< br>?
x
1
x
2
x
n
＝
?
1＋ x
＋
1＋x
＋…＋
1＋x
?
[(1＋x
1
)＋(1＋x
2
)＋…＋(1＋x
n
)]
?
12n
?
≥(x
1
＋x
2
＋?＋x
n
)
2＝1，
2
x
2
x
2
x
n
1
12
所以＋＋?＋≥.
1＋x
1
1＋x
2
1＋x
n
n＋1
222
222



21

第四讲 数学归纳法证明不等式
一、选择题(本大题共12小题， 每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的)
111< br>1．用数学归纳法证明1＋＋＋?＋
n
*
，n>1)时， 第一步应验证不等式( )
23
2－1
1
A．1＋<2
2
11
C．1＋＋<3
23
11
B．1＋＋<2
23
111
D．1＋＋＋<3
234
11
＝，故选B.
2－1
3
2
解析： n∈N
*
，n>1，∴n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为
答案： B < br>1
2．用数学归纳法证明1
2
＋3
2
＋5
2
＋?＋(2n－1)
2
＝n(4n
2
－1)的过程中，由n＝k递推到n＝k ＋1时，
3
等式左边增加的项为( )
A．(2k)
2

C．(2k＋1)
2

B．(2k＋3)
2

D．(2k＋2)
2

解析： 把k＋1代入(2n－1)
2
得(2k＋2－1)
2

即(2k＋1)
2
，选C.
答案： C
3．设凸n边形有f(n )条对角线，则凸n＋1边形的对角线的条数，加上多的哪个点向其他点引的对角
线的条数f(n＋1) 为( )
A．f(n)＋n＋1
C．f(n)＋n－1
B．f(n)＋n
D．f(n)＋n－2
解析： 凸n＋1边形的对角线的条数等于凸n边形的对角线的条数， 加上多的那个点向其他点引的
对角线的条数(n－2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有f(n) ＋n－1条对角线，故选C.
答案： C
－2
26537110
4．观察 下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以
2－46－45－43－47－41－410－ 4－2－4
上各式成立的规律，得一般性的等式为( )
8－n
n
A.＋＝2
n－4?8－n?－4
n＋1?n＋1?＋5
B.＋＝2
?n＋1?－4?n＋1?－4
n＋4
n
C.＋＝2
n－4?n＋4?－4
n＋1n＋5
D.＋＝2
?n＋1?－4?n＋5?－4

22

解析： 观察归纳知选A.
答案： A
5．欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n，总有2< br>n
＞n
3
，那么验证不等式成立所取的第一个n
的最小值应该是( )
A．1
C．10
B．9
D．n＞10，且n?N
＋

解析： 由2
10
＝1 024＞10
3
知，故应选C.
答案： C
1111
6．用数学 归纳法证明：＋＋＋?＋<1(n?N
*
，n≥2)时，由“k到k＋1”，不等式左端的n
n＋1n＋2
2n
变化是( )
1
A．增加一项
2?k＋1?
11
B．增加和两项
2k＋12?k＋1?
111
C．增加和两项，同时减少一项
k
2k＋12?k＋1?
D．以上都不对
1111
解析： 因f(k)＝＋＋＋?＋，
k
k＋1k＋2k＋k
而f(k＋1)＝
11111
＋＋?＋＋＋，
k＋1k＋2k＋kk＋k＋1k＋k＋2
111
故f(k＋1)－f(k)＝＋－， 故选C.
2k＋12k＋2
k
答案： C
7．用数学归纳法证明3
4n1
＋5
2n1
(n?N
＋
)能被8整除时，若n＝k时，命题 成立，欲证当n＝k＋1时
＋＋
命题成立，对于3
4(k
＋
＋
1)
＋
1
＋5
2(k
＋
＋
1)
＋
1
＋
可变形为( )
A．56×3
4k1
＋25(3
4k1
＋5
2k1
)
B．3
4
×3
4k1
＋5
2
×5
2k

＋
C．3
4k1
＋5
2k1

＋＋
D．25(3
4k1
＋5
2k1
)
＋＋
解析： 由3
4(k
＋
＋
1)
＋
1< br>＋5
2(k
＋
＋
1)
＋
1

＋＋< br>＝81×3
4k1
＋25×5
2k1
＋25×3
4k1
－25×3
4k1

＝56×3
4k1
＋25(3
4k1
＋5
2k1
)，故选A.
＋＋＋
答案： A
8．用数学 归纳法证明“(n＋1)(n＋2)??(n＋n)＝2
n
·1·3·5·(2n－1)(n? N
*
)”时，从n＝k到n＝k＋1等
式的左边需增乘代数式为( )

23

A．2k＋1
?2k＋1??2k＋2?
C.
k＋1
解析： 左边当n＝k时最后一项为2k.
2k＋1
B.
k＋1
2k＋3
D.
k＋1
左边当n＝k＋1时最后一项为2k＋2，又第一项变为k＋2，
?2k＋1??2k＋2?
∴需乘.
k＋1
答案： C
9．数列 a
n
中，已知a
1
＝1，当n≥2时，a
n
－a
n
－
1
＝2n－1，依次计算a
2
，a
3
，a
4
后，猜想a
n
的表达式
是( )
A．3n－2
C．3
n1

－
B．n
2

D．4n－3
解析： 计算出a
1
＝1，a
2
＝4，a
3
＝9， a
4
＝16.
可猜a
n
＝n
2
故应选B.
答案： B
n
4
＋n
2
10．用数学归纳法证明1＋2＋ 3＋?＋n＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( )
2
2
A．k
2

B．(k＋1)
2

?k＋1?
4
＋?k＋1?
2
C.
2
D．(k< br>2
＋1)＋(k
2
＋2)＋?＋(k＋1)
2

解析： ∵当n＝k时，左端＝1＋1＋2＋3＋?＋k
2
，
当n＝k＋1 时，左端＝1＋2＋3＋?＋k
2
＋(k
2
＋1)＋(k
2
＋2)＋?＋(k＋1)
2
.
故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k
2
＋1)＋(k
2
＋2)＋?＋(k＋1)
2
，故应选D.
答案： D
11．用数学归纳法证明“n
2
＋n *
)”的第二步证n＝k＋1时(n＝1已验证，n＝k已假设成
立)这样证明：?k＋1?< br>2
＋?k＋1?＝k
2
＋3k＋22
＋4k＋4＝(k＋ 1)＋1，则当n＝k＋1时，命题成立，此种
证法( )
A．是正确的
B．归纳假设写法不正确
C．从k到k＋1推理不严密
D．从k到k＋1的推理过程未使用归纳假设
解析： 经过观察显然选D.
答案： D
12．把正整数按下图所示的规律排序，则从2 006到2 008的箭头方向依次为( )

24

A．↓→
C．↑→
B．→↓
D．→↑
解析： 由2 006＝4×501＋2，而a
n＝4n是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数，故应选D.
答案： D
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13 ．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋?＋n＋?＋3＋2＋1＝n
2
(n?N
*
)时，从n＝k到n＝k＋1时，该式
左边应添加的代数式是________________．
解析： 当n＝k时，左边＝1＋2＋3＋?＋k＋?＋3＋2＋1.当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋ 3＋?＋k＋
k＋1＋k＋?＋3＋2＋1.所以左边应添加的代数式为k＋1＋k＝2k＋1.
答案： 2k＋1
14．数列{a
n
}中，a
1
＝1，且 S
n
，S
n
＋
1,
2S
1
成等差数列，则 S
2
，S
3
，S
4
分别为________，猜想S
n
＝________.
解析： 由题意得，a
1
＝1
2S
n
＋
1
＝S
n
＋2S
1

3
当n＝1时，2S
2
＝S
1
＋2S
1
∴S
2
＝
2
7
当n＝2时，2S
3
＝S
2
＋2S
1
∴S
3
＝
4
15
当n＝3 时，2S
4
＝S
3
＋2S
1
∴S
4
＝
8
2
n
－1
归纳猜想：S
n
＝
n
－
1

2
n
3715
2－1
答案：
n
－
1

248
2
15．如下图所示，第n个图形 是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，?)，则第n－2个图形中共有
________个 顶点．

解析： 第一个图形是由正三角形扩展得到，三边扩展得3个顶点，加上三角形的三 个顶点共6个；
第二个图形是由正方形扩展得到，四边扩展得4个顶点，每个顶点变为两个，故增加8个 顶点，因此共有
12个顶点；第三个图形是由正五边形扩展得到，五边扩展得5个顶点，每个顶点变为3 个，故增加15个
顶点，因此共有20个顶点；?第n－2个图形是由正n边形扩展得到，n边扩展得n 个顶点，每个顶点变
为n－2个，故增加(n－2)n个顶点，因此共有n＋n(n－2)＝n
2
－n个顶点．
答案： n
2
－n
16．有以下四个命题：

25

(1)2
n
＞2n＋1(n≥3)；
(2)2＋4＋6＋?＋2n＝n
2
＋n＋2(n≥1)；
(3)凸n边形内角和为f(n)＝(n－1)π(n≥3)；
(4)凸n边形对角线条数f(n)＝
n?n－2?
(n≥4)．
2
其中满足“假设n＝k(k?N
＋
，k≥n
0
)时命题成立，则当n＝k＋ 1时命题也成立．”但不满足“当n＝
n
0
(n
0
是题中给定的n的 初始值)时命题成立”的命题序号是________．
解析： 当n取第一个值时经验证(2)(3 )(4)均不成立，(1)不符合题意，对于(4)假设n＝k(k∈N
＋
，k≥n
0
)
时命题成立，则当n＝k＋1时命题不成立．所以(2)(3)正确．
答案： (2)(3)
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)用数学法归纳证明：
111111
＋＋?＋＝＋＋?＋.
1×23×4?2n－1?·2nn＋1n＋2n＋n
11
证明： (1)当n＝1时，左边＝＝，
1×2
2
1
右边＝，等式成立．
2
(2)假设当n＝k时，等式成立，即
111
＋＋?＋
1×23×4?2k－1?·2k
＝
111
＋＋?＋，
2k
k＋1k＋2
则当n＝k＋1时，
1111
＋＋?＋＋ 1×23×4?2k－1?·2k?2k＋1??2k＋2?
＝
＝
＝
＝< br>＋
1111
＋＋?＋＋
2k
?2k＋1??2k＋2?k＋1k＋2
11
1111
＋＋?＋＋
?
2k＋1
－
2k＋2< br>?
＋
2k
??
k＋1

k＋2k＋3
11111
＋＋?＋＋＋
2k
2k＋12k＋2k＋2k＋3
11
＋＋?
?k＋1?＋1?k＋1?＋2
11
＋，
?k＋1?＋k?k＋1?＋?k＋1?
即当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)(2)可知，对一切n∈N
＋
等式成立．
18．(12分)用数学归纳法证明：n(n＋1)(2n＋1)能被6整除．
证明： (1)当n＝1时，1×2×3显然能被6整除．

26

(2)假设n＝k(k≥1，k∈N
＋
)时，命题成立．
即k(k＋1)(2k＋1)＝2k
3
＋3k
2
＋k能被6整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)(2k＋3)
＝2k
3
＋3k
2
＋k＋6(k
2
＋2k＋1)，
结合假设可知，2k
3
＋3k
2
＋k,6(k
2
＋ 2k＋1)都能被6整除，所以2k
3
＋3k
2
＋k＋6(k
2＋2k＋1)能被6整除，
即当n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)知，对任意n∈N
＋
原命题成立．
19．(12分)证明凸n边形的对角线条数：
1
f(n)＝n(n－3)(n≥4)．
2
1
证明： ①当n＝4时，f(4)＝×4×(4－3)＝2.四边形有两条对角线，命题成立．
2
1< br>②假设当n＝k(k≥1)时，命题成立，即凸k边形的对角线的条数f(k)＝k(k－3)(k≥4) ．当n＝k＋1时，
2
凸k＋1边形是在k边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点A
k
＋
1
，增加的对角线条数是顶点A
k
＋
1
与不
相邻顶点连线再加上原k边形的一边A
1
A
k
，增加的对角线条数为 [(k＋1)－3＋1]＝k－1，
11
f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k
2
－k－2)
22
1
＝(k＋1)(k－2)
2
1
＝(k＋1)[(k＋1)－3]．
2
故n＝k＋1时，命题也成立．
故①②可知，对任何n∈N
＋
，n≥4命题成立．
1
?
1 1
1＋
??
1＋
?
?
?
1＋
20．(12 分)求证：(1＋1)
?
2n－1
>2n＋1.
?
3
??
5
?
??
1
证明： 利用贝努利 不等式(1＋x)
n
>1＋nx(n∈N
＋
，n≥2，x>－1，x≠0)的 一个特例
?
1＋
2k－1
?
2
>1＋
??
1
?
1
?
1
此处n＝2，x＝
2·，得1＋>
2k －1
?
2k－1
?
2k－1
1
?
1
1＋< br>?
?
?
1＋
乘，得(1＋1)
?
2n－1
>
?
3
?
2k＋1
，k分别取1,2,3，?，n时，n个不等式左右 两边相
2k－1
??
35
2n＋1
·?.
13
2 n－1
1
?
11
1＋
??
1＋
?
?
?
1＋
即(1＋1)
?
2n－1
>2n＋1成立．
?< br>3
??
5
?
??
21．(12分)是否存在常数a，b，c使 等式(n
2
－1
2
)＋2(n
2
－2
2
) ＋?＋n(n
2
－n
2
)＝an
4
＋bn
2
＋c对一切正整
数n成立？证明你的结论．
解析： 存在．分别有用n＝1,2,3代入，解方程组

27

a＋b＋c＝0，
?
?
?
16a＋4b＋c＝3，
?
?81a＋9b＋c＝18

a＝，
?
?
4
1
?
?
b＝－，
4
?
?
c＝0
1


下面用数学归纳法证明．
(1)当n＝1时，由上式可知等式成立；
(2)假设当n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，
左边＝[(k＋1)
2
－1
2
]＋2[(k＋1)
2
－2
2
]＋?＋k[(k＋ 1)
2
－k
2
]＋(k＋1)·[(k＋1)
2
－(k＋1 )
2
]＝(k
2
－1
2
)＋2(k
2
－< br>1k?k＋1?
111
4
－
?
k
2
＋(2k ＋1)·2
2
)＋?＋k(k
2
－k
2
)＋(2k－1)＋ 2(2k＋1)＋?＋k(2k＋1)＝k
4
＋
?
＝(k＋1)－(k＋?
4
?
4244
1)
2
.
由(1)(2)得等式对一切的n∈N
＋
均成立．
11
22．(1 4分)对于数列{a
n
}，若a
1
＝a＋(a>0，且a≠1)，a
n
＋
1
＝a
1
－.
aa
n
(1)求a< br>2
，a
3
，a
4
，并猜想{a
n
}的表达式 ；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
11
解析： (1)∵a
1
＝a＋，a
n
＋
1
＝a
1
－，
aa
n
111
∴a
2
＝a
1
－＝a＋－
a
1
a1
a＋
a
a
2
＋1a
4< br>＋a
2
＋1
a
＝－
2
＝，
a
a＋ 1a?a
2
＋1?
1
a
3
＝a
1
－ a
2
a
2
＋1a?a
2
＋1?
＝－
4 2

a
a＋a＋1
a
6
＋a
4
＋a
2
＋1
＝，
a?a
4
＋a
2
＋1?
a
8
＋a
6
＋a
4
＋a
2
＋1
同理 可得a
4
＝
a?a
6
＋a
4
＋a
2＋1?
a
2n
＋a
2n2
＋?＋a
2
＋1猜想a
n
＝
2n
－
22n
－
4
a?a＋a＋?＋1?
－
a
2n2
－1
＋
a
2
－1
a
2n2
－1
＝.
－
＝
a
2n1
a?a
2n
－1?
a·
2
a－1
＋
a
4
－1a
2
＋1－1
(2)①当n＝1时，右边＝
2＝＝a
1
，等式成立．
a
a?a－1?
②假设当n＝k时(k∈N
*
)，等式成立，即

28

a
2k2
－1
a
k
＝
2k
，则当n＝k＋1时，
a?a－1?
＋
22k
1
a＋1a?a－1?
a
k
＋
1
＝a
1< br>－＝－
2k
＋
2

a
k
a
a－1< br>?a
2
＋1??a
2k2
－1?－a
2
?a
2k
－1?
＝
＋
a?a
2k2
－1?
＋
a
2?k2?
－1
＝
2?k
＋
1?
，
a?a－1?
＋
这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立，
根据①②可知，对于一切n∈N
*
，
a
2n2
－1
a
n
＝
2n
成立．
a?a－1?
＋




全册质量检测
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的)
1．已知：a＋b>0，b<0，那么( )
A．a>b>－a>－b
C．a>－b>b>－a
解析： ∵a＋b>0∴a>－b，b>－a
∵b<0∴－b>0>b
∴a>－b>b>－a
答案： C
2．“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的( )
A．必要不充分条件
C．充分必要条件
B．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
B．a>－a>b>－b
D．－a>－b>a>b
解析： 易得a>b且c>d时必有a＋c>b＋d.若a＋c>b＋d时，则可能有a>d且c>d，选A.
答案： A
3．a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
1
A．ab≤
2
C．a
2
＋b
2
≥2
解析： 由a≥0，b≥0，且a＋b＝2，
∵4＝(a＋b)
2
＝a2
＋b
2
＋2ab≤2(a
2
＋b
2
)，

29
1
B．ab≥
2
D．a
2
＋b
2
≤3

∴a
2
＋b
2
≥2.选C.
答案： C
4．若 不等式|2x－3|>4与不等式x
2
＋px＋q>0的解集相同，则p∶q等于( )
A．12∶7 B．7∶12
C．(－12)∶7 D．(－3)∶4
解析： |2x－3|>4?2x－3>4或2x－3<－4?x>
7
2
或
x<－< br>1
2
，∴
7
2
－
1
2
＝－p，p＝ －3，
7
2
×
?
1
?
－
2
?< br>?
＝q，q＝－
7
4
，
∴p∶q＝12∶7.
答案： A
5．若不等式x
2
＋ax＋1≥0对一切x?
?
?
0，
1
2
?
?
恒成立，则a的最小值为(
A．0 B．－2
C．－
5
2
D．－3
解析： ∵x
2
＋ax＋1≥0
∴a≥－
?
?
x＋
1x
?
?
，x∈
?
?
0，
1
2
?
?
，
又∵－
?
?
x＋
1
x
?
?
的最大值为－
5
2
，
∴a
5
min
＝－
2
.
答案： C
6．如果P＝17，Q＝1＋15，R＝5＋7，那么有( )
A．P>Q>R B．R>P>Q
C．Q>R>P D．R>Q>P
解析： P
2
＝17，Q
2
＝16＋215，
R
2
＝12＋235，
∴Q
2
－P
2
＝215－1>0，
R
2
－P
2
＝235－5>0，
∴P最小．
Q
2
－R
2
＝215＋4－235，
又(215＋4)
2
＝16＋60＋1615
＝76＋1615<76＋1616＝140，
(235)
2
＝4×35＝140，
30
)