高中数学椭圆标准方程教学-浙江高中数学教材分别对应的年级是什么
新课程标准数学选修4—5 不等式选讲
课后习题解答
第一讲
不等式和绝对值不等式
习题1.1 (P9)
1、(1)假命题.
假如
3?2
,但是
3?(?1)?2?(?1)
.
(2)假命题.
假如
3?2
,但是
3?0
2
?2?0
2
.
(3)假命题.
假如
?1??2
,但是
(?1)
2
?(?2)
2
.
(4)真命题.
因为
c?d
,所以
?c??d
,因此
a?c?a?d
.
又
a?b
,所以
a?d?b?d
. 因此
a?c?b?d
.
2、因为
(x?1)(x?2)?(x?3)(x?6)?(x
2
?3x?2
)?(x
2
?3x?18)?20?0
所以
(x?1)(x?2)?(x?3)(x?6)
11111
11
?0
,所以
a??b?
,即
?
,即
?
;
abababab
ba
(2)因为
a?b
,
c?0
,所以
ac?bc
.
因为
c?d
,
b?0
,所以
bc?bd
.
因此
ac?bd
.
3、(1)因为
a?b
,
4、不能得出. 举反例如下:例如
?2?
?3
,
?1??4
,但是
(?2)?(?1)?(?3)?(?4)
.
5、(1)因为
a,b?R
?
,
a?b
,所以
a
2
?b
2
,即
baba
ba
??2
.
?
. 所以
??2
abab
ab
(2)因为
a?b?2ab?0
,所以
11
?
a?b
2ab
所以
2ab?
11
2ab?2ab??ab
,即
?ab
a?b
a?b
2ab
6、因为
a,b,c
是不全相等的正数
所以
a?b?2ab
,
b?c?2bc
,
c?a?2
ca
,以上不等式不可能全取等
号.
所以(1)
(a?b)(b?c)(c?a)?2ab?2bc?2ca?8abc
(2)
(a?b)?(b?c)?(c?a)?2ab?2bc?2ca
所以
a?b?c?ab?bc?ca
7、因为
a
2
?b
2
?2ab
,
b
2
?c
2
?2bc
,
c
2
?d
2
?2cd
,
d
2
?a
2
?2da
所以
(a
2
?b
2
)?(b
2
?c
2
)?(c
2<
br>?d
2
)?(d
2
?a
2
)?2(ab?bc?cd
?da)
即
a
2
?b
2
?c
2<
br>?d
2
?ab?bc?cd?da
2222
?x
2
?2a
2
x
2
,……,
a
n
?x
n
?2a
n
x
n
8、因为
a
1
2
?x
1
2
?2a
1
x
1
,
a
2
2222
?L?a
n
)?(x
1
2
?x
2
?L?x
n
)?2(a
1
x
1
?a
2x
2
?L?a
n
x
n
)
所以
(a
1
2
?a
2
即
2?2(a1
x
1
?a
2
x
2
?L?a
n
x
n
)
,所以
a
1
x
1
?a
2
x
2
?L?a
n
x
n
?1
x<
br>2
?y
2
x?y
2
2x
2
?2y
2
?(x
2
?y
2
?2xy)(x?y)
2
?()?
??0
, 9、因为
2244
x
2
?y
2
x?y<
br>2
?()
. 所以
22
10、因为
x
2
?2
x?1
2
?
x
2
?1?1
x?1
2
?
2(x
2
?1)?1
x?1
2
?2
,所以x
2
?2
x?1
2
?2
11、因为
a,b,c?R
?
,
a?b?c?1
,
所以
3(a
2
?b
2
?c
2
)?2(a
2
?b
2
?c
2
)?(a
2
?b
2
?c
2
)
?(a
2
?b
2
)?(b<
br>2
?c
2
)?(c
2
?a
2
)?(a
2
?b
2
?c
2
)
<
br>?2ab?2bc?2ca?(a
2
?b
2
?c
2
)
?(a?b?c)
2
?1
所以
a
2
?b
2
?c
2
?
1
3
abcabc
???3
3
???3
,
bcabca
12、(1)因为
a,
b,c?R
?
,所以
bcabca
???3
3
???3
abcabc
abcbca
所以
(??)(??)?9
bcaabc
(2)因为
a,b
,c?R
?
,所以
a?b?c?3
3
abc?0
,
a
2
?b
2
?c
2
?3
3
a
2<
br>b
2
c
2
?0
所以
(a
?b?c)(a
2
?b
2
?c
2
)?9
3
a
3
b
3
c
3
?9abc
13、设矩形
两边分别为
a,b
,对角线为定值
d
,则
a
2
?b
2
?d
2
∴
(a?b)?a?b?2ab?2(a?b)?2d
∴
a?b?
222222
2d
,
2(a?b)?22d
∴当且仅当
a?b
时,以上不等式取等号.
∴当矩形为正方形时,周长取得最大值,最大值为
22d
a
2
?b
2
d
2
?
因为
ab?
,当且仅当
a?b
时等号成立
22
d
2
所以当矩形为正方形时,面积取得最大值,最大值为
2
14、因为
r?()?R
,所以
4r?h?4R
.
根据三个正数的算术—几何平均不等式,得
4R
2
?2r
2
?2r
2
?h
2
?3
3
4r
4
h
2
2
h
2
22
222
43
?<
br>R
3
所以,球内接圆柱的体积
V?
?
rh?
9
2
22
当且仅当
2r?h
,即
r?2
23
R
,
h?R
时,
V
取最大值.
3
3
ab1b1
,即.
?a??
2222
a?b2a?b2
bbb
由于
0?h?min{a,
2
,
}?a0?h?min{a,}?
a?b
2
a
2
?b
2
a
2
?b
2
15、因为
a?b?2ab
,所以
22
所以
h?a?
2
2
b1
h?
,从而
?
22
2
a?b2
习题1.2 (P19)
1、(1)
a?b?a?b?(a?b)?(a?b)?2a?2a
(
2)
a?b?2b?(a?b)?2b?a?b
,所以
a?b?a?b?2b
1x?1
x?12x
???2
.
2、证法一:
x??
xxxx
证法二:容易看出,无论
x?0
,还是
x?0
,均有
x?
2
2
11
?x?
xx
所以
x?
111
?x??2x??2
xxx
3、(1)
x?a?x?b?a?x?x?b?(a?x)?(x?b)?a?b
(2)因为
a?b?x?b?b?a?x?b?(b?a)?(x?b)?x?a
所以
x?a?x?b?a?b
另证:
x?a?x?b?(x?a)?(x?b)?a?b
4、(1)
(A?B)?(a?b)?(A?a)?(B?b)?A?a?B?b?
(2
?
2
?
?
2
?
?
)
(A?B)?(a?b)?(A?a)?(b?B)?A?a?b?B?A?a?B?b?
5、
y?x?4?x?6?x?4?6?x?(x?4)?(6?x)?2
当且仅当(x?4)(6?x)?0
,即
x?[4,6]
时,函数
y
取最
小值2.
6、
7、
8、
(1)
?5?2x?3?5
?2?2x?8
?1?x?4
∴原不等式的解集为
(?1,4)
?
2
?
?
2
?
?
(2)
2x?5??1
或
2x?5?1
2x?4
或
2x?6
x?2
或
x?3
∴原不等式的解集为
(??,2]U[3,??)
(4)
24x?1?8
4x?1?4
4x?1??4
或
4x?1?4
4x??3
或
4x?5
x??
1
x?1?3
2
1
?4?x?2
2
?8?x?4
(3)
?3?
∴原不等式的解集为
(?8,4)
35
或
x?
44
3
4
5
4∴原不等式的解集为
(??,?]U[,??)
(1)
?6?3x?4??1
或
1?3x?4?6
?10?3x??5
或
?3?3x?2
?
1052
?x??
或
?1?x?
333
[?
1052
,?)U(?1,]
333
(2)
?9?5?2x??3
或
3?5?2x?9
?14??2x??8
或
?2??2x?4
4?x?7
或
?2?x?1
∴原不等式的解集为
(?2,1]U[4,7)
∴原不等式的解集为
(1)令
x?3?0
,
x?5?0
得
x?3
,
x?5
①当
x?3
时
?x?3?x?5?4
x?2
∴
x?2
②当
3?x?5
时
x?3?x?5?4
(2)令
x?2?0
,
x?3?0
得
x?2
,
x??3
①当
x??3
时
?x?2?x?3?4
(3)令
x?1?0
,
x?2?0
得
x?1
,
x?2
①当
x?1
时
?x?1?x?2?2
5
x??
2
∴
x??3
②当
?3?x?2
时
∴
x?
1
2
?x?2?x?3?4
5?4
∴
?3?x?2
③当
x?2
时
x?2?x?3?4
3
x?
2
∴
x?2
∴原不等式的解集为
R
1
?x?1
2
②当
1?x?2
时
x?1?x?2?2
1?2
∴
1?x?2
③当
x?2
时
x?1?x?2?2
5
x?
2
5
∴
2?x?
2
∴原不等式的解集为
(,)
9、
a?(1,??)
第二讲 证明不等式的基本方法
习题2.1 (P23)
15
22
1、因为
a?b
,所以
a?b?0
.
因此
a
3
?b
3
?ab(a?b)
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?ab(a?b)
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
?ab)
?(a?b)(a
2
?b
2
)?0
所以
a
3
?b
3
?ab(a?b)
2、因为ad?bc
,所以
(a
2
?b
2
)(c
2?d
2
)?(ac?bd)
2
?(a
2
c
2
?a
2
d
2
?b<
br>2
c
2
?b
2
d
2
)?(a
2c
2
?2abcd?b
2
d
2
)
?(ad?b
c)?0
2
所以
(a
2
?b
2
)(
c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
3、因为a?b
,所以
a
4
?6a
2
b
2
?b
4
?4ab(a
2
?b
2
)
?a
4
?2a
2
b
2
?b
4
?4ab(a
2
?b
2
)?4a
2
b
2
?(a
2
?b
2
)
2
?2(a
2
?b
2
)?(2ab)?(2ab)
2
?(a?b?2ab)
?(a
?b)
4
?0
222
所以
a
4
?6
a
2
b
2
?b
4
?4ab(a
2
?b2
)
4、因为
a,b,c
是正数,不妨设
a?b?c?0
,
a
bc
则
()
a?b
?1
,
()
b?c
?1
,
()
c?a
?1
bca
因为
a
b?c
b
c?a
c
a?b
?0
,且
a
2
a
b
2b
c
2c
a
a?b
b
b?c
c
c?a2a?b?c2b?c?a2c?a?b
?abc?()()()?1
<
br>a
b?c
b
c?a
c
a?b
bca
所以a
2a
b
2b
c
2c
?a
b?c
b<
br>c?a
c
a?b
习题2.2 (P25)
1、因为a
2
?b
2
?5?2(2a?b)?(a?2)
2
?(
b?1)
2
?0
,所以
a
2
?b
2
?5?
2(2a?b)
.
2、(1)因为
(ab?a?b?1)(ab?ac?bc?c<
br>2
)?(a?1)(b?1)(a?c)(b?c)
?2a?2b?2ac?2bc?16abc
所以
(ab?a?b?1)(ab?ac?bc?c
2
)?16abc
(2)因为
(a
3
?b
3
)?(a?b)ab?(a?
b)(a
2
?ab?b
2
)?(a?b)ab
?(a?b)(a
2
?2ab?b
2
)?(a?b)(a?b)2
?0
所以
a
3
?b
3?(a?b)ab
,
b
3
?c
3
?(b?c)bc,
c
3
?a
3
?(c?a)ca
所以
2(a
3
?b
3
?c
3
)?a
2(b?c)?b
2
(a?c)?c
2
(a?b)
3、略.
111111
???0
,即
证明
??
a?bb?cc?aa?bb?ca?c
11
因为
a?b?c
,所以
a?c?a?b?0
,从而
??0
a?ba?c
1111111
又因为,所以
?0
,所以
?????0
b?ca?bb?ca?c
a?bb?cc?a
m?n
m?n
nm
m?n
m?n
5、要
证
?mn
,只需要证明
()?m
n
n
m
.
22
4、要证明
m?n
m?n
m?nm?n
)?(mn)?(mn
)
2
因为
(
2
m?n
2
只需证(mn)?m
n
n
m
,即证
(mn)
m?n
?
m
2n
n
2m
,
m
只需证
()
m
?n
?1
,不妨设
m?n
,则
m?n?0
n
m
所以
()
m?n
?1
.
所以,原不等式成立.
n
6、要证明
f(a)?f(b)?a?b
,即1?a
2
?1?b
2
?a?b
,即
a
2
?b
2
1?a?1?b
22
?a?b
因为
a?b
,所以只需证
a?b?1?a
2
?1?b
2
∵
a?b?a?b?1?a
2
?1?b
2
∴
a?b?1?a
2
?1?b
2
,从而原不等式成立.
7
、
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)?[(log
a
(1?x)?log
a
(1?x)][(log
a
(1?x)?l
og
a
(1?x)]
22
1?x
1?x
1?x
又因为
0?x?1
,所以
0?1?x<
br>2
?1
,
0??1
.
1?x
1?x
所以
log
a
(1?x
2
)log
a
?0
1?x
?log
a
(1?x
2
)log
a
所以log
a
(1?x)?log
a
(1?x)?0
,即
l
og
a
(1?x)?log
a
(1?x)
从而
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)
8、因为
n?0
,所以
n?
22
2222
4nn4nn4<
br>3
????3???3
n
2
22n
2
22
n
2
9、因为
1?ab?a?b?(1?a
2
)(1?b
2
)?0
,所以
1?ab?a?b
习题2.3 (P29)
(1?a)?a
2
1
)?
24
(1?b)?b
2
1(1?c)?c
2
1
0?(1?b)b?()?
,
0?(1?c)c?()?
2424
1
所以
(1?a)a?(1?b)b?(1?c)c?()
3
4
1
1
假设
(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a都大于,则
(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a?()
3
4
4
1
这与
(1?a)a?(1?b)b?(1?c)c?()
3
矛盾.
所以
(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a
不能
4
1
都大于.
4
1、因为
0?a,b,c?1
,根据基本不等式
0?(1?a)a
?(
2、一方面,
11111111
???
L
?????
L
?
2222
234n2?33?44?5n(n?1)
1111111111
?(?)?(?)?(?)?
L
?(?)?
?
233445nn?12n?1
另一方面,
11111111
???
L
?????
L
?
2222
234n1?22?33?4(n?1)n
11111111n?1
?(1?)?(?)?(?)?
L
?(?
)?1??
22334n?1nnn
111111n?1
所以,
?
?
2
?
2
?
2
?
L
?
2
?
2n?1234nn
3、当
n?1
时,不等式
1?
111
??L?2n
显然成立,即
1?21
.
23n
当
n?2
时,因为
n?n?1?2n
所以
12
??2(n?n?1)
nn?n?1
即
1
?2n?2n?1
n
所以
111
?22
?21
,
?23?22
,
?24?23
,……,
2341
?2n?2n?1
n
所以
1
?
1111
??L??(22?21)?(23?22)?L?(2n?2n?1)?2n
23n2
4、假设
(
11
?1)(?1)?9
.
由于
x,y?0
且
x?y?1
x
2
y
2
111?x
2
1?y
2
?
2
所以
(
2
?1)(
2
?1)?
2
xyxy
(1?x)(
1?x)(1?y)(1?y)
?
2
xy
2
(1?x)y(1?y)
x
??
2
xy
2
1?x1?y
??
xy
1?x2?x
???9
x1?x
?
得
(2x?1)
2
?0
,这与
(2x?1)
2
?0
矛盾,所以
(
5、因为
?
r
2
h
?V
(定值)
所以,圆柱的表面积
S?2
?
r
2<
br>?2
?
rh
11
?1)(?1)?9
2
2
xy
?2
?
r
2
?
?
rh?
?
rh
?3
3
2?
r
2
?
?
rh?
?
rh
?32?
rh
?3
3
2
?
V
2
3
3
42
当且仅当
2
?
r
2
?
?rh?
?
rh
时,等号成立.
所以,当
h?2r
,即
h?
3
4V
?
,r?
3
V
,其表面
积最大.
2
?
6、
2
?
(1?
2
)
3
第三讲 柯西不等式与排序不等式
习题3.1 (P36)
1、函数定义域为
[5,6]
,且
y?0
y?3x?5?46?x?(3
2
?4
2
)(x?5
?6?x)?5
当且仅当
4x?5?36?x
,即
x?
134
时,函数有最大值5.
25
222
?a
3
)(b
1
2
?b
2
?b
3
2
)?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
)
2
2、三维柯西不等式
(a
1
2
?a
2
三维三角不等式
222
x
1
2
?y
1
2
?z
1<
br>2
?x
2
?y
2
?z
2
?(x
1<
br>?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)2
?(z
1
?z
2
)
2
1411<
br>3、因为
2x
2
?3y
2
?6
,所以
x?2
y?(2x
2
?3y
2
)(?)?6??11
.
236
因此
x?2y?11
4、因为
a
2
?b
2
?1
,所以
acos
?
?bsin
?
?(a
2
?b
2
)(cos
2
?
?si
n
2
?
)?1
5、因为
a?b?1
,所以
(ax
1
?bx
2
)(bx
1
?ax
2
)?(ax
1
x
2
?bx
1
x
2
)
2
?(a?b)
2
x
1
x
2
?x
1x
2
1
5
121
当且仅当
x?,y?
时,
x
2
?y
2
有最小值 <
br>555
6、
(x
2
?y
2
)(1?4)?(x?2y
)
2
?1
,即
x
2
?y
2
?
11
119
??2b)
2
?
7、
(a?)(2b?)?(a?
b2a2ab2
当且仅当
2ab?1
(
a,b?R
?
)时,函数有最小值
8、
pf(x
1
)?qf(x
2
)?px
1
?qx
2
?
9
2
px
1
?p?px
2
?p
?(px
1
?qx
2
)(p?q)?px
1
?qx
2
?f(px
1
?qx
2
)
9、
y?
3sinx?41?cos2x?3sinx?42cos
2
x?(9?32)(sin
2
x?cos
2
x)?41
当且仅当
tanx??
习题3.2 (P41)
1、
32
时,函数有最大值
41
8
111111
111
2
???(??)(a?b?c)?(?a??b??c)?3
2
?9
abcabcabc
推广:若
x
1
,x
2<
br>,L,x
n
?R
?
,且
x
1
?x
2
?L?x
n
?1
,则
111
??L??n
2
.
x
1
x
2
x
n
1
11111
??L??(??L?)(x
1
?x
2
?L?x
n
)
x
1
x
2
x
n
x
1
x
2
x
n
证:
?(
111
?x
1
??x
2
?L??x
n
)
2
?n
2
x
1
x
2
x
n
2、因为
4(a
2
?b
2
?c
2?d
2
)?(1
2
?1
2
?1
2
?1
2
)(a
2
?b
2
?c
2
?d
2
)
?(a?1?b?1
?c?1?d?1)
2
?(a?b?c?d)
2
?1
2
?1
所以
a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?
3、
(x
1
?x
2
?L?xn
)(
4、
1
4
111111
??L?)?
(x
1
??x
2
??L?x
n
?)
2
?n
2
x
1
x
2
x
n
x
1
x
2
x
n
222111
???2(??)
a?bb?cc?aa?bb?cc?a
a?bb?cc?a111
?(??)(??)
a?b?ca?b?ca?b?ca?bb?c
c?a
?(
?(
?(3
a?b1b?c1c?a1
2
???
??)
a?b?ca?ba?b?cb?ca?b?cc?a
111
??)
2
a?b?ca?b?ca?b?c
19
)
2
?
a?b?ca
?b?c
上式中等号不成立,这是由于
a,b,c
是互不相等的正数,
所以
a?b1b?c1c?a1
.
:?:?:
a?b?ca?ba
?b?cb?ca?b?cc?a
5、因为
(x
2
?y
2
?
z
2
)(2
2
?3
2
?4
2
)?(2x?
3y?4z)
2
?10
2
?100
,所以
x
2?y
2
?z
2
?
100
.
29
203040100
当且仅当
x?,y?,z?
时,
x
2
?y
2
?z
2
有最小值.
2929292
9
22
x
1
2
x
2
x
n
6、因为
(??
L
?)(n?1)
1?x
1
1?x
2
1?x
n
22
x
1
2
x
2
x
n
?(??
L
?)[(1?x
1
)?(1?x
2<
br>)?
L
?(1?x
n
)]
1?x
1
1?x<
br>2
1?x
n
?(x
1
?x
2?
L
?x
n
)
2
?1
22
x
1
2
x
2
x
n
1
所以
??
L
??
1?x
1
1?x
21?x
n
n?1
习题3.3 (P45)
1、由加法交换律及
c
1
,c
2
,L,c
n
的任意性,不妨假设
a<
br>1
?a
2
?L?a
n
,这不影响题
意.
22
?L?a
n
由排序不等式,等
a
1
c<
br>1
?a
2
c
2
?L?a
n
c
n?a
1
2
?a
2
.
2、由于要证的式子中
a
,b,c
是轮换对称的,所以不妨假设
a?b?c
.
于是
a
2
?b
2
?c
2
.
由排序
不等式,得
a
2
a?b
2
b?c
2
c?a
2
b?b
2
c?c
2
a
a
2
a
?b
2
b?c
2
c?a
2
c?b
2
a?c
2
b
两式相加,得
2(a
3
?b
3
?c
3
)?a
2
(b?c)?b
2
(c?a)?
c
2
(a?b)
3、由于要证的式子中
a
1
,a
2
,a
3
是轮换对称的,所以不妨假设
a
1
?a<
br>2
?a
3
.
于是
由
111
?
?
,
a
2
a
3
?a
3
a
1
?a
1
a
2
a
1
a
2
a3
排序不等式,得
a
1
a
2
a
2
a<
br>3
a
3
a
1
111
????a
2
a
3
??a
3
a
1
??a
1
a
2<
br>?a
2
?a
3
?a
1
a
3
a
1
a
2
a
3
a
1
a
2
即
a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
1
???a
2
?a
3
?a
1
a
3
a
1
a
2
4、用柯西不等式证明如下: 222
a
1
2
a
2
a
n
a
n
?1
因为
(??L??)(a
2
?a
3
?L?a<
br>n
?a
1
)?(a
1
?a
2
?L?a
n
)
2
a
2
a
3
a
n
a
1
222
a
1
2
a
2
a
n<
br>a
所以
??L?
?1
?
n
?a
1<
br>?a
2
?L?a
n
.
a
2
a
3<
br>a
n
a
1
用排序不等式证明如下:
设
a<
br>i
1
?a
i
2
?L?a
i
n
?0<
br>,其中
i
1
,i
2
,L,i
n
是
1
,2,L,n
的一个排列
则
a
i
2
,
?
a
i
2
?L?a
i
2
12n
111
. <
br>??L?
a
i
1
a
i
2
a
i
n
由排序不等式知,反序和最小,
222
a<
br>1
2
a
2
a
n
a
n
11
2
1
2
?1
从而
??L????a
i
2
??
a?L??a
i
i
a
2
a
3
a
n
a
1
a
i
1
1
a
i
2
2
a
i
n
n
<
br>?a
i
1
?a
i
2
?L?a
i
n<
br>?a
1
?a
2
?L?a
n
222
a
1
2
a
2
a
n
a
n?1
所以
??L???a
1
?a
2
?L?a
n
a
2
a
3
a
n
a
1
习题4.1
(P50)
1、(1)当
n?1
时,左边
?
1,右边
?
1,
所以,左边
?
右边,命题成立.
(2)假设当
n?k(k?1)
时,命题成立,即
1?3?5?L?(2k?1)?k
2
.
当
n?k?1
时,
1?3?5?L?(2k?1)?2(k?
1)?1?k
2
?2(k?1)?1?(k?1)
2
.
所以,当
n?k?1
时,命题成立.
由(1)(2)知,
1?3?5?L?(2n?1)?n
2
1
2、
(1)当
n?1
时,左边
?
1,右边
??1?(1?1)(2?1?
1)?1
,
6
所以,左边
?
右边,命题成立.
(2)假设当
n?k(k?1)
时,命题成立,即
1?4?9?L?k<
br>2
?
1
k(k?1)(2k?1)
.
6
1
当
n?k?1
时,
1?4?9?L?k
2
?(k?1)
2<
br>?k(k?1)(2k?1)?(k?1)
2
6
1
?(k?1)(2k
2
?7k?6)
6
1
?(k?1)(k?2)[2(k?1)?1]
6
所以,当
n?k?1
时,命题成立.
1
由(1)(2)知,
1?4?9?L?n
2
?n(n?1)(2n?1)
<
br>6
3、(1)当
n?1
时,左边
?1?4?4
,右边
?1?2
2
?4
,
所以,左边
?
右边,命题成立.
(2)假设当
n?k(k?1)
时,命题成立,即
1?4?2?7?3?10?L?k(3k?1)?k(k?1)
2
.
当
n?k?1
时,
1?4?2?7?3?10?L?k
(3k?1)?(k?1)[3(k?1)?1]
?k(k?1)
2
?(k?1)[3(k?1)?1]
?(k?1)(k
2
?4k?4)?(k?1)[(k?1)?1]
2
所以,当
n?k?1
时,命题成立.
由(1)(
2)知,
1?4?2?7?3?10?L?n(3n?1)?n(n?1)
2
4、(1)当
n?1
时,因为
x
2?1?1
?y
2?1?
1
?x?y
能被
x?y
整除,所以命题成立.
(2)假设当<
br>n?k(k?1)
时,命题成立,即
x
2k?1
?y
2k?1
能被
x?y
整除.
当
n?k?1
时, <
br>x
2(k?1)?1
?y
2(k?1)?1
?x
2k?1?y
2k?1
?x
2k?1
x
2
?y
2
y
2k?1
?x
2k?1
x
2
?x
2
y
2k?1?x
2
y
2k?1
?y
2
y
2k?1
?x(x
22k?1
?y
2k?1
)?y
2k?1
(y?x
)
22
?x
2
(x
2k?1
?y
2k?
1
)?y
2k?1
(y?x)(y?x)
上式前后两部分都能被
x?y
整除,所以,当
n?k?1
时命题成立.
由(1)(2)知,
x
2n?1
?y
2n?1
能被<
br>x?y
整除.
1
5、凸
n
边形有
n(n?3)
条对角线.
下面证明这个命题.
2
(1)当
n?3
时,三角形没有对角线,即三角形有0条对角线,命题成立.
1
(2)假设当
n?k(k?3)
时,命题成立,即凸
k
边形有
k(k?3)
条对角线.
2
当
n?k?1
时, 凸
(k?1)
边形的对角线条数为
111k(k?3)?(k?2)?1?(k
2
?k?2)?(k?1)[(k?1)?3]
222
所以,当
n?k?1
时,命题成立.
1
由(1)(2)知,凸
n
边形有
n(n?3)
条对角线.
2
n
6、这样的
n
条直线把平面分成的区域数目为
f
n
?1
?(n?1)
. 下面证明这个命
2
题.
1
(1)当
n?1
时,平面被分为
1?1?2
个区域,
f
1
?1?(1
?1)?2
,命题成立.
2
k
(2)假设当
n?k(k?1)
时,命题成立,即有
f
k
?1?(k?1)
.
2
当
n?k?1
时,
第
k?1
条直线与前面
k
条直线有
k
个不同交点
即,它被前面
k
条直线截成
k?1
段,其中每一段都把它所在的原区域
一分为二,
也即使原区域数目增加
k?1
.
kk?1
于
是
f
k?1
?f
k
?(k?1)?1?(k?1)?(k?1)?1
?(k?2)
22
111
k(k?3)?(k?2)?1?(k
2
?k?2)?(k?1)[(k?1)?3]
222
所以,当
n?k?1
时,命题成立.
由(1)(2)知,对任意正整数
n
,命题都成立.
习题4.2 (P53) <
br>11
1、(1)当
n?3
时,左边
?(1?2?3)(1??)?11
,右边
?3
2
?3?1?11
23
所以,左边
?
右边,命题成立.
(2)假设当
n?k(k?3)
时,命题成立,即
(1?2?L?k)(1?
11
?L?)?k
2
?k?1
.
2k
当
n?k?1
时,
11
1
(1?2?
L
?k?k?1)(1??
L
??)
2kk?1
111111
?
L
?)?(1?2?
L
?k)
?(k?1)(1??
L
??)
2kk?12kk?1
11111111?k
2
?k?1?k(k?1)?k(1??
L
??)?(1??
L
??)
2k?12kk?12kk?1
111111
?k
2?k?1?k(k?1)?k(1?)?(1???)
2k?12234
1325
?k
2
?k?1?k?k?
2212
?k
2
?3k?1?(
k?1)
2
?(k?1)?1
?(1?2?
L
?k)(1?
所以,当
n?k?1
时,命题成立.
由(1)(2)知,命题对大于2的一切正整数成立.
2、(1)当
n?17
时,有
2
n
?n
4
.
①当
n?17
时,
2
17
?131072?83521?17
4
,命题成立.
②假设当
n?k(k?17)
时,命题成立,即
2
k?k
4
当
n?k?1
时,
2
k
?1
?2?2
k
?2k
4
?k
4
?17k
3
?k
4
?4k
3
?6k
2
?4k?1?(k?1
)
4
所以,当
n?k?1
时,命题成立.
由①②知,命题对一切不小于17的正整数成立.
1
(2)当
n?
3
时,有
(1?)
n
?n
.
n
164
①当
n?3
时,
(1?)
3
??3
,命题成立.
327
1
②假设当
n?k(k?3)
时,命题成立,即<
br>(1?)
k
?k
k
1
k?1
1
k
1
当
n?k?1
时,
(1?)?(1?)(1?)
k?1k?1k?
1
11
?(1?)
k
(1?)
kk?1
1
)
?k(1?
k?1
?k?1
所以,当
n?k?1
时,命题成立.
由①②知,命题对一切不小于3的正整数成立.
12?1
3、(1)当n?2
时,
2
?
,命题成立.
22
111k?1
(2)假设当
n?k(k?2)
时,命题成立
,即
2
?
2
?L?
2
?
23kk
当
n?k?1
时,
1111k?11
??
L
????
2
2
3
2
k
2
(k?1)
2
k(k?1)
2
k
3
?k
2
?1k
3
?k
2
(k
?1)?1
???
22
k(k?1)k(k?1)k?1
所以,当
n?k?1
时,命题成立.
由(1)(2)知,命题对任意大于1的正整数成立.
4、不妨设
a?b?c
,a?b?d
,
c?b?d
.
(1)当
n?2
时,
a
2
?c
2
?(b?d)
2
?(b?d)
2
?2b
2
?2d
2
?2b
2
,命题成立.
(2)假设当
n?k(k?2)
时,命题成立,即
a
k
?c
k
?2b
k
当
n?k?1
时
,
a
k?1
?c
k?1
?a
k?1
?ac
k
?ac
k
?c
k?1
?a(a
k
?c
k
)?c
k
(c?a)
?a(a
k
?c
k
)?2dc
k
?2ab?2dc
?2(b?d)b?2dc
kkkk
?2(b?d)b
k
?2db
k
?2b
k?1
所以,当
n?k?1
时,命题成立.
由(1)(2)知,命题对一切大于1的正整数成立.
1?2(1?1)
2
?1?2
?
5、(1)当
n?1
时,,命题成立.
22
k(k?1)(k?1)
2
?a
k
?
(2)假设当
n?k(k?1)
时,命题成立,即.
22
当
n?k?1
时,
k(k?1)(k?1)
2
?(k?1)(k?
2)?a
k
?(k?1)(k?2)??(k?1)(k?2)
22
k(k?1)(k?1)
2
2k?3
?(k?1)?a
k?1
??
222
(k?1)(k?2)(k?2)
2
?a
k?1<
br>?
22
所以,当
n?k?1
时,命题成立.
由(1)(2)知,命题对一切正整数成立.
6、(1)当
n?2
时,
sin(
?
1
?
?
2
)?sin
?<
br>1
cos
?
2
?cos
?
1
sin
?
2
?sin
?
1
?sin
?
2
,命题成立.
(2)假设当
n?k(k?2)
时,命题成立,
即sin(
?
1
?
?
2
?L?
?
k)?sin
?
1
?sin
?
2
?L?sin
?
k
当
n?k?1
时,
sin(
?
1
?
?
2
?L?
?
k
?
?k?1
)
?sin(
?
1
?
?
2<
br>?
L
?
?
k
)cos
?
k?1
?c
os(
?
1
?
?
2
?
L
?
?k
)sin
?
k?1
?sin(
?
1
?
?
2
?
L
?
?
k
)?sin
?
k?1
?sin
?
1
?sin
?
2
?
L<
br>?sin
?
k
?sin
?
k?1
所以,当
n?k?1
时,命题成立.
由(1)(2)知,命题对一切大于1的正整数成立.
22
)(b
1
2?b
2
)?(a
1
b
1
?a
2
b2
)
2
,命题成立.
7、(1)当
n?2
时,
(a
1
2
?a
2
(2)假设当
n?k(k?2)
时,命题成立,
222
?L?
a
k
)(b
1
2
?b
2
?L?b
k
2
)?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?L?a
k
b
k
)
2
即
(a
1
2
?a
2
当
n?k?1
时,
2222222
(a
1
2
?a
2
?L?a
k
?a
k?1
)(b
1
?b<
br>2
?L?b
k
?b
k?1
)
222222
22222
?(a
1
2
?a
2
?L?a
k
)(b
1
2
?b
2
?L?b
k
2
)?(a
1
2
?a
2
?L?a
k
)b
k
2
?1
?a
k
(b?b?L?b)?ab
?112kk?1k?1
22222222
?(a
1
b
1<
br>?a
2
b
2
?
L
?a
k
b
k
)
2
?a
k?1
b
k?1
?2a
k?1
b
k?1
(a
1
?a
2
?
L
?a
k
)(b
1
?b
2
?
L
?b
k<
br>)
222
?(a
1
b
1
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2
b<
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L
?a
k
b
k
)
2
?
a
k?1
b
k?1
?2a
k?1
b
k?1
(a
1
b
1
?a
2
b
2
?
L?a
k
b
k
)
?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?
L
?a
k?1
b
k?1
)
2
所以,当
n?k?1
时,命题成立.
由(1)(2)知,命题对一切不小于2的正整数成立
2222
?L?a
n
)(b
1
2
?b
2
?L?b
n
)?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?L?a
n
b<
br>n
)
2
. 即,
(a
1
2
?a
2<
br>8、(1)
(a
1
?a
2
?L?a
n
)(<
br>111
??L?)?n
2
a
1
a
2
a
n
1
?1
2
,命题成立.
a
1
(2)①当
n?1
时,
a
1
?
②假设当
n?k(k?2)
时,命题成立,即
(a
1
?a
2
?L?
a
k
)(
111
??L?)?k
2
a
1
a
2
a
k
当
n?k?1
时,
(a
1
?a
2
?L?a
k
?a
k?1
)(
1111
??L??)
a<
br>1
a
2
a
k
a
k?1
?(a
1?a
2
?
L
?a
k
)(
?k
2
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k?1
1111111
??
L
?)?(a
1<
br>?a
2
?
L
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k
)?a
k?1
(
??
L
?)?1
a
1
a
2
a
k
a
k?1
a
1
a
2
a
k
1111
(
a
1
?a
2
?
L
?a
k
)(??
L
?)
a
k?1
a
1
a
2
a
k<
br>?k
2
?1?2k
2
?(k?1)
2
所以,当
n?k?1
时,命题成立.
由①②知,命题对一切正整数成立