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选修4-5中的著名不等式
内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中 熊明军 新课程改革推出了知识模块,把高等数学中一些领域的知识进行了简化,下放到高中。
选修4-5中
给出了许多著名不等式的特例,下面对课本上的这些不等式及其一般形式做一下
介绍。
绝对值的三角不等式(
定理:若为实数,则,当且仅当时,等号成立。
):
绝对值的三角不等式一般形式:
,简记为
柯西不等式(
定理:(向量形式)设
当
当
定理:(代数形式)设
且仅当
柯西不等式的一般形式(
定理:设
为实数,则
)
时,等号成立。
均为实数,则
或为零向量时,规定零向量与任何向量平行,即当及为非零向量时,等号成立及共线存在实数
为平面上的两个向量,则
)
。
。
,使。
时,上式依然成立。
, 当
,
当且仅当
闵可夫斯基不等式(
定理:设
当且仅当存在非负实数
)
时,等号成立(当某时,认为)。
均为实数,则
(不同时为0),使时,等号成立。
,
闵可夫斯基不等式的一般形式:
定理:设
是两组正数,,则
或
,
当且仅当
排序不等式(
定理:设
的任一排列,则有
当且仅当
)
时,等号成立。
为两组实数为
。
或时,等号成立。
排序原理可简记作:反序和乱序和顺序和。
切比晓夫不等式():
定理:设
①如果
或,则有
为任意两组实数,
②如果
或,则有
①②两式,当且仅当
平均值不等式(
)
或时,等号成立。
定理:设为个正数,则
时,等号成立。
,当且仅当
当
时,,当且仅当时,等号成立。
加权平均不等式(
定理:设
那么
杨格不等式():
)
为正数,
。
都是正有理数,并且,
定理:设为有理数,满足条件(互称为共
轭指标),
为正数,则。
当
时,,此时的杨格不等式就是熟知的基本不等式。
贝努利不等式(
定理:设
):
,且,为大于1的自然数,则。
贝努利不等式的一般形式:
(1)设
(2)设,则①当
,①②当且仅当
时,有
时等号,成立。
;②当或时,有
,且同号,则;