全国高中数学竞赛江苏预赛-初高中数学微信群
高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
线性规划
一、基本概念
1.约束条件:关于变量
x,y
的不等式(或方程)组。
2.线性约束条件:关于变量
x,y
的一次不等式(或方程)组。
3.目标函数:求最值的关于变量
x,y
的函数解析式。
4.线性目标函数:求最值的关于变量
x,y
的一次解析式。
5.线性规划:
一般的,在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称为线性规划问
题。
6.可行解、可行域、最优解
满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解;由所有可行解组
成的集合叫做可行域;使目标
函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。
二、基本题型
类型一、求线性目标函数的最值
方法总结:
在确定约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤为:
(1)根据约束条件作出可行域;
(2)将目标函数
z?ax?by(b?0)变形为
y??
az
x?
将求
z
的最值问题转化为求直线
bb
azz
x?
在
y
轴上的截距的最值问题;
b
bb
a
(3)画出直线
y??x
并平行移动,一般地,平移过程中最先或最后
经过的点为最优解;
b
y??
(4)求出最优解并代入目标函数,求出目标函数的最值.
注意:
最优解一般在可行域顶点或边界取得.把目标函数转化为某一直线,其斜率与可行
域边界所在直线斜率的
大小关系一定要弄清楚。
马鸣风萧萧
?
x?4y??3
?
例1、设 z=2x+y,式中变量x、
y满足下列条件:
?
3x?5y?25
,求z的最大值和最小值。
?
x?1
?
?
2x?y?3,?
x?2y?3,
?
例2、求满足线性约束条件
?
的目标函数<
br>z?x?y
的最大值。
?
x?0,
?
?
y?0,
例3、已知
?1?x?y?4
且
2?x?y
?3
,求
z?2x?3y
的取值范围。
练习:
x+y≤5
?
?
2x+y
≤6
1.图中阴影部分的点满足不等式组
?
x≥0
?
?
y≥
0
得最大值的点的坐标是( )
A.(1,4) B.(0,5)
C.(5,0) D.(3,0)
,在这些点中,使目标函数z=6x+8y取
马鸣风萧萧
?
?
2x?y?4,
2.设
x,y
满足
?
x?y?1,
?
则
z?x?y
( )
?
x?2y?2,
A.有最小值2,最大值3
B.有最小值2,无最大值
C.有最大值3,无最小值
D.既无最小值,也无最大值
x
?
y?x
3.设变量、
y
满足约束条件
?
?
x?y?2
,则目标函数
z?2x?y
的最小值为(
?
?
y?3x?6
A.
2
B.
3
C.
4
D.
9
?
y?2x
4.
已知实数x、y满足
?
?
y??2x
则目标函数z=x-2y的最小值是______。
?
?
x?3
?
x
+3
y
5.若实数
x
,
y
满足不等式
组
?
-3≥0,
?
2
x
-
y
-3≤0,<
br>?
?
x
-
y
+1≥0,
则
x
+
y
的最大值为( )
A.9
B.
15
7
C.1 D.
7
15
?
x??1
6.若变量
x,y
满足约束条件
?<
br>?
y?x
,求
z?2x?y
的最大值。
?
?
3x?2y?5
马鸣风萧萧
)
类型二、实际应用问题
例4.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用
A
原料3吨、
B
原料2吨;生
产每吨乙产品要用
A
原料1吨、
B
原料3吨.销售每
吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产
品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗
A<
br>原料不超过13吨、
B
原料不超过18
吨,那么该企业可获得最大利润是多少?
练习:
1.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B 原料2吨;生产每
吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可
获得利润3万
元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,
那么该企业可获得最大利
润是 ( ( )
A. 12万元 B. 20万元
C. 25万元 D. 27万元
2.某
加工厂用某原料由甲车间加工出
A
产品,由乙车间加工出
B
产品.甲车间加工
一箱原料
需耗费工时10小时可加工出7千克
A
产品,每千克
A
产品
获利40元,乙车间加工一箱原料
需耗费工时6小时可加工出4千克
B
产品,每千克<
br>B
产品获利50元.甲、乙两车间每天共能
完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车
间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两
车间每天总获利最大的生产计划为
( )
(
A
)甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱
(
B
)甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱
马鸣风萧萧
(
C
)甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱
(
D
)甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱
类型三、非线性目标函数的最值
方法总结:
(1
)对于形如
z?(x?a)?(y?b)
型的目标函数均可化为求可行域内的点
(x,
y)
与
22
(a,b)
间的距离的平方的最值问题;
b
y
?(?)
a
ay?b
a
(ac?0)
的(2)对于形如
z?
可先变形为
z??
(ac?0)
型的目标函数,
d
c
cx?d
x?(?)
c
形式,将问题转化为可行域内的点
(x,y)
与
(?
dba
,?)
连线斜率的倍的最值问题;
cac
(一)距离型
?
x?y?3?0
?
例5.
已知实数对
?
x,y
?
满足不等式组
?
x?2
,求
z?x
2
?y
2
的最大值。
?
x?y?1?0
?
?
x?y?0
?
22
例6.已知
x,y
满足不等式组
?
x?y?2?0
,求
(x?2)?(y?3)
的最大值。
?
2x?y?2?0
?
马鸣风萧萧
?
x?0
?
22
例7. 已知
x,y
满足约束条件
,
?
3x?4y?4
则
x?y?2x
的最小值是( )
?
y?0
?
A.
练习:
224
B.
2?1
C. D.
1
525?
x?y?4
?
22
1、已知点
P(x,y)
的坐标满
足条件
?
y?x
,则
x?y
的最大值为 ( )
?
x?1
?
(A)
10
(B)8
(C)16 (D)10
?
2x?y?2?0
?
22
2.已知
x,y
满足以下约束条件
?
x?2y?4?0
,则
z?x?y
的最大值和最小值分别是
?
3x?y?3?0
?
(
)
(A)13,1 (B)13,2
(C)13,
25
4
(D)
13
,
5
5
?
x?y?2?0,
?
4.已知点
M(x,y)
在不等式组
?
x?2y?1?0,
所表示的平面区域内,则
?
y?0
?
z?(x?1)
2
?(y?2)
2
的值域为
。
[8, 17]
(二)斜率型:
?
x?2
y
?
例8、若
x,y
满足约束条件
?
y?2
,求<
br>z?
的取值范围.
x
?
x?y?2
?
马鸣风萧萧
?
2x?y?6?0
?<
br>x?y?3?0
y?2
?
例9、若
x,y
满足约束条件
?
,求
z?
的范围.
x?3
?
y?2
?
?
x?0
练习:
?
x?y?2?0
?
1.已知
?
x?y?4?0
,求(1)
z?x?2y?4
的最大值
?2x?y?5?0
?
(2)
z?x?y?10y?25
的最小值(3)<
br>z?
x-2y+7≥0,
?
?
2.已知x、y满足约束条件
?
4x-3y-12≤0,
?
?
x+2y-3≥0
22
2y?
1
的范围
x?1
求: (1)z=3x+2y的最值;
(2)z=3x-2y的最值;(3)t=x
2
+y
2
的最值.
马鸣风萧萧