高中数学线性规划汇总

高中数学线性规划汇总
直线与线性规划
由已知条件写出约束条件，并作出可 行域，进而通过平移直线
在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，
还有 以下七类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围
?
x?2
?
例1、 若x、y满足约束条件
?
y?2
，则z=x+2y的取值范围是 （ ）
?
x?y?2
?
A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5]
x?y?5?0
变式训练1：已知x，y满足约束条件
x?y?0
x?3< br>，则
z?4x?y
的最小值为______________．
变式训练2：若
?
A．[2 ，6]
?
x?2
?
y?2,x?y?2
，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是 （ ）
C． [3，6] D． [3，5] B． [2，5]
二、求可行域的面积
?
2x?y?6?0
?
例2、不 等式组
?
x?y?3?0
表示的平面区域的面积为 （ ）
?
y?2
?
A、4 B、1 C、5 D、无穷大
变式训练1：由
y?2及x?y?x?1
围成的几何图形的面积是多少?
变式训练2：已知
a?(0,2),
当a为何值时，直线
l
1
:ax?2y?2a?4与l
2
:2x?a
2
y?2a
2
?4
及坐标轴围
成的平面区域的面积最小？
三、求可行域中整点个数
例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）
A、9个 B、10个 C、13个 D、14个
变式训练1：不等式
x?y?3
表示的平面区域内的整点个数为 （ ）
A． 13个 B． 10个 C． 14个 D． 17个
?
2x?3y?0,
?
2x?3y?6?0,
?变式训练2：.在直角坐标系中，由不等式组
?
所确定的平面区域内整点有（ ）
3x?5y?15?0,
?
?
?
y?0
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
1 7

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四、求线性目标函数中参数的取值范围
?< br>x?y?5
?
例4、已知x、y满足以下约束条件
?
x?y?5?0< br>，使z=x+ay(a>0)取得最小
?
x?3
?
值的最优解有无数个 ，则a的值为 （ ）
A、－3 B、3 C、－1 D、1
变式训练1：不等式
|2x?y?m|?3
表示的平面区域包含点
( 0,0)
和点
(?1,1),
则
m
的取值
范围是
A．
?2?m?3

（ ）
B．
0?m?6
C．
?3?m?6
D．
0?m?3

变式训练2：已知平面区域如右图所示，
z?mx?y(m ?0)
在平面区域内取得最大值的最优
解有无数多个，则
m
的值为（ ）
A．
7
B．
?
7
C．
1
D．不存在
2
20
20
y
五、求非线性目标函数的最值

C(1,

A(5,3)

2x?y?2?0
?
?
22
例5、已知x、y满足以下约束条件
?
x?2y?4?0
，则z=x+y的最大值和

B(1,1)

?
3x?y?3?0
o
?
x
最小值分别是（ ）
A、13，1 B、13，2
C、13，
22
)

5
25
4
D、
13
，
5
5
?
x?y?0,
?
变式训练1：: 已知实数
x,y
满足条件
?
x?y?5?0,
若不等式
m(x
2?y
2
)?(x?y)
2
恒成立，
?
y?3?0,?
则实数
m
的最大值是 .
?
x?y?2
uuuruur
?
?
1
?
,则OM
g< br>OA
变式训练2：设O为坐标原点，点
A
?
,1
?
, 若M
?
x,y
?
满足不等式组
?
x?1
?
4
?
?
y?2
?
的最小值是___________.
六、求约束条件中参数的取值范围
例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（ 0,0）和（－1,1），则
m的取值范围是 （ ）
A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3）
变式训练1：已知点（3 ， 1）和点（－4 ， 6）在直线 3x–2y + m = 0 的两侧，则
（ ）
2 7

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A．m＜－7或m＞24 B．－7＜m＜24 C．m＝－7或m＝24 D．－7≤m≤ 24
变式训练2：在
?A BC
所包围的阴影区域内（包括边界），若有且仅有
B(4,2)
是使得
z? ax?y
取得最大值的最优解，则实数
a
的取值范围为（ ）

A.
?1?a?1

C.
?1?a?1

B.
?1?a?1

D.
?1?a?1

七·比值问题
?
?
x
－
y
＋2≤0，
y
例7、 已知 变量
x
，
y
满足约束条件
?
x
≥1，
则 的取值范围是（ ）.
x
?
?
x
＋
y
－7 ≤0，
99
（A）[，6] （B）（－∞，]∪[6，＋∞）
55
（C）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D）[3，6]
变式训练1：已知x，y满足
?
为____________．
3x?2y?5
?
x?2y?5?0
，则
?
x?1,y?0
x?1
?
x?2y?3?0
?
的最大值为___________， 最小值
?
x?4y?3?0,
2x?3y?1
?
变式训练2：变量x , y满足条件
?
3x?5y?25?0,
设z=, 则z
min
= ，
2x?1
?
x?1.
?
z
max
= .
巩固练习题：
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出 的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
3 7

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1.已知点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y+a=0的两侧，则a的取值范围是 ( )
A. a＜－1或a＞24 B. a=7或a=24
C. －7＜a＜24 D. －24＜a＜7
?
2x?y?1?0,
?
2.若x, y满足约束条件
?
x?0,
则x+2y的最大值是 ( )
?
y?0.
?
A.［2，6］ B.(2，5) C.(3，6) D.(3，5)
3.满足｜x｜+｜y｜≤4的整点(横纵坐标均为整数)的点(x, y)的个数是 ( )
A.16 B.17 C.40 D.41
4.不等式x－2y+6＞0表示的平面区域在直线x－2y+6=0的 ( )
A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方
?
x?3,
?
5.不等式组
?
x?y?0,
表示的平面区域 的面积等于 ( )
?
x?y?2?0
?
A.28 B.16 C.
39

4
D.121
?
2x?3y?0,< br>?
2x?3y?6?0,
?
6.在直角坐标系中，由不等式组
?
所确定的平面区域内整点有 ( )
3x?5y?15?0,
?
?
?
y?0
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
7.点P(a, 4)到直线x－2y+2=0的距离等于2
5
且在不等式3x+ y－3＞0表示的平面区域内，
则点P的坐标为（ ）
A．(16，－4) B．(16，4) C．(－16，4) D．(－16，－4)
4 7

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22
?
?
x?y?4x ?6y?4?0,
8.在直角坐标平面上，满足不等式组
?
面积是 ( )
?
?
x?2?y?3?3
A．6π+10 B．9π－18 C．8π－10 D．18π－9
9．如图
x
2
?y
2
?0
表示的平面区域是 （ ）

10．已知
点（3，1）
和（－4，6）在直线3x－2y +a=0的两侧，则a的取值范围是（ ）
A．a<－7或a>24 B．a=7或a=24
11．给出平面区域如图所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目标函数z=a x+y(a>0)
取得最大值的最优解有无穷多个，则
（ ）
A．
a的值是
13
2
B． C．2 D．
3
22
12．某电脑用户 计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒
装磁盘，根据需要，软件 至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有 ( )
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
二、填空题，本大题共6小题，每小题4分，满分24分，把正确的答案写在题中横线上.
?
x?4y?3?0,
y
?
13.变量x, y满足条件
?
3x?5y?25?0,
设z=, 则z
min
= ，z
max
= .
x
?
x?1.
?
14.已知集合A={(x, y)│|x|+|y|≤1}，B={(x, y)｜(y－x)(y+x)≤0}，M=A∩B，则M的面积
5 7

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为 .
15.设 m为平面内以A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)三点为顶点的三角形区域内(包括边界)，当点(x, y)在区域m上变动时，4x-3y的最小值是 .
16 .设P(x,y)是区域|x|+|y|≤1内的动点，则函数f(x,y)=ax+y(a＞0)的最大值是 .
17．下图所示的阴影区域用不等式组表示为
y
1
?
x?y?5,
?
18．若x，y满足不等式组< br>x?y?6,
则使k=6x+8y取得最大值的点的坐标是 .
O
3

?
2
x
1

?
2
?
x?0,y?0,
2
20. （本题满分12分）
设实数x、y满足不等式组
?
?
1?x?y?4,

?
y?2?|2x?3|.
(1)作出点(x, y)所在的平面区域
(2)设a＞－1，在(1)所求的区域内，求函数f(x,y)=y－ax的最大
21. （本题满分14分）
某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级，各级车工每人每天加工能力，成品合格率及日 工资
数如下表所示：
级别
Ⅰ
Ⅱ
加工能力(个人天)
240
160
成品合格率(%)
97
95.5
工资(元天)
5.6
3.6
工厂要求每天至少加工配件2400个，车 工每出一个废品，工厂要损失2元，现有Ⅰ级
车工8人，Ⅱ级车工12人，且工厂要求至少安排6名Ⅱ级 车工，试问如何安排工作，使工
厂每天支出的费用最少.
22．（本题满分14分）
某工厂要制造A种电子装置45台，B电子装置55台，为了给每台装配一个外壳，要从
两种不同的薄 钢板上截取，已知甲种薄钢板每张面积为2平方米，可作A的外壳3个和B
的外壳5个；乙种薄钢板每张 面积3平方米，可作A和B的外壳各6个，用这两种薄钢板
各多少张，才能使总的用料面积最小?
23. （本题满分14分）
6 7

高中数学线性规划汇总 < br>私人办学是教育发展的方向，某人准备投资1200万元兴办一所完全中学，为了考虑社
会效益和 经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表(以班级为单位)：
市场调查表

初中
高中
班级学生数
50
40
配备教师数
2.0
2.5
硬件建设(万元)
28
58
教师年薪(万元)
1.2
1.6
根据物价部门的有关文件，初中是义务 教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、
办公费以外每生每年可收取600元，高中每生每年可收 取1500元.因生源和环境等条件限制，
办学规模以20至30个班为宜，教师实行聘任制.初、高中 的教育周期均为三年，请你合理
地安排招生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资?
7 7